Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ chứa tham số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (473.15 KB, 10 trang )

Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ


A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

 Cho phương trình


; 0
f x m

. Ta thường biến đổi về dạng


F x m

hoặc đặt ẩn phụ để đưa về
dạng


G t m

. Sau đó, lập bảng biến thiên của hàm số



F x
hoặc


G t
trên miền xác định và dựa
vào bảng biến thiên của hàm số đề biện luận số nghiệm của phương trình.
 Định lý 1: Nếu hàm số


y f x
 luôn đồng biến hay nghịch biến trên


;
a b
thì phương trình


0
f x

có tối đa một nghiệm trên khoảng


;
a b
.
 Định lý 2: Nếu hàm số



y f x
 liên tục trên


;
a b





. 0
f a f b

thì phương trình


0
f x


ít nhất một nghiệm trong khoảng


;
a b
.


B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:
   
2 1
a x a x a x x a x      
Giải:
Điều kiện:
 
 
   
0
1'
0
0 1''
0
a x
a x a
a x
x a x
x a x
  

  
 
  
 
 




 


Từ điều kiện


1' 0
a
 

 Nếu
0
a

thì (1) trở thành:
2
2
x x x x
     . Phương trình này có nghiệm duy nhất
0.
x


 Nếu
0
a

thì từ
 
1''

0
x a
x
 






 Nếu
x a
 
thì (1) xảy ra
0
a
 
nhưng vì
0
a

nên
.
x a
 

 Khi
0
0
x

a





thì 2
a x a x
  
nên phương trình (1) tương đương với:


 
2
2
a x a x a x x a x
      

Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

     
2 2
4 4
a x a x a x a x x a x
         




4 4 0
a x a x a x x
      
(do 0, 0
a x a x a x
     
)
 
2 2
16 32
x a a x a x x
      

2 2
32 32
a x x a
    


2 2 2 2 2 2
32 32 64
a x x a ax
     (vì
0
a

nên
32 0

a x a x
   
)
2 2 2
32 64 0
x x ax
   


1025 64 0
x x a
  
0
64
1025
x
a
x








Vậy: + Nếu
0
a


thì (1) vô nghiệm.
+ Nếu
0
a

thì (1) có nghiệm
0
64
1025
x
a
x







Ví dụ 2 Tìm
m
để phương trình
2 3
2 2 1 3 2 (2)
x mx x x   
có 2 nghiệm thực phân biệt.
Giải:
Điều kiện bài toán:
3
2 0 0

x x x
   

Ta có:
2 3
2 2 1 3 2 (2')
x mx x x   
2 3
2 2 1 3 2
mx x x x
    

Nhận thấy
0
x

không là nghiệm của (2’)
1 1
(2') 2 2 3 2m x x
x x
    

Đặt
1
2
x t
x
 
, vì
1

0 2 2 2
   x x
x
(theo bất đẳng thức Cosi)
Xét
1
( ) 2t f x x
x
  
, có
2
2
2 1 1
' 0
2
x
y x
x

    
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bảng biến thiên:
( )
t f x



0
x
y'
y
1
2

0



22

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi
2 2
t 
thì phương trình có hai nghiệm
0
x

.
(2’) trở thành
1 3
( 2 2) (2")
2 2
m t t t  
Để (2’) có 2 nghiệm thì (2”) có một nghiệm
2 2
t 

.
Xét hàm số
1 3
( )
2 2
y g t t t
   , có
1 3 4 6 6
' 0
2 2
4 4
t
y t
t t

     
Bảng biến thiên
( )
y g t



x
y'
y



2
5

6
0
22

883
4
2

Vậy với
4
3 8
2
2
m   thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3: Cho phương trình:
3
4
1 2 (1 ) 2 (1 ) (3)
x x m x x x x m       .
Tìm
m
để phương trình (3) có nghiệm duy nhất.
Giải:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Điều kiện:

0 1
x
 

Nhận xét: Nếu
0
x
là nghiệm của phương trình (3) thì
0
1
x

cũng là nghiệm của phương trình (3).
(3)

có nghiệm duy nhất
0 0 0
1
1
2
x x x
    

Thay
0
1
2
x

vào phương trình (3) ta được:

3
4
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
m m
   
      
   
