Chương 2 phân bố ứng suất trong khối đất

CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 22
Chương II


PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG KHỐI ĐẤT


II.1. Khái niệm

Khi tính toán nền các công trình xây dựng nói chung, chúng ta cần giải quyết
hai bài toán chủ yếu : biến dạng và cường độ. Muốn thế, việc đầu tiên phải nghiên
cứu trạng thái ứng suất - biến dạng của đất.

Để xác đònh trạng thái ứng suất - biến dạng trong đất, đến nay trong cơ học đất
người ta vẫn xem đất là môi trường biến dạng đàn hồi tuyến tính, trong đó mối quan
hệ giữa ứng suất – biến dạng là tuyến tính.

Có ba loại ứng suất cần phải nghiên cứu:

- Ứng suất do trong lượng bản thân của đất gây ra gọi là ứng suất bản thân.

- ng suất do tải trọng công trình gây ra gọi là ứng suất do tải trọng ngoài
hay còn gọi là ứng suất phụ thêm.

- ng suất tại mặt phân cách giữa đáy móng và đất do tải trọng bên trên
truyền xuống thông qua đáy móng gọi là ứng suất tiếp xúc.

Các loại ứng suất này có đặc điểm khác nhau cho nên cách tính toán cũng
sẽ không giống nhau.

Các thành phần ứng suất - chuyển vò tại một điểm trong đất:

Lấy một khối đất phân tố tại một điểm M trong nền đất đặt trong hệ trục
tọa độ vuông góc oxyz như hình vẽ 2.1 thì ứng suất của phân tố đất này và chuyển vò
của điểm M được biểu diễn như sau:

- Các thành phần ứng suất pháp: σ
x ,
σ
y,
σ
z
.
- Các thành phần ứng suất tiếp: τ
zx
, τ
xz
, τ
xy
, τ
yx
, τ
yz
, τ
zy
.
- Các thành phần chuyển vò: w, u, v.



CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 23

Y
O
Z
X
σ
z

u
τ
zx

τ
zy


τ
xz

v τ
yz
σ
x

σ
x

τ
yx
τ
xy

σ
y



σ
z



w
Hình 2.1

II.2. Phân bố ứng suất do trọng lượng bản thân của đất.

Trước khi chòu tác dụng của tải trọng bên ngoài thì trong đất vẫn tồn tại trạng
thái ứng suất do chính trọng lượng bản thân của đất gây ra. Để xác đònh ứng suất này
ta chấp nhận giả thiết : mặt đất nằm ngang và tính chất của đất không thay đổi theo
phương ngang, đất nằm trong trạng thái cân bằng tónh học.
Đối với nền đất đồng nhất, ứng suất thẳng đứng do trọng lượng bản thân của
đất gây ra, σ
zγ
( còn hay gọi là ứng suất thường xuyên σ
tx
), tại một điểm bất kì có độ
sâu z kể từ mặt đất, được tính theo công thức :

σ
zγ

= γ.z

Với γ là trọng lượng riêng tự nhiên của đất.

Trường hợp tổng quát, nền đất gồm nhiều lớp đất khác nhau thì ứng suất do
trong lượng bản thân của đất tại độ sâu z là:

Hoặc là :
∫
=
z
z
dzz
0
)(
γσ
γ
i
n
í
iz
h
∑
=
γσ
γ
( 2. 1 )
( 2. 3 )
( 2. 2 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 24

Hoặc là :

Trong đó: - γ(z) là trọng lượng riêng của đất thiên nhiên tại chiều sâu z.
- ξ là hệ số áp lực hông của đất.
- n là số lượng các lớp đất trong phạm vi tính toán.
- γ
i
là trọng lượng riêng của lớp đất thứ i.
- h
i
là chiều dày của lớp đất thứ i.

Sáu thành phần ứng suất tiếp luôn bằng không.

Lưu ý: Đối với các lớp đất thấm nước, nằm dưới mực nước ngầm thì khi tính
toán σ
zγ
phải sử dụng trọng lượng riêng đẩy nổi.

