15 Đề Ôn Tập Kiểm Tra Giữa Học Kì 2 Môn Toán 12 (70% Tn + 30% Tl).Pdf

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
MƠN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 01
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm)
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có một nguyên hàm trên khoảng K là F ( x ) .

Câu 2:

Tìm khẳng định đúng.
x ) F ( x ) + C , ∀x ∈ K , với C ∈  .
A. f ′ (=

x ) f ( x ) + C , ∀x ∈ K , với C ∈ 
B. F ′ (=

′ ( x ) F ( x ) , ∀x ∈ K .
C. f =

D. F ′=
( x ) f ( x ) , ∀x ∈ K .

Biết

5

∫

f ( x ) dx = 4 . Khi đó

∫ 2 f ( x ) dx

bằng

1

1

A. 7.
Câu 3:

5

B. 8.

C.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y =
A.

1 3
x + 1 + C.
3
2

∫

B.

x2
x3 + 1

2 3
x + 1 + C.
3

f ( x ) dx = 4. Tính

4
.
3

D. 64.

là:

x3 + 1 + C.

C.

D.

3 3
x + 1 + C.
2

1

∫ f ( x ) dx.

Câu 4:

Cho hai hàm số

Câu 5:

A. 2
B. −4
C. 4
D. 0
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) . Khẳng định

2

1

nào sau đây đúng?
A.
C.

b

) dx
∫ f ( x=

F ( a ) + F (b)

B.

a
b

−F ( a ) − F (b)
∫ f ( x ) dx =

D.

a

Câu 6:

Câu 8:

Câu 9:

) dx
∫ f ( x=

F (b) − F ( a )

) dx
∫ f ( x=

F ( a ) − F (b)

a
b

a

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình 2 x + y − 3 =
0 . Tọa độ của một

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là:
B. ( 2;1;3)
A. ( 2;1;0 )

Câu 7:

b

Cho

C. ( 2; −1;0 )

9

1

4

0

D. ( 2; −1;3)

=
J ∫ f (5 x + 4)dx.
∫ f ( x)dx = 10. Tính tích phân

A. J = 10.
B. J = 50.
C. J = 2.
D. J = 4.

Trong khơng gian Oxyz , Viết phương trình mặ phẳng đi qua các điểm là hình chiếu của điểm
A(1; 2;3) lần lượt lên các trục Ox, Oy, Oz.
x y z
x y z
A. x − 2 y − 3 z =
B. + + =
C. + + =
D. x + 2 y + 3 z =
1.
1.
0.
1.
1 2 3
1 2 3
Cho

2

∫
1

f ( x)dx = 3 và

2

2

1

1

10. Tính ∫ g ( x)dx.
∫ [3 f ( x) − g ( x)] dx =

A. 17.
B. −1.
C. −4.
D. 1.
Câu 10: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua A (1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến

n ( 2; −1;3) .
A. 2 x − y + 3 z + 9 =
0.

B. x − 2 y − 4 =
0.

C. 2 x − y + 3 z − 4 =
0. D. 2 x − y + 3 z + 4 =
0.

Sưu tầm và biên soạn

Page 1


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Câu 11: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) liên tục trên [ 0;1] , f (1) = 5 và

1

∫ f '( x)dx = 1. Tính

f (0).

0

A. −6.
B. 4.
C. −4.
Câu 12: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y = cos x là

D. 6.

A. − cos x + C.
B. − sin x + C.
C. cos x + C.
D. sin x + C.
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; −2; 4). Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng
(Oxz ) là điểm nào trong các điểm sau?

A. Q(1; −2;0).

B. S (1;0; 4).

C. N (0; −2; 4).

D. P(1;0;0).

Câu 14: Tìm khẳng định đúng.

xdx x sin x + ∫ sin xdx.
∫ x cos=
C. ∫ x cos xdx =
− x sin x − ∫ sin xdx.

A.

xdx x sin x − ∫ sin xdx.
∫ x cos=
D. ∫ x cos xdx =
− x sin x + ∫ sin xdx.

B.

Câu 15: Biết hàm số y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y =
A. 0.

B. e − 1.

C. e.

1
và F (e)= e + 1. Giá trị của F (1) là
x
D. 1.

2

11
1 

Câu 16: Biết I =
a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ . Tính T= a 2 + b3 .
∫1 2  x − x + 2  dx =
1
1
3
8
A. T = .
B. T = .
C. T = .
D. T = .
2
8
8
3


 

Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho u = 2i − 4 j + 2k . Tọa độ của u là
A. ( −2; 4; −2 ) .

B. ( 2; −4; 2 ) .

C. ( −2; 4; −2 ) .

D. (1; −2;1) .

Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
17. Tìm tọa độ tâm I

2

2

2

và bán kính R của mặt cầu ( S ) .
A. I ( 3; −2;3) , R =
17.

B. I ( −3; 2; −3) , R =
17.

17.
C. I ( 3; −2;3) , R =

17.
D. I ( −3; 2; −3) , R =

1
là:
sin 2 x
cos 2 x
− cos 2 x
− cos 2 x
A.
+ cot x + C . B.
− tan x + C . C.
+ cot x + C D. cos 2 x + cot x + C .
2

2
2
Câu 20: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y = 2 x là:

Câu 19: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm =
số y sin 2 x −

A. x ln 2 .

2x
B.
+C .
ln 2

C. 2 x.ln 2 + C .

D. 2 x + C .

Câu 21: Trong không gian Oxy , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 6 ) =
49 . Viết phương trình
2

2

2

mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại điểm A ( −4;1; 4 ) .
A. 6 x + 3 y + 2 z − 17 =
0.

B. 2 x − 5 y − 10 z + 53 =
0.

C. 6 x + 3 y + 2 z + 13 =
0

0.
D. 9 x + 16 z − 73 =

Câu 22: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y = x 3 là
A. 3x 2 + C .

B.

x4
+C .
4

C. x 4 + C .

Sưu tầm và biên soạn

D.

x3
+C
3

Page 2

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Câu 23: Trong khơng gian

Oxy ,

( P ) : 2 x − y + 2 z + 1 =0

cho mặt phẳng

và mặt phẳng

0 . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
(Q ) : 2x − y + 2z + 4 =
1
1
.
D.
5
3
Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) và D ( 2; 2; 2 ) . Gọi M

A. 3.

B. 1.

C.

và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là:
1 1 

A. I (1;1;0 ) .
B. I  ; ;1 .
C. I (1;1;1) .
D. I (1; −1; 2 )
2 2 
2

∫

Câu 25: Cho

−2

f ( x)dx = 1 ,

4

∫

−2

4

f ( x)dx = −4 . Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx .
2

B. I = −3 .

A. I = 3 .

D. I = −5 .

C. I = 5 .

Câu 26: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y =

1
là:
cos 2 2 x

− cot 2 x
tan 2 x
B. cot 2x + C .
C. tan 2x + C .
D.
+C .
+C .
2
2
Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số tuỳ ý thuộc khoảng K sao cho

A.

a < c < b . Khẳng định nào sau đây sai?
A.

a

∫

B.

f ( x)dx = 1 .

a

C.

c

∫
a

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .

b

b

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
∫ f ( x)dx .
c

a

b

b

a

a

D. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .
π

Câu 28: Cho

1

∫
0

6

f ( x ) dx = 6. Tính tích phân I = ∫ f ( 2sin x ) cos xdx.
0

A. 3.

B. 6.

C. −3.

D. −6.

Câu 29: Cho số thực C và hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ( x ) liên tục trên . Tìm khẳng định
đúng.

