PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Chương III
- 43 -
Chương 3
PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ
THỐNG
Trong chương trước, ta đã dùng hàm theo biến thời gian để làm mô hình toán học mô tả tín
hiệu. Mô hình này cho biết các đặc điểm của tín hiệu bằng cách chỉ ra sự thay đổi của tín
hiệu theo thời gian. Mô hình này được gọi là biểu diễn thời gian của tín hiệu. Biểu diễn thời
gian của các tín hiệu vào-ra và bên trong một hệ thống cũng chỉ ra các đặc điểm của hệ thống
đó.
Tuy nhiên, các đặc điểm của tín hiệu và hệ thống không chỉ thay đổi theo thời gian mà còn
thay đổi theo cả tần số, nói cách khác các đặc điểm này cũng là hàm theo tần số. Ta gọi các
hàm theo tần số này là biểu diễn tần số (frequency-domain representation). Cả biểu diễn thời
gian và biểu diễn tần số đều cần thiết cho bài toán phân tích tín hiệu và hệ thống. Có những
trường hợp, biểu diễn thời gian không chỉ ra được các thông tin cần thiết, nhưng cũng có lúc,
có những thông tin cần thiết không thể rút ra được từ biểu diễn tần số.
Chương này trình bày về biểu diễn tần số của tín hiệu và hệ thống. Từ biểu diễn tần số này, ta
có thể phân tích tần số cho tín hiệu và hệ thống. Nội dung chính gồm ba phần:
1. Lý thuyết chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Đây là cơ sở lý thuyết của việc biểu
diễn tần số cho tín hiệu và hệ thống.
2. Phân tích tần số cho tín hiệu. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín
hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số. Phần này gồm:
- Định nghĩa phổ tín hiệu.
- Các đặc điểm của phổ
- Các đặc trưng của tín hiệu trong miền tần số.
3. Phân tích tần số cho hệ thống. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn
hệ thống trong miền tần số- đó là đáp ứng tần số. Phần này gồm:
- Định nghĩa đáp ứng tần số.
- Các đặc trưng của hệ thống trong miền tần số.
- Cách xác định đáp ứng tần số.
3.1 BIỂU DIỄN CHUỖI FOURIER CỦA TÍN HIỆU

Trong mục 2.3.2, ta đã xét cách biểu diễn tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t
1
< t < t
2

dưới dạng chuỗi Fourier tổng quát. Ta thấy, việc biểu diễn này yêu cầu ta trước hết phải chọn
các tín hiệu cơ sở là các hàm trực giao (thực hoặc phức), sau đó tính hệ số A
n
sao cho tích
phân bình phương sai số xấp xỉ là nhỏ nhất.
3.1.1 Chọn tín hiệu cơ sở
Ta xét tập tín hiệu sau:
K,2,1,0n,e)t(
t)nf(2j
n
1
±±==φ
π
với f
1
= 1/T
1
.
Các tín hiệu này là tín hiệu phức và trực giao nhau trong khoảng thời gian T
1
.
Chứng minh:
Chương III
- 44 -
∫

+
⎩
⎨
⎧
≠
=λ
=φφ
11
1
Tt
t
n
*
mn
mn0
mn
dt)t()t(









1
Tt
t
tnf2j

Tt
t
tnf2j
n
Tdtdtee
11
1
1
11
1
1
===λ
∫∫
+
π−
+
π

Như vậy, tập tín hiệu )t(
n
φ vừa xét trên đủ điều kiện để làm tín hiệu cơ sở để khai triển
Fourier cho tín hiệu x(t) trong khoảng thời gian T
1
:
t
1
< t < t
1
+ T
1

(gọi là khoảng khai triển)
3.1.2 Khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu trong khoảng thời gian T
1
Theo mục 2.3.2, ta có tín hiệu xấp xỉ của tín hiệu x(t) trong khoảng t
1
< t < t
1
+ T
1
là:
∑
∞
−∞=
π
∧
=
n
tnf2j
n
1
eA)t(x

Hệ số A
n
là:
∫∫
+
π−
=φ
λ

=
11
1
1
2
1
Tt
t
tnf2j
1
t
t
*
n
n
n
dte)t(x
T
1
dt)t()t(x
1
A
Theo Fourier, nếu tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn trong khoảng t
1
< t < t
1
+ T
1
thì khai
triển chuỗi Fourier của x(t) trong khoảng đó tồn tại.

