Lí thuyết kĩ thuật số

Chương I: Các hệ đếm và mã
Chương I
CÁC HỆ ĐẾM VÀ MÃ
I/- CÁC HỆ ĐẾM THÔNG DỤNG
1- Khái niệm chung về các hệ đếm
Hệ đếm là hệ thống các quy ước, các luật biểu diễn giá trị bằng các chữ số
hoặc ký hiệu. Nhờ các hệ đếm mà ta có thể biểu diễn một con số bất kỳ theo các hệ
thống số khác nhau. Người ta chia các hệ thống đếm thành hai loại:
Loại 1: Các hệ đếm không theo vị trí (ví dụ hệ đếm la mã).
Loại 2: Các hệ đếm theo vị trí: đó là hệ đếm mà giá trị của mỗi chữ số không những
phụ thuộc vào bản thân chữ số mà còn phụ thuộc vào vị trí của nó trong con số (ví
dụ: hệ đếm thập phân).
Tài liệu này chỉ đề cập đến các hệ đếm có vị trí.
Một hệ đếm theo vị trí có một tập hợp các chữ số khác nhau để biểu diễn một
con số bất kỳ. Số các chữ số đó gọi là cơ số của hệ đếm.
Công thức tổng quát để biểu diễn một con số là:








+±=
∑∑
−
−=−=
p
i
i

i
mk
k
k
RaRaN
1
0
1

Trong đó:
N: là một số
R: cơ số của hệ đếm
m: số chữ số ở phần nguyên (trước dấu phẩy)
p: là các số ở phần lẻ (trước dấu phẩy)
Dạng viết ngắn gọn của công thức tổng quát là:
pmmm
bbbbbbbbN
−−−−−−
+++++++++=

2101321
Hiện nay có các hệ đếm thông dụng là hệ đếm thập phân (hệ đếm cơ số 10), hệ
đếm nhị phân (hệ đếm cơ số 2), hệ đếm bát phân (hệ đếm cơ số 8) và hệ đếm thập
lục phân (hệ đếm cơ số 16). Tiếp theo chúng ta sẽ lần lượt đề cập các hệ đếm nói trên.
2- Hệ đếm cơ số 10
Hệ đếm cơ số 10 hay gọi là hệ đếm thập phân có cơ số R = 10 chính là hệ đếm
quen thuộc mà chúng ta sử dụng trong giao tiếp hàng ngày. Hệ đếm này sử dụng 10
chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để biểu diễn một số.
Ví dụ:
21012

10
10.910.310.610.510.239,256
−−
++++=
3- Hệ đếm cơ số 2
Hệ đếm cơ số 2 hay gọi là hệ đếm nhị phân có cơ số R = 2. Hệ đếm cơ số 2 sử
dụng hai chữ số 0 và 1 để biểu diễn một số.
Ví dụ:
3210123
2
2.12.02.12.12.12.02.1101,1011
−−−
++++++=

10
625,13=

4- Hệ đếm cơ số 8
Hệ đếm cơ số 8 còn được gọi là hệ bát phân hay hệ Octal. Hệ đếm cơ số 8 có
cơ số R = 8, sử dụng 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 để biểu diễn một số.
Ví dụ:
21022
8
8.28.58.78.38.252,237
−−
++++=
10
15625,159=
5- Hệ đếm cơ số 16
Page 1 Tài liệu Kỹ thuật số

Chương I: Các hệ đếm và mã
Hệ đếm cơ số 16 còn gọi là hệ thập lục phân hoặc hệ Hexadecimal. Hệ đếm cơ
số 16 có cơ số R = 16, sử dụng 16 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (trong
đó A, B, C, D, E, F lần lượt tương ứng với 10, 11, 12, 13, 14 và 15 trong hệ thập phân) để
biểu diễn một số.
Ví dụ:
21012
16.1016.016.316.1516.10,31
−−
++++=BF

10
0390625,499=
Bảng 1.1 tổng kết và so sánh 16 số đầu tiên trong các hệ đếm cơ số 10, cơ số 2,
cơ số 8 và cơ số 16 sau đây sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về 4 hệ đếm nói trên.
II/- CHUYỂN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ ĐẾM
1- Chuyển đổi từ hệ đếm 10 sang hệ đếm 2
Một con số bao giờ cũng được phân
thành 2 phần: phần nguyên và phần thập
phân. Cách chuyển đổi của 2 phần sẽ khác
nhau do đó ta chuyển đổi từng phần, sau
đó gộp lại với nhau.
a) Chuyển đổi phần nguyên: Phần nguyên
được chuyển đổi theo quy tắc lấy số cần
chuyển đổi chia 2 liên tục và ghi lại phần
dư của phép chia cho đến khi thương số
bằng 0. Kết quả phần dư đọc ngược từ
dưới lên trên (từ sau lên trước) chính là số
nhị phân đã chuyển đổi.
Ví dụ 1: Chuyển số 11

10
sang hệ đếm cơ số 2.
Giải: Áp dụng quy tắc trên ta có thể viết
như Bảng 1.2. Số nhị phân nhận được là
dãy số dư được đọc từ dưới lên trên (từ lần
chia cuối cùng về lần chia đầu tiên). Vậy: (11)
10
=
(1011)
2
.
Ví dụ 2: Chuyển số 29 từ hệ đếm 10 sang hệ đếm 2.
Giải: Áp dụng quy tắc chuyển đổi phần nguyên
ta viết như Bảng 1.3. Kết quả ta được: (29)
10
=
(11101)
2
b) Chuyển đổi phần thập phân: Đối với phần thập
phân ta chuyển đổi theo quy tắc sau: Lấy số cần
chuyển đổi nhân 2 liên tiếp và giữ lại phần
nguyên sau mỗi lần nhân. Kết quả số lẻ nhị phân
là dãy các số phần nguyên được giữ lại kể từ lần
nhân đầu tiên đến lần nhân cuối cùng. Quá
trình nhân 2 được dừng lại khi phần thập
phân phát sinh sau lần nhân đó bằng 0
hoặc số lẻ đã đạt đến độ chính xác theo yêu
cầu (độ chính xác càng cao thì số số lẻ càng
nhiều và do đó cần phải thực hiện nhiều lần
nhân 2 khi thực hiện biến đổi).

Page 2 Tài liệu Kỹ thuật số
Hệ 10 Hệ 2 Hệ 8 Hệ 16
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1
2 0 0 1 0 2 2
3 0 0 1 1 3 3
4 0 1 0 0 4 4
5 0 1 0 1 5 5
6 0 1 1 0 6 6
7 0 1 1 1 7 7
8 1 0 0 0 10 8
9 1 0 0 1 11 9
10 1 0 1 0 12 A
11 1 0 1 1 13 B
12 1 1 0 0 14 C
13 1 1 0 1 15 D
14 1 1 1 0 16 E
15 1 1 1 1 17 F
Bảng 1.1 Tổng kết 16 số đầu tiên trong các hệ đếm cơ số
10, cơ số 2, cơ số 8 và cơ số 16
Thương Dư
11: 2 5 1
5: 2 2 1
2: 2 1 0
1: 2 0 1
Bảng 1.2
Thương Dư
29: 2 14 1
14: 2 7 0
7: 2 3 1

3: 2 1 1
1: 2 0 1
Bảng 1.3
Tích số Số nguyên
0,65625 x 2 1,31250 1
0,31250 x 2 0,62500 0
0,62511 x 2 1,25000 1
0,50000 x 2 1,00000 1
Bảng 1.4
Chương I: Các hệ đếm và mã
Ví dụ 1: Biến đổi số (0,65625)
10
sang một số nhị phân.
Giải: Áp dụng quy tắc vừa nêu ta có thể viết như Bảng 1.4. Kết quả phần lẻ của số nhị
phân thu được là dãy số nguyên đọc từ lần nhân đầu tiên đến lần nhân cuối cùng là
10101. Vậy: (0,65625)
10
= (0,10101)
2
Ví dụ 2: Biến đổi số (0,333)
10
sang cơ số 2.
Giải: ÁP dụng quy tắc chuyển đổi phần thập
phân ta bảng 1.5. Tuy phần thập phân vẫn
còn (0,328) tuy nhiên số chữ số ở phần lẻ
của số nhị phân đã nhiều, độ chính xác của
phép chuyển đổi đã khá cao, nếu không có yêu cầu gì thêm thì ta có thể dừng lại. Vậy kết quả
là: (0,333)
10
= (0,0101)

2

Để thực hiện chuyển đổi một số từ hệ đếm 10 vừa có cả phần nguyên và phần
thập phân sang hệ đếm 2 thì ta phải thực hiện chuyển đổi riêng từng phần, sau đó
gộp lại với nhau.
Ví dụ 3: Chuyển số (11,65625)
10
sang cơ số 2.
Giải: Từ các ví dụ trên ta có (11,)
10
= (1011)
2
và (0,65625)
10
= (0,10101)
2
. Vậy kết quả
chuyển đổi số (11,65625)
10
sang cơ số 2 sẽ là tổng của hai phần chuyển đổi (11)
10
sang cơ số 2
và (0,65625)
10
sang cơ số 2. Cộng 2 phần chuyển đổi ta được kết quả: (11,65625)
10
=
(1011,10101)
2
Ví dụ 4: Chuyển số (29,333)

10
sang cơ số 2.
Giải: Tương tự ta có: (29,333)
10
= (11101,0101)
2
2- Chuyển đổi một số từ hệ đếm 2 sang hệ đếm 10
Để chuyển một số từ hệ đếm 2 sang hệ đếm 10 ta phải áp dụng công thức tổng
quát biểu diễn một số.
Từ công thức tổng quát, áp dụng với R=2 ta có:








+±=
∑∑
−
−=−=
p
i
i
i
mk
k
k
aaN

1
0
1
2
2.2.
Ta triển khai như sau:








++++
++++
±=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
p
p
m

m
m
m
aaa
aaaa
N
2 22
22 22
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
1
1
Trong đó phần nguyên được tính từ am
-1
đến a
0
, phần thập phân tính từ a
-1
đến a
-p
.
Ví dụ 1: Chuyển số (1011,10101)

2
sang cơ số 10.
Giải: áp dụng công thức trên ta có:
543210123
2
2.12.02.12.02.12.12.12.02.1)10101,1011(
−−−−−
++++++++=


10
656125,1103125,0125,05,0128 =+++++=
Ví dụ 2: Chuyển số (11101,0101)
2
sang cơ số 10.
Giải: áp dụng công thức trên tổng quát ta có:
4321012342
2.02.02.12.02.12.02.12.12.1)0101,11101(
−−−−
++++++++=


10
3125,290625,025,014816 =+++++=
3- Chuyển đổi một số từ hệ đếm 10 vào hệ đếm 8
a) Chuyển đổi phần nguyên
Page 3 Tài liệu Kỹ thuật số
Tích số Số nguyên
0,333 x 2 0,666 0
0,666 x 2 1,332 1

0,332 x 2 0,664 0
0,664 x 2 1,328 1
Bảng 1.5
Chương I: Các hệ đếm và mã
Quy tắc: Từ số nguyên ở hệ đếm 10 thực hiện chia 8 liên tiếp và giữ lại phần
dư cho đến khi thương số bằng 0. Kết quả dãy số dư được đọc từ số dư của phép
chia cuối cùng đến số dư của phép chia đầu
tiên chính là số cơ số 8 đã được chuyển đổi từ
số ở hệ đếm 10.
Ví dụ: Chuyển số (124)
10
sang cơ số 8.
Giải: ÁP dụng quy tắc trên ta đ ư ợc c ác s ố chia
nh ư ở b ảng 1.6.
Ơí dãy số dư, đọc từ số dư của phép chia cuối cùng đến số dư của phép chia đầu tiên
là 174. Vậy: (124)
10
= 174)
8
.
b) Chuyển đổi phần thập phân
Quy tắc: từ số thập phân cần chuyển đổi, thực hiện nhân 8 liên tiếp, giữ lại
phần nguyên phát sinh sau mỗi lần nhân cho đến khi phần thập phân phát sinh sau
khi nhân bằng 0. Kết quả số lẻ của số cơ số 8 là dãy số nguyên giữ lại sau khi nhân
được đọc từ số nguyên tạo ra từ phép
nhân đầu tiên đến số nguyên tạo ra từ
phép nhân cuối cùng.
Trong quá trình chuyển đổi sẽ có
trường hợp phần thập phân tạo ra sau các
lần nhân không bao giờ bằng 0. Trong

trường hợp này ta dừng lại khi đã đạt
được độ chính xác theo yêu cầu.
Ví dụ: Chuyển số (0,95)
10
sang cơ số 8.
Giải: Áp dụng quy tắc trên ta đ ư ợc c ác s ố chia nh ư ở b ảng 1.7. Dãy số nguyên đọc từ
số nguyên của phép nhân đầu tiên đến số nguyên của phép nhân cuối cùng là 7463.
Vậy: (0,95)
10
= (0,7463)
8
Từ 2 ví dụ trên ta có: (124,95)
10
= (174,7463)
8
4- Chuyển một số từ hệ đếm 8 sang hệ đếm 10
ÁP dụng công thức tổng quát với cơ số 8 ta có:








+±=
∑∑
−
−=−=
p

i
i
i
mk
k
k
aaN
1
0
1
8
8.8.
Ví dụ: Chuyển số (672,37)
8
sang cơ số 10
Giải: Ta có:
21012
8
8.78.38.28.78.6)37,672(
−−
++++=
= 440,879
10
5- Chuyển một số từ hệ đếm 10 sang hệ đếm 16
Để chuyển một số từ hệ 10 sang hệ 16 ta áp dụng quy tắc như chuyển hệ đếm
10 sang hệ đếm 2 và hệ đếm 8, thay vì chia 2
hoặc 8 liên tiếp ta thực hiện chia 16 liên tiếp,
thay vì nhân 2 hoặc 8 liên tiếp, ta thực hiện
nhân 16 liên tiếp.
Ví dụ 1: Chuyển số (38)

10
sang hệ đếm 16.
Giải: Thực hiện chia 16 liên tiếp ta có các giá trị
như ở bảng 1.8:
Kết quả: (38)
10
= (26)
16
Ví dụ 2: Chuyển số (31)
10
sang cơ số 16.
Page 4 Tài liệu Kỹ thuật số
Thương số Dư
124:8 15 4
15: 8 1 7
1: 8 0 1
bảng 1.6
Tích số Số nguyên
0,95 x 8 7,6 7
0,6 x 8 4,8 4
0,8 x 8 6,4 6
0,4 x 8 3,2 3
bảng 1.7
Thương số Số dư
38: 16 2 6
2: 16 0 2
bảng 1.8
Thương số Số dư
31: 16 1 15 = F
1: 16 0 1

bảng 1.9
Chương I: Các hệ đếm và mã
Giải: Thực hiện chia 16 liên tiếp ta có các giá trị
như ở bảng 1.9:
Kết quả: (31)
10
= (1F)
16
Ví dụ 3: Chuyển số (0,35)
10
sang cơ số 16.
Giải: Thực hiện nhân 16 liên tiếp ta có các giá trị
như ở bảng 110.Vậy: (0,95)
10
= (0,F33)
16
6- Chuyển đổi một số từ hệ đếm 16 sang hệ đếm 10
Áp dụng công thức tổng quát với cơ số R = 16 ta có:








+±=
∑∑
−
−=−=

p
i
i
i
mk
k
k
aaN
1
0
1
16
16.16.
Ví dụ: Chuyển số (F1, A)
16
sang hệ đếm 10.
Giải: Thay F = 15, A = 10 ta có:
(F1, A)
16
= 15.16
1
+1.16
0
+ 10.16
-1
= 240 + 1 + 0,66 = 241,66
10

7- Chuyển một số từ hệ đếm 8 sang hệ đếm 2
Quy tắc: Mỗi chữ số trong con số của hệ đếm cơ số 8 được thay thế bằng một

số nhị phân (số hệ đếm 2) 3 bit. Theo nguyên tắc:
0
8
= 000
2
1
8
= 001
2
2
8
= 010
2
3
8
= 011
2
4
8
= 1002 5
8
= 101
2
6
8
= 1102 7
8
= 111
2
Ví dụ 1: Chuyển số (712,63)

8
sang hệ đếm 2.
Giải: Theo nguyên tắc chuyển đổi trên, ta có: (712,63)
8
=(111 001 010, 110 011)
2
Ví dụ 2: Chuyển đổi số (1076,035)
8
sang hệ đếm 2.
Giải: Theo quy tắc thay thế trên, ta có: (1076,035)
8
= (001 000 111 110, 000 011 101)
2
8- Chuyển một số từ hệ đếm 2 sang hệ đếm 8
Quy tắc: Kể từ dấu phẩy (hoặc chấm) phân cách giữa phần nguyên và phần lẻ
của hệ đếm 2, ta tiến hành nhóm các con số nhị phân thành các nhóm 3 bit, sau đó
chuyển các nhóm 3 bit nhị phân thành một số ở hệ đếm cơ số 8 theo nguyên tắc
chuyển đổi số nhị phân thành thập phân.
Trong quá trình nhóm các nhóm nhị phân 3 bit sẽ có trường hợp nhóm cuối
cùng không đủ 3 bit. Trong trường hợp này nếu nhóm đó là phần nguyên thì ta coi
các chữ số phía trước bằng 0, nếu nhóm này nằm trong phần lẻ thì ta coi các chữ số
phía sau bằng 0.
Ví dụ 1: Chuyển đổi số (111 010, 001 101)
2
sang cơ số 8.
Giải: ÁP dụng quy tắc trên ta có: (111 010, 001 101)
2
= (72,15)
8

Ví dụ 2: Chuyển số (11 100 110, 0101)
2
sang cơ số 8.
Giải: ÁP dụng quy tắc chuyển đổi ta có:
(11 100 110, 0101)
2
= (011 100 110, 010 100)
2
= (346,24)
8
9- Chuyển một số từ hệ đếm 16 sang hệ đếm 2
Quy tắc: Mỗi chữ số trong hệ đếm cơ số 16 được thay thế bằng một nhóm 4 chữ số
trong hệ đếm nhị phân theo nguyên tắc:
0
16
= 0000
2
1
16
= 0001
2
2
16
= 0010
2
3
16
= 0011
2
4

16
= 0100
2
5
16
= 0101
2
6
16
= 01102 716 = 0111
2
8
16
= 1000
2
9
16
= 1001
2
A
16
= 1010
2
B
16
= 1011
2
C
16
= 1100

2
D
16
= 1101
2
E
16
= 1110
2
F
16
= 1111
2
Ví dụ: Chuyển số (F7A3B, A1)
16
sang hệ đếm nhị phân.
Page 5 Tài liệu Kỹ thuật số
Phần lẻ Tích số Số nguyên
0,95 x 16 15,20 15 = F
0,2 x 16 3,20 3
0,2 x 16 3,20 3
bảng 1.10
Chương I: Các hệ đếm và mã
Giải: ÁP dụng quy tắc trên ta có:
(F7A3B, A1)
16
= (1111 0111 1010 0011 1011, 1010 0001)
2
10- Chuyển một số từ hệ đếm 2 sang hệ đếm 16
Quy tắc: Thực hiện chuyển đổi giống như chuyển đổi một số từ hệ đếm 2 sang

hệ đếm 8, nhưng thay vì nhóm các chữ số nhị phân thành các nhóm 3 bit, ta nhóm
các số nhị phân thành các nhóm 4 bit.
Ví dụ 1: Chuyển số nhị phân (1010 0111, 1110 1001)
2
sang hệ đếm 16.
Giải: Theo quy tắc trên ta có: (1010 0111, 1110 1001)
2
= (A7, E9)
16
Ví dụ 2: Chuyển số (10, 10101)
2
sang hệ đếm cơ số 16.
Giải: Ta có: (10, 10101)
2
= (0010, 1010 1000)
2
= (2, A8)
16