   

3 3
0
1 1
2 2 0 1
2 2
1
m
m m m m m
m



        


 


+)Với

0
m

thì (3) trở thành:


2
4 4
4
1 2 (1 ) 0 1 0
x x x x x x
        

4 4
1
1
1
0
2
x x
x x x
x
 

     




Vậy

0
m

thỏa mãn.
+)Với
1
m
 
thì (3) trở thành:


2
4 4
4
1 2 (1 ) 2 (1 ) 1 1 1 2 (1 ) 0
x x x x x x x x x x
              







2 2 2
4 4 4 4
1 1 2 (1 ) 0 1 1 0
x x x x x x x x x x
               


4 4
1
1 0
1
2
1
2
1 0
2
x
x x
x
x x
x


 
  
 
   
 
  







Vậy

1
m
 
thỏa mãn.
+)Với
1
m

thì (3) trở thành:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang




2
4 4
4
1 2 (1 ) 2 (1 ) 1 1 1 2 (1 )
x x x x x x x x x x
            

   
2 2
4 4
0
1 1

1
x
x x x x
x


      




Vậy
1
m

không thỏa mãn.
Kết luận: Với
0
m

hoặc
1
m
 
thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4: Tìm
a
để bất phương trình sau có nghiệm:



 
3 2
3 1 1 4
x x a x x    

Giải:
Điều kiện:
1
x

, khi đó:
 


3 2
1
4 3 1
1
x x
x x a
x x
 
   
 




3 2
3 1 1

x x x x a
     

Xét hàm số
 




3 2
3 1 1
f x x x x x
    

 
 
 
 
2 3 2
1 1
3 6 1 3 1 0
2 2 1
f x x x x x x
x x
 

         
 

 

với
1
x
 
.
(Vì
1
x

thì
2 3 2
3 6 0; 1 0; 3 1 0
x x x x x x
       

1 1
0
2 2 1x x
 

)


f x
 đồng biến trên


1;






1 3
f x f
  

 




3 2
lim lim 3 1 1
x x
f x x x x x
 
 
      
 
;


f x
liên tục trên


1;

.




4
có nghiệm khi
3
a

.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
3
a

.
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình:
 
 
2 2
4 3 1 5
5'
x xy y x
x y a

   


 




Xác định
a
để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Giải:
Từ


5'
y x a
  
thế vào (1) ta được:
   
2
2
4 3 1
x x x a x a x
     

 
 
2
2
2 2
1

2 2 3 1
x
x ax a x
 




   


   
2 2
1
2 1 3 1 0 *
x
x a x a
 



    


Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt

(*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn
1

.

Đặt




2 2
2 1 3 1
f x x a x a
    

Điều kiện trên được thỏa mãn
1 2
1
x x
   

 
0
1 0
1 0
2
f
S



 

  




 

 


2
2
2
1 3 1 0
3 2 2 0
1 1 0
a a
a a
a

   


    


  



1 7 7 1
3 3
2

a
a

  
 






1 7 7 1
3 3
a
  
  
Vậy các giá trị của
a
cần tìm là:
1 7 7 1
3 3
a
  
  .
Ví dụ 6: Định
a
để hệ sau có nghiệm:
(6)
x y a
x y xy a


 


  



Giải:
Điều kiện:
0; 0
x y
 

Đặt
0
0
X x
Y y

 


 



Khi đó hệ (6) trở thành:
2 2
X Y a

X Y XY a
 


  

 
2
3
X Y a
X Y XY a
 




  


 
2
1
3
X Y a
XY a a
 





 



,
X Y

là nghiệm của phương trình:
 
 
2 2
1
0 **
3
t at a a   
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Hệ phương trình đã cho có nghiệm

phương trình (**) có nghiệm không âm.
1 2
0
t t
  
0
0

0
P
S
 


 




2
2
4 0
0
0
a a
a a
a

 

  




1 4
0
a

a
 






Vậy các giá trị của
a
cần tìm là
0
a

hoặc
1 4
a
 
.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:
1.
2
1
x m x
  

2.

a x a a x
   

3.
     