Cũng theo Fourier, nếu x(t) thỏa điều kiện Dirichlet thì )t(x
∧
sẽ tiến gần đến x(t) trong
khoảng t
1
< t < t
1
+ T
1
:
111
n
tnf2j
n
TttteA)t(x)t(x
1
+<<==
∑
∞
−∞=
π
∧

Điều kiện Dirichlet (do P. L. Dirichlet đề xuất):
1.
∫
+
∞<
11
1

Tt
t
dt|)t(x|
2. Tín hiệu x(t) có số điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng khai triển

là hữu hạn.
3. Tín hiệu x(t) có số điểm gián đoạn trong khoảng khai triển là hữu hạn.
Chương III
- 45 -
3.1.3 Các đặc điểm của chuỗi Fourier hàm mũ phức
1. Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier
Trong chuỗi Fourier hàm mũ phức, ta thấy:
-
Tín hiệu cơ sở )t(
n
φ tuần hoàn với chu kỳ là 1/|n|f
1
= T
1
/|n|, tần số là |n|f
1
và tạo ra
1/|n| chu kỳ trong khoảng khai triển. Khi |n| = 1 thì tần số là f
1
và chỉ có 1 chu kỳ
trong khoảng khai triển. Ta gọi f
1
là tần số cơ bản (fundamental frequency) của )t(x
∧
.

Tần số |n|f
1
được gọi là tần số hài của )t(x
∧
.
-
Vì trong khoảng khai triển có )t(
0
φ
= 1 là hằng số và ta có số chu kỳ của )t(
n
φ là số
nguyên với mọi |n| > 0 nên tất cả các
)t(
n
φ
lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển.
Vậy, )t(x
∧
được lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T
1
.
Tóm lại, )t(x
∧
= x(t) ở trong khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T
1
ở bên ngoài khoảng
khai triển. Như vậy chuỗi Fourier hội tụ về một tín hiệu tuần hoàn là mở rộng tuần hoàn của
một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển. Hình vẽ sau minh họa cho điều này:

Vậy, nếu ta có tín hiệu x(t) tuần hoàn và thỏa điều kiện Dirichlet thì khai triển chuỗi Fourier
của x(t) là:
dte)t(x
T
1
A
teA)t(x
01
1
0
0
Tt
t
tnf2j
0
n
n
tnf2j
n
∫
∑
+
π−
∞
−∞=
π
=
∀=

ở đây T

0
= 1/f
0
là chu kỳ của tín hiệu.
Ví dụ:
Một bộ tạo tín hiệu trong phòng thí nghiệm tạo ra xung vuông như hình vẽ. Tìm chuỗi
Fourier hàm mũ phức hội tụ về x(t) với mọi t.
Tín
hiệu
Chuỗi
Fourier
Khoảng
khai triển
Chương III
- 46 -

2
τ

τ
-A
2A
Chương III
- 47 -

2. Tính chất của hệ số Fourier X
n

- Khi n = 0, hệ số Fourier là:

Đây chính là giá trị trung bình của x(t) trong khoảng khai triển
-
Nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực thì biên độ của các hệ số Fourier là hàm chẵn theo n
và pha là hàm lẻ theo n:
nn
nn
AA
AA
−∠=∠
=
−
−

∫
+
=
11
1
Tt
t
1
0
dt)t(x
T
1
A
Chương III
- 48 -
3.1.4 Chuỗi Fourier dạng cosin
Trường hợp tín hiệu khai triển là tín hiệu thực, ta có thể chuyển chuỗi Fourier hàm mũ phức
về chuỗi Fourier dạng cosin:
)Atnf2(osc|A|2A)t(x
n1
1n
n0
∠+π+=
∑
∞

=
∧











Tín hiệu tuần hoàn có thể xem là tổng của vô số hàm cosin, biên độ là 2|A
n
|, pha là
n
A
∠
, tần
số là hài của tần số cơ bản nf
1
. Ngoài cách biểu diễn tín hiệu tuần hoàn là hàm theo thời gian,
ta còn có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thông qua cặp thông số |A
n
| và
n
A∠ . Ta gọi cách
biểu diễn này là biểu diễn tần số hay là biểu diễn theo phương pháp
phổ (spectrum).