Biểu đồ phân bố ứng suất (σ
zγ
) trên trục thẳng đứng trong nền đất có dạng
một đường gãy khúc như trên hình 2.2

O x


Sét pha, γ
1
h

1



γ
1
xh
1

Cát pha, γ
2
h
2



( σ
zγ
)
γ
1
xh
1
+ γ
2
xh
2

Sét, γ
3

h
3



z γ
1
xh
1
+ γ
2
xh
2
+γ
3
xh
3


Hình 2.2

II.3. Xác đònh ứng suất tại đáy móng

∫
==
z
yx
dzz
0
)(

γξσσ
zyx
ξ
σ
σ
σ
=
=
( 2.
4
)
( 2.5 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 25
Với một móng nông, tải trọng do kết cấu bên trên của công trình tác dụng lên
nền đất thông qua mặt đáy móng và gây nên ứng suất tiếp xúc giữa đáy móng với nền
đất. Trong phạm vi bài giảng này ta chỉ xét ứng suất theo phương thẳng đứng. Các
ứng suất này được xem là áp lực của công trình truyền cho nền khi tính toán nền và
ngược lại là phản lực của nền khi tính toán móng.

Cường độ và qui luật phân bố phản lực nền phụ thuộc vào nhiều yếu tố như :

o Kích thước hình dạng móng.
o Độ cứng của móng.
o Đặc điểm của tải trọng.
o Các đặc tính cơ học - vật lý của đất nền v.v …

Ở đây ta nghiên cứu phương pháp dựa trên giả thiết xem ứng suất tiếp
xúc dưới đáy móng phân bố theo qui luật đường thẳng ( tuyến tính )

Trường hợp bài toán không gian

Đáy móng hình chữ nhật, tải lệch tâm theo hai phương, ứng suất tại điểm có
tọa độ ( x, y ) dưới đáy móng tính theo công thức tổng quát sau :

















Hình 2.3
y
y
x
x
yx
J
xM
J
yM

F
P
p ++=
),(
( 2.
6
)


P
O x
M(x,y) z
l


.M y
b x o x
e
y

e
x
P

y
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 26
Tại các điểm x
max
= ± l/2 ; y
max

= ± b/2 ứng suất tính theo công thức:

Hay có thể viết

Trong đó:
- b, l là kích thước hai cạnh của đáy móng
- P là tải thẳng đứng tác dụng tại đáy móng
- e
x
, e
y
là độ lệch tâm theo phương x và phương y
e
x
=M
y
/P ; e
y
=M
x
/P ;
W
x
= lb
2
/6 ; W
y
= bl
2
/6

Hình 2.4
Suy về ứng suất đáy móng trong điều kiện lệch tâm một phương.

Ví dụ : e
y
= 0; e
x
≠ 0







Hình 2.5

)

6
1(
.
b
e
l
e
lb
P
p
y
x
c
±±=
X
X
Y
Y
c
W
M
W
M
lb
P
p ±±=
.
( 2. 8 )
( 2.
7

)
l

P
M
y

b M
x
o x




y z
P
M
y

x


y
z
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 27
Trường hợp bài toán phẳng

Đây là trường hợp móng băng chòu tải lệch tâm, khi đó ứng suất tại một điểm
bất kỳ dưới đáy móng được tính theo công thức:
Trò số ứng suất đáy móng cực đại và cực tiểu:

Hoặc
Trong đó :
- b là bề rộng của đáy móng băng, ( m )
- P là tải thẳng đứng trên một mét dài tác dụng tại đáy móng, ( T/m)
- e
x
là độ lệch tâm theo phương x, ( m )
e
x
= M
y
/ P ; W
y
= b
2
/ 6


x
x
b
ex
y
O
O
z
M(x,y)
P

Hình 2.6

II.4. Phân bố ứng suất trong đất – bài toán không gian
Khi tính toán ứng suất trong đất, dựa vào mối tương quan giữa hai kích thước
của diện chòu tải, người ta chia thành hai trường hợp cơ bản:
Y
Y
x
J
xM
b
P
p
.
)(
±=
Y
Y
W
M
b
P
p ±=
min)(max;
1m
( 2.9 )
( 2.10a )
)
.6
1(
min)(max;

b
e
b
P
p
x
±=
( 2.10
b
)
p
max
p
min


x M(x,y)
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 28
Y
Z
O
R
P
X
o Bài toán không gian.
o Bài toán phẳng.

4.1. Lực tập trung thẳng đứng trên mặt đất

Như đã biết, tải trọng của công trình truyền lên nền đất thông qua diện tích

đáy móng, cho nên trên thực tế không thể tồn tại một lực tập trung thẳng đứng trên
mặt đất. Mặc dù vậy bài toán này giữ vai trò cơ bản và quan trọng nhất, đó là bài
toán J.Boussinesq.

