Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ chứa tham số

Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ


A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

 Cho phương trình


; 0
f x m

. Ta thường biến đổi về dạng


F x m

hoặc đặt ẩn phụ để đưa về
dạng


G t m

. Sau đó, lập bảng biến thiên của hàm số



F x
hoặc


G t
trên miền xác định và dựa
vào bảng biến thiên của hàm số đề biện luận số nghiệm của phương trình.
 Định lý 1: Nếu hàm số


y f x
 luôn đồng biến hay nghịch biến trên


;
a b
thì phương trình


0
f x

có tối đa một nghiệm trên khoảng


;
a b
.
 Định lý 2: Nếu hàm số



y f x
 liên tục trên


;
a b
và




. 0
f a f b

thì phương trình


0
f x

có
ít nhất một nghiệm trong khoảng


;
a b
.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:
   
2 1
a x a x a x x a x      
Giải:
Điều kiện:
 
 
   
0
1'
0
0 1''
0
a x
a x a
a x
x a x
x a x
  

  
 
  
 
 




 


Từ điều kiện


1' 0
a
 

 Nếu
0
a

thì (1) trở thành:
2
2
x x x x
     . Phương trình này có nghiệm duy nhất
0.
x


 Nếu
0
a

thì từ
 
1''

0
x a
x
 






 Nếu
x a
 
thì (1) xảy ra
0
a
 
nhưng vì
0
a

nên
.
x a
 

 Khi
0
0
x

a





thì 2
a x a x
  
nên phương trình (1) tương đương với:


 
2
2
a x a x a x x a x
      

Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

     
2 2
4 4
a x a x a x a x x a x
         



4 4 0
a x a x a x x
      
(do 0, 0
a x a x a x
     
)
 
2 2
16 32
x a a x a x x
      

2 2
32 32
a x x a
    


2 2 2 2 2 2
32 32 64
a x x a ax
     (vì
0
a

nên
32 0

a x a x
   
)
2 2 2
32 64 0
x x ax
   


1025 64 0
x x a
  
0
64
1025
x
a
x








Vậy: + Nếu
0
a


thì (1) vô nghiệm.
+ Nếu
0
a

thì (1) có nghiệm
0
64
1025
x
a
x







Ví dụ 2 Tìm
m
để phương trình
2 3
2 2 1 3 2 (2)
x mx x x   
có 2 nghiệm thực phân biệt.
Giải:
Điều kiện bài toán:
3
2 0 0

x x x
   

Ta có:
2 3
2 2 1 3 2 (2')
x mx x x   
2 3
2 2 1 3 2
mx x x x
    

Nhận thấy
0
x

không là nghiệm của (2’)
1 1
(2') 2 2 3 2m x x
x x
    

Đặt
1
2
x t
x
 
, vì
1

0 2 2 2
   x x
x
(theo bất đẳng thức Cosi)
Xét
1
( ) 2t f x x
x
  
, có
2
2
2 1 1
' 0
2
x
y x
x

    
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bảng biến thiên:
( )
t f x


0
x
y'
y
1
2

0



22

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi
2 2
t 
thì phương trình có hai nghiệm
0
x

.
(2’) trở thành
1 3
( 2 2) (2")
2 2
m t t t  
Để (2’) có 2 nghiệm thì (2”) có một nghiệm
2 2
t 

.
Xét hàm số
1 3
( )
2 2
y g t t t
   , có
1 3 4 6 6
' 0
2 2
4 4
t
y t
t t

     
Bảng biến thiên
( )
y g t



x
y'
y



2
5

6
0
22

883
4
2

Vậy với
4
3 8
2
2
m   thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3: Cho phương trình:
3
4
1 2 (1 ) 2 (1 ) (3)
x x m x x x x m       .
Tìm
m
để phương trình (3) có nghiệm duy nhất.
Giải:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Điều kiện:

0 1
x
 

Nhận xét: Nếu
0
x
là nghiệm của phương trình (3) thì
0
1
x

cũng là nghiệm của phương trình (3).
(3)

có nghiệm duy nhất
0 0 0
1
1
2
x x x
    

Thay
0
1
2
x

vào phương trình (3) ta được:

3
4
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
m m
   
      
   
   

3 3
0
1 1
2 2 0 1
2 2
1
m
m m m m m
m



        


