các dạng toán về nguyên hàm và tích phân

Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

Nguyªn hµm - tÝch ph©n vµ c¸c øng dơng

a.tÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa
Ph−¬ng ph¸p:

1. §Ĩ x¸c ®Þnh nguyªn hµm cđa hµm sè f(x), Chóng ta cÇn chØ ra ®−ỵc hµm sè F(x)
sao cho:
F’(x) = f(x).
• ¸p dơng b¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n, c¸c hµm sè s¬ cÊp .
• Nếu gặp dạng căn thức đưa về dạng số mũ phân theo công thức:
,( 0)
n
mn
m
xxm=≠

• Nếu gặp dạng
()
n
Px
x
thực hiện phép chia theo công thức:
1
,( ); ,( )
mm
mn
nnnm
xx

x
mn mn
xxx
−
−
=>= <.
• Công thức đổi biến số (loại 2):
Tích phân dạng:
()
().'()
f
gx g xdx
∫
Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du
(())'() ()
f
gx g xdx fudu=
∫∫
.

2. Mét sè d¹ng c¬ b¶n:
1.
Sư dơng c«ng thøc c¬ b¶n:
1. Dạng : đặt u = ax + b ⇒ du = adx dx=
()(1,0)ax b dx a
α
α
+≠≠
∫
⇒

1
du
a

()
()
1
!
1
()
1(1)
ax b
u
ax b dx u du C C
aa a
α
α
αα
αα
+
+
+
+= = += +
++
∫∫

2. Dạng : đặt
()
1
,( 0, 1)

nn
ax b x dx a
α
α
−
+≠
∫
≠
11
11
1
1

1(
()
(1) (1)
n
u=ax
nn
n
nn
bduanxdxxdx du
an
uaxb
ax b x dx u du C C
an na na
αα
αα
αα
−−

++
−
+⇒ = ⇒ =
+
+==+=
++
∫∫
)
+

3.
Dạng:
). cos sin ( 1) axdx
α
α
≠
−
∫
( Đặt
1
1
cos sin ) cos sin cos
(1)
u x du xdx x xdx u du x C
αα α
α
+
−
=⇒=− ⇒ =− = +
+

∫∫


). cos ( 1) sin xbxdx
α
α
≠
−
∫
(Đặt
1
1
sin cos sin
1
du=cos xdx sin xux xdxudu x
ααα
α
+
=⇒ ⇒ = = +
+
∫∫
C


4.
Dạng:
1
ln ( 0)
dx
ax b C a

ax b a
=++≠
+
∫

Nếu gặp :
()Px
ax b
+
với bậc : làm bài toán chia.
() 1Px≥
GV: Ngun Thanh S¬n
1
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

5. Dạng:
2
cos ( )
dx
x
abtgx+
∫
Đặt
22
111
;l
cos cos ( )
2
dx

co s
bdx dx du
u a btgx du du a btgx C
xxb xabtgxbub
=+ ⇒ = ⇒ = = = + +
+
∫∫
n

2.
Công thức:
()
'( )
ln
u
ux u
a
auxdx adu C
a
==+
∫∫

3.
Công thức đổi biến số (loại 1):
Tích phân dạng:
(
)
().'()
f

gx g xdx
∫
Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du
(())'() ()
f
gx g xdx fudu=
∫∫

4.
Công thức :
2
2
2
1
). ln .( 0)
2
). ln


du u a
aCa
ua aua
du
buukC
uk
α
−
=+≠
−+
=+++

+
∫
∫

5. Công thức :
2
22
ln
22
xx k k
x
kdx x x k C
+
+= + +++
∫

3. Mét sè d¹ng th−êng gỈp:
1. Tích phân dạng:
22
22
1).
(mx+n)dx dx (mx+n)dx
2). 3). 4).
dx
ax bx c ax bx c
ax bx c ax bx c
++ ++
+
++
∫∫∫ ∫

+


Tuỳ vào mỗi dạng áp dụng các công thức tính tích phân chỉ trong bảng sau:
Tử số bậc nhất Tử số hằng số
Mẫu số không căn
ln
du
uC
u
=
+
∫