Đặt bài toán
Giả sử có một mặt đất Q, chòu tác dụng của tải trọng tập trung thẳng đứng P tại
một điểm O trên mặt đất, một điểm M bất kỳ có tọa độ ( x, y, z ) trong nền đất.
Yêu cầu : Tìm ứng suất và chuyển vò tại điểm M

Kết quả cuối cùng




Q
β
σ
z


τ
zx
M
τ
zy



Hình 2.7

Công thức xác đònh ứng suất và chuyển tại điểm M như sau :

ng suất pháp



5
3

2
3
R
zP
z
π
σ
=
]}
)(
)2(
)(
[
3
21
{.
2
3
23
2
3

22
5
2
zRR
zRx
zRR
zRzR
R
zxP
x
+
+
−
+
−−−
+=
µ
π
σ
( 2.11 )
( 2.12 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 29

ng suất tiếp


Tổng ứng suất

Chuyển vò theo phương z, phương x và phương y lần lượt như sau :




Trong đó: P - tải trọng thẳng đứng tác dụng trên bề mặt nền đất.
E,
µ - modun biến dạng và hệ số nở hông của nền đất.
R - khoảng cách từ điểm xét đến điểm đặt của lực (chọn làm gốc).

]
1
)1(2.[
2
)1(
3
2
R
R
z
E
P
w
µ
π
µ
−+
+
=
);(

2222
zyxR ++=
]}
)(
)2(
)(
[
3
21
{.
2
3
23
2
3
22
5
2
zRR
zRy
zRR
zRzR
R
zyP
y
+
+
−
+
−−−

+=
µ
π
σ
5
2

2
3
R
yzP
xz
π
τ
−=
5
2

2
3
R
xzP
zx
π
τ
−=
]
)(
)2(
3

21
[.
2
3
235
zRR
zRxy
R
xyzP
xy
+
+−
−=
µ
π
τ
3
)1(
R
zP
zyx
µ
π
σσσθ
+=++=
]
)(
)21(.[
2
)1(

3
zRR
x
R
xz
E
P
u
+
−−
+
=
µ
π
µ
]
)(
)21(.[
2
)1(
3
zRR
y
R
yz
E
P
v
+
−−

+
=
µ
π
µ
( 2.13 )
( 2.1
4
)
( 2.15 )
( 2.1
6
)
( 2.1
7
)
( 2.18 )
( 2.19 )
( 2.20 )
( 2.21 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 30
Để tiện tính toán, biểu thức ( 2.11 ) được viết lại dưới dạng :

Trong đó

r - khoảng cách từ điểm ta xét tới trục z.

Hệ số k đã được lập thành trong bảng 2.1, k = f ( r/z ).

Khi trên mặt đất có n lực tác dụng P

1
, P
2
, … P
n
thì trò số ứng suất tại điểm M bất
kỳ ở độ sâu z ( σ
z
) xác đònh bằng cách cộng tác dụng theo công thức sau :


Trong ( 2.25 ), k
i
là hệ số ứng suất của lực P
i
, tra bảng theo tỉ số r
i
/z

Hình 2.8

2
.
z
P
k
z
=
σ
2
5
2
])(1[
1
.
2
3
z
r
k
+
=
π
)(
222
yxr +=
ii

n
i
Pk
z

1
1
2
Σ
=
=
τ
σ
22
3
3
2
2
2
2
1
1

z
P
k
z
P
k
z

P
k
z
P
k
n
nz
++++=
σ
( 2.22 )
( 2.23 )
( 2.2
4
)
( 2.25 )

P
1
P
2
P
3




z

M r
1

r
2

r
3

CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 31
Bảng 2.1 : Giá trò hệ số k



r/z


k

r/z

k

r/z

k

r/z

k
0.00
0.47747
0.58

0.23126
1.16
0.05666
1.74
0.01467
0.02
0.47699
0.60
0.22136
1.18
0.05393
1.76
0.01405
0.04
0.47556
0.62
0.21173
1.20
0.05134
1.78
0.01346
0.06
0.47320
0.64
0.20240
1.22
0.04889
1.80
0.01290
0.08