2 2
3 2 2
3 3
1
x a m x a m x a
     

4.
1 1
2 4
x x x a
    

ĐS: 1. + Nếu
0 1
1
m
m
 


 

thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu

1 0
1
m
m
  




thì phương trình có nghiệm
2
1
2
m
x
m
 
 .
2. + Nếu
0
a

thì phương trình có nghiệm
0
x

.
+ Nếu
2
4

0
a
a
a











thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu
2 4
a
 
thì phương trình có nghiệm
2
4
2
a
x a a
  
.
3. + Nếu
0

a

thì phương trình có nghiệm đúng với
x
 

.
+ Nếu
1
0
m
a





thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu
1
0
m
a





thì phương trình có nghiệm
3

3
1
am a
x
m



.
4. + Nếu
1
4
a

thì phương trình vô nghiệm.
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

+ Nếu
1
4
a

thì phương trình có nghiệm
x a a
  .
Bài 2: Định

m
để phương trình sau:
1. 6 9 6 9
6
x m
x x x x

      có nghiệm.
2.
2
8 1
x x m x
   
có hai nghiệm phân biệt.
3.
2
2 4 3
x mx m x m
   
có đúng một nghiệm.
4.
2
4 4
x x x x m
    
có nghiệm.
5.
 
2
2 2 2

2
x
x x x m
x

     

có hai nghiệm phân biệt.
6.


2 2
2 2 2 3 2 0
x x x x m
      
có hai nghiệm phân biệt.
7.
  
2
1 3 8 2 2
x x x x m
      có nghiệm.
8.
2
4 5 4
x x m x x
    
có nghiệm.
9.
2 2

1 2 1 2
x x x x m
     
có nghiệm.
10.


2 3 2 3 5
x x m x
    
có nghiệm.
11.
4
2 2
2 1 1
x x x x m
     
có nghiệm.
12.


2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1 3
m x x x x x
          
có nghiệm.
ĐS: 1.
27
m


2.
6 10
m
 

3.
3
0
2
m
 
4.
2 2 2 2
m
  

5.
2 2 2 2
m
  
6.


1 5
2 2 2
3 3
m
  

7.

1 11
2 8
m
  
8.
6
1
5
m
 

9.
2 2
m
 
10.
1 2
5
2
m
m

 






11.

3
m

12.
7
2 2 1
3
m
  

Bài 3: Tìm
m
để phương trình sau:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

1.


2 2 4 2 2
1 1 2 1 1 1
m x x x x x
         
vô nghiệm.
2.
2 2
4 2 1 4 2 1 2

x x x x m
      có nghiệm.
3.
4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
     
có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
4.
2
2 2 1
x mx x
   
có hai nghiệm thực phân biệt.
ĐS: 1.
2 1 1
m
  
2.
1 1
2 2
m
  

3.
4
2 6 2 6 3 2 6
m
   
4.

9
2
m



Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số
m
, phương trình:
2
2 8 ( 2)
x x m x
   

hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 5: Tìm tham số
m
để bất phương trình:
1.
.2 2 3 1
x x
m m
   
có nghiệm.
2.


 
2
2 2 1 2 0

m x x x x
     
có nghiệm .
ĐS: 1.
1
2 3 2
m 

2.
2
3
m


Bài 6: Xác định
m
để bất phương trình
   
2 2 2
2 2 2
9 2 .6 1 .4 0
x x x x x x
m a m
  
    
nghiệm đúng với
x


thỏa mãn

1
x

. ĐS:
3
m


Bài 7: Cho hệ phương trình:
 
16 7 10 6
x y a
x x a x y a

 


    



Tìm
a
để hệ có 3 nghiệm phân biệt. ĐS:
25
1
9
a 
Bài 8: Định
a

để những hệ sau có nghiệm:
1.
2 2
2 1
x y xy
x y
a
y x

  


 


ĐS:
2
2
a
a
 





2.
2 1
2 1
x y m

y x m

  


  


ĐS:
19 5
8 2
m
 

Bài 9: Định
a
để những hệ sau có nghiệm duy nhất:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

1.
2
2
2
2
x y m
y x m


  


  


ĐS:
2
m 

2.
1 1
1 1
x y m
x y m

   


   


ĐS:
2 1
m
 

3.
2 1

2 1
x y m
y x m

  


  


ĐS:
19
2
8
5
2
m
m

 







×