22
1
ln
2
−
=
+
−+
∫
du u a
C
ua aua


Mẫu số có căn
2

du
uC
u
=
+
∫

2
2
ln
=
+++
+
∫
du
uukC
uk

Sử dụng hằng đẳng thức:
222
22
2
()()
22
22
aa
xaxx
bb
ax bx a x
aa

+=+ −
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
+= + −
⎢
⎥
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦




GV: Ngun Thanh S¬n
2
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

4. TÝch ph©n cđa c¸c ph©n thøc h÷u tØ:
32
ax b A B C
cx dx ex x x m x n
+
=+ +
++ − −

Giải dạng này ta có hai cách:
− Cách 1: Đồng nhất hai vế: Cho tất cả các hệ số chứa x cùng bậc bằng nhau.
− Cách 2: Gán cho x những giá trò bất kỳ. Thường thì ta chọn giá trò đó là
nghiệm của mẫu số

5. TÝch ph©n cđa c¸c hµm sè l−ỵng gi¸c:

1. Dạng:
cos , , 1). sin , cos
n n
11
sin cosaxdx= sinaxdx=- , 2). co s
aa
n
x
dx xdx ax C ax C xdx++
∫∫ ∫ ∫ ∫
Phương pháp:
 n = chẵn : hạ bặc
2
2
1cos2
cos
2
1cos2
sin
2
1
sin cos sin 2
2

x
x
x
x
x
xx
+
⎧
=
⎪
⎪
−
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩

 n lẽ:
Viết:
21 2 2
cos cos cos (1 sin ) cos
pp p
x
dx x xdx x dx
+
==−

Đặt
sin cosuxdux=⇒=dx
2.
Dạng:
sin cos
mn
uud
∫
u
u
a. m,n cung chẵn: hạ bậc.
b. m,n lẻ (một trong hai số lẻ hay cả hai cùng lẻ).

Nếu m lẻ: Ta viết: thay
1
sin sin sin
mm
uu
−
=
1
22 2
2
sin 1 cos (1 cos ) sin
m
va sin
m
uuu u
−
=− = − u


Nếu m, n lẻ: làm như trên cho số mũ nào bé
3.
Dạng: hay
n
tg xdx
∫
cot
n
gxdx
∫

Chú ý:
22
2
() (1 ) (1 )
cos
2
dx

co s
dx
d tgx tg x dx tg x dx tgx C
x
x
==+ ⇒ =+ =+
∫∫

 Tương tự:

22
2
(cot ) (1 ) (1 )
sin
2
dx

sin
dx
d gx cotg x dx cotg x dx cotgx C
x
x
=
−=−+ ⇒ =+ =−+
∫∫

 Ngoại trừ:
sin
ln cos
cos
(u=cosx)
xdx
tgxdx x C
x
==+
∫∫

Để tính:

n

tg xdx
∫
Phương pháp:
Làm lượng
2
(1)tg x
+
xuất hiện bằng cách viết:
GV: Ngun Thanh S¬n
3
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

2222 242 12
* ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
nn n n
tg x tg x tg x tg tg x tg x
−− −
=+−++++−++
n
−
21 23 2 25 2 2 2 1
* ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
nn n n n
tg x tg x tg x tg tg x tgx tg x tgx
−− − − −
= +− ++++− ++−

4.
Dạng: hay

2
(1)tg x dx+
∫
2
cos
n
dx
x
∫

Ta viết:
2212
(1)(1)(1)
n
tg x dx tg x tg x dx
−
+= + +
∫
∫

Đặt u = tgx
22
(1) (1)
2n
(tg x+1) dx
n
du tg x dx u du
−
=+⇒ =+
1

∫
∫

Chú ý:
22
2
1
1(1
cos
2n
dx
,
co s
n
tg x tg x dx
)
x
x
=+ = +
∫∫

5. Dạng:
cos
m
n
cotg x
, or
sin x
m
n

tg x
dx dx
x
∫∫

Phương pháp:
 Nếu n chẵn
: Thay
2
2
222
1
(1 ) ; (1 ) (1 ) ( 1)
cos cos
m
tg

nnn
mm
nn
xdx
tg x tg x tgx dx tg x tgx tgx dx
xx
−
=+ ⇒ = + = + +
∫∫ ∫
Đặt:
2
2
2