3.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
Như trên ta thấy chuỗi Fourier là mở rộng tuần hoàn của một đoạn tín hiệu trong khoảng khai
triển và không giống tín hiệu không tuần hoàn. Như vậy, ta chỉ có thể dùng chuỗi Fourier để
biểu diễn tần số cho tín hiệu tuần hoàn chứ không dùng được cho tín hiệu không tuần hoàn.
Với tín hiệu không tuần hoàn, ta dùng một phương pháp khác- đó là chuỗi Fourier.
3.2.1 Xây dựng công thức tính biến đổi Fourier của tín hiệu năng lượng không tuần
hoàn
Ta xét tín hiệu không tuần hoàn x(t) thỏa điều kiện Dirichlet. Như vậy, có thể khai triển
Fourier cho x(t) trong một khoảng –T/2 < t < T/2 bất kỳ, nghĩa là:
dte)t(x
T
1
A
2/Tt2/T),t(xeA)t(x
tnf2j
2/T
2/T
n
n
tnf2j
n
0
0
π−
−
∞
−∞=
π
∧
∫

∑
=
<<−==

ở đây f
0
= 1/T.
Bên ngoài khoảng –T/2 < t < T/2, )t(x
∧
lặp lại tuần hoàn với chu kỳ T. Như vậy, ta có thể suy
ra biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn từ biểu diễn tần số của tín hiệu tuần hoàn
bằng cách cho
∞→T .
Khi
∞→T , các vạch phổ sẽ tiến đến rất gần nhau, khoảng cách giữa hai vạch phổ sẽ vô
cùng bé, phổ rời rạc trở thành phổ liên tục. Lúc đó ta có các giới hạn sau:
Chương III
- 49 -
df
T
1
f
0
→= , fnf
0
→ , )f(AA
n
→
Áp dụng các giới hạn này vào công thức khai triển Fourier của tín hiệu tuần hoàn, ta được:
dfdte)t(xdte)t(x

T
1
limAlim)f(A
ft2j
tnf2j
2/T
2/T
T
n
T
0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
===
∫∫
∞
∞−
π−
π−
−
∞→∞→

Tích phân trong ngoặc vuông tồn tại do x(t) thỏa điều kiện Dirichlet. Tích phân này là một
hàm phụ thuộc vào biến tần số f. Ta đặt:
∫
∞

∞−
π−
= dte)t(x)f(X
ft2j

Hàm X(f) này chính là biểu diễn tần số của x(t) hay là phổ của x(t). X(f) còn được gọi là
phép biến đổi Fourier (Fourier transform) của x(t).
Phổ X(f) hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu x(t) nên ta có thể tìm được x(t) từ X(f) qua một
phép biến đổi gọi là
biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform)
Để tìm biểu thức tính biến đổi Fourier ngược, ta cũng thực hiện tương tự như tìm biểu thức
tính biến đổi Fourier. Ta tìm biến đổi Fourier ngược của X(f) từ biểu thức khai triển chuỗi
Fourier cho tín hiệu tuần hoàn )t(x
∧
với giới hạn
∞
→T
như sau:
∫
∑
∞
∞−
π
∞
−∞=
π
∞→
∧
∞→
=== dfe)f(XeAlim)t(xlim)t(x

ft2j
n
tnf2j
n
TT
0

Tóm lại, cặp công thức tính biến đổi Fourier và Fourier ngược là:
{}
{}
)f(XFTdfe)f(X)t(x
)t(xFTdte)t(x)f(X
1ft2j
ft2j
−
∞
∞−
π
∞
∞−
π−
≡=
≡=
∫
∫

Cặp công thức này giúp chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian và miền tần số, ta ký hiệu
ngắn gọn như sau:
)f(X)t(x
F

⎯→←
Ta cũng có thể biểu diễn phép biến đổi Fourier là hàm theo
f2
π
=
ω
.
3.2.2 Tính chất của biến đổi Fourier
Các tính chất của biến đổi Fourier rất hiệu quả trong việc tính biến đổi Fourier của các tín
hiệu phức tạp. Sau đây ta xét một số tính chất thông dụng.
1. Tính tuyến tính
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→← và )f(Y)t(y
F
⎯→←
Thì
)f(bY)f(aX)t(by)t(ax
F
+⎯→←+
Chương III
- 50 -
Ta hay dùng tính chất này để tính biến đổi Fourier của các tín hiệu mà có thể phân tích được
thành tổng của các tín hiệu đơn giản.