0.46991
0.66
0.19336
1.24
0.04655
1.82
0.01236
0.10
0.465730
0.68
0.18462
1.26
0.04433
1.84
0.01185
0.12
0.46070
0.70
0.17619
1.28
0.04223
1.86
0.01137
0.14
0.45485
0.72
0.16806
1.30
0.04023
1.88

0.01091
0.16
0.44823
0.74
0.16025
1.32
0.03834
1.90
0.01046
0.18
0.44088
0.76
0.15274
1.34
0.03654
1.92
0.01004
0.20
0.43287
0.78
0.14553
1.36
0.03483
1.94
0.00964
0.22
0.42425
0.80
0.13862
1.38

0.03321
1.96
0.00926
0.24
0.41509
0.82
0.13201
1.40
0.03168
1.98
0.00889
0.26
0.40543
0.84
0.12568
1.42
0.03022
2.00
0.00854
0.28
0.39536
0.86
0.11962
1.44
0.02883
2.10
0.00701
0.30
0.38492
0.88

0.11385
1.46
0.02751
2.20
0.00579
0.32
0.37419
0.90
0.10833
1.48
0.02626
2.30
0.00481
0.34
0.36322
0.92
0.10307
1.50
0.02505
2.40
0.00402
0.36
0.35207
0.94
0.09801
1.52
0.02395
2.50
0.00337
0.38

0.34080
0.96
0.09328
1.54
0.02288
2.60
0.00285
0.40
0.32946
0.98
0.08873
1.56
0.02186
2.70
0.00241
0.42
0.31809
1.00
0.08441
1.58
0.02888
2.80
0.00206
0.44
0.30676
1.02
0.08029
1.60
0.01997
2.90

0.00176
0.46
0.29549
1.04
0.07637
1.62
0.01909
3.00
0.00151
0.48
0.28433
1.06
0.07265
1.64
0.01826
3.50
0.00075
0.50
0.27332
1.08
0.06912
1.66
0.01747
4.00
0.00040
0.52
0.26248
1.10
0.06576
1.68

0.01762
4.50
0.00023
0.54
0.25184
1.12
0.06257
1.70
0.01600
5.00
0.00014
0.56
0.24143
1.14
0.05954
1.72
0.01532
>5.0
0.00000

CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 32
4.2 Tải trọng phân bố trên diện chòu tải chữ nhật

Tải trọng phân bố đều trên diện chữ nhật

Đặt bài toán
Giả sử trên mặt đất có một diện chòu tải hình chữ nhật, chòu tải phân bố đều p
và một điểm M( x, y, z ) trong nền đất.
Yêu cầu : tìm ứng suất thẳng đứng tại điểm M

Kết quả cuối cùng

L= 2b










Hình 2.9

Để xác đònh giá trò của ứng suất trong đất khi có tác dụng của tải trọng phân
bố đều p trên diện chòu tải hình chữ nhật ta dựa trên cơ sở công thức của Boussinesq.
Trên diện chòu tải, lấy một diện phân tố vô cùng nhỏ dF thì có thể coi như
tổng tải trọng trên diện tích dF là lực tập trung tương đương có trò số p.dF. Lúc này
một điểm M( x, y, z ) dưới tác dụng của tải phân bố không gian dF = dx. dy theo công
thức 2.11 sẽ có trò số ứng suất pháp là:

Lấy tích phân biểu thức trên toàn bộ diện tích chòu tải hình chữ nhật ta có:



5
3
2
3

R
pdxdyz
d
z
π
σ
=
5
3
2
3
R
pdxdyz
b
b
a
a
z
∫∫
−−
=
π
σ
x
y
o
B= 2a
Kích thước diện chòu
tải chữ nhật có
- Cạnh dài L= 2b

- Cạnh ngắn B = 2a
( 2.26 )
( 2.2
7
)
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 33


O x
x
y

z
y
M(x, y, z)


z
Hình 2.10

Để đơn giản tính toán, ứng suất thẳng đứng σ
z
theo công thức 2.27 do tải phân
bố đều trên diện chòu tải hình chữ nhật, tại độ sâu z trên các đường thẳng đứng đi qua
trọng tâm và góc của diện chòu tải được viết lại dưới dạng :

σ
zo
= k
o

. p

σ
zg
= k
g
. p

Trong đó :
- p là cường độ tải trọng phân bố đều trên diện chòu tải.
- k
o
, k
g
là các hệ số phụ thuộc tỉ số l/b ( l là cạnh dài ; b là cạnh ngắn
của diện chòu tải chòu tải chữ nhật ) và tỉ số z/b ( z là chiều sâu của điểm tính
ứng suất kể từ mặt diện đặt tải ).
Các giá trò k
o
, k
g
đã được thành lập ở các bảng 2.2 và bảng 2.3.

