Các bài giảng về toán cho Mirella

GS. Nguyễn Tiến Dũng
Các bài giảng về toán
cho Mirella
�
Quyển I
i
Ảnh bìa: Tranh do Mirella vẽ, 06/2012
Về tác giả: GS. Nguyễn Tiến Dũng tốt nghiệp Đại học Quốc gia Moskva
mang tên Lomonosov (Liên Bang Nga) năm 1991, bảo vệ luận án tiến sĩ về
toán năm 1994 ở Đại học Strasbourg (Cộng hòa Pháp), trở thành nghiên
cứu viên của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) vào
năm 1995, và được bổ nhiệm làm giáo sư tại Đại học Toulouse (Cộng hòa
Pháp) vào năm 2002. Ông là một chuyên gia trong các lĩnh vực hình học
vi phân, hệ động lực, và toán tài chính.
Tác giả cảm ơn và thân tặng
Nguyễn Sương Thu
bản e -book này
Toulouse
Ngày 28 tháng 10 năm 2012
ii
Mục lục
1 Bài toán của công chúa Dido . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh hình vuông . . . . . . . . 16
3 Con khỉ đi bán chuối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Các hình đa giác và các nhóm đối xứng . . . . . . . . 35
5 Vấn đề lát gạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Bài toán về các con kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 Cắt ghép hình vuông thành tam giác đều . . . . . . . 59
8 Bài toán bò ăn cỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9 Các số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10 Tổng bình phương của cấp số cộng . . . . . . . . . . . 82

11 Tích phân là gì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12 Bánh xe hình vuông! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
iii
c
� Prof. Dr. Nguyen Tien Zung. Bản quyền của quyển sách thuộc về tác
giả. Người sở hữu bản e-book có quyền lưu trữ nó ở một số máy khác nhau
và in nó ra để dùng trong phạm vi gia đình.
Thông tin thêm liên quan đến quyển sách có thể xem tại:
/>iv
Lời giới thiệu
Mirella là một cô bé đang học lớp 9
(1)
ở thành phố Toulouse miền nam
nước Pháp. Cô chưa bao giờ phải đi học thêm các môn đã học ở trường
như là ở Việt Nam. Có đi học ngoại khóa chỉ là học đánh đàn và học vẽ
theo sở thích thôi. Đi học ở trường về là Mirella có rất nhiều thời gian rảnh
rỗi để làm việc mình thích, như là đọc sách, chơi bời, vẽ vời.
Gần đây, Mirella đặc biệt tò mò về toán. Một trong các lý do có lẽ
là, anh ruột Tito của Mirella nhờ giỏi toán nên năm vừa rồi đã thi đỗ vào
trường ENS Paris (Ecole Normale Supérieure de Paris) và được nhận lương
công chức tập sự ngay từ lúc còn là sinh viên. Mirella vì “không chịu thua
anh” điểm gì, nên cũng muốn biết tất cả mọi thứ mà anh Tito biết về toán.
Bởi vậy, Mirella liên tục yêu cầu tác giả của quyển sách này, mà Mirella
gọi là papa, dạy toán ở nhà cho Mirella. Gần như ngày nào Mirella cũng
hỏi papa “hôm nay có học toán không?”. Mỗi tuần papa đều phải nát óc
nghĩ ra, hay đi sưu tập về, một vài đề tài thú vị về toán và hợp trình độ
học sinh phổ thông để dạy cho cô con gái của mình.
Tất nhiên là Mirella tín nhiệm papa lắm, vì papa không những chỉ là
giáo sư toán ở trường đại học, mà còn là người trực tiếp “luyện” cho anh
Tito thi đỗ ENS. Nhưng cách “luyện” của papa không giống cách của nhiều