2. Thay đổi thang thời gian
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→←
Thì
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎯→←
a
1
X
|a|
1
)at(x
F

Chương III
- 51 -
3. Đảo thời gian
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→←
Thì
)f(X)t(x
F
−⎯→←−

4. Dịch thời gian
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→←
Thì
0
ft2j
F
0
e)f(X)tt(x
π−
⎯→←−







5. Tính tương hỗ
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→←
Thì
)f(x)t(X
F

−⎯→←



Chương III
- 52 -
5. Điều chế
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→←
Thì
)ff(X
2
1
)ff(X
2
1
)tf2cos()t(x
00
F
0
++−⎯→←π

6. Chập
Nếu
)f(X)t(x
F
⎯→← và )f(Y)t(y
F
⎯→←
Thì
)f(Y).f(X)t(y)t(x
F
⎯→←∗













Chương III
- 53 -
3.2.3 Biến đổi Fourier của tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng

Ta đã xét biến đổi Fourier đối với các tín hiệu năng lượng. Đối với tín hiệu không phải là tín
hiệu năng lượng, ta có thể sử dụng biến đổi Fourier trong một giới hạn nào đó.
1. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu xung delta
fA)t(A
F
∀⎯→←δ
Do tính tương hỗ giữa miền thời gian và tần số nên ta có thể suy ra:
)f(At A
F
δ⎯→←∀




2. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị
Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị từ biến đổi Fourier của hàm dấu. Ta
định nghĩa hàm dấu như sau:
⎩
⎨
⎧
<−
>
=
0t1
0t1
)tsgn(
Biến đổi Fourier của hàm dấu là:
fj/1)tsgn(
F
π⎯→←

Quan hệ giữa hàm dấu và bước nhảy đơn vị là:
2
)tsgn(
2
1
)t(u +=
Do đó:
f2j
1
)f(
2
1
)t(u
F
π
+δ⎯→←
4. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu cos
)ff(
2
1
)ff(
2
1
)tf2cos(
aa
F

a
+δ+−δ⎯→←π




Chương III
- 54 -
5. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Ta đã biết rằng ta có thể biểu diễn tín hiệu thực tuần hoàn dưới dạng chuỗi Fourier.
Ta xét tín hiệu )t(x
∧
thỏa điều kiện Dirichlet và tuần hoàn với chu kỳ T
0
. Khai triển Fourier
cho tín hiệu )t(x
∧
:
∑
∞
−∞=
π
∧
=
n
tnf2j
n
0
eA)t(x
{}

∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
π
∧∧
−δ==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
n
0n
n
tnf2j
n
)nff(AeAFT)t(xFT)f(X
0

ở đây A
n
được tính theo công thức tính hệ số Fourier dã xét.
Ngoài ra, ta còn cách khác để tính A
n
như sau:

)nf(X
T
1
A
0
0
n
=

Ví dụ:
Tìm phổ của tín hiệu đồng hồ máy tính )t(x
∧
sau đây:










4 V
-0.04 0 0.04 0.08 )s(t µ

Chương III
- 55 -

Chương III
- 56 -
3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU LIÊN TỤC
Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là
phổ tần số.
3.3.1 Giới thiệu về phổ tần số
Như đã trình bày ở phần trên, phổ tần số (hay nói ngắn gọn là phổ) chính là một hàm biểu
diễn các đặc trưng của tín hiệu theo biến tần số. Ta tìm phổ của tín hiệu bằng cách tính biến
đổi Fourier của tín hiệu đó:
{}
dte)t(x)t(xFT)f(X
ft2j π−
∞
∞−
∫
==
Nói chung, hàm X(f) là hàm phức theo biến tần số thực. Do hàm phổ là hàm phức nên phổ
gồm
phổ biên độ (amplitude spectrum)- là biên độ của X(f) và phổ pha (phase spectrum)- là
pha của X(f).
Để hiểu hơn về phổ tín hiệu, ta xét ví dụ đơn giản về phổ của tín hiệu cosine sau:
)tf2cos(A)t(x
xxx

θ
+
π
=

Tín hiệu x(t) là tín hiệu tuần hoàn nên phổ có dạng phổ vạch, ở đây phổ biên độ có duy nhất
một vạch giá trị là A
x
và phổ pha cũng có duy nhất một vạch giá trị là
x
θ . Cả phổ biên độ và
phổ pha đều nằm ở vị trí f
x
trên trục tần số. Phổ trong trường hợp này được gọi là phổ một
phía (single-sided spectrum) vì chúng chỉ có giá trị tại các tần số dương.
Dùng công thức Euler, có thể viết tín hiệu cosine trên ở dạng tổng của hai phasor ở hai tần số
đối xứng f
x
và –f
x
sau:
t)f(2jj
x
tf2jj
x
xxxx
ee
2
A
ee