(1 )
m
2
n
tg x
du=(1+tg x)dx
cos x
n
m
u tgx dx u u du
−
=⇒ ⇒ = +
∫∫

 Nếu m lẻ và n lẻ :
1
1
.
cos cos cos
m
n
tgx tg x tgx
x
xx
−
−
= Đặt
1
cos
tgx

du=
cosx
udx
x
=⇒

Thay:
11
21
22
221
111
1(1) (1)
cos cos cos cos
n
tgmx

cos x
mm
n
n
tgx
tgx dx dx u u du
xxxx
−−
−
−
=−⇒ = − =−
∫∫ ∫

6.
Dạng:
sin cos ; sinmxsinnxdx ; cosmxcosnxdxmx nxdx
∫∫∫
p dụng các công thức biến đổi:
[]
[]
[]
sin( ) sin( )
cos( ) s( )
cos( ) cos( )
1
sinmxcosnx=
2
1
sinmxsinnx=
2
1
cosmxcosnx=
2
mnx mnx
mnxcomnx
mnx mnx
•++
•−−
•−+
−
+
+

GV: Ngun Thanh S¬n
4
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

I. Tính các tích phân bất định.

Bài 1: Dùng các công thức cơ bản tính các tích phân sau:
1/
2
1
(3x 2x )dx
x
+

2/
2
x3
dx
x

3/
4
3
2( x )dx
x


4/
3
4
1
(3 x 4 x )dx
x
+


5/
x
x
3
2
e
e(2 )dx
3x

6/
x2x3x
2.3 4 dx

7/
cos (1 t )
x
gx dx+

8/
2
2
(4sinx )dx
cos x



9/
2
x
2cos dx
2

10/
22
dx
cos xsin x

Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
1/ 2/
10
x(x 1) dx

2
12
()
x1(x1)

++

dx

3/
2
xx 9dx+

4/
22
4
8x
dx
(x 1)+


5/
3. x
e
dx

x

6/

xx
dx
2
ln

7/ 8/ sin7x.cos3x.dx

4
cos xdx

9/
3
sin x
dx
cos x

10/
22
cos2x
dx
sin x.cos x



II: Tính các tích phân xác định sau:
Phơng pháp

:
() () () ()
b
a
b
a
f
xdx Fx Fb Fa==


.
1. Các phơng pháp tính tích phân.
áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp .
Tính tích phân bằng phơng pháp phân tích.
Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng I.
Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng II.
Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến dạng III.
Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần.
Tính tích phân bằng phơng pháp sử dụng nguyên hàm phụ.
Một số thủ thuật đổi biến khác, tích phân chứa biểu thức giá trị tuyệt đối

2. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
GV: Nguyễn Thanh Sơn
5
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

Để chứng minh bất đẳng thức tích phân , ta thờng sử dụng chủ yếu 4 tính chất
sau: với các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a;b] ta có:
1. Nếu

[
]
() 0, ;
f
xxa b
thì
() 0
b
a
fxdx

2. Nếu
[
]
() (), ;
f
xgxxab
thì
() ()
bb
aa
f
xdx gxdx


Dấu đẳng thức chi xảy ra khi f(x) = g(x),
[
]
;
x

ab

3. Nếu
[
]
() , ;mfx Mxab
thì
() () ()
b
a
mb a f xdx M b a





4.
() () .
bb
aa
f
xdx f x dx





Bài 1: Tính các tích phân xác định sau:
1/ 2/
2

234
0
(3x 2x 4x )dx+

1
32
1
(x 3x)dx

+

3/
4
x
4
0
(3x e )dx

4/
2
2
3
1
x2x
dx
x



5/

0
2
1
xx5
dx
x3




6/
5
2
dx
x1 x2

+


7/
1
2x
x
0
e4
dx
e2

+

8/
3
2
0
4sin x
dx
1cosx

+


9/
3
0
sin x.cos3xdx


10/
2
4
2
6
2tg x 5
dx
sin x


+

11/
2
0
cos2x
dx
sinx cosx



12/
4
2
0
sin ( x)dx
4







Bài 2: Tính các tích phân có chứa trị tuyệt đối sau:
1/
2
2
x1dx

2/
4
2
1
x6x9d+

x
3/
4
2
1
x3x2d

+

x 4/
1
x
1
e1d



x

GV: Nguyễn Thanh Sơn
6
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

5/
3
3
(3 x)dx

+

6/
0
2
2
xx1dx

+


7/
0
cosx dx


8/
3
4
4
cos2x 1dx


+

9/
0
cosx sinxdx


10/
3
x
0
24d

x


Bài 3: Chứng minh các BĐT sau:

1/
3
0
3x1dx+

6
2/
1
2
0
45
1
22

x
dx
+



3/
2
2
0
dx
12
x1

+

4/
2
2
4
5
3sinxdx
24




+

5/
3
4
2
4
dx
432sinx






2
6/
2
2
0
3
tg x 3dx
42




+


7/
2

2
sin x
2
0
edxe
2





8/
22
x1 2x
11
edx edx
+




9/
22
32
00
sin xdx sin xdx



10/

22
00
sin2xdx 2 sin xdx





B: Phơng pháp đổi biến:
Phơng pháp:

1. Daùng
:
11
(, )
nm
R
xxdx

ẹaởt
1
mn mn-1
x=t dx=mnt dt
mn
tx=
2. Daùng
:
11
(),()
nm

R
ax b ax b dx

++




ẹaởt
1
mn mn-1
mn
mn
t=(ax+b) ax+b=t dx= t dt
a


3. Daùng
:
dx
R(lnx)
x

ủaởt
ln
dx
du =
x
ux=

()
dx
R(lnx)
x
R
udu=


GV: Nguyễn Thanh Sơn
7
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

4. Dạng: đặt
x
R(e )dx
∫
()
du
Ru
u
⇒⇒⇒ =
∫∫
xx x
du
u=e du=e dx dx= R(e )dx
u

5. Dạng
:

2
(, )
R
xax bxcdx++
∫

Đưa tam thức
2
ax bx c
+
+
về dạng: hay.
222
u+m,u-m
2
22
m-u
Đổi tích phân thành 1 trong các dạng sau:
.
22
22
22
1). R(u, m -u )du
2). R(u, m +u )du.
3). R(u, m -u )du.
∫
∫
∫

Nếu dưới dấu tích phân có chứa

22
m-u•
đặt
22
u=msint m -u =mcost⇒

22
m+u•
đặt
22
m
u=mtgt m +u =
cost
⇒

22
u-m•
đặt
22
m
u= u -m =mtgt
cost
⇒



6. Dạng
:
2
()

dx
mx n ax bx c++
∫
+
Gặp tích phân này đặt:
1
t=
mx+n





Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph−¬ng ph¸p ®ỉi biÕn lo¹i I
1/
1
2
0
2x
dx
1x+
∫
2/
4
2
0
x x 9dx+
∫

3/

10
2
dx
5x 1−
∫
4/
1
0
x1 xdx−
∫

5/
5
0
x. x 4dx+
∫
6/
7
3
0
x
dx
x1+
∫

7/
5
32
0
x. x 4dx+

∫
8/
2
2
3
3
0
3x
dx
1x+
∫

9/
2
x
1
dx
1e
−
−
∫
10/
4
x
1
dx
x.e
∫

11/

tgx 2
4
2
0
e
dx
cos x
π
+
∫
12/
e
1
13lnx
dx
x
+
∫

GV: Ngun Thanh S¬n
8
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

13/
e
2
1
1lnx
dx

x
+

14/
6
0
1 4si nx.cosxdx

+


15/
4
2
6
1
cotgx(1 )dx
sin x


+

16/
2
2
0
cos x.sin2xdx

17/
/6
22
0
sin2x
dx
2sin x cos x

+

18/
/2
3
2
0
cosx.sin x
dx
1sinx

+


19/
8
2
3
1
dx
xx 1+

20/
/3
3
0
cosx.sin x.dx




Bài 2 : Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến loại II:

1/
0
2
1
1
x
dx



2/
3
2
23
0
1
dx
(1 x )