Khi cần tính ứng suất
σ
z
tại những điểm bất kì, không nằm trên trục qua tâm,
hoặc trên trục qua góc, ta dùng phương pháp điểm- góc.

Phương pháp điểm góc :

Nội dung của phương pháp này là phân tích diện chòu tải cho trước thành
nhiều diện chòu tải nhỏ hình chữ nhật, sao cho điểm cần tính trở thành điểm góc của
những diện chòu tải mới đó rồi dùng công thức ( 2.29 ) có chứa hệ số k
g
, để tính ứng
suất và cuối cùng cộng đại số các kết quả thu được.

Có 3 trường hợp điển hình đối với điểm cần tính ứng suất – điểm A theo
phương pháp điểm góc.
( 2.28 )
( 2.29 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 34

Bảng 2.2 : Giá trò hệ số ứng suất k
o

l/b

Z/b
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.4 2.8 3.2 4 5
≥10
0.0
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
0.4
0.800 0.830 0.848 0.859 0.866 0.870 0.875 0.878 0.879 0.880 0.881 0.881
0.8
0.449 0.496 0.532 0.558 0.578 0.593 0.612 0.623 0.629 0.636 0.639 0.642
1.2
0.257 0.294 0.325 0.352 0.374 0.392 0.419 0.437 0.449 0.462 0.470 0.477

1.6
0.160 0.187 0.211 0.232 0.251 0.267 0.294 0.314 0.329 0.348 0.360 0.374
2.0
0.108 0.127 0.145 0.161 0.176 0.190 0.214 0.233 0.248 0.269 0.285 0.306
2.4
0.077 0.091 0.105 0.118 0.130 0.141 0.161 0.178 0.192 0.213 0.230 0.258
2.8
0.058 0.069 0.079 0.089 0.099 0.108 0.124 0.139 0.152 0.172 0.189 0.223
3.2
0.045 0.053 0.062 0.070 0.077 0.085 0.099 0.111 0.122 0.141 0.158 0.196
3.6
0.036 0.043 0.049 0.056 0.062 0.068 0.080 0.091 0.100 0.117 0.133 0.174
4.0
0.029 0.035 0.040 0.046 0.051 0.056 0.066 0.075 0.084 0.098 0.113 0.157
4.4
0.024 0.029 0.034 0.038 0.043 0.047 0.055 0.063 0.071 0.084 0.098 0.143
4.8
0.020 0.024 0.028 0.032 0.036 0.040 0.047 0.054 0.060 0.072 0.085 0.131
5.2
0.017 0.021 0.024 0.028 0.031 0.034 0.040 0.046 0.052 0.063 0.074 0.121
5.6
0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.030 0.035 0.040 0.045 0.055 0.065 0.112
6.0
0.013 0.016 0.018 0.021 0.023 0.026 0.031 0.035 0.040 0.048 0.058 0.105
6.4
0.012 0.014 0.016 0.018 0.021 0.023 0.027 0.031 0.035 0.043 0.052 0.098
6.8
0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.024 0.028 0.032 0.038 0.046 0.092
7.2
0.009 0.011 0.013 0.015 0.016 0.018 0.022 0.025 0.028 0.035 0.042 0.087

7.6
0.008 0.010 0.012 0.013 0.015 0.016 0.019 0.022 0.025 0.031 0.038 0.082
8.0
0.007 0.009 0.010 0.118 0.013 0.015 0.018 0.020 0.023 0.028 0.034 0.078
10
0.005 0.006 0.067 0.008 0.009 0.010 0.011 0.013 0.015 0.018 0.023 0.061
12
0.003 0.004 0.005 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.013 0.016 0.049



CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 35

10
0.2500
0.2492

0.2443
0.2342
0.2202
0.2046
0.1888
0.1740
0.1604
0.1482
0.1374
0.1277
0.1192
0.1116
0.1048