“lò luyện thi”. Papa không bắt Tito làm đi làm lại các dạng bài tập quen
(1)
Ở Pháp gọi là lớp “3ème”, lớp cuối của “collège”, tức là lớp cuối của phổ thông cơ sở.
1
thuộc đến nhàm chán để giải nhanh như cái máy. Papa cho rằng, kiểu học
chỉ để thi là lãng phí thời gian mà không tiến bộ nhiều. Trái lại, papa
giảng cho Tito các kiến thức rộng hơn, kể cả các kiến thức không nằm
trong chương trình kỳ thi, để có cái nhìn rộng hơn, hiểu biểu tốt hơn về
toán, thấy được cái hay cái đẹp của các kiến thức toán học, dùng được
chúng, khi gặp các vấn đề lạ là có thể tìm cách liên hệ các vấn đề đó với
các kiến thức đã có. Papa không chỉ dạy cho Tito kiến thức toán học, mà
còn dạy phương pháp toán học: các cách suy luận, đặt vấn đề, tiếp cận và
giải quyết vấn đề.
Ngoài học ở trường, tự học ở nhà, và thảo luận với papa, Tito cũng
không hề phải đi học thêm ở nơi nào khác. Theo cách học với tầm nhìn xa,
thời gian đầu ở lớp chuẩn bị
(2)
, Tito khi làm bài kiểm tra đạt điểm thấp
hơn so với nhiều bạn, khiến mẹ của Tito lo lắm, bảo papa dạy kiểu gì mà
để Tito như vậy sẽ thi trượt mất thôi. Papa phải trấn an rằng, những điểm
kiểm tra ban đầu đó không quan trọng lắm, Tito đạt điểm thấp hơn các
bạn không phải là vì kém hơn, mà là vì đề bài quá dài, có những bạn đã
được luyện giải các bài cùng dạng từ trước nên làm nhanh được còn Tito
cũng làm được nhưng không nhanh bằng thôi. Quả nhiên, càng về sau, khi
các vấn đề càng khó lên, càng đòi hỏi kiến thức sâu rộng và suy luận tốt,
thì Tito càng tỏ ra xuất sắc, trở thành đứng đầu lớp.
Đối với Mirella cũng vậy, các bài giảng về toán của papa cho Mirella
không nhằm giúp Mirella đạt điểm cao ở lớp về môn toán (điều này tự
Mirella cũng làm được, không cần papa giúp), mà nhằm giúp Mirella hiểu
sâu rộng hơn về toán, thấy được sự liên quan chặt chẽ giữa toán học và thế

giới xung quanh, phát triển khả năng suy luận logic, và học các phương
pháp để tiếp cận và tìm cách giải quyết bất cứ vấn đề nào.
(2)
Theo hệ thống giáo dục của Pháp hiện tại, có những lớp chuẩn bị học 2 năm sau phổ thông trước
khi thi vào những trường lớn như ENS, khi vào các trường đó là vào năm thứ 3 đại học.
2
Quyển sách này chính là xuất phát từ các bài giảng mà tác giả, tức là
papa của Mirella, đã giảng miệng cho Mirella, rồi sau đó viết lại, bổ sung
và chỉnh lý. Tác giả làm vậy với hy vọng rằng, các bài giảng này sẽ có ích
không chỉ cho riêng Mirella, mà còn cho rất nhiều các bạn học sinh khác,
và cho cả những người lớn muốn tìm hiểu thêm về toán.
Phần lớn các đề tài của các bài giảng cho Mirella là những vấn đề gần
gũi với thực tế, cần dùng đến toán để mô hình hóa vấn đề và giải quyết
vấn đề. Qua các đề tài đó, ta thấy được các khái niệm, lý thuyết và công
cụ toán học nảy sinh một cách tự nhiên thế nào, chứ toán học không hề khô
khan vô dụng. Cũng bởi vậy mà các bài giảng này là các bài giảng “không
có độ tuổi”: học sinh cấp hai cũng có thể hiểu được các vấn đề đặt ra, và
hiểu được một phần lớn các công cụ toán học được đưa vào để giải quyết
vấn đề, nhưng những người đã có bằng đại học về toán cũng sẽ tìm thấy
nhiều điều mới mẻ trong đó.
Một số khái niệm mà papa đưa vào các bài giảng cho Mirella có thể coi
là những khái niệm toán học hiện đại và không có trong chương trình phổ
thông hiện tại, ví dụ như khái niệm về nhóm, hay khái niệm về biến phân.
Trong các sách toán cao cấp, chúng thường được trình bày một cách hình
thức, với nhiều ký hiệu và tiên đề rắm rối, khó hiểu. Nhưng papa giải thích
chúng trong các bài giảng một cách trực giác, nhẹ nhàng, gắn liền với các
thứ gần gũi quen thuộc chứ không quá trừu tượng, để Mirella và các bạn
đọc thấy được bản chất của chúng.
Do số bài đã giảng khá nhiều và sẽ còn có thêm nhiều bài giảng khác
nữa, nên tác giả chia loạt bài giảng thành nhiều quyển sách nhỏ cho dễ