 


+)Với

0
m

thì (3) trở thành:


2
4 4
4
1 2 (1 ) 0 1 0
x x x x x x
        

4 4
1
1
1
0
2
x x
x x x
x
 

     




Vậy

0
m

thỏa mãn.
+)Với
1
m
 
thì (3) trở thành:


2
4 4
4
1 2 (1 ) 2 (1 ) 1 1 1 2 (1 ) 0
x x x x x x x x x x
              







2 2 2
4 4 4 4
1 1 2 (1 ) 0 1 1 0
x x x x x x x x x x
               

4 4
1
1 0
1
2
1
2
1 0
2
x
x x
x
x x
x


 
  
 
   
 
  







Vậy

1
m
 
thỏa mãn.
+)Với
1
m

thì (3) trở thành:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang




2
4 4
4
1 2 (1 ) 2 (1 ) 1 1 1 2 (1 )
x x x x x x x x x x
            

   
2 2
4 4
0
1 1

1
x
x x x x
x


      




Vậy
1
m

không thỏa mãn.
Kết luận: Với
0
m

hoặc
1
m
 
thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4: Tìm
a
để bất phương trình sau có nghiệm:



 
3 2
3 1 1 4
x x a x x    

Giải:
Điều kiện:
1
x

, khi đó:
 


3 2
1
4 3 1
1
x x
x x a
x x
 
   
 




3 2
3 1 1

x x x x a
     

Xét hàm số
 




3 2
3 1 1
f x x x x x
    

 
 
 
 
2 3 2
1 1
3 6 1 3 1 0
2 2 1
f x x x x x x
x x
 

         
 

 

với
1
x
 
.
(Vì
1
x

thì
2 3 2
3 6 0; 1 0; 3 1 0
x x x x x x
       
và
1 1
0
2 2 1x x
 

)


f x
 đồng biến trên


1;






1 3
f x f
  

 




3 2
lim lim 3 1 1
x x
f x x x x x
 
 
      
 
;


f x
liên tục trên


1;

.




4
có nghiệm khi
3
a

.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
3
a

.
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình:
 
 
2 2
4 3 1 5
5'
x xy y x
x y a

   


 



Xác định
a
để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Giải:
Từ


5'
y x a
  
thế vào (1) ta được:
   
2
2
4 3 1
x x x a x a x
     

 
 
2
2
2 2
1

2 2 3 1
x
x ax a x
 




   


   
2 2
1
2 1 3 1 0 *
x
x a x a
 



    


Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt

(*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn
1

.

Đặt




2 2
2 1 3 1
f x x a x a
    

Điều kiện trên được thỏa mãn
1 2
1
x x
   

 
0
1 0
1 0
2
f
S



 

  




 

 


2
2
2
1 3 1 0
3 2 2 0
1 1 0
a a
a a
a

   


    


  



1 7 7 1
3 3
2

a
a

  
 






1 7 7 1
3 3
a
  
  
Vậy các giá trị của
a
cần tìm là:
1 7 7 1
3 3
a
  
  .
Ví dụ 6: Định
a
để hệ sau có nghiệm:
(6)
x y a
x y xy a


 


  



Giải:
Điều kiện:
0; 0
x y
 

Đặt
0
0
X x
Y y

 


 



Khi đó hệ (6) trở thành:
2 2
X Y a

X Y XY a
 


  

 
2
3
X Y a
X Y XY a
 




  


 
2
1
3
X Y a
XY a a
 





 



,
X Y

là nghiệm của phương trình:
 
 
2 2
1
0 **
3
t at a a   
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Hệ phương trình đã cho có nghiệm

phương trình (**) có nghiệm không âm.
1 2
0
t t
  
0
0

0
P
S
 


 




2
2
4 0
0
0
a a
a a
a

 

  




1 4
0
a

a
 






Vậy các giá trị của
a
cần tìm là
0
a

hoặc
1 4
a
 
.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:
1.
2
1
x m x
  

2.

a x a a x
   

3.
     