11- Số học nhị phân
Chúng ta đều quen thuộc với những phép toán số học như là phép cộng, trừ,
nhân và chia cho các số thập phân. Những phép toán tương tự có thể được thực hiện
trên các số nhị phân. Trong thực tế, số học nhị phân đơn giản hơn nhiều so với số học
thập phân bởi vì ở đây chỉ liên quan đến hai chữ số 0 và 1. Các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia nhị phân được trình bày dưới đây:
a) Phép cộng nhị phân
Các luật của phép cộng nhị
phân được đưa ra trong bảng 1.11:
Ba hàng đầu tiên không có
nhớ tức là nhớ bằng 0, ở hàng thứ

tư một nhớ được sinh ra nghĩa là
nhớ bằng 1 và giống với phép cộng
thập phân nó được cộng với vị trí
nhị phân cao hơn kế tiếp.
Ví dụ 1: Hãy cộng các số nhị phân: 1011 với 1100
Giải:
1 0 1 1
+ 1 1 0 0
= 1 0 1 1 1
Ví dụ 2: Hãy cộng các số nhị phân: 0101 với 1111
Giải:
b)
Phép trừ nhị phân
Các luật cho phép trừ nhị phân
được đưa ra trong bảng 1.12 :
Khi vay bằng 1, như trong hàng thứ 2, số vay này là để trừ trong bit nhị phân
cao hơn kế tiếp như được làm trong phép trừ thập phân.
Ví dụ: Thực hiện phép trừ nhị phân:1011-0110
Giải: Ở đây trong cột 1 và 2 thì vay
bằng 0 và trong cột 3 thì vay bằng 1. Cho nên
trong cột 4 lấy 1 trừ đi 0 rồi kết quả nhận được
lại trừ bit vay.
Page 6 Tài liệu Kỹ thuật số
0 1 0 1
+ 1 1 1 1
= 1 0 1 0 0
Số hạng 1 Số hạng 2 Kết quả
Nhớ Tổng
0 0 0 0
0 1 0 1

1 0 0 1
1 1 1 0
b ảng 1.11
Số bị trừ Số trừ Kết quả
Hiệu số Vay
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0
bảng 1.12
Cột 4 3 2 1
1 0 1 1
- 0 1 1 0
= 0 1 0 1
Chương I: Các hệ đếm và mã
f) Phép nhân nhị phân
Phép nhân nhị phân tương tự với phép nhân thập phân. Đối với nhị phân mỗi
một hàng nhân hoặc là bằng 0 hoặc bằng số nhị phân (vì nhân với 1).
Dưới đây là một ví dụ về phép nhân nhị phân:
Ví dụ: Hãy nhân 1001 với 1101
Giải:
g) Phép chia nhị phân
Sử dụng thủ tục giống hệt với phép chia thập phân. Dưới đây là một ví dụ:
Ví dụ: Hãy chia 1110101 cho 1001
Giải:
Số bị chia Số chia
1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
- 1 0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 1 1 Thương số
- 1 0 0 1

1 0 0 1
- 1 0 0 1
0 0 0 0
III/- CÁC LOẠI MÃ THÔNG DỤNG
1- Khái niệm chung về mã
Máy tính và các mạch số thực hiện các thao tác với dữ liệu có thể là tín hiệu
số, chữ cái, chữ số hoặc các ký tự đặc biệt. . . Vì các mạch số chỉ làm việc trong dạng
nhị phân (0 và 1) nên các chữ số, chữ cái, ký tự đặc biệt . v.v phải được chuyển đổi về
dạng nhị phân. Có nhiều phương pháp chuyển đổi, quá trình chuyển đổi được gọi là
mã hoá. Ứng với mỗi phương pháp mã hoá ta được một loại mã. Trong thực tế, tồn
tại nhiều loại mã và các mã khác nhau phục vụ cho những mục đích khác nhau. Một
số loại mã thông dụng là mã BCD, mã Grây, mã dư 3.v.v.
2- Mã BCD (Binary Coded Decimal)
a) Khái niệm
Mã BCD là một mã nhị phân trong đó sử dụng 4 bit nhị phân để mã hoá các
chữ số thập phân từ 0 đến 9.
b) Phân loại mã BCD
Có nhiều loại mã BCD. Tuy nhiên trong thực tế người ta phân mã BCD thành
2 loại: Mã BDC tự nhiên và mã BCD không tự nhiên.
Page 7 Tài liệu Kỹ thuật số
1001số bị nhân (Multiplicand)x1101số nhân (Miltiplier)
+1001hàng nhân thứ 10000hàng nhân thứ 2 1001hàng nhân thứ
31001hàng nhân thứ 4=1110101kết quả cuối cùng
Chương I: Các hệ đếm và mã
Mã BCD tự nhiên là mã mà trọng số của các bit sử dụng trong mã đó trùng
với trọng số của mã nhị phân tự nhiên. Do đó, mã BCD tự nhiên còn được gọi là mã
BCD 8421.
Mã BCD tự không nhiên là mã mà trọng số của các bit sử dụng trong mã đó
không trùng với trọng số của mã nhị phân tự nhiên. Các mã BCD không tự nhiên
thông dụng như BCD5421, BCD2421, BCD4321…

c) Mã BCD tự nhiên
* Bảng mã: Bảng 1.13 mô tả mã BCD tự nhiên.
Mã BCD không phải là một hệ đếm mà
là một sự mã hoá các số thập phân bằng các
chữ số nhị phân quy định.
Với 4 bit ta có 16 tổ hợp từ 0000 đến
1111, nhưng với mã BCD tự nhiên chỉ dùng
10 tổ hợp 0000 đến 1001, các tổ hợp còn lại từ
1010 đến 1111 là các tổ hợp dư.
* Chuyển đổi giữa số thập phân sang mã
BCD8421 và ngược lại
Ví dụ 1: Chuyển số (861,3)
10
sang mã BCD.
Giải: Thay thế mỗi chữ số thập phân bằng một nhóm 4 bit mã BCD ta có: (861,3)
10
= (1000
0110 0001, 0011)
BCD
Ví dụ 2: Chuyển số (1000 0110 0001, 0011)
BCD
sang mã thập phân.
Giải: Thay thế mỗi nhóm 4 bit bằng 1 chữ số thập phân ta có:
(1000 0110 0001, 0011)
BCD
= (861,3)
10

c) Mã BCD không tự nhiên
Mã BCD không tự nhiên là mã BCD mà trong đó trọng số của các bit không

tuân theo quy luật của số nhị phân tự nhiên. Bảng 1.14 mô tả bảng mã của một số mã
BCD không tự nhiên:
Thập
phân
Mã BCD 5421 Mã BCD 4321 Mã BCD 4221
A B C D A B C D A B C D
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
3 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1
4 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
5 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1
6 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0
7 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
8 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
9 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Bảng 1.14 Một số mã BCD không tự nhiên
Ví dụ: Đổi số (861,3)
10
sang các mã BCD 5421, BCD 4321 và BCD 4221.
Giải: Từ bảng mã ta có:
(861,3)
10
= (1011 1001 0001, 0011)
BCD 5421
Page 8 Tài liệu Kỹ thuật số
Mã thập phân Mã BCD
A B C D
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1

2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
Bảng 1.13 mã BCD tự nhiên
Chương I: Các hệ đếm và mã
= (1101 1010 0001, 0100)
BCD 4321
= (1110 1100 0001, 0011)
BCD 4221
3- Mã Grây
Mã Grây là một mã nhị
phân không theo trọng số,
trong đó các tổ hợp mã cạnh
tranh chỉ khác nhau 1 bit.
Bảng 1.15 cho thấy một
mã Grây 4 bit và so sánh nó
với một mã nhị phân:
Mã Grây còn được gọi
là mã vòng vì từ tổ hợp mã
cuối cùng theo quy luật khác
nhau 1 bit lại quay trở về tổ
hợp mã đầu tiên.
Có thể mô tả tính chất vòng
của một mã Grây 2 bit như
sau:

4- Mã dư 3 (Excess-3)
Mã dư 3 cũng là một
loại mã không theo trọng số.
Mã này thường được sử dụng
trong các máy tính số. Có thể
nhận được mã dư 3 bằng cách
cộng 3 (biểu diễn dưới dạng nhị
phân) vào các tổ hợp mã nhị
phân tự nhiên tương ứng.
Bảng 1.16 mô tả bảng
mã của mã dư 3 và so sánh nó
với mã BCD 8421:
Cách biểu diễn chữ số
thập phân bằng mã dư 3 rất thuận tiện khi muốn có bù 9. Ta đạt được bù 9 bằng cách
lấy bù các bit nhị phân trong nhóm mã đó. Ví dụ: bù 9 của 4 (0111 trong mã dư 3) là 5
(1000 trong mã dư 3). Nó giúp thực hiện phép trừ trong các máy tính số.
Page 9 Tài liệu Kỹ thuật số
00 01 1011
Thập phân Mã BCD 8421 Mã Gray
A B C D A B C D
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 0 0 1 0 0 0 1 1
3 0 0 1 1 0 0 1 0
4 0 1 0 0 0 1 1 0
5 0 1 0 1 0 1 1 1
6 0 1 1 0 0 1 0 1
7 0 1 1 1 0 1 0 0
8 1 0 0 0 1 1 0 0
9 1 0 0 1 1 1 0 1

10 1 0 1 0 1 1 1 1
11 1 0 1 1 1 1 1 0
12 1 1 0 0 1 0 1 0
13 1 1 0 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 1 0 0 1
15 1 1 1 1 1 0 0 0
Bảng 1.15 Mã Grây 4 bit và so sánh nó với một
mã nhị phân
Thập phân Mã BCD 8421 Mã dư 3
A B C D A B C D
0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0
2 0 0 1 0 0 1 0 1
3 0 0 1 1 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0 1 1 1
5 0 1 0 1 1 0 0 0
6 0 1 1 0 1 0 0 1
7 0 1 1 1 1 0 1 0
8 1 0 0 0 1 0 1 1
9 1 0 0 1 1 1 0 0
Bảng 1.16. mã dư 3 và so sánh với mã BCD 8421
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Chương II
CÁC MẠCH LOGIC CƠ BẢN
I/- SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI SỐ LOGIC
1- Các khái niệm cơ bản
a) Đại số logic
Đại số logic hay còn gọi là đại số Boole do nhà toán học George Boole - Người
Anh sáng tạo vào giữa thế kỷ 19. So với đại số thường đại số logic đơn giản hơn
nhiều.