∫ f ′ ( x )dx = f ( x ) .
C. ∫ f ′ ( x=
)dx f ( x ) + C.

x )dx f ′ ( x ) + C.
∫ f (=
D. ∫ f ( x )dx = f ′ ( x ) .

A.

Câu 30: Cho

1

∫

f ( x ) dx = 2020 và

0

B.

1

∫ g ( x ) dx = 2021, tính
0

A. −4041.

1

∫  f ( x ) − g ( x ) dx.
0

C. 4041.

B. 1.

D. −1.

Câu 31: Xét các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên tập K . Khẳng định nào sau đây sai?

∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx ,
C. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .

A.

∗
B. =
∫ kf ( x ) dx k ∫ f ( x ) dx, ∀x ∈  .

D.

∫ f ( x ) .g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .

Câu 32: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =−
1 2x +
A. 1 − x 2 +

x
+ C.
2

B. x − x 2 − x + C .

1
2 x

là

C. x − x 2 − x + C .

Sưu tầm và biên soạn

D. 1 − x 2 + x + C .

Page 3


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Câu 33: Trong khơng gian ( Oxyz ) cho điểm I ( 6; −3; −2 ) , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
cầu tâm I và đi qua gốc tọa độ O ?
A. ( x + 6 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) =

49.

B. ( x − 6 ) + ( y + 3) + ( z + 2 ) =
49.

C. ( x + 6 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) =
7.

D. ( x + 6 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) =
7.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

−2 và f ( 3) = 2 . Tính I = ∫ f ' ( x ) dx .
Câu 34: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  , f ( −1) =
−1

B. I = 0 .

A. I = 4 .

C. I = 3 .

D. I = −4 .

Câu 35: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1; 2] và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) . Khi đó, hiệu
số F (1) − F ( 2 ) bằng
A.

1

∫ F ( x ) dx .

B.

2

∫ − f ( x ) dx .

C.

1

2

2

∫ − F ( x ) dx .
1

D.

2

∫  f ( x ) dx .
1

II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 36:

(1 điểm ) Tính tích phân

1

∫
0

Câu 37:

3x + 1
dx .
x −5

(1 điểm ) Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường trịn tâm O bán kính R = 1 . Trên đường tròn

(O )

lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vng. Biết diện tích tam giác SAB bằng

Tính thể tích của khối nón.
Câu 38: Tìm họ ngun hàm của hàm số f ( x) =
Câu 39: Tính tích phân

2
.
2

3sin x + 4 cos x
sin x + 2 cos x

1

ln(1 + x)
dx
x2 + 1
0

∫

-----HẾT-----

Sưu tầm và biên soạn

Page 4


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có một nguyên hàm trên khoảng K là F ( x ) .
Tìm khẳng định đúng.
x ) F ( x ) + C , ∀x ∈ K , với C ∈  .
A. f ′ (=

x ) f ( x ) + C , ∀x ∈ K , với C ∈ 
B. F ′ (=

′ ( x ) F ( x ) , ∀x ∈ K .
C. f =

D. F ′=
( x ) f ( x ) , ∀x ∈ K .
Lời giải

Chọn D

Câu 2:

Biết

5

5

1

1

∫ f ( x ) dx = 4 . Khi đó ∫ 2 f ( x ) dx

A. 7.

bằng

B. 8.

C.
Lời giải

Chọn B
5

5

1

1

4
.
3

D. 64.

dx 2 ∫ f ( x ) =
dx 2.4
= 8
∫ 2 f ( x)=

Câu 3:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y =
A.

1 3
x + 1 + C.
3

B.

2 3
x + 1 + C.
3

Chọn B
Tính I = ∫

Đặt u =

x3 + 1

2

x3 + 1 + C.

C.
Lời giải

2

∫

2
u +C
3

f ( x ) dx = 4. Tính

1

2

2
udu
3

∫ f ( x ) dx.

C. 4
Lời giải

Chọn B

∫

3 3
x + 1 + C.
2

1

B. −4

1

D.

2

A. 2

Câu 5:

là:

dx

=

∫ 3 du

Cho hai hàm số

Ta có:

x3 + 1

x 3 + 1 ⇒ u 2 = x 3 + 1 ⇒ 2udu = 3 x 2 dx ⇒ x 2 dx =

Lúc đó:=
I
Câu 4:

x2

x2

D. 0

2

f ( x ) dx =
− ∫ f ( x ) dx =
−4.
1

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) . Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.

b

∫

f ( x=
) dx F ( a ) + F ( b )

B.

C.

−F ( a ) − F (b)
∫ f ( x ) dx =

) dx
∫ f ( x=

D.

a

Chọn B

F (b) − F ( a )

a

a

b

b

b

) dx
∫ f ( x=

F ( a ) − F (b)

a

Lời giải

Sưu tầm và biên soạn

Page 5


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Câu 6:

Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) có phương trình 2 x + y − 3 =
0 . Tọa độ của một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là:
A. ( 2;1;0 )
B. ( 2;1;3)

C. ( 2; −1;0 )

D. ( 2; −1;3)

Lời giải

Chọn A


0 có vectơ pháp tuyến là n = ( A; B; C )
Mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D =
Câu 7:

Cho

9

∫

1

∫ f (5 x + 4)dx.

f ( x)dx = 10. Tính tích phân
=
J

4

0

A. J = 10.

B. J = 50.

C. J = 2.
Lời giải

Chọn C

D. J = 4.

dt
= dx
5
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 4; x = 1 ⇒ t = 9

Đặt t = 5 x + 4 ⇒ dt = 5dx ⇒
1

9

1
10
2.
f (t )dt = =
5
5
4

Khi đó: J =∫ f (5 x + 4)dx =∫

0

Câu 8:

Trong khơng gian Oxyz , Viết phương trình mặ phẳng đi qua các điểm là hình chiếu của điểm
A(1; 2;3) lần lượt lên các trục Ox, Oy, Oz.

A. x − 2 y − 3 z =
1.

B.

x y z
+ + =
0.
1 2 3

C.
Lời giải

x y z
+ + =
1.
1 2 3

D. x + 2 y + 3 z =
1.

Chọn C
Ta gọi: hình chiếu của A lên trục Ox là: M (1;0;0)

hình chiếu của A lên trục Oy là: N (0; 2;0)
hình chiếu của A lên trục Oz là: P(0;0;3)
Khi đó phương trình mặt phẳng ( MNP ) là:
Câu 9:

Cho

2

2

2

1

1

1

10. Tính ∫ g ( x)dx.
∫ f ( x)dx = 3 và ∫ [3 f ( x) − g ( x)] dx =

A. 17.

B. −1.

C. −4.
Lời giải

Chọn B

Ta
=
10

x y z
+ + =
1.
1 2 3

D. 1.

có:

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

x) ] dx ∫ 3 f ( x)dx − ∫ g ( x)dx ⇒ ∫ g=
( x)dx ∫ 3 f ( x)dx=
− 10
∫ [ 3 f ( x ) − g (=

3.3
=
− 10 −1

Câu 10: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua A (1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến

n ( 2; −1;3) .
A. 2 x − y + 3 z + 9 =
0.
Chọn A

B. x − 2 y − 4 =
0.

C. 2 x − y + 3 z − 4 =
0. D. 2 x − y + 3 z + 4 =
0.
Lời giải


Phương trình mặt phẳng đi qua A (1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến n ( 2; −1;3) là:

Sưu tầm và biên soạn

Page 6


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
2 ( x − 1) − ( y − 2 ) + 3 ( z + 3) =
0
⇔ 2 x − y + 3z + 9 =
0.
Câu 11: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x) liên tục trên [ 0;1] , f (1) = 5 và

1

∫ f '( x)dx = 1. Tính

f (0).