0.0987
6.0
0.2500
0.2492

0.2443
0.2342
0.2202
0.2045
0.1887
0.1738
0.1601
0.1478
0.1368
0.1271
0.1184
0.1106
0.1036
0.0973
5.0
0.2500
0.2492

0.2443
0.2342
0.2202
0.2044
0.1885
0.1735
0.1598

0.1474
0.1363
0.1264
0.1175
0.1096
0.1024
0.0959
4.0
0.2500
0.2492

0.2443
0.2341
0.2200
0.2042
0.1882
0.1730
0.1590
0.1463
0.1350
0.1248
0.1156
0.1073
0.0999
0.0931
3.6
0.2500
0.2492

0.2443

0.2341
0.2199
0.2040
0.1879
0.1725
0.1584
0.1455
0.1339
0.1235
0.1142
0.1058
0.0982
0.0913
3.2
0.2500
0.2492

0.2443
0.2340
0.2197
0.2036
0.1873
0.1718
0.1574
0.1443
0.1324
0.1218
0.1122
0.1035
0.0957

0.0887
2.8
0.2500
0.2492

0.2442
0.2338
0.2194
0.2031
0.1865
0.1705
0.1557
0.1422
0.1300
0.1190
0.1092
0.1003
0.0923
0.0851
2.4
0.2500
0.2492
0.2441
0.2336
0.2188
0.2020
0.1849
0.1684
0.1530
0.1389

0.1263
0.1149
0.1047
0.0955
0.0874
0.0801
2.0
0.2500
0.2491
0.2439
0.2330
0.2176
0.1999
0.1818
0.1644
0.1482
0.1334
0.1202
0.1084
0.0979
0.0886
0.0805
0.0732
1.8
0.2500
0.2491
0.2437
0.2324
0.2165
0.1981

0.1793
0.1613
0.1445
0.1294
0.1158
0.1039
0.0934
0.0842
0.0760
0.0689
1.6
0.2500
0.2491
0.2434
0.2315
0.2147
0.1955
0.1757
0.1569
0.1396
0.1240
0.1103
0.0983
0.0879
0.0788
0.0709
0.0640
1.4
0.2500
0.2490

0.2429
0.2301
0.2120
0.1914
0.1705
0.1508
0.1329
0.1172
0.1034
0.0915
0.0813
0.0725
0.0649
0.0583
1.2
0.2500
0.2489
0.2420
0.2275
0.2075
0.1851
0.1628
0.1423
0.1241
0.1083
0.0947
0.0832
0.0734
0.0651
0.0580

0.0519
l/b
1.0
0.2500
0.2486
0.2401
0.2229
0.1999
0.1752
0.1516
0.1305
0.1123
0.0969
0.0840
0.0732
0.0642
0.0566
0.0502
0.0447
Bảng 2.3 : Giá trò hệ số ứng suất k
g
z/b
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4

1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0

CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 36


10
0.0987
0.0932
0.0882
0.0837
0.0796
0.0758
0.0724
0.0692
0.0663
0.0635
0.0610
0.0506
0.0428
0.0367
0.0319
0.0279
6.0

0.0973
0.0916
0.0864
0.0816
0.0773
0.0733
0.0696
0.0662
0.0630
0.0601
0.0573
0.0460
0.0376
0.0312
0.0262
0.0222
5.0
0.0959
0.0901
0.0847
0.0798
0.0753
0.0712
0.0674
0.0639
0.0606
0.0575
0.0547
0.0431
0.0347

0.0283
0.0235
0.0198
4.0
0.0931
0.0870
0.0814
0.0763
0.0717
0.0674
0.0634
0.0598
0.0564
0.0533
0.0504
0.0388
0.0306
0.0246
0.0202
0.0168
3.6
0.0913
0.0850
0.0793
0.0741
0.0694
0.0650
0.0610
0.0574
0.0540

0.0509
0.0480
0.0366
0.0286
0.0228
0.0186
0.0154
3.2
0.0887
0.0823
0.0765
0.0712
0.0664
0.0620
0.0580
0.0544
0.0510
0.0480
0.0451
0.0340
0.0263
0.0209
0.0169
0.0140
2.8
0.0851
0.0786
0.0727
0.0674
0.0626

