Giải hệ phương trình bằng phương pháp đạo hàm

KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM
A. MỤC TIÊU BÀI GIẢNG
 Dành cho các học sinh ôn thi ĐH, ôn thi HSG
 Tổng kết các dạng bài tập về hệ sử dụng phương pháp đạo hàm ( hàm số)
 Định hướng cách tiếp cận 1 bài hệ bằng phương pháp đạo hàm
B. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 1: Giả sử hàm số
()y f x
là đơn điệu trên khoảng
( , )ab
và
, ( , )x y a b
thì
( ) ( )f x f y x y  
.
Tính chất 2: Giả sử
()fx
là hàm số đồng biến trên khoảng
( , )ab
và
()gx
là hàm số nghịch biến trên
khoảng
( , )ab
, khi đó nếu phương trình
( ) ( )f x g x
có nghiệm trên khoảng
( , )ab
thì nghiệm đó là

duy nhất.
Nhận xét: Nếu
()fx
là hàm số đơn điệu trên khoảng
( , )ab
thì phương trình
()f x c
nếu có nghiệm
trên khoảng
( , )ab
thì nghiệm đó là duy nhất.
Tính chất 3: Cho hàm số
()y f x
trên khoảng
( , )ab
. Nếu phương trình
'( ) 0fx
có
1n

()nN
nghiệm thuộc
( , )ab
thì phương trình
( ) 0fx
có nhiều nhất n nghiệm thuộc
( , )ab
.
C. PHÂN LOẠI HỆ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
Dạng 1: Giải hệ bằng phƣơng pháp sử dụng hàm đặc trƣng

Kiểu 1: Một phƣơng trình của hệ có dạng phƣơng trình đặc trƣng
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

22
3 3 3
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)
3 ( 4) (( 1) 0
x y x x y y
x x x y x y

       


      



Giải:
Ta viết phương trình 2 về dạng sau:
 
3 3 3 3
1 ( 1) 3 ( 1) ( ) 3( )x y x y x y x x          
(*)
Xét hàm đại diện
3
( ) 3 ( )f t t t t R  
, khi đó f’(t) = 3t
2
+ 3 > 0.
Vậy hàm số đồng biến trên R.

Phương trình (*) tương đương với
3 3 3 2
( 1) ( ) 1 1( 0)f x y f x x y x y x x x             




Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0
( , )
4 2 3 4 7
x x y y
x y R
x y x

    



   



Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
1.





22
2
1 . 4 2
( , )
3
1
4
x x y y
x y R
x y x

    




  


2. c)
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 1 0
x y y x
x x y y

    



     


Đs:
(1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0).

3.
3 2 3 2
22
3 9 22 3 9
( , )
1
2
x x x y y y
x y R
x y x y

     



   



4.
3
2

2
.
log log 4 10
2
xy
e e x y
x
y

  





Đs:
 
2;2 .

5.
5 4 10 6
2

4 5 8 6
x xy y y
xy

  



   


Đs:
 
1; 1 .

6.
 
4
4
22
1 1 2
( , )
2 1 6 1 0
x x y y
x y R
x x y y y

     



     



7.

Kiểu 2: Biến đổi 2 phƣơng trình của hệ để đƣa về hàm đặc trƣng

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2( 1) (4)
1 (5)
x y x y
xy
e e x
e x y



  






Lời giải
Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với

1 (4')
1 (5')
xy
xy
e x y
e x y



  









Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta được
( ) ( ).
x y x y
e x y e x y

    
(6)
Xét hàm số
( ) ( )
t
f t e t t R  
, ta có
'( ) 1 0
t
f t e  
nên
()ft
là hàm số đồng biến trên
R

Theo tính chất 1, phương trình (6)
( ) ( ) 0.f x y f x y x y x y y         

Với
0y 
thay vào (4), ta có :
10
x
ex  
(7)
Xét hàm số
( ) 1,
x
g x e x  
với
'( ) 1
x
g x e
thì
'( ) 0 0.g x x  

Lập bảng biến thiên

x


0


'( )gx

- 0 +

()gx



Từ bảng biến thiên, ta suy ra
( ) 0gx
, dấu

xảy ra khi và chỉ khi
0.x 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(0; 0)
.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
23
23
log (1 3cos ) log (sin ) 2 (8)
log (1 3sin ) log (cos ) 2 (9)
xy
yx
  