Đại số logic cũng dùng chữ để biểu thị biến số nhưng biến số logic chỉ nhận
giá trị 1 hoặc 0. Các giá trị 0 và 1 trong đại số logic không chỉ biểu thị số lượng to nhỏ
cụ thể mà chủ yếu là biểu thị hai trạng thái logic khác nhau (ví dụ: dùng 1 và 0 để
biểu thị đúng và sai, cao và thấp, nóng và lạnh, có và không, mở và đóng . ).
Trong đại số logic có một số quy tắc giống với đại số thường, nhưng một số
quy tắc lại hoàn toàn khác với đại số thường.
b) Các phép toán logic cơ bản
* Quan hệ lôgic AND
Một sự kiện chỉ có thể phát sinh khi tất cả mọi điều kiện quyết định sự kiện đó
đều được đáp ứng. Quan hệ nhân quả nói trên được gọi là logic AND. Phép toán
logic thể hiện quan hệ logic AND là nhân logic: Y
1
= A . B (1)
* Quan hệ logic OR
Một sự kiện vẫn phát sinh khi trong số nhiều điều kiện quyết định sự kiện đó,
chỉ cần một hay một số điều kiện bất kỳ được đáp ứng. Quan hệ nhân quả nói trên
được gọi là logic OR. Phép toán logic thể hiện quan hệ logic OR là cộng logic: Y
2
= A
+ B (2)
* Quan hệ logic NOT (NOT là đảo, là phủ định)
Một sự kiện phát sinh khi điều kiện quyết định sự kiện đó không đáp ứng.
Quan hệ nhân quả nói trên được gọi là logic NOT. Phép toán logic thể hiện quan hệ
logic NOT là đảo logic (còn gọi là phép phủ định): Y
3
=
A
: đảo logic (3)
Ngoài 3 phép toán logic cơ bản nhất, trong đại số logic còn có các phép toán:
và - phủ định, hoặc - phủ định, và - hoặc - phủ định, cộng với phép loại trừ . . .

Ví dụ: Y
4
= A . B : và - phủ định (4)
Y
5
=
BA +
: hoặc - phủ định (5)
Y
6
=
CDAB +
: và - hoặc - phủ định (6)
Y
7
= A ⊕ B : cộng với phép loại trừ (7)
c) Biến và hàm logic
Các công thức 1 ÷ 7 là các biểu thức logic, trong đó A, B, C, D là các biến logic
đầu vào, Y là biến logic đầu ra, dấu gạch phía trên biến logic biểu thị hàm logic đảo
của biến đó. Công thức 1 biểu thị quan hệ logic “và” (AND) giữa biến A và biến B, Y
1
là hàm “và” của các biến A, B. Công thức 2 biểu thị quan hệ logic hoặc (OR) giữa
biến A và biến B, Y
2
là hàm “hoặc” của các biến A, B .v .v
Page 10 Tài liệu Kỹ thuật số
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Khi đã xác định được các giá trị của biến đầu vào A, B . . . thì giá trị của biến
đầu ra Y cũng được xác định theo một cách đơn trị. Vậy ta gọi Y là hàm số logic của
các biến logic A, B . . . và có thể viết: Y = F (A, B, . . . )

Trong đại số logic, biến số và hàm số đều chỉ có thể nhận 2 giá trị. Người ta
thường dùng 0 và 1 để biểu thị. Mỗi biến số biểu thị một điều kiện để sự kiện có thể
phát sinh.
Hàm số biểu thị bản thân sự kiện đó có phát sinh hay không. Số 0 và 1 biểu thị
ký hiệu của hai khả năng đối lập nhau (ví dụ: có - không, đúng - sai, cao - thấp . . .)
và trong đa số trường hợp chúng không có ý nghĩa số lượng nữa.
2- Một số định lý cơ bản trong đại số logic
a) Đại số logic với hàm một biến
* Quan hệ giữa các hằng số
0 . 0 = 0 (8) 1+ 1 = 1 (8’)
0 . 1 = 0 (9) 1+ 0 = 1 (9’)
1 . 1 = 1 (10) 0+ 0 = 0 (10’)
0
= 1 (11)
1
= 0 (11’)
Những quan hệ trên đây giữa hai hằng số là tiền đề của đại số logic. Nghĩa là
chúng là các quy tắc cơ bản đối với tư duy logic.
* Quan hệ giữa biến số và hằng số
AA
=
1.
(12)
AA
=+
0
(12’)
00.
=
A

(13)
11 =+A
(13’)
0. =AA
(14)
1=+ AA
(14’)
b) Đại số logic với hàm nhiều biến
* Các định lý tương tự đại số thường:
- Luật giao hoán:
ABBA
=
(15)
ABBA +=+
(15’)
- Luật kết hợp:
).() ( CBACBA =
(16)
)()( CBACBA ++=++
(16’)
- Luật phân phối:
CABACBA ).( +=+
(17)
))(( CABABCA ++=+
(17’)
* Các định lý đặc thù chỉ có trong đại số logic:
- Luật đồng nhất:
AAA
=
.

(18)
AAA =+
(18’)
- Định lý De Morgan:
+ Phủ định của một tích bằng tổng các phủ định thành phần:
BABA +=.
(19)
Dạng tổng quát:
nn
AAAAAA
+++=

2121

(20)
+ Phủ định của một tổng bằng tích các phủ định thành phần:
BABA .=+
Dạng tổng quát:
nn
AAAAAA
2121
=+++

(21)
- Luật hoàn nguyên:
Page 11 Tài liệu Kỹ thuật số
Chương II: Các mạch logic cơ bản
AA =
(22)
c) Một số quy tắc về đẳng thức

* Quy tắc thay thế:
Trong bất kỳ một đẳng thức logic nào, nếu thay thế một biến nào đó bằng một
hàm số thì đẳng thức vẫn được thiết lập.
Quy tắc này được ứng dụng nhiều trong biến đổi công thức để tạo ra công
thức mới từ một công thức đã biết, mở rộng phạm vi ứng dụng của công thức đã
biết.
Ví dụ: Công thức đã biết là:
BABA +=.
Dùng Z = A.C thay vào biến A ta có:
BCABCABCA ++=+= )(.) (
hay:
BCACBA ++=
* Quy tắc tìm đảo của một hàm số
Y
là đảo của hàm số Y sẽ có được từ Y bằng cách đổi dấu “nhân” (. Hoặc x)
thành dấu “cộng” (+) ; dấu “cộng” thành dấu “nhân” ; “0” thành “1” và “1” thành
“0”, biến số thành đảo của biến số, đảo biến số thành nguyên biến số.
Ví dụ 1:
0.
1
++= CDBAY
có hàm đảo tương ứng là:
1).)((
1
DCBAY ++=
Ví dụ 2:
EDCBAY ++++=
2
có hàm đảo tương ứng là:
EDCBAY

2
=
Khi tìm đảo của một hàm số, những gạch ngang nào (biểu thị phép toán đảo)
trên nhiều biến thì vẫn giữ nguyên.
Thứ tự ưu tiên khi xử lý các ký hiệu là dấu móc, dấu nhân, dấu cộng.
Ví dụ:
CDBAY +=
sẽ có hàm đảo tương ứng là:
))(( DCBAY ++=
Nếu viết:
DCBAY ++= .
là sai
d) Các công thức thường dùng
* Công thức 23 :
ABABA =+
Chứng minh :
AABBABABA ==+=+ 1.)(
* Công thức 24 :
AABA =+
Chứng minh :
AABAABA ==+=+ 1.)1(
* Công thức 25 :
BABAA +=+
Chứng minh : theo công thức 10’ ta có:
BABABAAABAA +=+=++=+ ).(1))((
*Công thức 26 :
CAABBCCAAB +=++
.Chứng minh :
* Công thức 27:
ABBABABA +=+

Chứng minh :
ABBAABBABBABBAAA
BABABABABABABABA
+=+++=+++=
++=++==+
00
))(())((.
Page 12 Tài liệu Kỹ thuật số
CAABBCABAB
CBACAABCABABCCAABCAB
ABCBCACAABAABCCAABBCCAAB
+=+++=
+++=+++=
+++=+++=++
)1()1(
)(
Chương II: Các mạch logic cơ bản
II/- CÁC CỔNG LOGIC
1- Khái niệm về cổng logic
Mạch điện thực hiện các phép toán logic được gọi là các cổng logic. Vậy tương
ứng với các phép toán NOT, AND, OR . . . sẽ có các cổng logic NOT, AND, OR . . .
2- Cổng NOT
Cổng NOT là cổng thực hiện phép toán đảo logic.
- Ký hiệu, bảng trạng thái:
- Biểu thức:
AY =
3- Cổng OR
Cổng OR là cổng thực hiện phép cộng (phép hoặc) logic.
- Ký hiệu: Hình 2.2