0.0582
0.0543
0.0507
0.0474
0.0444
0.0417
0.0310
0.0238
0.0188
0.0151
0.0125
2.4
0.0801
0.0735
0.0677
0.0624
0.0577
0.0535
0.0496
0.0462
0.0430
0.0402
0.0376
0.0276
0.0210
0.0165
0.0132
0.0109
2.0
0.0732

0.0668
0.0611
0.0561
0.0516
0.0475
0.0439
0.0407
0.0378
0.0352
0.0328
0.0238
0.0180
0.0140
0.0112
0.0092
1.8
0.0689
0.0627
0.0571
0.0523
0.0479
0.0441
0.0407
0.0376
0.0348
0.0324
0.0301
0.0217
0.0164
0.0127

0.0102
0.0083
1.6
0.0640
0.0579
0.0527
0.0480
0.0439
0.0403
0.0371
0.0342
0.0317
0.0294
0.0273
0.0196
0.0147
0.0114
0.0091
0.0074
1.4
0.0583
0.0526
0.0477
0.0433
0.0395
0.0362
0.0332
0.0306
0.0283
0.0262

0.0243
0.0174
0.0130
0.0101
0.0080
0.0065
1.2
0.0519
0.0467
0.0421
0.0382
0.0348
0.0318
0.0291
0.0268
0.0247
0.0228
0.0212
0.0151
0.0112
0.0087
0.0069
0.0056
l/b
1.0
0.0447
0.0401
0.0361
0.0326
0.0296

0.0270
0.0247
0.0227
0.0209
0.0193
0.0179
0.0127
0.0094
0.0073
0.0058
0.0047
Bảng 2.3 : Gá trò hệ số ứng suất k
g
( tt )

z/b
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
6.0
7.0
8.0

9.0
10
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 37

- Điểm A nằm trên trục thẳng đứng đi qua một điểm trên cạnh của diện
chòu tải ( abcd ) cho trước.
f
a d


b e c

z
A
Hình 2.11

Công thức tính ứng suất thẳng đứng của điểm A trên hình vẽ là:

σ
z
= [k
g (efab)
+k
g (efdc)
].p

- Điểm A nằm trên trục thẳng đứng đi qua điểm bên trong diện chòu tải (
abcd ) cho trước.

a d
h
O
e g

b c
f z

A


Hình 2.12

Công thức tính ứng suất thẳng đứng của điểm A trên hình vẽ là :

σ
z
= [ k
g (ohae)
+k
g (oebf)
+k
g (ofcg)
+ k
g (ogdh)
].p

- Điểm A trên trục thẳng đứng đi qua điểm nằm ngoài diện chòu tải ( abcd )
cho trước

CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 38
Công thức tính ứng suất của điểm A trên hình vẽ là:

σ
z
= [k
g (ohae)
-k
g (ogbe)
-k
g (ohdf)
+ k
g (ogcf)
]. p

a d h

c
b g
f
e O

z
A

Hình 2.13

Khi tính toán độ lún của nền đất có xét đến ảnh hưởng biến dạng hông trong
điều kiện không gian, ta phải dùng thêm tổng ứng suất θ, được tính theo công thức :

θ = λ.p( 1 + µ )

Trong đó : µ _ hệ số nở hông của đất
λ _ hệ số để tính tổng ứng suất.

Tải trọng phân bố theo qui luật tam giác trên diện chòu tải hình chữ nhật.

Sơ đồ tải trọng trình bày trên hình 2.14


B
C
l


A D

b


σ
A
zT’
σ
D
zT


Hình 2.14
p

( 2.30 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 39

Ứng suất σ
z
của những điểm có độ sâu z nằm trên trục qua góc ( C, D ) có tải
trọng lớn nhất bằng p, được tính nhờ công thức:

σ
z
= k
T
.p

Còn những điểm nằm trên trục qua góc ( A, B ) có tải trọng bằng 0:

σ
z
= k’
T
.p

Các hệ số k
T
, k’
T
phụ thuộc các tỉ số l/b; z/b tra theo bảng 2.4 và bảng 2.5.

Chú ý: khi tải trọng phân bố đều người ta quy ước l là cạnh dài, b là cạnh ngắn
của diện đặt tải ; còn khi tải trọng phân bố theo qui luật tam giác thì bảng tra ở đây

thiết lập với qui ước b là cạnh theo phương tải trọng thay đổi.