3/
2
22
1
x4xdx

4/
1
2
5
dx
x4x

7
+
+


5/
2
2
0
4
dx
x +

6/
4/ 3
2

3
2
x4
dx
x



7/
1
2
2
dx
xx 1




8/
6
2
23
dx
xx 9



9/
6
2

1
dx
xx1

++

10/
3
2
2
1
93x
dx
x
+


11/
1/2
1
1x
dx
1x

+


12/
2
2

x2
dx
x1
+



13/
1
22
0
dx
(x 1)(x 2)++

14/
3
2
0
dx
x3
+




Bài 3 : Tính tích phân các hàm số hửu tỉ:

1/
2
1

dx
x(2x 1)+

2/
2
2
1
dx
x6x9

+


3/
2
1
6x 7
dx
x
+

4/
1
42
0
x
dx
xx1++

GV: Nguyễn Thanh Sơn
9
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
Lun Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

5/
4
2
3
x1
dx
x3x2
+
−+
∫
6/
1
2
0
xdx
(x 1)+
∫

7/
6
22
0
sin2xdx
2sin x cos x
π

+
∫
8/
3
2
6
cosx
dx
sin x 5sinx 6
π
π
−+
∫

9/
2
0
dx
(x 1)(x 2)++
∫
10/
3
2
2
1
93x
dx
x
+
∫

11/
1/2
2
0
dx
4x 4x 3−−
∫
12/
4
32
4
2
(x x x 1)dx
x1
+−+
−
∫

13/
2
0
dx
(x 1)(x 2)++
∫
14/
2001
2 2001
xdx
(x 1)+

∫

15/
1/2
42
0
dx
x2x−+
∫
1
16/
1
3
0
3dx
1x
+
∫




c: Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn:
Công thức:
.
bb
b
a
aa
udv uv vdu=−

∫∫


• Công thức cho phép thay một tích phân
udv
∫
phức tạp bằng 1
tích phân
đơn giản hơn.
vdu
∫
• Công thức dùng khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng:
− Dạng tích số:
− Hàm số logaric.
− Hàm số lượng giác.
* Dạng
với f(x) là hàm
n
xf(x) ,ln,sin,cos.
x
exxx
• Khi tính chọn:
− Hàm số phức tạp đặt bằng u.
− Hàm số cos tích phân được cho trong bảng tích phân thường
dùng làm

dv

Bµi 1: Dïng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn h·y tÝnh:

GV: Ngun Thanh S¬n
10
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

1/ 2/
0
xsinxdx


1
22x
0
(x 1) e dx+

3/
4
2
6
x sin2xdx



4/
e
2
1
(xlnx) dx

5/

4
2
0
x(2 cos x 1)dx



6/
3
2
4
xdx
sin x




7/
e
2
1/ e
ln x
dx
(x 1)+

8/
4
x
1
edx

9/
2
4
0
xcos xdx


10/
3
2
0
ln(x x 1)dx++


11/
12/
1
22x
0
(x 1) .e dx+

2
2
0
(x 1).sinx.dx

+

13/
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+

14/
4
0
x.sinx.cosx.dx





Bài 2: Tính các tích phân sau:

1/
e
2
1
ln x
dx
x

2/

2
e
1
x lnxdx


3/
2
e
1
ln x
dx
x




4/
e
2
1
ln xdx

5/
6/
e
2
1
(xlnx) dx

2
x
0
e(x sinx)dx

+


7/
8/
x2
0
esin(x)dx



x
0
x
esin dx
2



9/
x
(1 sin x)e
dx
1cosx
+

+

10/
22
2
2
3
1x
dx
x
+



D: ứng dụng hình học của tích phân
GV: Nguyễn Thanh Sơn
11
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng


Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y = x
2
- 2x + 2 ;tiếp tuyến (d)
của nó tại điểm M(3;5) và Oy.

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y = x
2
+ 2x và đờng thẳng (d):
y = x + 2.

Bài 3: Cho hàm số y =
2
3x 5x 5
x1

+

(C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; tiệm
cận của nó và x = 2 ; x= 3.