- Biểu thức: Y = A + B
- Bảng trạng thái:
Ngõ ra bằng 1 khi tất cả các ngõ vào đều bằng 1.
4- Cổng AND
Cổng AND thực
hiện phép toán “và”.
- Ký hiệu: Hình 2.3
- Biểu thức: Y = AB
- Bảng trạng thái:
Ngõ ra của
cổng AND bằng 1 khi có ít nhất 1 đầu vào bằng 1.
5- Cổng NAND
Cổng NAND
thực hiện phép toán
“và-đảo”.
- Ký hiệu: Hình 2.4
- Biểu thức:Y =
AB
- Bảng trạng thái:
Ngõ ra của
Page 13 Tài liệu Kỹ thuật số
A A
Y
Y
bảng trạng
thái
Hình 2.1 ký hiệu và bảng trạng thái của cổng NOT
A
B
A

B
A
B
Y Y Y
Hình 2.2 ký hiệu của cổng OR
 B 
  
  
  
  
Y Y

B

B
Hình 2.3 Ký hiệu của cổng AND
ABY000010100111Bảng tr
ạng th ái
A
B
A
B
Y
Y
Hình 2.4 Ký hiệu của cổng NAND
Bbản
g trạng thái
Chương II: Các mạch logic cơ bản
cổng NAND bằng 1 khi có ít nhất 1 đầu vào bằng 0.
Hoạt động của 1 cổng NAND tương đương với một mạch ghép gồm 1 cổng

AND và 1 cổng NOT như sau:
6- Cổng NOR
Cổng NOR thực hiện phép toán “hoặc - đảo”
- Ký hiệu: Hình 2.6
- Biểu thức:

BAY +=
Ngõ ra bằng 1 khi tất cả các ngõ vào đều bằng 0.
Hoạt động của 1 cổng NOR tương đương với 1 mạch ghép gồm 1 cổng OR và
1 cổng NOT như sau:
Hình 2.7 Mạch tươmg đương của cổng NOR
7- Cổng EX-OR
Cổng EX-OR thực hiện phép toán “cộng với phép loại trừ” hay còn gọi là
“hoặc loại trừ”.
- Ký hiệu
- Biểu thức:
BABABAY +=⊕=
Đầu ra Y nhận giá trị
bằng 1 khi hai đầu vào có giá
trị khác nhau.
Có thể dùng các cổng
logic NOT, AND và OR để tổ
chức một mạch EX-OR như
Hình 2.9.
Page 14 Tài liệu Kỹ thuật số

B

B


B
  
=
A
B
AB
Y = AB
B
A
A+B A+ B
Y=A + B
A
B
A
B
=
A
B
A
B
A
B
Y Y Y
Bbảng
trạng thái
Hình 2.6 Ký hiệu của cổng NOR
Hình 2.8 Ký hiệu của cổng EX-OR
 B 
  
  

  
1 1 0
bảng trạng thái
Hình 2.5 Mạch điện tương đương của cổng NAND
A
B
Y = AB + AB
Hình 2.9 Mạch tương đương của cổng EX-OR
Chương II: Các mạch logic cơ bản
8- Cổng EX-NOR
Cổng EX-NOR thực hiện phép toán “cộng với phép loại trừ phủ định” hay
còn gọi là phép “hoặc loại trừ phủ định”.
- Ký hiệu:
- Biểu thức:
BAABBAY +=⊕=
Đầu ra Y nhận giá trị bằng 1 khi 2 đầu vào có giá trị giống nhau.Có thể dùng
các cổng logic NOT, AND và OR để xây dựng một mạch EX-NOR như ở hình 2.14:
Hình 2.11 Mạch tương đương của cổng EX-NOR
III/- CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN HÀM LOGIC
Khi nghiên cứu và xử lý các vấn đề logic, ta có thể dùng các phương pháp
khác nhau để biểu thị hàm logic tuỳ theo đặc điểm của hàm logic đang xét.
Có 4 phương pháp thường được sử dụng là bảng trạng thái, biểu thức logic,
bảng Karnaugh và sơ đồ logic. Chúng ta cần nắm vững các phương pháp và cách
chuyển đổi từ phương pháp này sang
phương pháp khác. Sau đây sẽ lần lượt đề
cập một số phương pháp này.
1- Bảng trạng thái
Bảng trạng thái (hay còn gọi là
bảng chân lý, bảng sự thật) là bảng miêu
tả quan hệ giữa các giá trị của hàm số

tương ứng với mọi giá trị của biến số.
a) Phương pháp liệt kê thành bảng trạng
thái
Mỗi biến đầu vào có thể nhận 2 giá
trị là 0 và 1, nếu có n biến đầu vào thì có
2
n
tổ hợp các giá trị khác nhau. Để nhận
được bảng trạng thái, ta phải liệt kê tất cả
Page 15 Tài liệu Kỹ thuật số
A
B
A
B
A
B
Y Y Y
BBản
g trạng thái
Hình 2.10 Ký hiệu của cổng EX-NOR
A
B Y = A.B +
A.B
A B C D Y Thuyết minh
0 0 0 0 0 đèn tắt
0 0 0 1 0 đèn tắt
0 0 1 0 0 đèn tắt
0 0 1 1 1 đèn sáng
0 1 0 0 0 đèn tắt
0 1 0 1 1 đèn sáng

0 1 1 0 1 đèn sáng
0 1 1 1 1 đèn sáng
1 0 0 0 0 đèn tắt
1 0 0 1 1 đèn sáng
1 0 1 0 1 đèn sáng
1 0 1 1 1 đèn sáng
1 1 0 0 1 đèn sáng
1 1 0 1 1 đèn sáng
1 1 1 0 1 đèn sáng
1 1 1 1 1 đèn sáng
Bảng 2.1
Chương II: Các mạch logic cơ bản
các tổ hợp giá trị của biến đầu vào và giá trị xác định của hàm đầu ra tương ứng với
từng tổ hợp đó.
Ví dụ 1: Một bóng đèn Y được điều khiển bằng 4 công tắc, biết rằng đèn chỉ sáng khi
có ít nhất 2 công tắc được đóng. Hãy lập bảng trạng thái của hàm logic thể hiện quan
hệ giữa các công tắc và bóng đèn.
Giải: Gọi A, B, C, D là các công tắc điều khiển bóng đèn Y. Công tắc nào đóng nối
mạch thì nhận giá trị 1, ngược lại nhận giá trị 0. Bóng đèn Y nhận giá trị 1 khi sáng và
nhận giá trị 0 khi tắt. Như vậy hàm Y có 4 biến A, B, C, D. Ta có bảng trạng thái như
bảng 2.1:
Ví dụ 2: Hãy kê bảng trạng thái của hàm số sau: Y= AB + BC + CA
Giải: Hàm số có 3 biến đầu vào, nên có 2
3
= 8 tổ hợp giá trị. Thay giá trị của mỗi tổ hợp vào
hàm số và tính ra giá trị tương tứng, sau đó liệt kê thành bảng ta sẽ được bảng trạng thái ở
Bảng 2.2.
Chú ý: Để không thiếu các tổ hợp trạng
thái ta sắp xếp thứ tự các giá trị của biến
theo tuần tự số nhị phân, trong đó

nguyên biến nhận giá trị 1, đảo biến
nhận giá trị 0.
b) Đặc điểm của bảng trạng thái
Bảng trạng thái là một phương
pháp hình học để biểu thị hàm logic
dưới dạng bảng số, nó có các đặc điểm
cơ bản sau:
1a- Rõ ràng, trực quan: Sau khi xác định giá trị biến đầu vào thì có thể tra bảng trạng
thái để biết được giá trị tương ứng của hàm đầu ra.
Để giải quyết một vấn đề logic thì bảng trạng thái là rất thuận tiện. Trong quá
trình thiết kế mạch logic, việc đầu tiên là phân tích yêu cầu và lập được bảng trạng
thái.
Nhược điểm chủ yếu của bảng trạng thái là phức tạp, rối rắm khi số biến khá
nhiều, không thể dùng các công thức và định lý trong đại số logic để tính toán.
Đôi khi để đơn giản người ta chỉ cần
liệt kê các tổ hợp các giá trị đầu vào tương
ứng với hàm số có giá trị bằng 1. Những tổ
hợp không sử dụng hoặc làm cho hàm có
giá trị bằng 0 đều không cần liệt kê.
2-Biểu thức logic
Biểu thức hàm số dạng đại số logic
dùng phép toán VÀ, HOẶC, ĐẢO để biểu
thị quan hệ logic giữa các biến trong hàm
số.
a) Dạng chuẩn tắc tuyển (dạng tổng của
các tích)
1a- Khái niệm
Page 16 Tài liệu Kỹ thuật số
Thập phân A B C Y
0 0 0 0 0