0

A. −6.

B. 4.

C. −4.
Lời giải

Chọn B
Ta thấy:

D. 6.

1

1 ⇔ f (1) − f (0) =
1 ⇔ 5 − f (0) =
1 ⇔ f (0) =
4.
∫ f '( x)dx =
0

Câu 12: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y = cos x là
A. − cos x + C.

B. − sin x + C.

C. cos x + C.
Lời giải

D. sin x + C.

Chọn D
Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; −2; 4). Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng
(Oxz ) là điểm nào trong các điểm sau?

A. Q(1; −2;0).

B. S (1;0; 4).

C. N (0; −2; 4).

D. P(1;0;0).

Lời giải

Chọn B
Gợi ý: Điểm thuộc mặt phẳng ( Oxz ) có tung độ bằng 0.
Câu 14: Tìm khẳng định đúng.
xdx x sin x + ∫ sin xdx.
∫ x cos=
C. ∫ x cos xdx =
− x sin x − ∫ sin xdx.

A.

Chọn B
=
u x=
 du d x
Đặt 
.
⇒
=
=
xdx v sin xdx
dv cos
Suy ra

xdx
∫ x cos=

xdx x sin x − ∫ sin xdx.
∫ x cos=
D. ∫ x cos xdx =
− x sin x + ∫ sin xdx.

B.

Lời giải

x sin x − ∫ sin xdx.

Câu 15: Biết hàm số y = F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y =
B. e − 1.

A. 0.
Chọn C

C. e.
Lời giải

1
và F (e)= e + 1. Giá trị của F (1) là
x
D. 1.

e

1
e

Ta có: F (e) − F (1) =
ln | x | 1 =
1 ⇒ F (1) =
F (e) − 1.
∫1 xdx =
Mà F (e)= e + 1 nên F (1) = e.
2

11
1 
Câu 16: Biết I =
a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ . Tính T= a 2 + b3 .
∫1 2  x − x + 2  dx =
1
8
1
3
A. T = .
B. T = .
C. T = .
D. T = .
2
8
8
3
Lời giải
Chọn D

Sưu tầm và biên soạn

Page 7


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Ta

có

2 1
x 2 1 1
11
1 
1
1
1
1
−
=
−
+
=
=
− ln 2 + ln 3.
I=
dx
x
x
ln
ln
2

ln
ln − ln  =


(
)





∫1 2  x x + 2  2
1 2 x+2 1 2 2
3
2
2
−1
1
3
Từ đó: a = , b = ⇒ T = a 2 + b3 = .
2
2
8


 

Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho u = 2i − 4 j + 2k . Tọa độ của u là
2

A. ( −2; 4; −2 ) .

B. ( 2; −4; 2 ) .

C. ( −2; 4; −2 ) .

D. (1; −2;1) .

Lời giải

Chọn B


Tọa độ của u là ( 2; −4; 2 ) .
Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 2 ) + ( z − 3) =
17. Tìm tọa độ tâm I
2

2

2

và bán kính R của mặt cầu ( S ) .
A. I ( 3; −2;3) , R =
17. B. I ( −3; 2; −3) , R =
17.

17.
17. D. I ( −3; 2; −3) , R =
C. I ( 3; −2;3) , R =

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu ( S ) có I ( 3; −2;3) , R =
17.
Câu 19: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm =
số y sin 2 x −
cos 2 x
+ cot x + C .
2
− cos 2 x
C.
+ cot x + C
2

A.

B.

− cos 2 x
− tan x + C .
2

1
là:
sin 2 x

D. cos 2 x + cot x + C .

Chọn C
1 
cos 2 x

−
+ cot x + C .
∫  sin 2 x − sin 2 x dx =
2

Lời giải

Câu 20: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y = 2 x là:
A. x ln 2 .
Chọn B

B.

2x
+C .
ln 2

C. 2 x.ln 2 + C .

D. 2 x + C .

Lời giải

2x
dx
+C .

∫2 =
ln 2
x

Câu 21: Trong không gian Oxy , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 6 ) =
49 . Viết phương trình
2

2

2

mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại điểm A ( −4;1; 4 ) .
A. 6 x + 3 y + 2 z − 17 =
0.
0 . B. 2 x − 5 y − 10 z + 53 =

0.
C. 6 x + 3 y + 2 z + 13 =
0 D. 9 x + 16 z − 73 =
Chọn C

Lời giải

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12



( S ) có tâm I ( 2; 4;6 ) , R = 7 , IA =( −6; −3; −2 )

( S ) tiếp xúc với ( P ) tại A ( −4;1; 4 ) nên mặt phẳng ( P ) đi qua A ( −4;1; 4 ) và nhận IA làm vecto
pháp tuyến nên phương trình là
−6 ( x + 4 ) − 3 ( y − 1) − 2 ( z − 4 ) = 0 ⇔ 6 x − 3 y − 2 z + 13 = 0
Câu 22: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y = x 3 là
A. 3x 2 + C .

B.

x4
+C .
4

Chọn B
x4
+C .
4
Câu 23: Trong không gian

C. x 4 + C .

x3
+C
3

D.

Lời giải

3
∫ x dx=

Oxy ,

cho mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + 2 z + 1 =0

và mặt phẳng

0 . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
(Q ) : 2x − y + 2z + 4 =
A. 3.

B. 1.

C.
Lời giải

Chọn B
=
d (( P ) , (Q ))

1
.
5

D.

1
3

1− 4
= 1.
2
22 + ( −1) + 22

Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; 2 ) và D ( 2; 2; 2 ) . Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là:
1 1 
A. I (1;1;0 ) .
B. I  ; ;1 .
C. I (1;1;1) .
D. I (1; −1; 2 )
2 2 
Lời giải
Chọn C
  
    
Vì I ( x; y; z ) là trung điểm MN nên ta có: 2 IM + 2 IN =0 ⇔ IA + IB + IC + ID =0

2+0+0+2

x =
4
x = 1


0+2+0+2


=
⇔  y 1 . Vậy I (1;1;1) .
Suy=
ra  y
4

z = 1

0+0+2+2

=
z

4

Câu 25: Cho

2

4

−2

−2

∫ f ( x)dx = 1 , ∫ f ( x)dx =

A. I = 3 .

4

−4 . Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx .
2

B. I = −3 .

Chọn D
4

f ( x)dx
Ta có: ∫=
−2

2

∫

−2

C. I = 5 .
Lời giải

D. I = −5 .

4

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .

2

⇒ −4 = 1 + I
⇒ I =−5 .
Sưu tầm và biên soạn

Page 9


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
Câu 26: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số y =
A.

− cot 2 x
+C .
2

B. cot 2x + C .

C. tan 2x + C .

dx

=
∫ cos
2x
2

D.

Lời giải

Chọn D
Ta có:

1
là:
cos 2 2 x

tan 2 x
+C .
2

1 d(2 x) 1
=
tan 2 x + C .
2 ∫ cos 2 2 x 2

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số tuỳ ý thuộc khoảng K sao cho

a < c < b . Khẳng định nào sau đây sai?
A.

a

∫

f ( x)dx = 1 .

B.

a

C.

c

∫
a

b

a

a

b

b

b

c

a

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
∫ f ( x)dx .
b

b

a

a

D. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .

Lời giải

Chọn A

Với hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K , với mọi a ∈ K ta có:

a

∫ f ( x)dx = 0 .
a

π

Câu 28: Cho

1

∫
0

6

f ( x ) dx = 6. Tính tích phân I = ∫ f ( 2sin x ) cos xdx.
0

A. 3.

B. 6.

C. −3.
Lời giải

Chọn A
Đặt=
t 2sin x ⇒ dt
= 2 cos xdx ⇒ cos xdx
=
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =

π
6

D. −6.

dt
.
2

⇒ t = 1.

π

I
Suy ra:=

6

∫
0

1

1

1
1
1
=
f ( 2sin x ) cos xdx
f (t =
dx =
.6 3.
)dt ∫ f ( x )=
∫
20
20
2

Câu 29: Cho số thực C và hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ( x ) liên tục trên . Tìm khẳng định
đúng.

x )dx
∫ f ′ ( x )dx = f ( x ) . B. ∫ f (=
C. ∫ f ′ ( x=
)dx f ( x ) + C.

A.

Chọn C
Ta có:
Câu 30: Cho

)dx
∫ f ′ ( x=

f ′ ( x ) + C.

D.

∫ f ( x )dx = f ′ ( x ) .

Lời giải
f ( x ) + C.

1

1

1

0

0

0

∫ f ( x ) dx = 2020 và ∫ g ( x ) dx = 2021, tính ∫  f ( x ) − g ( x ) dx.

A. −4041.

B. 1.

C. 4041.
Lời giải
Sưu tầm và biên soạn

D. −1.

Page 10


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
Chọn D
1

1

1

0

0

0

2020 − 2021 =
−1.
∫  f ( x ) − g ( x ) dx =
∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx =

Ta có :

Câu 31: Xét các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên tập K . Khẳng định nào sau đây sai?

∫  f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx ,
B. =
∫ kf ( x ) dx k ∫ f ( x ) dx, ∀x ∈  .
C. ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
D. ∫ f ( x ) .g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
A.

∗

Lời giải

Chọn D

Câu 32: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) =−
1 2x +
x
+ C.

2

A. 1 − x 2 +

B. x − x 2 − x + C .

là

2 x

C. x − x 2 − x + C .

D. 1 − x 2 + x + C .

Lời giải

Chọn C
Ta có

1



∫ f ( x ) dx =∫ 1 − 2 x + 2

1 
2
 dx =x − x + x + C.
x

Câu 33: Trong không gian ( Oxyz ) cho điểm I ( 6; −3; −2 ) , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
cầu tâm I và đi qua gốc tọa độ O ?
A. ( x + 6 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) =
49.

B. ( x − 6 ) + ( y + 3) + ( z + 2 ) =
49.

C. ( x + 6 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) =
7.

D. ( x + 6 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) =
7.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu có tâm I ( 6; −3; −2 ) và bán kính R= OI=

( x − 6 ) + ( y + 3) + ( z + 2 )
2

2

2

62 + ( −3) + ( −2 ) = 7. Nên có pt:
2

2

49.
=
3

−2 và f ( 3) = 2 . Tính I = ∫ f ' ( x ) dx .
Câu 34: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  , f ( −1) =
−1

B. I = 0 .

A. I = 4 .
Chọn A
Ta có: I =

3

∫ f ' ( x ) dx = f ( x )

3
−1

C. I = 3 .
Lời giải

D. I = −4 .

= f ( 3) − f (1) = 4.

−1

Câu 35: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [1; 2] và F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) . Khi đó, hiệu
số F (1) − F ( 2 ) bằng
A.

1

∫ F ( x ) dx .
2

Chọn B

B.

2

∫ − f ( x ) dx .

C.

2

∫ − F ( x ) dx .
1

1

D.

2

∫  f ( x ) dx .
1

Lời giải

Sưu tầm và biên soạn

Page 11


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Ta có:

2

2

1

1

− ∫ f ( x ) dx =
− ( F ( 2 ) − F (1) ) =−
F (1) F ( 2 ) .
∫ − f ( x ) dx =

II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 36:

(1 điểm ) Tính tích phân

1

∫

0

3x + 1
dx .
x −5

Lời giải

3 x + 1 ⇒ u 2 = 3 x + 1 ⇒ 2udu = 3dx ⇒ dx =

Đặt u =

Ta có u 2 = 3 x + 1 ⇒ x =
1

∫
0

2udu
.
3

u2 −1
3

2udu
u 2 du
u.
2
2

2
u 2 − 16 + 16 ) du
(
3x + 1
u 2 du
3
3
dx ∫ =
2=
2=
2∫
=
2
2
2
∫
∫
u
−
1
u
−
16
16
x −5
u
−
u 2 − 16
1
1

1
1
−5
3
3
2

2
2


2

16 
16
8

=+
2∫ 1 2
2 ∫ 1
2  ∫ du + 2 ∫
du 
du =
du =+
u − 16 
u − 4 )( u + 4 ) 
( u − 4 )( u + 4 ) 
1
1
1 (

1
2

2
2 2
2 2 (u + 4) − (u − 4)
8
1 
 1
2u + 4 ∫
2u + 4 ∫
2 + 4∫ 
=
du =
du =
−
 du
1
1
u − 4 )( u + 4 )
u − 4 )( u + 4 )
u−4 u+4
1 (
1 (
1

3
5
u−4 2
 1

2 + 4  ln − ln  =
2 + 4 ln .
=
u+4 1
5
9
 3
(1 điểm ) Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường trịn tâm O bán kính R = 1 . Trên đường tròn

2 + 4 ln
=
Câu 37:

(O )

lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vng. Biết diện tích tam giác SAB bằng

Tính thể tích của khối nón.

2
.
2

Lời giải

Ta có ∆OAB vng cân tại O và OA= OB = 1 ⇒ AB = 2 . Gọi I là trung điểm AB.
+) S SAB =

OI
+)=

2
1
⇔ SI . AB =
2
2
1
=
AB
2

2
1
⇔ SI . 2 =
2
2

2
⇔ SI = 1 .
2

2
.
2

Sưu tầm và biên soạn

Page 12

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Mặt khác, ∆SOI vng tại O: Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có
2

 2
1
2
SI = SO + OI ⇒ 1 = SO + 
⇒ SO=
 ⇔ SO =
2
 2 
2

2

2

2

2
.
2

2

1 2
1
2 π 2
=

π R .SO =
π .1.
.
3
3
2
6
3sin x + 4 cos x
Câu 38: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
sin x + 2 cos x
Lời giải
Đặt 3sin x + 4 cos x =A(sin x + 2 cos x) + B(cos x − 2sin x) =( A − 2 B) sin x + (2 A + B) cos x
=
Thể tích khối nón
là V

11

=
A
3
 A − 2B =

5
Suy ra: 
.
⇔
+
=
A

B
2
4
2

B = −

5
3sin x + 4 cos x
11
2 d (sin x + 2 cos x) 11
2
Từ đó I =
∫ sin x + 2 cos x dx =
∫ 5 dx − 5 ∫ sin x + 2 cos x =5 x − 5 ln sin x + 2 cos x + C .
Câu 39: Tính tích phân

1

ln(1 + x)
dx
x2 + 1
0

∫

Lời giải
2

Đặt t = tan x ta có dx= (1 + tan x)dx .