  


Lời giải
Điều kiện:
cos 0

sin 0
x
y






Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có:

2 3 2 3
log (1 3cos ) log cos log (1 3sin ) log sinx x y y    
(10)
Xét hàm số
33
( ) log (1 3 ) log ( 0)f t t t t   
, ta có:






0



'
31

( ) 0 ( 0)
(1 3 )ln2 ln3
f t t
tt
    


Vậy theo tính chất 1, phương trình
(cos ) (sin ) cos sinf x f y x y  
.
Thay
sin cosyx
vào (8), ta có:

23
23
log (1 3cos ) log (cos ) 2
log (1 3cos ) log (9cos ) (11)
xx
xx
  
  
.
Đặt
2
3
3cos 2 1
3cos 2 1
log (1 3cos )
log 9cos

9cos 3
t
t
t
x
x
xt
xt
x

  


   






.
Vậy phương trình (11) tương đương với
1
3(2 1) 3 3 2 1 0
t t t t
     
(12)
Xét
1
( ) 3 2 1

tt
gt

  
, ta có
'1
( ) 3 ln3 2 ln2.
tt
gt



Khi đó
3
2
3 3ln2 3ln2
'( ) 0 log ( )
2 ln3 ln3
t
g t t

    


. Theo tính chất 3, phương trình (12) có nhiều nhất hai
nghiệm. Dễ thấy (12) có hai nghiệm là
1
2
t
t






.
+) Nếu
1t 
thì
2
1
log (1 3cos ) 1 cos
3
xx   
, từ đó
1
sin
3
y 
.
Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm

1 1 1 1
(arccos 2 , arcsin 2 ), (arccos 2 , arcsin 2 ) ( ,
3 3 3 3
k m k m k m
    
     Z
)

1 1 1 1
( arccos 2 , arcsin 2 ), ( arccos 2 , arcsin 2 ) ( , )
3 3 3 3
k m k m m k
    
       Z

+) Nếu
2t 
thì
2
log (1 3cos ) 2 cos 1,xx   
từ đó
sin 1y 
.
Trong trường hợp này hệ có nghiệm
( 2 , 2 ) ( , ).
2
k m k m


Z

Bài tập luyện tập:
Giải các hệ phƣơng trình sau


1.
21
21

2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    



    

Đs:
(1,1)

2.
Dạng 2: Đƣa một phƣơng trình của hệ về phƣơng trình 1 ẩn và sử dụng đạo hàm
Ví dụ 5: (Thi thử trƣờng Ams-lần 2) Giải hệ phƣơng trình


2
1
43
1 1 9( ) 2
1
42
2

x
xy
x y x y x y



      









Ví dụ 6: Giải hệ phương trình

12
2
(1 4 )5 1 3 (6)
1
3 1 2 (7)
x y x y x y
x y y y
x
    

  



   



Lời giải
Biến đổi phương trình (6) về dạng:
14
5[ ] 1 9.3
55
xy
xy
xy




  



Đặt
t x y
, khi đó phương trình trên có dạng:
14
5 1 9.3
55
tt
t


   
  

   
   



Dễ thấy vế trái là hàm số nghịch biến và vế phải là hàm số đồng biến nên theo tính chất 2 phương trình có nghiệm
duy nhất
0t 
.
Vậy
yx
, thay vào (7), ta có:
2
1
3 1 2x x x x
x
   

Chia cả hai vế cho x ta được
11
3 2 0xx
xx
    
(8)
Đặt
1
( 0)u x u

x
  
, thì
2
1
(8) 3 2 0
2
u
uu
u


    






Với
15
2
1
15
2
x
u
x












. Với
25
2
25
x
u
x








Vậy hệ có 4 nghiệm
1 5 1 5 1 5 1 5
( ; ), ( ; ), (2 5; 2 5), (2 5; 2 5)
2 2 2 2
   
   

Bài tập luyện tập tổng hợp
Giải các hệ phƣơng trình sau

1) Giải hệ phương trình:

2
1
43
1 1 9( ) 2
1
42
2
x
xy
x y x y x y



      