1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
Bảng 2.2
A B C D Y Thuyết minh
0 0 0 0 0 đèn tắt
0 0 0 1 0 đèn tắt
0 0 1 0 0 đèn tắt
0 0 1 1 1 đèn sáng
0 1 0 0 0 đèn tắt
0 1 0 1 1 đèn sáng
0 1 1 0 1 đèn sáng
0 1 1 1 1 đèn sáng
1 0 0 0 0 đèn tắt
1 0 0 1 1 đèn sáng
1 0 1 0 1 đèn sáng
1 0 1 1 1 đèn sáng
1 1 0 0 1 đèn sáng
1 1 0 1 1 đèn sáng
1 1 1 0 1 đèn sáng
1 1 1 1 1 đèn sáng
Bảng 2.3
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Giả sử có hàm logic đã biểu thị bằng bảng trạng thái, trong bảng trạng thái đó
ta chỉ quan tâm đến các tổ hợp biến làm cho hàm nhận giá trị là 1, ứng với các tổ hợp
biến đó nếu ta viết 1 ứng với nguyên biến, 0 ứng với đảo biến để tạo thành các tổ hợp

dạng tích, sau đó đem cộng tất cả các tổ hợp dạng tích lại với nhau thì ta được một
hàm số được biểu thị bằng dạng chuẩn tắc tuyển (tổng của các tích - ORAND) của
hàm logic.
Ví dụ: Một bóng đèn Y được điều khiển bằng 4 công tắc, biết rằng đèn chỉ sáng khi có ít nhất
2 công tắc được đóng. Hãy viết biểu thức hàm số biểu diễn mối quan hệ lôgic giữa các công
tắcvà bóng đèn Y.
Giải: Như đã phân tích ở phần trước. Ta có bảng trạng thái như Bảng 2.3:
Hàm Y = 1 tương ứng với các tổ hợp giá trị các biến:
ABCD = 0011, 0101, 0110, 0111, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101,1110, 1111
Các số hạng dạng tích tương ứng của các biến là:
CDBA
,
DCBA
,
DCBA
,
BCDA
,
DCBA
,
DCBA
,
CDBA
,
DCAB
,
DCAB
,
DABC
,

ABCD
Cộng các số hạng dạng tích lại với nhau ta được dạng chuẩn tắc tuyển của
hàm số.
Y =
CDBA
+
DCBA
+
DCBA
+
BCDA
+
DCBA
+
CDBA
+
DCAB
+
DCAB
+
DABC
+
ABCD
Biểu thức hàm số dạng chuẩn tắc tuyển nhấn mạnh hình thức chuẩn của các
số hạng dạng tích trong biểu thức. Chúng ta gọi số hạng chuẩn này là số hạng nhỏ
nhất (Minterm).
Như vậy “Số hạng nhỏ nhất” (Minterm) của các biến số trong một hàm số là
một tổ hợp dạng tích có mặt đầy đủ các biến số và mỗi biến số chỉ xuất hiện 1 lần
dưới dạng nguyên biến hoặc đảo biến.
Một cách tổng quát, với trường hợp n biến thì số hạng dạng tích P sẽ có n thừa

số; trong P mỗi biến đều xuất hiện một lần và chỉ một lần mà thôi dưới dạng nguyên
biến hoặc đảo biến ; P được gọi là số hạng nhỏ nhất của n biến. Nếu hàm số có n biến
thì sẽ có 2
n
số hạng nhỏ nhất.
2a. Tính chất của số hạng nhỏ nhất:
Số hạng nhỏ nhất có các tính chất sau:
+ Mỗi số hạng nhỏ nhất tương ứng với một tổ hợp giá trị của biến để nó bằng
1 và chỉ có 1 tổ hợp mà thôi.
+ Ứng với 1 tổ hợp gí trị của các biến thì tích của 2 số hạng nhỏ nhất bất kỳ
luôn bằng 0.
+ Ứng với 1 tổ hợp gí trị của các biến thì tổng của các số hạng nhỏ nhất luôn
bằng 1.
Một hàm logic bất kỳ đều có thể biểu diễn dưới dạng là tổng của các số hạng
nhỏ nhất (chuẩn tắc tuyển). Mặt khác, hình thức biểu diễn hàm số dưới dạng chuẩn
tắc tuyển có tính duy nhất, tức là một hàm logic chỉ có một biểu thức duy nhất biểu
thị nó dưới dạng chuẩn tắc tuyển tối thiểu. Dạng chuẩn tắc tuyển của hàm số không
những được viết ra từ bảng trạng thái mà còn có thể dùng các công thức và định lý
của đại số logic và các cách khai triển khác để biến đổi hàm số về dạng chuẩn tắc
tuyển.
Page 17 Tài liệu Kỹ thuật số
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Ví dụ 1: Hãy viết dạng chuẩn tắc tuyển của hàm số:
Y = AB + BC + CA
Giải: Y = AB + BC + CA
=
)()()( BBCAAABCCCAB +++++
=
BCACBACABABC +++
Ví dụ 2: Hãy viết dạng chuẩn tắc tuyển của hàm:

Y =
)
)(
(
C
B
A
C
B
A
+
+
+
+
Giải:
)()( CBACBAY +++++=

ABCCBA +=
3a. Ký hiệu của số hạng nhỏ nhất:
Để tiện cho việc diễn đạt, người ta thường gán cho mỗi số hạng nhỏ nhất một
ký hiệu. Phương pháp như sau: Tổ hợp các biến số tương ứng với số hạng nhỏ nhất
được biến đổi thành một số dạng thập phân và con số này chính là ký hiệu của số
hạng nhỏ nhất.
Giả sử, trong các số hạng nhỏ nhất của các biến A, B, C thì:
CBA
tương ứng
với tổ hợp giá trị 000, tức là 0
10
. Vậy ký hiệu của số hạng nhỏ nhất
CBA

sẽ là m
0
;
CBA
tương ứng với tổ hợp 010, tức là 2
10
. Vậy ký hiệu của số hạng nhỏ nhất
CBA
sẽ
là m
2
. Tương tự ta có:

1
mCBA =
;
.;;;;
76543
mABCmCABmCBAmCBAmBCA =====
Trong thực tế, để ngắn gọn người ta biểu thị các số hạng nhỏ nhất ở dạng các
ký hiệu.
Ví dụ: Thay vì viết : Y
(ABC)
=
ABCCABCBABCA +++
Người ta viết: Y
(ABC)
= m
3
+ m

5
+ m
6
+ m
7
hoặc Y
(ABC)
=
Σ
m
(3,5,6,7)
Hay thay vì viết: Y
(ABC)
=
ABCCBA +
Ta ký hiệu : Y
(ABC)
= m
0
+ m
7
hoặc Y
(ABC)
=
Σ
m
(0,7)
4a- Dạng chuẩn tắc tuyển của hàm đảo
Nếu lấy tổng các số hạng nhỏ nhất tương ứng với các
tổ hợp giá trị các biến mà hàm nhận giá trị là 0 thì ta có dạng

chuẩn tắc tuyển của hàm đảo.
Ví dụ: Cho hàm 3 biến có bảng trạng thái như Bảng 2.4:
Hãy xác định dạng chuẩn tắc tuyển của hàm đảo.
Giải: Hàm nhận giá trị 0 tương ứng với 4 tổ hợp m
0
, m
1
, m
4
. Vậy
ta có:

4
2
1
0
m
m
m
m
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C

B
A
Y
+
+
+
=
+
+
+
=
b) Dạng chuẩn tắc hội (tích của các tổng)
Hàm số logic còn có thể được biểu diễn ở dạng chuẩn
tắc hội (tổng của các tích). Dạng chuẩn tắc hội có thể nhận
được thông qua 2 bước:
+ Tìm dạng chuẩn tắc tuyển của hàm đảo.
+ ÁP dụng định lý De Morgan để tìm đảo của hàm
đảo.
Page 18 Tài liệu Kỹ thuật số
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Bảng 2.4
A B C Y

0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Bảng 2.5
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Ví dụ: Hãy viết dạng chuẩn tắc hội của hàm 3 biến có bảng trạng thái như Bảng 2.5:
Giải:
Bước 1: Tìm dạng chuẩn tắc tuyển của hàm đảo:
Ta có:
CBACBACBACBAY +++=
Bước 2: ÁP dụng định lý De Morgan để tìm đảo của hàm đảo:
Ta có:
CBACBACBACBAYY +++== )(
CBACBACBACBA =
( )
( ) ( ) ( )
CBACBACBACBA ++++++++=
Biểu thức trên chính là dạng chuẩn tắc hội của hàm số đã cho.
Biểu thức hàm số dạng chuẩn tắc tuyển nhấn mạnh hình thức chuẩn của các
thừa số dạng tổng trong biểu thức. Chúng ta gọi thừa số chuẩn này là thừa số lớn
nhất (Maxterm).
Thừa số lớn nhất (Maxterm) của các biến số trong một hàm số là một tổ hợp
dạng tổng có mặt đầy đủ các biến số và mỗi biến số chỉ xuất hiện 1 lần dưới dạng
nguyên biến hoặc đảo biến.
Một cách tổng quát, với trường hợp n biến thì số hạng dạng tổng M sẽ có n

thừa số ; trong M mỗi biến đều xuất hiện một lần và chỉ một lần mà thôi dưới dạng
nguyên biến hoặc đảo biến ; M được gọi là số hạng nhỏ nhất của n biến. Nếu hàm số
có n biến thì sẽ có 2
n
thừa số lớn nhất .
* Tính chất của Maxterm.
+ Mỗi Maxterm đều bao gồm tất cả các biến của hàm số.
+ Mỗi biến đều xuất hiệu một lần trong dạng tổng của thừa số dưới dạng
nguyên biến hoặc đảo biến và chỉ một mà thôi.
+ Mỗi thừa số lớn nhất tương ứng với một tổ hợp giá trị của biến để nó bằng 0
và chỉ một mà thôi.
+ Ứng với 1 tổ hợp gí trị của các biến thì tổng của 2 thừa số lớn nhất bất kỳ
luôn bằng 1.
+ Ứng với 1 tổ hợp gí trị của các biến thì tích của tất cả các thừa số lớn nhất
luôn bằng 0.
* Ký hiệu của thừa số lớn nhất:
Cũng giống như với số hạng nhỏ nhất, để đơn giản người ta viết thừa số lớn
nhất dưới dạng các ký hiệu. Nguyên tắc ký hiệu như sau: tổ hợp các giá trị biến số
tương ứng với thừa số lớn nhất được chuyển hình thức từ số nhị phân sang thập
phân và số thập phân này là ký hiệu của thừa số lớn nhất.
Ví dụ: Với hàm có 3 biến A, B, C ta có:
A+B+C tương ứng tổ hợp: 000 ở dạng tích chuyển thành: 0
10
ký hiệu: M
0
A+B+
C
tương ứng tổ hợp: 001 ở dạng tích chuyển thành:1
10
ký hiệu: M