π

1

ln(1 + x)
=
I ∫ 2 =
dx
x +1
0
Đặt =
t
π

π
4

4

∫ ln(1 + tan t )dt
0

− u , suy ra
π


2 
π



∫0 ln 1 + tan  4 − u  du = ∫0 ln  1 + tan u  du =
π
π
Suy ra:=
.ln 2
I ln 2. − I ⇒
=
I
4
8
I=

4

4

π

π

4

4

0

0

∫ ln 2du − ∫ ln(1 + tan u )du

Sưu tầm và biên soạn

Page 13


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
MƠN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 02
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7 điểm)
Câu 1:

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;e] thỏa mãn

f ′( x ) 1
= . Tìm khẳng
f ( x) x

định đúng.
A. ln | f=
( x ) | ln | x | +C. B. −

1

1
1
1
=
− 2 + C. C. − 2
− 2 + C.
=ln | x | +C. D. ln | f ( x ) |=

f ( x)
x
x
f ( x)
2

π
4

Câu 2:

Tính tích phân I = ∫ sin3x.sinxdx.
0

1
2

A. − .
Câu 3:

B. 0.

(

6

Cho I = ∫
1

)

3
2

3 2
x +4
B.
2

(

+ C.

x
dx , đặt=
t
x+3

3

Cho

2

∫

f ( x ) dx = 3 và

Câu 7:
Câu 8:

Câu 9:

3

∫

D.

2x
3

2

x +4

3 2
x +4
C.
2

(

+ C.

)

. Tìm

2

3

+ C.

F ( x ).

1
.
4

2 2
x +4
D.
3

(

)

2
3

+ C.

x + 3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
6

t2 − 3
B. I = ∫
dt

t
1
f ( x ) dx = −1. Tính

1

1

Câu 6:

)

3
2

6

t2 − 3
A. I = ∫
.2tdt
t
2
Câu 5:

1
.
2

Gọi F ( x ) là một họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2 2
x +4
A.
3
Câu 4:

C.

t2 − 3
C. I = ∫
.2tdt
t
1

3

t2 − 3
dt
t
2

D. I = ∫

3

∫ f ( x ) dx.
2

A. 2
B. 4

C. 1
D. −4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 3; 2;1) , B ( −1;3; 2 ) , C ( 2; 4; −3) . Tính tích
 
vơ hướng AB. AC .
A. −2
B. −6
C. 2
D. 10
2
x
x
Biết ∫ x ln
=
xdx
ln x − ∫ dx với a; b là các số nguyên. Tính a + b.
a
b
A. −4.
B. 1.
C. 4.
D. 0.


Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các vec-tơ a =
( 2; −1;3) ; b =
(1;3; −2 ) . Tìm tọa
  
độ của véc –tơ c= a − 2b.





c ( 0; −7;7 ) .
c ( 4; −7;7 ) .
A. c = ( 0; −7; −7 ) .
B. =
C. =
D. c = ( 0;7;7 ) .

0 . Tính khoảng
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 5 =
cách từ điểm M ( −1; 2; −3) đến mặt phẳng ( P ) .

4
A. − .
3

B.
e

4
.
3

C.

4
.
9

D.

C.

1
.
ln 3

D. − log 3 e.

2
.
3

Câu 10: Tính tích phân I = ∫ log 3 xdx.

e
A.
.
ln 3

1

B. 1.

Sưu tầm và biên soạn

Page 1

ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Câu 11: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; −2;1) , C ( −2;0;1) .
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC là:
A. y + 2 z − 5 =
B. − y + 2 z − 3 =
C. 2 x − y − 1 =0 .
0.
0.
Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa


OA =
( 2; −1;3) , OB =−
( 5; 2; 1) . Tìm tọa độ của


A. =
B. AB = ( 7;1; 2 ) .
AB ( 3;3; −4 ) .

D. 2 x − y + 1 =0.

độ Oxyz , cho

AB .

C. AB
= ( 2; −1;3) .

hai

điểm

với

A, B


D. AB =( −3; −3; 4 ) .

Câu 13: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 3 x 2 trên  thỏa mãn điều kiện F (1) = −1 .
A. x 2 − 2 .

B. x3 + 2 .

C. x 3 + 1 .

D. x3 − 2 .

0 . Tìm tọa độ
Câu 14: Trong khơng gian với hệ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 8 z + 4 =
tâm I và bán kính R của mặt cầu.
5.
A. I ( 3; −2; 4 ) , R =

5.
B. I ( −3; 2; −4 ) , R =

25 .

C. I ( 3; −2; 4 ) , R =

25 .
D. I ( −3; 2; −4 ) , R =

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C , u = u ( x ) có đạo hàm liên tục thì
A. ∫ f ( u ( x ) ) .u ' ( x=
B. ∫ f ( x ) .u=
' ( x ) dx F ( u ( x ) ) + C .
) dx F ( x ) + C .
C. ∫ f ( u=
D. ∫ f ( u ( x ) ) .u=
' ( x ) dx F ( u ( x ) ) + C .
( x ) ) dx F ( u ( x ) ) + C .

Câu 15: Nếu

Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
1
xdx
+C
A. ∫ =
2 x
C. ∫ a sin xdx =
−a cos x + C

1

B.

∫ ln a dx =

D.

∫u

1
2

x
+ C (a > 0, a ≠ 1)
ln a

1
− +C
du =
u

Câu 17: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 10 x .
10 x
+C.
ln10
1
C. F ( x) = ⋅10 x ⋅ ln10 + C
10
A. F ( x ) =

Câu 18: Cho tích phân I = ∫

4

1

x) 10 x + C
B. F (=
D. F ( x) =10 x ⋅ ln10 + C

x2 + x x −1
 dx , tìm khẳng định đúng.
x2
4

4

4

4

1
1
1



B. I =
 x + 2 x +  . C. I = x + x +  D. I = x + x −  .
x 1
x 1
x 1





1

A. I =
x+2 x − 
x 1


Câu 19: Trong không gian với hệ Oxyz , cho ba điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0;1;0 ) , P ( 0;0; 2 ) . Mặt phẳng

( MNP )
A.

có phương trình là

x y z
0.
+
+ =
2 −1 2

Câu 20: Biết tích =
phân I

m

B.

x e dx
∫=
x

x y z
1.
+ + =
2 1 2

C.

x y z
1.
+
+ =
2 −1 2

D.

x y z
+
+ =
−1.
2 −1 2

1, hỏi số thực m thuộc khoảng nào?

0

A. ( −3; −1) .

B. ( −1; 0 ) .

C. ( 2; 4 ) .

Sưu tầm và biên soạn

D. ( 0; 2 ) .

Page 2


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
1
f ( x ) e kx ( k ≠ 0 ) sao cho F ( 0 ) = . Giá trị k thuộc khoảng
Câu 21: Gọi F ( x ) là nguyên hàm của =
k
nào sau đây để F ( x ) = f ( x ) ?

A. ( −2; 0 ) .

B. ( 2;3) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( −3; −2 ) .

0 có một vectơ pháp
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 3 =
tuyến là:

A. (1; −2;3) .

B. ( −1; 2; −3) .

C. (1; 2; −3) .

Câu 23: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên [1;5] , f ( 5 ) = 2022 và

D. (1; 2;3) .

5

∫ f ′( x)dx = 1. Tính f (1) .
1

A. 2020.

B. 2021.

C. 1.

D. 2023.

3

1
Câu 24: Cho tích phân I = ∫ dx. Tìm mệnh đề đúng.
x
1
1 3

.
x2 1

1 3
.
x2 1


 

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a =−i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là:
3
A. I = ( ln x ) .
1

3
B. I = − ( ln x ) .
1

C. I = −

A. ( 2; −1; −3) .

B. ( 2; −3; −1) .

C. ( −1;2; −3) .

D. I =

D. ( −3;2; −1) .

Câu 26: Phát biểu nào sau đây là đúng?

∫
C. ∫ e

∫

∫
D. ∫ e

2

2

∫

A. e x sin xdx =
−e x cos x − e x cos xdx .
x

sin
=
xdx e x cos x − e x cos xdx .