đọc. Mỗi quyển sẽ gồm khoảng hơn 10 bài giảng (mỗi bài giảng ứng với
một hay vài buổi thảo luận), mỗi bài giảng là về một đề tài, trong đó có
một vấn đề cụ thể, các suy luận toán học để giải quyết vấn đề và có thể
phát triển lên thành một lý thuyết để giải quyết các vấn đề tương tự, và
3
các bài tập dành cho Mirella và các bạn đọc tự làm để đào sâu suy nghĩ
thêm. Sau Quyển 1 này, tác giả sẽ viết thêm các quyển bài giảng tiếp theo.
Quyển 1 này gồm có 12 bài giảng, viết thành 12 chương, và có thể chia
thành mấy nhóm chủ đề chính. Nhóm thứ nhất, gồm 3 bài đầu tiên, là về
các vấn đề cực đại, cực tiểu và phương pháp biến phân. Nhóm thứ hai,
gồm 4 bài tiếp theo, là về các bài toán hình học và các nhóm đối xứng.
Nhóm thứ ba, gồm 3 bài tiếp theo, là về đại số, với các đa thức và đại số
tuyến tính. Hai bài giảng cuối cùng chứa các kiến thức về giải tích, nhưng
cũng liên quan đến hình học, đại số, và các vấn đề thực tế, vì dụ như là
việc vận chuyển đá để xây kim tự tháp. Thông tin thêm về các bài giảng,
cũng như lời giải của các bài tập trong sách, có thể xem và thảo luận tại
trang web của tác giả:
/>Những bản thảo đầu tiên của các bài giảng này, khi đưa lên trang web
cá nhân của tác giả (), đã được rất nhiều bạn bè
gần xa hưởng ứng, góp ý, khích lệ tác giả viết lại thành sách. Trong đó có
nhiều người là các nhà khoa học hay là giáo viên. Tác giả xin chân thành
cảm ơn tất cả những người bạn đã chia sẻ, góp ý cho những bài giảng này.
Đặc biệt vinh dự có giáo sư vật lý Đàm Thanh Sơn (Đại học Chicago), là
một nhà khoa học cũng rất quan tâm đến việc giáo dục cho các thế hệ trẻ,
đã góp cho loạt bài giảng này một số ý tưởng và bài tập có được đưa vào
trong quyển sách này.
4
Chương 1
Bài toán của công chúa
Dido

Công chúa Dido (còn gọi là nữ hoàng Dido, và còn có tên là công chúa
Elissar hay Alyssa) là người sáng lập ra thành phố Carthage (một thành
phố ven biển Địa Trung Hải, ngày nay là một vùng ngoại ô của thành phố
Tunis ở nước Tunisia) từ thời 1000 năm trước công nguyên, tức là cách
chúng ta khoảng 3000 năm. Theo lịch sử, công chúa Dido là công chúa ở xứ
Tyre (ngày nay là Liban), thuộc một vương quốc rộng lớn ở Địa Trung Hải
ngày xưa gọi là Phoenicia. Vua Pygmalion xứ Tyre là anh trai của Dido,
nhưng đã giết chồng của Dido để nhằm chiếm tài sản. Dido mới cùng với
một đoàn người chạy tỵ nạn khỏi xứ Tyre sang vùng Carthage và lập nên
một thành phố mới ở đó.
Theo truyền thuyết, khi chạy tỵ nạn đến Carthage, Dido xin vua xứ
đó (gọi là vua của dân tộc Berber, là một dân tộc ở Bắc Phi) một mảnh
đất nhỏ để ở tạm. Ông vua đồng ý cho Dido một mảnh đất có thể khoanh
vùng lại được bằng một tấm da trâu. Dido và những người của mình cắt
một tấm da trâu ra thành một dải dây da rất dài. Sau khi đã có dải dây
5
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
Hình 1.1: Một bức tranh vẽ thành phố Carthage thời xưa
da trâu, bài toán của Dido là:
Với một dải dây đã có, làm sao khoanh được một vùng đất to nhất ở
cạnh biển?
Chú ý là nếu vùng đất chạm biển thì không cần phải khoanh dây biên
giới cả ở ngoài biển, chỉ cần khoanh biên giới cho đến những chỗ giáp biển
thôi. Bài toán này có thêm giả thiết là, bờ biển thẳng và rất dài, dài hơn
nhiều so với dải dây da trâu của Dido.
Papa đố Mirella giải bài toán của công chúa Dido. Mirella liền đưa ra
câu trả lời: “Khoanh dây lại thành hình tròn, vì hình tròn là hình to nhất
trong các hình có cùng chu vi”.
Nếu là trong đất liền thì đây là lời giải đúng. Nhưng vì ở sát biển, có
thể tận dụng bờ biển mà không cần khoanh dây chỗ đó, nên lời giải không