Bài 4: Cho hàm số y =
()
(
)
2
x1x2+
(C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và
đờng thẳng : x - y + 1 = 0.

Bài 5: Cho hàm số y =
4
2
x3
x
22

(C) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục
hoành.

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y
2
= 4x và đờng thẳng d : 4x
- 3y - 4 = 0 .

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (P): y
2
+ x - 5 = 0 và đờng thẳng d
: x + y - 3 = 0 .

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = 0 ; y = tgx ; y = cotgx
.
(0 x )

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (C): x
2
+ y
2
= 8 và đờng (P): y
2
=
2x .

Bài 10: Tính thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đờng : y =
4
x
và y = -x + 5 quay quanh Ox.
Bài 11: Cho hàm số y =
2
x3x

x2
3
+
+
+
(C) . Gọi (H) là phần hình phẳng giới hạn bởi (C)
trục Ox và hai đờng thẳng x = -1 , x = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H)
quay một vòng xung quanh Ox.
Bài 12: Cho hàm số y =
2
xx
x1
1
+
+
+
(C) . Gọi (H) là phần hình phẳng giới hạn bởi (C) trục
Ox và hai đờng thẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay
một vòng xung quanh Ox.

Bài 13: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi :
y =
x
, y = 2 - x và y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy.

Bài 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi :
GV: Nguyễn Thanh Sơn
12
Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân
Luyện Thi Đại Học và Cao Đẳng

y = , x = 1 và y = 0 (
x
xe 0x1


) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.

Bài 15: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng (D) giới hạn bởi : y =
sinx , y = cosx , x =
2

và
(0 x )
2



khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
1/
và x = -1; x = 2.
2
y0;yx 2x==
2/
2
yx4x3=+
và
yx3
=

+

3/
2
x
y4
4
=
và
2
x
y
42
=

4/
ln x
y;y0;x1
2x
===
xe và
=
.
5/
2
yxx 1;Ox=+ và x1
=
.

E. Dạng thờng gặp trong các kì thi ĐH-CĐ

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1/
1
3
2
0
1
x
dx
x +

2/
ln3
3
0
(1)
x
x
edx
e +


3/
0
2
3
1
(

x
1)
x
ex

++

dx 4/
2
6
35
0
1 cos .sin .cos .
x
xxd



x

5/
23
2
5
4
dx
xx+

6/
1

32
0
1
x
xdx


7/
2
4
0
12sin
12sin2
x
dx
x


+

8/
ln5
2
ln 2
1
x
x
edx
e

9/
ln5
ln 2
(1).
1
xx
x
ee
dx
e
+


10/ +

2
22
0
(3x 1) x 3x 4 dx


Bài 2: Cho hàm số: f(x) =
3
.
(1)
x
a
bx e

x
+
+

Tìm a, b biết f(0)=-22 và
1
0
() 5fxdx
=





Bài 3: Tính các tích phân sau:
GV: Nguyễn Thanh Sơn
13
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

1/
2
2
0
x
xdx−
∫
2/
2
1

3
0
.
x
x
edx
∫

3/
2
1
1
ln .
e
x
x
dx
x
+
∫
4/
3
1
(cos )
1
x
dx
xx
+
+−

∫

5/
1
2
0
(1) 1
x
dx
xx++
∫
6/
2
0
sin .sin2 .sin3 .
x
xxd
π
∫
x

7/
2
44
0
cos2 (sin cos )
x
xx
π
+

∫
dx
8/
2
5
0
cos .
x
dx
π
∫

9/
+
+
∫
3
53
2
0
x2x
dx
x1
10/
1
23
0
(1 x ) dx−
∫

Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/
2
33
0
(cos sin)
x
xdx
π
−
∫
2/
3
7
84
2
12
x
dx
xx+−
∫