2

∫ f ( x ) dx = 5

∫ g ( x ) dx =

∫

B. e x sin
=
xdx e x cos x + e x cos xdx .
x

∫

sin xdx =
−e x cos x + e x cos xdx .

 2 f ( x ) − 3 g ( x )  dx .
A. −17 .
B. 0 .
C. 13 .
D. 7 .
Câu 28: Với k là hằng số khác 0 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
A. ∫ sin kxdx =
B. ∫ sin kxdx =
−kcos kx + C .
− cos kx + C .
k
1
C. ∫ sin kxdx =
D. ∫ sin
−cos kx + C .
kxdx

cos kx + C .
=
k
Câu 29: Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x=
) x 4 + 1 , trục hồnh và hai đường
Câu 27: Cho

−1

và

−1

−1=
. Tính I

∫

−1

thẳng x = 1 , x = 2 . Tìm mệnh đề đúng.
2

A. S = ∫ ( x 4 + 1) dx .
1

2

2

2

1

1

B. S = π ∫ ( x 4 + 1) dx . C. S = π ∫ ( x 4 + 1) dx . D. S = ∫ ( x 4 + 1) dx .
2

1

2

Câu 30: Cho hai hàm số f ( x) , g ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
C.

b

∫
a
b

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

B.

b

b

b

a

a

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x .
a

Câu 31: Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
1
A. ∫ 2 =
dx
+C .
sin x
cot x
1
C. ∫ 2 =
dx cot x + C .
sin x

D.

b

a

b

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x
a
b

b

b

a

a

a

a

b

∫ ( f ( x ) .g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
1

B.

∫ sin

D.

dx
∫ sin =
x

Sưu tầm và biên soạn

2

1

2

x

− cot x + C .
dx =
cot 2 x + 1 .
Page 3


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TỐN 12
Câu 32: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A ( 3; −2;3) , B ( −1; 2;5 ) , C (1;0;1) . Tìm tọa
độ trọng tâm G của tam giác ABC .
A. G ( −1;0;3) .
B. G ( 0;0; −1) .
Câu 33: Tìm
A.

C. G (1;0;3) .

D. G ( 3;0;1) .

∫ xdx .

2
∫ xdx= x + C .

B.

∫ xdx = 1 + C .

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn

C.
2

∫

∫ xdx=

x2
+C .
2

f ( x ) dx = 2 . Tính

−4

D.

∫ xdx=

2
+C .
x2

2

∫ f ( 2 − 3x ) dx
0

1
2
1
2
B. .
C. − .
D.
A. − .
3
3
3
3
Câu 35: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên [ a; b ] . Tìm

mệnh đề đúng?
A.

b

) dx
∫ f ( x=

F ( a ) − F (b) .

B.

b

∫

x ) dx
∫ f (=

F ( ab ) − 1 .

a

a

C.

b

f ( x=
) dx F ( b ) + F ( a ) .

D.

b

) dx
∫ f ( x=

F (b) − F ( a )

a

a

II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 36: Tính ∫ sin6 x.cos 2 3 xdx
Câu 37: Cho mặt cầu tâm O đường kính AB = 2a , I là điểm thay đổi nằm giữa hai điểm O và B . Mặt
phẳng ( P ) vng góc với AB tại I , cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn ( C ) . Gọi ( N )
là hình nón đỉnh A , đáy là hình trịn ( C ) ; h là chiều cao của hình nón ( N ) .
a) Tính thể tích của khối nón tạo nên bởi hình nón ( N ) theo h và a .
b) Tính thể tích lớn nhất của khối nón ( N ) .
Câu 38: Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F ( x )=

( ax

2

+ bx + c ) 3 − 2 x là một nguyên hàm của

3

hàm số f (=
x ) x 3 − 2 x trên khảng  −∞;  .
2


2
1
 ( x + 1)
 1
Câu 39: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0;  và thỏa mãn ln ( x + 1) + 2 ( x + 1) f  − x  =
.
 2
2

1 − x2
2

1
2

Tính I = ∫ f ( x ) dx.
0

---------- HẾT ----------

Sưu tầm và biên soạn

Page 4


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

f ′( x ) 1
= . Tìm khẳng
f ( x) x

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;e] thỏa mãn
định đúng.

1

1
=
− 2 + C.
f ( x)
x

A. ln | f=
( x ) | ln | x | +C. B. −

2

1
− 2 + C.
=ln | x | +C. D. ln | f ( x ) |=
x
f ( x)
1

C. −

2

Lời giải

Chọn A
f ′( x ) 1
f ′( x )
1
=
⇒∫
dx =
dx ⇒ ln | f ( x ) |=
ln | x | +C.
Ta có
∫
f ( x) x
f ( x)
x
π
4

Câu 2:

Tính tích phân I = ∫ sin3x.sinxdx.
0

1
2

A. − .

B. 0.

C.
Lời giải

Chọn D
π
4

∫ sin3x.sinxdx =

Ta có I =

0

Câu 3:

(

)

3
2

(

)

3

2

Chọn C
3

Đặt t =
Ta có

∫

2x
3

x2 + 4

3 2
+ C.
x +4
C.
2
Lời giải

(

)

. Tìm
2
3

+ C.

F ( x ).
2 2
x +4
D.
3

(

)

2
3

+ C.

x 2 + 4 ⇒ t 3 = x 2 + 4 ⇒ 3t 2dt = 2 xdx.

f ( x ) dx =
6

Cho I = ∫
1

∫

2x
3

x2 + 4

x
dx , đặt=
t
x+3

3

t2 − 3
A. I = ∫
.2tdt
t
2

dx =

3t 2
∫ t dt =

∫ 3tdt =

2
3 2
3
t + C = ( x 2 + 4 ) 3 + C.
2
2

x + 3 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

6

t2 − 3
B. I = ∫
dt
t
1

6

t2 − 3
C. I = ∫
.2tdt
t
1

3

t2 − 3
D. I = ∫
dt
t
2

Lời giải

Chọn A
Đặt t =

1

.
4

π
1
11
1
 4 1
cos
2
x
cos
4
x
d
x
sin
2
x
sin
4
x
|
−
=
−
)

0= .
∫0 2 (

2 2
4
4


3 2
x +4
B.
2

+ C.

D.

π
4

Gọi F ( x ) là một họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2 2
x +4
A.
3

Câu 4:

1
.
2

x + 3 ⇒ t 2 = x + 3 ⇒ x = t 2 − 3 ⇒ 2tdt = dx

x =1 ⇒ t = 2
Đổi cận: 
x = 6 ⇒ t = 3

Sưu tầm và biên soạn

Page 5


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
3

t2 − 3
.2tdt
t
2

Vậy I = ∫
Câu 5:

Cho

2

∫

f ( x ) dx = 3 và

3

∫

f ( x ) dx = −1. Tính

C. 1
Lời giải

B. 4

A. 2
Chọn D
Ta có:

3

∫
2

∫ f ( x ) dx.
2

1

1

3

3

2

1

1

D. −4

f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx =−1 − 3 =−4.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 3; 2;1) , B ( −1;3; 2 ) , C ( 2; 4; −3) . Tính tích
 
vơ hướng AB. AC .
A. −2
B. −6
C. 2
D. 10
Lời giải
Chọn C


 
Ta có: AB =( −4;1;1) , AC =( −1; 2; −4 ) ⇒ AB. AC =( −4 )( −1) + 1.2 + 1( −4 ) =2.