2) Giải hệ phương trình

2 1 1
( , )
3 2 4
x y x y
x y R
xy

    







3) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 2 2
2 2 2
6 4 13
4 10 8 4 40
x y a x y
x y a x y a

    

      


4) Giải hệ phương trình
4 3 1 0

4 (1 )(1 ) 6 1 1 0
x y y
x y x

   


     



5) Giải hệ phương trình
7 2 4
2 2 5 8 2
x y x y
x y x

   


   



6) Giải hệ phương trình







22
2
1 . 4 2
( , )
3
1
4
x x y y
x y R
x y x

    




  


7) giải hệ phương trình
22
2
2
11
x y x y x xy y
x x y x

     



    



8) Giải hệ phương trình
3 2 3 2
22
3 9 22 3 9
( , )
1
2
x x x y y y
x y R
x y x y

     



   



9) Giải hệ phương trình

2
2
22
3.4 6 2.3

( , )
4 6 3
log log 3
x x x
y y y
x y R
xy









10) Giải hệ phương trình
2
3 2 2 3
5 3 3
3
x y x xy
x x y y

  

  


11) Giải hệ phương trình

2
1 1 4( ) 3
3
2
2
x y x y x y
xy

      






12) Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
( 2 )( 2 )
x y x x y
x y y y x y x


  


    



13) giải hệ phương trình
10 6 5 4
2
22
5 2 1 6
x x y x y
xy

  


   



14) giải hệ phương trình


2
22
30
( , )
( 1) 3( 1) 2( 2 ) 0
x xy x
x y P
x y xy x y y

   




      



15)
2 2 2 2
2
( )( 3) 3( ) 2
( , )
4 2 16 3 8
x y x xy y x y
x y R
x y x

      



    



16) Giải Hpt
2 2 2
3 3 3
log 3 log log
log 12 log log
x y y x

x x y y
  


  


17)
 
2
32
3 2 2
4 8 3 12 4 0
4 3 4 36 0
x y xy y
x x xy y

    


   



1
10
2
18)
1
22

1
xy
xy
xy
xy

   





  





 
 
 
 
22
22
6 6 8
19)
3 8 6
x x y x y
y x y x y


   


   



20
3 6.2 11 4
2 4.3 7 9
x y y
y x x

  

  


21
   
 
2
1 1 1 6
2 1 4
x x y y
x x y

     



   



22


2
1
2013
1
( 0, 0)
2 4 .log 0
xy
y
x
y
xy
x












18)
 
 
 
2 2 3
2
22
5 4 3 2 0
( , )
2
x y xy y x y
x y R
xy x y x y

    



   



19)
 
4
19 20
22
y x y
x x y


  


  



20)
 
  
2
2 1 2 1
( , )
2
2 3 2 4
xy
xy
x y R
x y x y x y



   



    


21)
 
2 2 2
2 1 0
2 4 5 0
y x y
x x y y m
    

     


22)
 
 
  
2
22
4 4 4 51 3 0
( , )
2 7 1 0
x xy y x y
x y R
x x y

     



   




23)
 
     
2
2 2 2
2 .3 3 6 3
( , )
log 1 log 2 2 2 1 log
x x x x
x y R
x xy y






    



24)
23
23
log 3 5 log 5
3 log 1 log 1
xy

xy

  


   



25)
22
22
14 15 4 24 12 0
7 12 4 36 8 32 6
x xy y x y
x x xy x x

    


       



26)
 
22
4 8 2
3 3 2 1
xy y x x

x y y

   


   



27)




22
1 1 1
( , )
6 2 1 4 6 1
x x y y
x y R
x x xy xy x

    




    


28)
2
2
2
log 2
4 1 4 0
y
x
x xy y





   



29)
22
22
2 12
12
x y x y
y x y

   







30)




 
22
1 1 1
2 1 1 3
x x y y
x y x

    



   




31)
 
32
42
42
( , )

3 4 2 3
x x y
x y R
x y x y x

  



  



32)
 
 
3
2
4 3 1 2 1 0
2 2 1 0
x x y y
x x y y

    


    



33)
2
33
1
2 4 2
4 2 6 2
xy
x
y x y
x y x y







   


34)




22
3
23
4 1 2
12 10 2 2 1

x x y y
y y x

    



   