2 2
3 2 2
3 3
1
x a m x a m x a
     

4.
1 1
2 4
x x x a
    

ĐS: 1. + Nếu
0 1
1
m
m
 


 

thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu

1 0
1
m
m
  




thì phương trình có nghiệm
2
1
2
m
x
m
 
 .
2. + Nếu
0
a

thì phương trình có nghiệm
0
x

.
+ Nếu
2
4

0
a
a
a











thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu
2 4
a
 
thì phương trình có nghiệm
2
4
2
a
x a a
  
.
3. + Nếu
0

a

thì phương trình có nghiệm đúng với
x
 

.
+ Nếu
1
0
m
a





thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu
1
0
m
a





thì phương trình có nghiệm
3

3
1
am a
x
m



.
4. + Nếu
1
4
a

thì phương trình vô nghiệm.
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

+ Nếu
1
4
a

thì phương trình có nghiệm
x a a
  .
Bài 2: Định

m
để phương trình sau:
1. 6 9 6 9
6
x m
x x x x

      có nghiệm.
2.
2
8 1
x x m x
   
có hai nghiệm phân biệt.
3.
2
2 4 3
x mx m x m
   
có đúng một nghiệm.
4.
2
4 4
x x x x m
    
có nghiệm.
5.
 
2
2 2 2

2
x
x x x m
x

     

có hai nghiệm phân biệt.
6.


2 2
2 2 2 3 2 0
x x x x m
      
có hai nghiệm phân biệt.
7.
  
2
1 3 8 2 2
x x x x m
      có nghiệm.
8.
2
4 5 4
x x m x x
    
có nghiệm.
9.
2 2

1 2 1 2
x x x x m
     
có nghiệm.
10.


2 3 2 3 5
x x m x
    
có nghiệm.
11.
4
2 2
2 1 1
x x x x m
     
có nghiệm.
12.


2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1 3
m x x x x x
          
có nghiệm.
ĐS: 1.
27
m


2.
6 10
m
 

3.
3
0
2
m
 
4.
2 2 2 2
m
  

5.
2 2 2 2
m
  
6.


1 5
2 2 2
3 3
m
  

7.

1 11
2 8
m
  
8.
6
1
5
m
 

9.
2 2
m
 
10.
1 2
5
2
m
m

 






11.

3
m

12.
7
2 2 1
3
m
  

Bài 3: Tìm
m
để phương trình sau:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

1.


2 2 4 2 2
1 1 2 1 1 1
m x x x x x
         
vô nghiệm.
2.
2 2
4 2 1 4 2 1 2

x x x x m
      có nghiệm.
3.
4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
     
có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
4.
2
2 2 1
x mx x
   
có hai nghiệm thực phân biệt.
ĐS: 1.
2 1 1
m
  
2.
1 1
2 2
m
  

3.
4
2 6 2 6 3 2 6
m
   
4.

9
2
m



Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số
m
, phương trình:
2
2 8 ( 2)
x x m x
   
có
hai nghiệm thực phân biệt.
Bài 5: Tìm tham số
m
để bất phương trình:
1.
.2 2 3 1
x x
m m
   
có nghiệm.
2.


 
2
2 2 1 2 0

m x x x x
     
có nghiệm .
ĐS: 1.
1
2 3 2
m 

2.
2
3
m


Bài 6: Xác định
m
để bất phương trình
   
2 2 2
2 2 2
9 2 .6 1 .4 0
x x x x x x
m a m
  
    
nghiệm đúng với
x


thỏa mãn

1
x

. ĐS:
3
m


Bài 7: Cho hệ phương trình:
 
16 7 10 6
x y a
x x a x y a

 


    



Tìm
a
để hệ có 3 nghiệm phân biệt. ĐS:
25
1
9
a 
Bài 8: Định
a

để những hệ sau có nghiệm:
1.
2 2
2 1
x y xy
x y
a
y x

  


 


ĐS:
2
2
a
a
 





2.
2 1
2 1
x y m

y x m

  


  


ĐS:
19 5
8 2
m
 

Bài 9: Định
a
để những hệ sau có nghiệm duy nhất:
Khóa học: Phương trình vô tỷ ôn thi đại học


Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

1.
2
2
2
2
x y m
y x m


  


  


ĐS:
2
m 

2.
1 1
1 1
x y m
x y m

   


   


ĐS:
2 1
m
 

3.
2 1

2 1
x y m
y x m

  


  


ĐS:
19
2
8
5
2
m
m

 