Câu 7:

Biết

xdx
∫ x ln=

A. −4.

x2
x
ln x − ∫ dx với a; b là các số nguyên. Tính a + b.
a
b
B. 1.
C. 4.
D. 0.
Lời giải

Chọn C

1

 u = ln x
du = x dx
⇒

2
dv = xdx  v = x


2

x2
x
Do đó: ∫ x ln xdx = ln x − ∫ dx ⇒ a = b = 2.
2
2
4.
Vậy a + b =

Câu 8:



Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các vec-tơ a =
( 2; −1;3) ; b =
(1;3; −2 ) . Tìm tọa
  
độ của véc –tơ c= a − 2b.




c ( 0; −7;7 ) .
c ( 4; −7;7 ) .
A. c = ( 0; −7; −7 ) .
B. =
C. =
D. c = ( 0;7;7 ) .

Lời giải

Chọn B
 xc =2 − 2.1 =0
  

c =a − 2b ⇔  yc =−1 − 2.3 =−7
 z =3 − 2.(−2) =7
 c

c ( 0; −7;7 ) .
Vậy =

Câu 9:

0 . Tính khoảng
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z + 5 =
cách từ điểm M ( −1; 2; −3) đến mặt phẳng ( P ) .

4
A. − .
3

B.

4
.
3

C.

4

.
9

Sưu tầm và biên soạn

D.

2
.
3
Page 6


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
Lời giải

Chọn B

2.(−1) − 2.2 + (−3) + 5 4
=
3
22 + (−2) 2 + 12

=
d( M ,( P ) )

Vậy chọn B
e

Câu 10: Tính tích phân I = ∫ log 3 xdx.

1

A.

e
.
ln 3

B. 1.

C.
Lời giải

Chọn C

1
.
ln 3

D. − log 3 e.

1

dx
u = log 3 x du =
Đặt 
⇒
x ln 3
dv = dx
v = x

e

e

1
1
1
1)
.
=
dx e log 3 e −
( e −=
ln 3
ln 3
ln 3
1

=
I x log 3 x 1 − ∫

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; −2;1) , C ( −2;0;1) .
Phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC là:
A. y + 2 z − 5 =
B. − y + 2 z − 3 =
C. 2 x − y − 1 =0 .
0.
0.

D. 2 x − y + 1 =0.

Lời giải

Chọn D

 
Mặt phẳng cần tìm đi qua A và có vectơ pháp tuyến là n = BC =
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:

( −4; 2;0 ) .
−4 ( x − 0 ) + 2 ( y − 1) + 0 ( z − 2 ) = 0 ⇔ 2 x − y + 1 =

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa


OA =
( 5; 2; 1) . Tìm tọa độ của
( 2; −1;3) , OB =−


A. =
B. AB = ( 7;1; 2 ) .
AB ( 3;3; −4 ) .

độ Oxyz , cho

AB .

C. AB
= ( 2; −1;3) .

hai

điểm

0.
với

A, B


D. AB =( −3; −3; 4 ) .

Lời giải

Chọn A
  
AB = OB − OA = ( 3;3; −4 ) .

Câu 13: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 3 x 2 trên  thỏa mãn điều kiện F (1) = −1 .
A. x 2 − 2 .
Chọn D

∫ 3x dx=
2

B. x3 + 2 .

C. x 3 + 1 .
Lời giải

D. x3 − 2 .

x3 + C

Mà F (1) =−1 ⇔ C =−2

F ( x=
) x3 − 2 .

0 . Tìm tọa độ
Câu 14: Trong khơng gian với hệ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 8 z + 4 =
tâm I và bán kính R của mặt cầu.
5.
5.
A. I ( 3; −2; 4 ) , R =
B. I ( −3; 2; −4 ) , R =

Sưu tầm và biên soạn

Page 7


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12

25 .
25 . D. I ( −3; 2; −4 ) , R =
C. I ( 3; −2; 4 ) , R =
Lời giải

Chọn A

I ( 3; −2; 4 ) , R =
5

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C , u = u ( x ) có đạo hàm liên tục thì
A. ∫ f ( u ( x ) ) .u ' ( x=
B. ∫ f ( x ) .u=
' ( x ) dx F ( u ( x ) ) + C .
) dx F ( x ) + C .
C. ∫ f ( u=
D. ∫ f ( u ( x ) ) .u=
' ( x ) dx F ( u ( x ) ) + C .
( x ) ) dx F ( u ( x ) ) + C .

Câu 15: Nếu

Lời giải

Chọn D
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
1
x
1
A. ∫ =
xdx
+ C B. ∫
+ C (a > 0, a ≠ 1)
dx =
ln a
ln a
2 x

C. ∫ a sin xdx =
−a cos x + C

D.
Lời giải

Chọn A

1

∫u

2

1
du =
− +C
u

2 32
x +C
∫
3
Câu 17: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 10 x .
xdx
=

10 x
B. F (=
+C.

x) 10 x + C
ln10
1
C. F ( x) = ⋅10 x ⋅ ln10 + C
10
A. F ( x ) =

Chọn A
Câu 18: Cho tích phân I = ∫

4

1

4

4

4

1

B. I =
x+2 x +  .
x 1

4

1


D. I = x + x −  .
x 1


Lời giải

Chọn B
I =∫

4

1

Lời giải

x2 + x x −1
 dx , tìm khẳng định đúng.
x2

1

A. I =
x+2 x − 
x 1


1

C. I = x + x + 
x 1



D. F ( x) =10 x ⋅ ln10 + C

1

4
x2 + x x −1
1
1 
1

− 2  dx = x + 2 x + 
 dx = ∫ 1 +
2
1
x4
x
x x 



Câu 19: Trong không gian với hệ Oxyz , cho ba điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0;1;0 ) , P ( 0;0; 2 ) . Mặt phẳng

( MNP )
A.

có phương trình là

x y z

+
+ =
0.
2 −1 2

B.

x y z
+ + =
1.
2 1 2

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
C.

x y z
1.
+
+ =
2 −1 2

D.

x y z
+

+ =
−1.
2 −1 2
Lời giải

Chọn B
Mặt phẳng ( MNP ) đi qua ba điểm M , N , P lần lượt nằm trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz nên có
phương trình là

x y z
+ + =
1.
2 1 2

Câu 20: Biết tích =
phân I

m

x e dx
∫=
x

1, hỏi số thực m thuộc khoảng nào?

0

A. ( −3; −1) .

B. ( −1; 0 ) .

C. ( 2; 4 ) .

D. ( 0; 2 ) .

Lời giải

Chọn D
m

Tính I = ∫ x e x dx.
0

Đặt:
=
u x=
du dx
⇒
.

x
=
dx v e x
dv e=
Khi đó:
=
I x.e x

m
0

m

− ∫ e x=
dx x.e x
0

m
0

m

x
− e=
me m − e m =
+ 1 e m ( m − 1) + 1.
0

Theo giả thiết:
I = 1 ⇒ ( m − 1) e m + 1 = 1 ⇔ ( m − 1) e m = 0 ⇔ m − 1 = 0 (vì e m > 0, ∀m ∈ ) ⇔ m =
1.
1
f ( x ) e kx ( k ≠ 0 ) sao cho F ( 0 ) = . Giá trị k thuộc khoảng
Câu 21: Gọi F ( x ) là nguyên hàm của =
k
nào sau đây để F ( x ) = f ( x ) ?