1
A+
CB +
tương ứng tổ hợp: 010 ở dạng tích chuyển thành: 2
10
ký hiệu: M
2
A+
CB +
tương ứng tổ hợp: 011 ở dạng tích chuyển thành: 3
10
ký hiệu: M
3
CBA ++
tương ứng tổ hợp:100 ở dạng tích chuyển thành: 4
10
ký hiệu: M
4
CBA ++
tương ứng tổ hợp:101 ở dạng tích chuyển thành: 5
10
ký hiệu: M
5
CBA ++
tương ứng tổ hợp:110 ở dạng tích chuyển thành: 6
10
ký hiệu: M
6
CBA ++
tương ứng tổ hợp:111 ở dạng tích chuyển thành: 7

10
ký hiệu: M
7
Page 19 Tài liệu Kỹ thuật số
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Cách ký hiệu này rất thuận tiện trong quá trình biểu diễn hàm logic. Đặc biệt mi và
Mi là đảo của nhau.
Ví dụ1:
C
B
A
C
B
A
m
M
C
B
A
m
C
B
A
C
B
A
m
M
C
B

A
m
C
B
A
ABC
m
M
ABC
m
+
+
=
=
=
⇒
=
∗
+
+
=
=
=
⇒
=
∗
+
+
=
=

=
⇒
=
∗
5
5
5
0
0
0
7
7
7
Thừa số lớn nhất cũng là phần tử cấu trúc cơ bản của hàm logic. Thông qua cách biểu
diễn bằng các ký hiệu, cách biểu diễn hàm số logic bằng chuẩn tắc hội cũng rất gọn và dễ
hiểu.
Ví dụ 2: Thay vì phải viết:
))()()(( CBACBACBACBAY ++++++++=
Ta có thể viết:
Y = M
0
M
1
M
2
M
4
Hay: Y =
)4,2,1,0(Π
c) Đặc điểm của phương pháp biểu diễn hàm bằng biểu thức hàm số

+ Các biến số được liên kết với nhau bằng các phép toán VÀ, HOẶC, ĐẢO . . .
+ Dùng các ký hiệu logic biểu thị quan hệ logic giữa các biến làm cho cách viết
gọn và tiện, tính khái quát và trừu tượng cao.
+ Rất tiện sử dụng các công thức và định lý của đại số logic để biến đổi, tính
toán.
+ Tiện cho việc dùng sơ đồ logic để thực hiện hàm số. Chỉ cần dùng các ký
hiệu logic của mạch điện cổng tương ứng thay thế các phép toán có mặt trong biểu
thức hàm số ta sẽ được sơ đồ logic.
3- Bản đồ Karnaugh
a) Các khái niệm cơ bản
Bảng Karnaugh là một phương pháp hình học để biểu thị hàm logic trong đó các tổ
hợp giá trị của biến và giá trị tương ứng của hàm được biểu thị một cách đầy đủ.
Nếu hàm có n biến thì bảng Karnaugh có 2
n
ô. Giá trị của các biến được viết ở
bên ngoài bảng Karnaugh và được sắp xếp theo thứ tự mã vòng.
Sau đây giới thiệu một số bảng Karnaugh 2 biến, 3 biến, 4 biến, 5 biến và cách
gán các biến vào bản đồ Karnaugh, trong đó nguyên biến bằng 1, đảo biến bằng 0.
Các chữ số ghi trong các ô là vị trí của các minterm ứng với các tổ hợp biến của hàm
số biểu thị dưới dạng chuẩn tắc tuyển. Giá trị chỉ thứ tự của các minterm là kết quả
biến đổi số nhị phân ứng với tọa độ Cột - Hàng thành số thập phân. Nó rất thuận lợi
cho việc điền giá trị của hàm vào bảng Karnaugh sau này. Hình 2.12 mô tả bảng đồ
Kanaugh của các hàm 2, 3, 4 và 5 biến.
Page 20 Tài liệu Kỹ thuật số
Chương II: Các mạch logic cơ bản
b- Điền giá trị của hàm vào bản đồ Karnaugh
Tuỳ
theo điều
kiện của từng
bài toán logic

mà có thể có
3 trường hợp
xảy ra:
* Trường hợp
1: đã cho
bảng trạng
thái.
+ Vẽ
bảng
Karnaugh có
số ô phù hợp
với số biến và
sắp xếp các
biến một cách
chính xác.
+ Điền
giá trị 1 vào
các ô mà
tương ứng
với tổ hợp
biến đó hàm nhận giá trị 1.
+ Điền giá trị 0 vào các ô mà tương
ứng với tổ hợp biến đó hàm nhận giá trị 0.
Ví dụ: Cho bảng trạng thái như bảng 2.6.
Hãy lập bảng Karnaugh của hàm Y.
Giải:
+ Đầu tiên ta lập bảng Karnaugh cho 4
biến A, B, C, D và điền giá trị các biến vào
ngoài bảng Karnaugh đó.
+ Tiếp theo điền giá trị của hàm vào các

ô tương ứng trong bảng Karnaugh.
Kết quả ta được bảng Karnaugh hoàn
chỉnh như hình 2.13:
* Trường hợp 2: Đã cho biểu thức hàm số
dưới dạng chuẩn tắc tuyển.
+ Vẽ bảng Karnaugh ứng với số
biến và điền các biến vào một cách chính xác.
+ Điền giá trị 1 vào các ô tương ứng với từng số hạng nhỏ nhất có trong biểu
thức, các ô khác đều nhận giá trị 0.
Page 21 Tài liệu Kỹ thuật số
A B C D Y
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Bảng 2.6
00 01 11 10
CD

00
01
11
10
AB
00 01 11 10
0 4 12 8
1 5 13 9
3 7 15 11
2 6 14 10
CD
00
01
11
10
AB
000 001 011 010
0 4 12 8
1 5 13 9
3 7 15 11
2 5 14 10
DE
00
01
11
10
ABC
24 29 20 16
25 29 21 17
27 31 23 19

26 30 22 18
110 111
101
100
0 1
B
0
1
A
0 1
0 2
1 3
B
0
1
A
Bảng Karnaugh 2 biến:
00 01 11 10
C
0
1
AB
00 01 11 10
0 2 6 4
1 3 7 5
C
0
1
AB
Bảng Karnaugh 3 biến:

Bảng Karnaugh 4 biến:
Bảng Karnaugh 5 biến:
Hình 2.12 : một số bảng Karnaugh
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Ví dụ 1: Hãy vẽ bảng Karnaugh của hàm:
ABCBCACBACBAY +++=
Giải:
+ Vẽ bảng Karnaugh của 3 biến A, B, C.
+ Điền giá trị 1 vào các ô tương ứng với các số hạng
nhỏ nhất có mặt trong biểu thức của hàm số Y.
Kết quả ta thu được bảng Karnaugh như hình 2.14 :
Ví dụ 2: Hãy vẽ bảng Karnaugh của hàm logic:
∑
= )15,12,10,9,7,5,3,0(
)( ABCD
Y
Giải:
+ Vẽ bảng Karnaugh của 4 biến A, B, C, D.
+ Điền giá trị vào bảng.
Kết quả ta có bảng Karnaugh như hình 2.15:
* Trường hợp 3: Cho biểu thức không chuẩn tắc của
hàm.
+ Biến đổi hàm đã cho về
dạng tổng của các tích.
+ Vẽ bảng Karnaugh của các
biến có trong biểu thức hàm số.
+ Điền giá trị 1 vào tất cả các
ô tương ứng với số hạng nhỏ nhất
bao hàm trong số hạng dạng tích
nói trên, các ô còn lại nhận giá trị 0.

Ví dụ: Hãy vẽ bảng Karnaugh của hàm:
))(( DCBAY +⊕=
Giải:
+ Biến đổi hàm về dạng tổng các tích.
DCBAABDCBADCBAY ++=++⊕=+⊕= ))((
+ Xác định mỗi số hạng bao gồm những số hạng nhỏ nhất nào.
- AB = m
12
+ m
13
+ m
14
+ m
15
-
=BA
m
0
+ m
1
+ m
2
+ m
3
-
=DC
m
0
+ m
4

+ m
8
+ m
12
+ Kết quả sau khi điền vào bảng ta có bảng Karnaugh
hình 2.16:
4- Đặc điểm của bản đồ Karnaugh
Ưu điểm lớn nhất của bản đồ Karnaugh là làm
nổi bật tính kề nhau của các số hạng nhỏ nhất. Các ô liền
nhau bất kỳ trên bảng Karnaugh đều có các số hạng nhỏ
nhất có tính kề nhau của mã vòng. Việc sắp xếp các biến theo thứ tự mã vòng đã tạo
ra đặc điểm quan trọng này.
Tính kề nhau gồm 3 tình huống: các ô kề nhau, các ô đầu - cuối của hàng và
cột, các ô đối xứng. Hai ô kề nhau luôn có một giá trị của biến đối nhau (nguyên biến
Page 22 Tài liệu Kỹ thuật số
00 01 11 10
1 0 0 0
1 1 1 0
C
0
1
AB
Hình 2.4
00 01 11 10
0 4 12 8
1 5 13 9
3 7 15 11
2 6 14 10
CD
00

01
11
10
AB
00 01 11 10
1 0 1 0
0 1 0 1
1 1 1 0
0 0 0 1
CD
00
01
11
10
AB
Hình 2.5
00 01 11 10
1 1 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
1 0 1 0
CD
00
01
11
10
AB
hình 2.6
00 01 11 10
0 0 0 0