đúng nữa. Chẳng hạn, ta có thể dịch đường tròn ra sao cho tiếp xúc với
biển. Sau đó, ta kéo cái cung 1/4 vòng tròn có 1 đầu giáp biển, từ đầu kia
của cung ra thành một đường thẳng vuông góc với biển, thì vừa có được
6
c
�Prof. Nguyen Tien Zung
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
thêm đất mà vừa tiết kiệm được dây. Xem Hình 1.2 a).
Hình 1.2: Hình tròn và hình vuông không tối ưu
Mirella đưa ra ý tưởng khác: “Làm một hình vuông một cạnh giáp
biển”. Nhưng ngay sau đó, Mirella tự nhận ra rằng đây chưa phải là cách
tốt nhất, bằng một phương pháp mà có lần papa đã chỉ cho: Cắt 1 góc
hình vuông đó (góc mà không chạm biển) theo 1 tam giác không cân, xoay
ngược tam giác đó lại sao cho cạnh huyền vẫn ở vị trí cũ, chỉ có 2 cạnh góc
vuông là chuyển chỗ thôi. Khi đó được 1 hình khác cùng diện tích và chu
vi với hình vuông, nhưng mà là hình lõm. Mà hình lõm thì không thể là có
diện tích to nhất được, vì chỉ cần “kéo căng dây ra” lấp đầy chỗ lõm cho
thành lồi thì là vừa tăng được diện tích vừa đỡ tốn dây. Xem Hình 1.2 b).
Cũng theo lý luận tương tự như trên, các hình “có góc cạnh” (trừ góc
tại điểm tiếp xúc với biển) đều không phải là hình tốt nhất, mà nó phải là
một đường cong không gẫy khúc may ra mới tốt nhất được.
Mirella liền đưa ra giải pháp: “Thế thì lấy một cung tròn”.
Nhưng cung tròn nào? Có nhiều cung tròn khác nhau cùng độ dài: cung
tròn “bẹt”, cung tròn “hơi bẹt” (nhỏ hơn 1/2 đường tròn, tức là góc tạo bởi
cung tròn tính từ tâm hình tròn nhỏ hơn 180 độ), 1/2 đường tròn, và cung
tròn lớn hơn 1/2 đường tròn.
Bản e-book cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 7
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
Mirella đoán: “Lấy 1/2 đường tròn là tốt nhất”.
Papa hỏi “thế tại sao hơn 1/2 đường tròn thì không tốt?”. Mirella trả