3/
22
1
ln
e
x

xdx
∫
4/
3
1
ln
e
x
dx
x
∫

5/
2
0
4cos 3sin 1
4sin 3cos 5
xx
dx
xx
π
−+
++
∫
6/
9
3
1
1
x

xdx−
∫

7/
2
3
0
1
32
x
dx
x
+
+
∫
8/
1
2
0
(2)
x
x
xe dx
−
+
∫

9/
π
+

∫
4
6
0
1tgx
dx
cos2x
10/
−
−
+++
∫
3
1
x3
dx
3x 1 x 3



Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/
2
0
22
xdx
x
x++ −
∫

2/
2
1
21
dx
x
x
+
∫

3/
1
2
0
ln(1 )
1
x
dx
x
+
+
∫
4/
2
0
sin
sin cos
x
dx
x

x
π
+
∫

5
0
.sin
x
xdx
π
∫
6/
2
23
0
sin .cos .
x
xdx
π
∫

GV: NguyÔn Thanh S¬n
14
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

7/
1
13ln.ln

e
x
x
dx
x
+
∫
8/
3
32
0
1
x
xdx+
∫

9/
−+
+
∫
2
4
2
0
xx1
dx
x4
10/
+−
∫

3
7
84
2
x
dx
1x 2x


Bµi 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/
3
53
2
0
2
1
xx
dx
x
+
+
∫
2/
3
3
0
1
ln .

x
x
dx
x
+
∫

3/
1
2
0
(1)
x
x
edx+
∫
4/
3
2
4
cos 1 cos
tgx
dx
x
x
π
π
+
∫

5/
2
2
1
1
2
x
dx
x
−
−
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
6
2
0
sin
1cos
xx
dx
x
π
+
∫

7/
1

0
1
x
dx
e+
∫
8/
4
2
0
.
x
tg xdx
π
∫

9/
π
+
∫
2
44
0
cos2x(sin x cos x)dx 10/
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∫

4
0
x
1tgxtg sinxdx
2


Bµi 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/
5
3
(2 2)
x
xd
−
+−−
∫
x
2/
2
2
2
0
.
(2)
x
xe
dx
x +

∫

3/
4
1
2
54
dx
x
−
++
∫
4/
1
22
0
(4 2 1).
x
x
xed−−
∫
x

5/
2
22
0
4
x
xdx−

∫
6/
1
2
0
25
dx
xx2
+
+
∫

7/
2
0
sin 2
cos 1
x
dx
x
π
+
∫
8/
1
2
0
(1)
x
dx

x +
∫

9/
π
+
∫
4
sin x
0
(tgx e cosx)dx 10/
π
+
∫
2
22
0
sinx
dx
x
sin x 2cosx.cos
2


Bµi 7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

GV: NguyÔn Thanh S¬n
15
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm-TÝch ph©n
LuyÖn Thi §¹i Häc vµ Cao §¼ng

1/
2004
2
2004 2004
0
sin
sin cos
x
dx
x
x
π
+
∫
2/
3
2
0
4sin
1cos
x
dx
x
π
+
∫

3/
2

0
sin 2 .cos
1cos
x
x
dx
x
π
+
∫
4/
2
0
sin 2 sin
13cos
x
x
dx
x
π
+
+
∫

5/
2
sin
0
(cos)cos.
x

exx
π
+ dx
∫
6/
3
2
6
cos
sin 5sin 6
x
dx
xx
π
π
−+
∫

7/
2
2
1
x
dx
xx+−
∫
8/
2
0
co x

dx
s
7cos2
x
π
+
∫

9/
(
−
++
)
0
2x
3
1
e x 1 dx
∫
x 10/
π
∫

2
3
2
0
xsin x
dx
sin2xcos x

Bµi 8: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau.

1/
1
2004
1
sin .
x
xdx
−
∫
2/
2
0
.sin .cos .
x
xx
∫

dx
π
3/
2
3
0
.cos .
x
xdx
π

∫
4/
4
2
44
0
cos x
cos sin
x
x
π
+
∫

5/
3
2
0
sin
cos
x
x
dx
x
π
+
∫
6/
1
2

0
.
x
tg xdx
∫

7/ CM:
0
2
0
2
sin sin
x
x
dx dx
xx
π
π
>
∫
8/ CM:
∫
44
0
2
sin cos
dx
xx
π
π

π
+
∫
<<

9/
π
∫
e 10/
2
3x
0
sin5xdx
π
∫
xc x

2
4
0
os dx








Chóc c¸c em lµm bµi tèt !

GV: NguyÔn Thanh S¬n
16