0 0 1 0
0 1 1 1
0 0 1 0
CD
00
01
11
10
AB
Hình 2.3
Chương II: Các mạch logic cơ bản
và đảo biến) và chỉ một mà thôi. Đặc điểm này của bảng Karnaugh cho phép dễ dàng
nhớ và tính toán bằng bảng Karnaugh. Khi cộng các số hạng nhỏ nhất có tính kề
nhau thì biến đối nhau trong đó sẽ bị khử.
Ví dụ: Với hàm 3 biến thì m
0
có tính kề nhau với m
1
, m
2
và m
4
.
+ Nếu ta cộng m
0
với m
1
thì: m
0
+ m

1
=
BACCBACBACBA =+=+ )(
(khử được biến C),
BA
là thừa số chung của m
0
và m
1
.
+ Nếu cộng m
0
với m
2
thì: m
0
+ m
2
=
CABBCACBACBA =+=+ )(
(khử được biến B),
CA
là thừa số chung của m
0
và m
2
.
+ Nếu cộng m
0
với m

4
thì: m
0
+ m
4
=
CBAACBCBACBA =+=+ )(
(khử được biến A),
CB
là thừa số chung của m
0
và m
4
.
- Nhược điểm chủ yếu của bảng Karnaugh là nếu số biến tăng thì độ phức tạp sẽ
tăng rất nhanh. Khi đó việc xét tính kề nhau
của các số hạng nhỏ nhất sẽ rất khó khăn. Do
đó bảng Karnaugh chỉ thích hợp để biểu thị
hàm logic có số biến nhỏ hơn 6.
5- Sơ đồ logic
Khi dùng ký hiệu của các cổng logic để
biểu thị một cấu trúc logic trên một bản vẽ ta
được một sơ đồ logic. Sơ đồ logic cũng là một
phương pháp biểu diễn hàm logic. Sơ đồ logic
còn được gọi là mạch logic.
a) Cách vẽ sơ đồ logic của hàm logic
Ta dùng ký hiệu logic của các cổng logic để thay thế các phép toán trong biểu
thức logic của hàm số sẽ được sơ đồ logic.
Ví dụ 1: Cho hàm Y = AB + BC +
CA: hãy vẽ sơ đồ logic của hàm

Y.
Giải: Quan hệ nhân logic giữa
các biến A và B, B và C, C và A
được thực hiện bằng cổng AND.
Quan hệ cộng logic giữa các số
hạng AB, BC và CA được thực
hiện bằng cổng OR. Kết quả ta
được sơ đồ logic như Hình 2.17:
Ví dụ 2: Cho hàm Y = A
⊕
B
⊕
C
⊕
D: hãy vẽ sơ đồ logic của hàm
Y.
Giải: Quan hệ cộng với phép loại trừ giữa các biến A, B, C, D được thực hiện bằng cổng EX-
OR. Kết quả ta được 2 sơ đồ như hình 2.18:
Page 23 Tài liệu Kỹ thuật số
A
B
C
Y
Hình 2.17 Sơ đồ lôgic của hàm số Y
= AB + BC + CA
A
B
D
C
Y

A
B
C
D
Y
Hình 2.18 Sơ đồ lôgic của hàm số = A
⊕
B
⊕
C
⊕
D
a. Được vẽ dưới dạng cấu trúc hình tháp (trễ truyền dẫn nhỏ)
b. Được vẽ dưới dạng cấu trúc hình cây (trễ truyền dẫn lớn)
Chương II: Các mạch logic cơ bản
b) Cách xác định biểu thức từ sơ đồ logic
Để viết được biểu thức đầu ra của
một sơ đồ logic ta thực hiện như sau:
Trên sơ đồ logic, từ đầu vào đến đầu ra,
viết biểu thức hàm đầu ra của từng cấp,
cuối cùng ta được biểu thức hàm đầu ra
của toàn sơ đồ.
Ví dụ: Cho sơ đồ logic như hình 2.20. Hãy
viết biểu thức đầu ra của sơ đồ.
Giải: Ta có:
AZ =
1

BZ =
2

BAZ =
3

BAZ =
4
suy ra
BABAZZY
43
==
IV/- TỐI THIỂU HOÁ HÀM LOGIC
1- Khái niệm về tối thiểu hoá
Một hàm logic có thể có nhiều biểu thức khác nhau, nếu chúng ta không xem
xét kỹ thì khi thực hiện mạch logic sẽ rất phức tạp và tốn kém. Để khắc phục nhược
điểm này, người ta phải tìm ra biểu thức đơn giản nhất của hàm số. Công việc nói
trên được gọi là tối thiểu hoá hàm logic. Khi tìm được biểu thức tối thiểu của hàm
logic ta sẽ thực hiện được sơ đồ logic tối thiểu.
2- Biểu thức OR-AND tối thiểu
Điều kiện thứ của 1 biểu thức OR-AND tối thiểu là:
+ thứ nhất là các số hạng dạng tích phải ít nhất.
+ thứ hai là số biến của mỗi số hạng cũng phải ít nhất.
Ví dụ:
ABABCABABCY =++=
Rõ ràng biểu thức Y = AB đơn giản hơn biểu thức ban đầu và nó là biểu thức
tối thiểu.
Trong chương trình này chúng ta tập trung nghiên cứu phương pháp tối thiểu
hoá biểu thức OR-AND vì chỉ cần có biểu thức OR-AND tối thiểu ta dễ dàng có được
các biểu thức ở dạng khác cũng sẽ tối thiểu. Mặt khác, từ một biểu thức bất kỳ đều dễ
dàng triển khai thành biểu thức dạng OR-AND.
3- Tối thiểu hoá bằng công thức

Dựa vào các công thức và định lý trong đại số logic để thực hiện tối thiểu hoá
các biểu thức logic. Trong thực tế, biểu thức logic rất đa dạng lại không có một cách
nào hoàn chỉnh như một quy trình nên việc đạt đến một biểu thức logic tối thiểu một
cách nhanh chóng nhất sẽ hoàn toàn phụ thuộc vào kinh nghiệm, hiểu biết và mức
độ vận dụng thành thạo các công thức, định lý trong đại số logic của từng người. Để
rõ hơn về phương pháp này, chúng ta hãy xét một số ví dụ sau đây :
Ví dụ 1 : Hãy tối thiểu hoá hàm
CBACBAY +=
.
Giải :
BABACCBACBACBA ==+=+ 1.)(
Ví dụ 2 : Hãy tối thiểu hoá hàm :
)()( CBBCACBBCAY +++=
Giải :
[ ]
)()()()( CBBCCBBCACBBCACBBCAY +++=+++=
Page 24 Tài liệu Kỹ thuật số
A
B
Z1
Z2
Z3
Z4
Y
Hình 2.20
Chương II: Các mạch logic cơ bản
Thay :
ZCBBC =+
ta có :
[ ]

AAZZAY ==+= 1.
Ví dụ 3 : Hãy tối thiểu hoá hàm
BABAY +=

)( FECD +
Giải :
BABAY +=

[ ]
ABAFECDBAFECD ==++=+ 1.)(1)(
Ví dụ 4 : Hãy tối thiểu hoá hàm
CBCAABZ ++=
Giải :
CABCABABBACABCBCAABZ +=+=++=++= )(

4- Tối thiểu hoá bằng bản đồ Karnaugh
a) Quy luật gộp dán các minterm trên bản đồ Karnaugh
Trên bản đồ Karnaugh tất cả các minterm kề nhau có cùng giá trị đều có thể
gộp lại với nhau.
- Số ô được gộp trong một nhóm phải là 2
k
(k ≤ n, n là số biến của hàm logic). Các số
minterm trong một nhóm phải có cùng giá trị. Khi gộp 2 minterm lại với nhau thì
rút gọn được 1 biến, nếu gộp 4 minterm kề nhau thì khử bỏ được 2 biến, nếu gộp 8
minterm kề nhau thì khử bỏ được 3 biến. Một cách tổng quát, nếu gộp 2
n
minterm thì
khử được n biến.
- Vòng gộp phải càng lớn càng tốt (Nghĩa là ứng với số minterm được gộp càng
nhiều, do đó sau khi gộp thì số hạng sẽ càng ít thừa số).

- Gộp nhóm lớn trước, nhóm nhỏ sau.
- Mỗi nhóm gộp phải có ít nhất 1 minterm không có trong nhóm khác. Nhóm nào bao
gồm các minterm đã có trong các nhóm khác thì nhóm đó coi như bị thừa. Mỗi số
hạng nhỏ nhất có thể được sử dụng nhiều lần (có mặt trong nhiều nhóm khác nhau).
- Trong quá trình gộp dán không bỏ qua 1 số hạng nhỏ nhất nào. Tổng của tất cả các
thừa số đạt được từ
các nhóm gộp dán
là hàm logic đã
được tối thiểu hoá.
- Trong một số
trường hợp có thể
có nhiều cách gộp
nhóm, có nghĩa là
có thể có nhiều
hàm tối thiểu.
Những hàm tối
thiểu này cần phải
được so sánh để
chọn ra đâu là hàm
tối thiểu thực sự
(tối thiểu của tối
thiểu).
Hình 2.21
mô tả một số
trường hợp gộp
dán trong bảng
Karnaugh 4 biến.
Page 25 Tài liệu Kỹ thuật số
00 01 11 10
CD

00
01
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01

11
10
AB
a. Nhóm 2 gồm 2 ô
(2 minterm) có tính
kề nhau.
b. Nhóm 4 gồm 4 ô
(4 minterm) có tính
kề nhau.
c. Nhóm 8 gồm 8 ô
(8 minterm) có tính
kề nhau.
Hình 2.21