2
A
)t(x
−πθ−πθ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=

Phần trong dấu ngoặc vuông trên là phasor. Ta thấy có thể xác định tín hiệu x(t) dựa vào biên
độ và pha của hai phasor trên tại hai tần số f
x
và –f
x
. Ta cũng gọi biên độ và pha của các
phasor là phổ biên độ và phổ pha. Do chúng có mặt ở cả hai phía tần số dương và âm nên
được gọi là
phổ hai phía (double-sided spectrum).
Ta minh họa phổ biên độ và phổ pha một phía và hai phía qua hình vẽ sau:

Chương III
- 57 -
Ta thấy phổ biên độ hai phía là hàm chẵn và phổ pha hai phía là hàm lẻ theo tần số. Phổ hai
phía thuận tiện và dễ dàng hơn cho tính toán nên phần nhiều ta sẽ dùng phổ hai phía.
Biên độ của tín hiệu cosine gấp đôi giá trị của phổ biên độ hai phía bên phía tần số dương.
Pha của tín hiệu cosine bằng giá trị của phổ pha hai phía bên phía tần số dương. Vậy có thể
dễ dàng xác định được biên độ và pha của tín hiệu cosine từ phổ hai phía.
Cần lưu ý là phổ hai phía không có nghĩa là trong thực tế có tồn tại tần số âm. Tần số âm
xuất hiện ở đây chỉ là do cách kết quả toán học từ việc biểu diễn tín hiệu cosine dưới dạng
phasor mà thôi.
3.3.2 Các đặc điểm của phổ tần số
1. Đặc điểm 1
Tín hiệu càng hẹp trong miền thời gian thì phổ càng giãn rộng trong miền tần số và ngược lại



2. Đặc điểm 2
Tín hiệu thực và chẵn có phổ thực và chẵn

3. Đặc điểm 3
Tín hiệu thực và lẻ có phổ ảo và lẻ







4. Đặc điểm 4
Phổ biên độ của tín hiệu thực là hàm chẵn và phổ pha của tín hiệu thực là hàm lẻ


Chương III
- 58 -





5. Đặc điểm 5
Việc dịch chuyển tín hiệu theo thời gian không làm ảnh hưởng đến phổ biên độ mà chỉ ảnh
hưởng đến phổ pha.

6. Đặc điểm 6
Việc cắt gọt phổ tín hiệu sẽ gây ra hiện tượng Gibbs (gợn sóng)


















Chương III
- 59 -
3.3.3 Các đặc trưng của tín hiệu theo tần số
Phổ là hàm biểu diễn tín hiệu theo tần số, do đó phổ hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu trong
miền tần số. Từ phổ tín hiệu, ta có thể xác định được các đặc trưng cho tín hiệu như băng

thông, năng lượng và công suất của tín hiệu.
1. Băng thông của tín hiệu
Băng thông của tín hiệu (signal bandwidth)
là bề rộng của dải tần số mà phổ chiếm trên trục
tần số. Ta có thể xác định băng thông tín hiệu dựa vào phổ biên độ. Ví dụ phổ biên độ của
một tín hiệu nằm trong dải tần số từ 10 Hz đến 20 Hz, ta nói băng thông của tín hiệu đó là:
B = 20 – 10 = 10 (Hz)
Khi thiết kế hệ thống ta phải quan tâm đến băng thông của các tín hiệu truyền qua hệ thống
hay là có mặt trong hệ
thống để đảm bảo không có thông tin nào trong tín hiệu bị mất mát.
Về lý thuyết, băng thông của tín hiệu rất lớn, có thể lớn đến vô cùng. Tuy nhiên, trong thực
tế, ta thấy hầu hết năng lượng tín hiệu đều tập trung trong một dải tần nào đó gọi là
băng
thông có nghĩa (significant-signal bandwidth), ký hiệu là B và được xác định như sau:
Băng thông B của tín hiệu liên tục là sai khác giữa hai tần số dương sao cho trong khoảng đó
phổ biên độ lớn hơn hay bằng
α lần phổ biên độ cực đại. Hệ số
α
được chọn tùy ý dựa vào
ứng dụng. Thường chọn
707.0
2
1
≈=α băng thông tương ứng được gọi là băng thông -3dB