A. ( −2; 0 ) .
Chọn C

∫ f ( x ) dx = ∫ e
Đặt F=
( x)

kx

dx =

1 kx
e + C.
k

B. ( 2;3) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( −3; −2 ) .

Lời giải
1 kx
e + C ( k ≠ 0).
k

Theo giả thiết: F ( 0 ) =

1
1
1
⇒ + C = ⇒ C = 0.
k

k
k

1 kx
e .
k
1
1
1 
F ( x ) = f ( x ) ⇔ e kx = e kx ⇔ e kx  − 1 = 0 ⇔ − 1 = 0 (vì e kx > 0, ∀x ∈ , k ≠ 0) ⇔ k =1
k
k
k 

Suy ra: F ( x ) =

(thỏa mãn điều kiện k ≠ 0).

0 có một vectơ pháp
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 3 =
tuyến là:
Sưu tầm và biên soạn

Page 9


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
B. ( −1; 2; −3) .

A. (1; −2;3) .

C. (1; 2; −3) .

D. (1; 2;3) .

Lời giải

Chọn C


0 có một vectơ pháp tuyến là=
Mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3 z + 3 =
n
Câu 23: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên [1;5] , f ( 5 ) = 2022 và

(1; 2; −3) .

5

∫ f ′( x)dx = 1. Tính f (1) .
1

A. 2020.

B. 2021. C 1.

D. 2023.
Lời giải

Chọn B

5

∫ f ′( x)dx = 1 ⇔ f ( x )

Ta có:

1

5
1

= 1 ⇔ f ( 5 ) − f (1) = 1 ⇒ f (1) = f ( 5 ) − 1 = 2022 − 1 = 2021.

3

1
Câu 24: Cho tích phân I = ∫ dx. Tìm mệnh đề đúng.
x
1
3
B. I = − ( ln x ) .
1

3
A. I = ( ln x ) .
1

C. I = −

1 3

.
x2 1

D. I =

1 3
.
x2 1

Lời giải

Chọn A
Ta =
có I

3

1
dx
∫1=
x

( ln x )

3

.

1



 

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a =−i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là:
A. ( 2; −1; −3) .
B. ( 2; −3; −1) .
C. ( −1;2; −3) .
D. ( −3;2; −1) .
Lời giải

Chọn C

  
Ta có: a =
−i + 2 j − 3k =
( −1; 2; −3) .
Câu 26: Phát biểu nào sau đây là đúng?

∫
C. ∫ e

∫

∫
D. ∫ e

x

∫

B. e x sin
=
xdx e x cos x + e x cos xdx .

A. e x sin xdx =
−e x cos x − e x cos xdx .

∫

sin
=
xdx e x cos x − e x cos xdx .

x

∫

sin xdx =
−e x cos x + e x cos xdx .

Lời giải

Chọn D
x
u e=
du e x dx
=
Đặt 
. Khi đó, e x sin xdx =

−e x cos x + e x cos xdx .
⇒
dv
=
sin
xdx
v
=
−
cos
x



∫

Câu 27: Cho

∫

2

−1

A. −17 .

f ( x ) dx = 5 và

∫

2

−1

g ( x ) dx = −1=
. Tính I

B. 0 .

2

2

 2 f ( x ) − 3 g ( x )  dx .
C. 13 .
D. 7 .
Lời giải

Chọn C
2

∫

∫

−1

2

∫−1 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx = 2∫−1 f ( x ) dx − 3∫−1 g ( x ) dx = 2.5 − 3. ( −1) = 13 .

Câu 28: Với k là hằng số khác 0 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
1
A. ∫ sin kxdx =
B. ∫ sin kxdx =
−kcos kx + C .
− cos kx + C .
k

Ta có: I =

Sưu tầm và biên soạn

Page 10


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
C. ∫ sin kxdx =
−cos kx + C .

D. ∫ sin
=
kxdx
Lời giải

Chọn B

1
cos kx + C .
k

1

− cos kx + C .
∫ sin kxdx =
k

Câu 29: Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x=
) x 4 + 1 , trục hoành và hai đường
thẳng x = 1 , x = 2 . Tìm mệnh đề đúng.
2

2

2

2

B. S = π ∫ ( x + 1) dx . C. S = π ∫ ( x + 1) dx . D. S = ∫ ( x 4 + 1) dx .

A. S = ∫ ( x + 1) dx .
4

4

2

1

1

4

2

1

1

Lời giải

Chọn A
Theo công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x=
) x 4 + 1 , trục hoành
và hai đường thẳng x = 1 , x = 2 .
2

(

)

S = ∫ x 4 + 1 dx
1

Câu 30: Cho hai hàm số f ( x) , g ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b ] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.

b

∫
a

C.

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

B.

∫
a

b

a

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x .

b

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x
a

b

b

Chọn D
Theo tính chất của tích phân ta có:
b

b

b

a

b

b

a

a

a

b

∫ ( f ( x ) .g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .

D.

Lời giải

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
b

a

b

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x
a

b

a

b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x .
Câu 31: Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
1
A. ∫ 2 =
dx
+C .
sin x
cot x
1
C. ∫ 2 =
dx cot x + C .
sin x

1

B.

∫ sin

D.

dx
∫ sin =
x

Lời giải

2

1

2

x

− cot x + C .
dx =
cot 2 x + 1 .

Chọn B
1
Ta có: ∫ 2 dx =
− cot x + C .
sin x
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A ( 3; −2;3) , B ( −1; 2;5 ) , C (1;0;1) . Tìm tọa
độ trọng tâm G của tam giác ABC .

Sưu tầm và biên soạn

Page 11


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II – TOÁN 12
B. G ( 0;0; −1) .

A. G ( −1;0;3) .

C. G (1;0;3) .

D. G ( 3;0;1) .

Lời giải

Chọn C

 3 + ( −1) + 1 ( −2 ) + 2 + 0 3 + 5 + 1 
;
;
Ta có: G 
 = (1;0;3) .
3
3
3 

Câu 33: Tìm
A.

∫ xdx .

∫ xdx=

x2
B. ∫ xdx = 1 + C .
C. ∫ xdx
=
+C .

2
Lời giải

x +C .
2

Chọn C
Ta có:

∫ xdx=

2

∫

f ( x ) dx = 2 . Tính

−4

1
A. − .
3

B.

Chọn B
Đặt t = 2 − 3 x ⇒ −
Đổi cận:

Khi đó:

∫
0

∫ xdx=

2
+C .
x2

x2
+C .
2

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và thỏa mãn

2

D.

2
.
3

2

∫ f ( 2 − 3x ) dx
0

2

C. − .
3
Lời giải

D.

1
3

dt
= dx .
3

−4

2

2

1
2
dt 1
.
f ( 2 − 3 x ) dx =
f ( t ) dt =
f ( x ) dx =
∫2 − f ( t ) 3 =
∫
∫
3 −4

3 −4
3

Câu 35: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] và F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên [ a; b ] . Tìm
mệnh đề đúng?
A.

b

∫

f ( x=
) dx F ( a ) − F ( b ) .

B.

C.

x ) dx
∫ f (=

) dx
∫ f ( x=

F (b) + F ( a ) .

D.

a

) dx
∫ f ( x=
a

b

) dx
∫ f ( x=

F (b) − F ( a )

a

Lời giải

Chọn D
b

F ( ab ) − 1 .

a

a

b

b

b

F (=
x ) a F (b) − F ( a )

II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 36: Tính ∫ sin6 x.cos 2 3 xdx

cos 3 x ⇒ dt =
−3sin 3xdx
Đặt t =
Ta có:
2
3
∫ sin6 x cos 3xdx =∫ 2sin 3x.cos 3xdx =−

Lời giải

2 3
2 t4
1
1
t
dt
=
−
. +C =
− t4 + C =
− cos 4 3 x + C .
∫
3
3 4

6
6

Sưu tầm và biên soạn

Page 12