lời là, nếu hơn 1/2 đường tròn, thì tình huống cũng tương tự như là cả
đường tròn vậy: chỗ giáp với biển bị “hụt vào”, chỉ cần kéo dây vuông góc
ra với biển ở gần chỗ đó là vừa thêm được đất vừa tiết kiệm được dây.
“Thế tại sao cung tròn bẹt thì không tốt?”. Mirella cười phá lên “bẹt
thì lấy đâu ra đất!”. Papa hỏi “nhưng chỉ hơi bẹt một tý thôi, vẫn có nhiều
đất, có thể nhiều hơn so với 1/2 vòng tròn thì sao?”. Đến đây thì Mirella
không nghĩ ra câu trả lời. Câu chuyện tạm dừng lúc đó, đến buổi tối mới
tiếp tục.
Vì sao nửa đường tròn là tốt nhất?
Hình 1.3: Nửa hình tròn là tốt nhất
Buổi tối, papa giải thích cho Mirella vì sao nửa đường tròn là tốt nhất:
So sánh một phương án bất kỳ nào khác với phương án nửa đường tròn
có cùng độ dài. Lấy đối xứng qua đường biển thì được 1 hình có diện tích
to gấp đôi, và chu vi cũng bằng 2 lần chiều dài của dây. So sánh phương
án đã nhân gấp đôi đó với phương án nửa hình tròn nhân đôi, tức là hình
tròn. Vì cùng chu vi, nên phương án khác nửa đường tròn khi nhân đôi có
8
c
�Prof. Nguyen Tien Zung
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
diện tích nhỏ hơn là nửa hình tròn nhân đôi, nếu ta chấp nhận rằng hình
tròn là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi, do đó phương
án khác nửa đường tròn thì có diện tích nhỏ hơn là phương án nửa đường
tròn. Xem hình 1.3.
“Hóa ra dễ quá!”, Mirella nhận xét, “thế nhưng chứng minh hình tròn
là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi như thế nào?”.
Mirella có từng được nghe nói đến điều đó, nhưng chưa biết chứng minh
nó như thế nào.
Vì sao lại tròn?
Lần này, papa chỉ cho Mirella một cách chứng minh hình tròn là hình

có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi.
Ta sẽ chấp nhận mà không chứng minh, rằng tồn tại hình có diện tích
lớn nhất trong các hình có cùng chu vi. Ở đây ta sẽ chỉ chứng minh rằng,
một hình lớn nhất như vậy bắt buộc phải là hình tròn. Để chứng minh
điều này, ta xem hình có diện tích lớn nhất thì phải có các tính chất gì?
1) Tính chất lồi là hiển nhiên rồi: Nếu không lồi, thì “lấp cho nó thành
lồi”, hay nói theo ngôn ngữ toán học là lấy bao lồi của nó, thì chu vi giảm
đi mà diện tích tăng lên.
2) Tính chất không gẫy khúc nữa: Nếu bị gẫy khúc ở bất cứ điểm nào,
thì làm tương tự như với hình vuông phía trên, sẽ làm tăng được diện tích
của hình lên. Tính chất không gãy khúc này có nghĩa là, tại mỗi điểm có
đúng một đường thẳng đi qua điểm đó mà tiếp xúc với hình. Do là hình
lồi, nên đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành hai phần trong đó có
một phần chứa toàn bộ hình.
3) Tính chất thứ 3 là tính chất góc cắt đều: Lấy hai điểm khác nhau
Bản e-book cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 9
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
Hình 1.4: Tính chất góc cắt đều
bất kỳ trên hình. Khi đó hai góc của đường đó với hai đường tiếp xúc tại
hai điểm tương ứng là bằng nhau. Xem Hình 1.4. Chứng minh cũng hệt
như là chứng minh phía trên cho chuyện hình vuông không phải hình tốt
nhất vậy: nếu hai góc đó khác nhau, thì bằng cách lật ngược một trong
hai mảnh của hình lại (mà vẫn giữ nguyên đáy) thì được một hình cùng
chu vi, cùng diện tích nhưng có chỗ bị lõm, do đó nó không phải là hình
có diện tích to nhất.
Tất nhiên, hình tròn thỏa mãn cả 3 tính chất trên. Hơn nữa, ngoài hình
tròn ra, thì không còn hình nào khác thỏa mãn cả 3 tính chất này, tức là
ta có khẳng định sau:
Một hình trên mặt phẳng thỏa mãn cả 3 tính chất trên thì là hình tròn.
Papa giải thích tỷ mỉ cho Mirella tại sao như vậy. Nhưng bạn đọc hãy

thử tự nghĩ cách chứng minh khẳng định trên, trước khi xem một cách
chứng minh tóm tắt dưới đây:
Giả sử ta có một hình thỏa mãn cả 3 tính chất trên. Lấy 3 điểm A, B, C
khác nhau tùy ý trên hình. Kẻ các đường tiếp xúc đi qua A, B, C, cắt nhau
thành một tam giác P QR (P đối diện với A, Q đối diện với B, R đối diện
10
c
�Prof. Nguyen Tien Zung