2. Mật độ phổ năng lượng của tín hiệu
Mật độ phổ năng lượng ESD (Energy Spectral Density)
của tín hiệu là năng lượng của tín
hiệu trong một đơn vị tần số. Khi ta lấy tích phân của mật độ phổ năng lượng trên suốt trục
tần số, ta sẽ nhận được năng lượng tín hiệu.
Ta xét hàm:
2
)f(X)f(G =
Ta thấy:






Chương III
- 60 -
x
22
Edt)t(xdf)f(Xdf)f(G ===
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−

Vậy G(f) chính là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu.

Từ G(f) ta có thể xác định được năng lượng của tín hiệu trong một dải tần số từ f
1
đến f
2
nào
đó:
df)f(Gdf)f(GE
2
1
1
2
f
f
f
f
12
∫∫
+=
−
−

3. Mật độ phổ công suất của tín hiệu
Mật độ phổ năng lượng là chỉ dành cho tín hiệu năng lượng. Đối với tín hiệu công suất, ta
dùng mật độ phổ công suất PSD (Power Spectral Density). Đó là hàm công suất của tín hiệu
trong một đơn vị tần số. Khi ta lấy tích phân của mật độ phổ công suất trên suốt trục tần số,
ta sẽ nhận được công suất tín hiệu.
Ta xét hàm:
{}
⎭
⎬

⎫
⎩
⎨
⎧
τ+=τ=
∫
−
∗
∞→
T
T
T
dt)t(x)t(x
T2
1
limFT)(RFT)f(S
Ta có:












x

Pdf)f(S =
∫
∞
∞−

Vậy hàm S(f) là mật độ phổ công suất của tín hiệu.
Từ S(f) ta có thể xác định được công suất của tín hiệu trong một dải tần số từ f
1
đến f
2
nào
đó:
df)f(Sdf)f(SP
2
1
1
2
f
f
f
f
12
∫∫
+=
−
−

Chương III
- 61 -
3.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO HỆ THỐNG LIÊN TỤC

Trong phần này, ta chỉ xét hệ tuyến tính bất biến có các điều kiện đầu bằng 0. Việc phân tích
hệ thống sẽ cho phép ta xác định được phổ của đáp ứng trạng thái 0 của hệ thống từ các đặc
điểm của hệ thống và phổ của tín hiệu vào. Nó giúp cho ta quan sát được ảnh hưởng của hệ
thống lên tín hiệu thông qua xem xét các đặc trưng của hệ thống là hàm theo tần số.
3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số
Đáp ứng tần số (frequency response)
là khái niệm cơ bản trong phân tích tần số cho hệ
thống, vì nó xác định các đặc điểm của hệ thống là hàm theo tần số. Ta ký hiệu đáp ứng tần
số là H(f) và định nghĩa như sau:
Đáp ứng tần số của hệ thống tuyến tính bất biến là hàm theo tần số. Nó tạo ra phổ của đáp
ứng trạng thái 0 khi được nhân với phổ của tín hiệu vào.
Theo định nghĩa ta có:
Y(f) = X(f).H(f)
Đáp ứng tần số tồn tại khi điều kiện sau thỏa mãn:
Phổ Y(f) tồn tại khi phổ X(f) tồn tại. Điều này chỉ xảy ra khi hệ ổn định BIBO. Như vậy, đáp
ứng tần số của hệ ổn định BIBO là luôn luôn tồn tại.
Ta có thể viết lại quan hệ trên như sau:
H(f) = Y(f)/X(f)
Vậy,
đáp ứng tần số chính là tỷ số của phổ tín hiệu ra và phổ tín hiệu vào.
Chuyển sang miền thời gian, dùng tính chất chập ta được:
y(t) = x(t)*h(t)
Vậy,
H(f) = FT {h(t)}
Đáp ứng tần số chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung.
3.4.2 Các đặc trưng của hệ thống theo tần số
Nếu ta biết đáp ứng tần số của hệ thống, ta hoàn toàn có thể xác định được ảnh hưởng của hệ
thống lên tín hiệu khi tín hiệu truyền qua hệ thống. Việc xét ảnh hưởng này được thực hiện
dựa vào các đặc trưng của hệ thống theo tần số, như là đáp ứng biên độ, đáp ứng pha, băng
thông của hệ thống, trễ pha, trễ nhóm.

1. Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha
Đáp ứng tần số là biến đổi Fourier của đáp ứng xung, do đó đáp ứng tần số là một hàm phức
theo tần số và có thể biểu diễn dưới dạng biên độ và pha như sau:
{}
)f(Hjft2j
e|)f(H|dte)t(h)t(hFT)f(H
∠
∞
∞−
π−
===
∫

Từ định nghĩa đáp ứng tần số Y(f) = X(f).H(f), viết lại theo biên độ và pha, ta có:
)f(Hj)f(Xj)f(Yj
e|)f(H|e|)f(X|e|)f(Y|
∠∠∠
=
Từ đây ta suy ra:
Chương III
- 62 -
)f(H)f(X)f(Y
|)f(H|.|)f(X||)f(Y|
∠+∠=∠
=

Do |H(f)| chỉ ra liên quan giữa phổ biên độ tín hiệu ra với phổ biên độ tín hiệu vào nên ta gọi
|H(f)| là
đáp ứng biên độ của hệ thống (system amplitude response). Cũng như vậy,
)f(H∠ được gọi là

đáp ứng pha của hệ thống (system phase response) vì nó chỉ ra liên quan
giữa phổ pha của tín hiệu ra với phổ pha của tín hiệu vào.
Để xác định phổ của tín hiệu ra, ta có thể chập tín hiệu vào với đáp ứng xung, sau đó tính
biến đổi Fourier của tín hiệu ra. Công việc trên sẽ đơn giản hơn nhiều nếu được thực hiện
trong miền tần số, vì chỉ cần làm phép nhân phổ tín hiệu vào với đáp ứng tần số.
Ví dụ:
Cho hệ thống có đáp ứng tần số là:
⎩
⎨
⎧
≠
<−
=
f0
5|f|5/|f|1
)f(H
Tìm phổ Y(f) của tín hiệu ra và tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là:
)t6cos(4)t4cos(3)t(x
π
+
π
=

Chương III
- 63 -
Trường hợp tín hiệu vào là tín hiệu sin, tín hiệu ra sẽ có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ có
biên độ và pha là khác đi. Sự khác đi về biên độ và pha đó có thể xác định trực tiếp từ đáp
ứng biên độ và đáp ứng pha. Cụ thể là:
[]
)f(Htf2cos|)f(H|.|X|)t(y
)tf2cos(|X|)t(x
111
1
∠+θ+π=
θ
+
π
=

Chương III
- 64 -
Ta thường gọi đáp ứng biên độ và đáp ứng pha tại một tần số nào đó là độ lợi (gain) và độ
dịch pha (phase shift)
của hệ thống tại tần số đó.
Từ đây ta có thể mở rộng ra cho trường hợp tín hiệu vào có dạng tổng của các tín hiệu sin.
Trong trường hợp này, ta tìm tín hiệu ra đơn giản bằng cách tìm tín hiệu ra ứng với từng tín
hiệu sin thành phần, sau đó cộng các tín hiệu ra thành phần lại với nhau. Tín hiệu ra thành
phần được tính rất đơn giản dựa vào độ lợi và dịch pha của h
ệ thống.
Hầu hết hệ thống đều có đáp ứng xung là hàm thực. Do đó đáp ứng biên độ là hàm chẵn và
đáp ứng pha là hàm lẻ:
)f(H)f(H
|)f(H||)f(H|
−∠=−∠
=
−

Nếu hệ thống nhân quả thì h(t) = 0 khi t < 0. Do đó h(t) không chẵn và cũng không lẻ, H(f)
có cả phần thực và phần ảo khác 0. Do đó, dịch pha của hệ thống không thể bằng 0 trên toàn
trục tần số, ngoại trừ trường hợp giá trị đầu ra là G lần giá trị đầu vào với G là hằng số.
Trong trường hợp này,
)t(.G)t(h
δ
=

Hệ thống như thế này không thể thực hiện được về mặt vật lý.
2. Băng thông của hệ thống
Ta định nghĩa băng thông của hệ thống giống như định nghĩa băng thông của tín hiệu:
Băng thông của hệ thống liên tục (system bandwidth) là sai khác giữa hai tần số dương sao

cho trong khoảng đó đáp ứng biên độ lớn hơn hay bằng
α
lần đáp ứng biên độ cực đại. Hệ số
α được chọn tùy ý dựa vào ứng dụng. Tần số f
c
mà tại đó
maxc
|)f(H||)f(H|
α
=
được gọi là
tần số cắt (cutoff frequency).
Thường chọn 707.0
2
1
≈=α băng thông tương ứng được gọi là băng thông -3dB và tần số
cắt tương ứng được gọi là tần số cắt -3dB.
Tùy theo băng thông của hệ thống mà ta gọi hệ thống là thông thấp, thông cao, thông dải hay
chắn dải. Hệ được gọi là
thông thấp (lowpass system) nếu băng thông chứa các tần số thấp
hơn tần số cắt, được gọi là
thông cao (highpass system) nếu băng thông chứa các tần số cao
hơn tần số cắt, được gọi là
thông dải (bandpass system) nếu băng thông chứa các tần số nằm
trong một dải tần từ f
1
đến f
2
, được gọi là chắn dải (stopband system) nếu băng thông loại trừ
đi một dải tần từ f

1
đến f
2.

Ví dụ:
Cho mạch lọc RC sau:







Chương III
- 65 -
(a) Tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là:
)t12cos(4)t4cos(4)t(x
π
+
π
=

Số hạng đầu là tín hiệu đơn tần chứa thông tin, số hạng sau là tín hiệu giao thoa thêm vào.
(b) Xác định băng thông -3dB. Đây là mạch lọc loại gì?

Chương III
- 66 -
3. Trễ pha của hệ thống
Đáp ứng tần số cung cấp cho ta thông tin rất hữu ích cho việc xác định thời gian trễ của tín
hiệu truyền qua hệ thống. Lý do là vì thời gian trễ của một tín hiệu sin phụ thuộc vào độ dịch

pha của hệ thống như vừa xét trên.
Trễ pha của hệ thống được định nghĩa như sau:
Trễ pha của hệ thống (system phase delay) là thời gian một tín hiệu đơn tần phải trải qua khi
nó đi qua hệ thống.
Để tìm trễ pha, ta xét tín hiệu vào là tín hiệu sin:
)tf2cos(A)t(x
θ
+
π
=











Trễ pha tìm được là:
f2
)f(H
)f(t
p
π
∠
−=
Nếu đáp ứng pha có giá trị âm tại các tần số dương thì tín hiệu bị trễ đi khi truyền qua hệ

thống, ngược lại nếu đáp ứng pha có giá trị dương tại các tần số dương thì tín hiệu được làm
sớm khi truyền qua hệ thống.
Nếu đáp ứng pha là một đường thẳng đi qua gốc trong một khoảng tần số nào đó thì tất cả
các thành phần của tín hiệu trong khoảng tần số đó đều đi qua hệ thống với cùng thời gian
trễ.









Chương III
- 67 -
Ví dụ:
Xét mạch lọc RC ở trên. Dịch pha đối với tín hiệu mang tin là:
)rad(25.0)2(H
π
−
=
∠

Trễ pha đối với tín hiệu mang tin là:
)s(16/1)2(2/)25.0()2(t
p
=
π
π

−
−
=

Vậy tín hiệu mang tin tần số 2 Hz đi qua mạch lọc trên sẽ bị trễ đi một khoảng thời gian là
1/16 (s).
4. Trễ nhóm của hệ thống
Để định nghĩa trễ nhóm, ta xét tín hiệu:
)tf2cos()t(m)t(x
cm
π
=

ở đây m(t) là tín hiệu thông dải, tần số thấp, nằm trong khoảng
c1
fff0 <
≤
≤
. Ta gọi tín hiệu
x
m
(t) là tín hiệu điều biên, m(t) là tín hiệu mang tin và )tf2cos(
c
π
là sóng mang. Tần số của
sóng mang là f
c
. Khi truyền tín hiệu điều biên qua hệ thống, thì tín hiệu này sẽ bị trễ đi một
khoảng thời gian nào đó. Do tín hiệu điều biên có chứa một nhóm tần số bao quanh tần số
sóng mang nên thời gian trễ này được gọi là trễ nhóm. Vậy ta có định nghĩa trễ nhóm như

sau:
Trễ nhóm của hệ thống (system group delay) là khoảng thời gian trễ của một tín hiệu điều
biên sóng mang cosine khi nó đi qua hệ thống.