Muốn tính ứng suất tại một điểm bất kì trong nền đất dưới diện chòu tải chữ
nhật phân bố theo qui tam giác ta cũng dùng phương pháp điểm góc với những hệ số
k
T
, k’
T
và k
g
.


















Hình 2.15

( 2.31 )
( 2.32 )


p



b

a d


A l


b c
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 40

10
0.0000
0.0004
0.0007
0.0014
0.0024
0.0029
0.0035

0.0041
0.0046
0.0057
0.0066
0.0084
0.0099
0.0112
0.0140
0.0156
7.5
0.0000
0.0006
0.0013
0.0025
0.0042
0.0051
0.0061
0.0071
0.0080
0.0097
0.0112
0.0138
0.0157
0.0172
0.0199
0.0210
5.0
0.0000
0.0014
0.0028

0.0056
0.0091
0.0112
0.0131
0.0150
0.0167
0.0196
0.0221
0.0256
0.0277
0.0291
0.0309
0.0314
3.0
0.0000
0.0038
0.0076
0.0148
0.0233
0.0279
0.0319
0.0352
0.0381
0.0423
0.0451
0.0483
0.0497
0.0504
0.0511
0.0512

2.5
0.0000
0.0054
0.0106
0.0206
0.0319
0.0376
0.0423
0.0461
0.0491
0.0533
0.0559
0.0585
0.0595
0.0600
0.0605
0.0606
2.0
0.0000
0.0081
0.0160
0.0305
0.0456
0.0526
0.0579
0.0619
0.0649
0.0686
0.0707
0.0725

0.0732
0.0735
0.0737
0.0738
1.75
0.0000
0.0103
0.0203
0.0381
0.0557
0.0632
0.0687
0.0725
0.0752
0.0786
0.0803
0.0817
0.0822
0.0824
0.0826
0.0826
1.5
0.0000
0.0135
0.0265
0.0486
0.0688
0.0767
0.0820
0.0855

0.0879
0.0906
0.0919
0.0930
0.0933
0.0934
0.0936
0.0936
1.25
0.0000
0.0184
0.0357
0.0636
0.0861
0.0938
0.0985
0.1015
0.1034
0.1054
0.1063
0.1070
0.1072
0.1073
0.1074
0.1074
1.00
0.0000
0.0263
0.0502
0.0852

0.1086
0.1154
0.1191
0.1213
0.1226
0.1239
0.1244
0.1248
0.1249
0.1250
0.1250
0.1250
0.75
0.0000
0.0402
0.0742
0.1164
0.1373
0.1421
0.1444
0.1457
0.1464
0.1470
0.1473
0.1475
0.1475
0.1476
0.1476
0.1476
0.5

0.0000
0.0679
0.1164
0.1587
0.1719
0.1741
0.1751
0.1756
0.1758
0.1760
0.1761
0.1762
0.1762
0.1762
0.1762
0.1762
0.25
0.0000
0.1358
0.1873
0.2073
0.2103
0.2107
0.2109
0.2110
0.2110

0.2110
0.2110
0.2110

0.2110
0.2110
0.2110
0.2110
Z/b
0.0

0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
0.2500
Bảng 2.4 : Giá trò hệ số ứng suất k
T
l /b
0.0
0.15
0.30
0.60
1.00

1.25
1.50
1.75
2.00
2.50
3.00
4.00
5.00
6.00
10.0
20.0

CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 41

10
0.0000
0.0004
0.0007
0.0014
0.0023
0.0029
0.0035
0.0040
0.0046
0.0056
0.0066
0.0084
0.0098
0.0111
0.0139

0.0155
7.5
0.0000
0.0006
0.0012
0.0025
0.0041
0.0051
0.0060
0.0070
0.0078
0.0095
0.0110
0.0136
0.0155
0.0170
0.0197
0.0207
5.0
0.0000
0.0014
0.0027
0.0054
0.0088
0.0108
0.0127
0.0145
0.0161
0.0190
0.0214

0.0248
0.0270
0.0283
0.0301
0.0306
3.0
0.0000
00035
0.0069
0.0135
0.0214
0.0257
0.0294
0.0325
0.0352
0.0392
0.0419
0.0449
0.0462
0.0469
0.0476
0.0477
2.5
0.0000
0.0048
0.0094
0.0183
0.0284
0.0335
0.0378

0.0413
0.0440
0.0480
0.0504
0.0529
0.0539
0.0543
0.0548
0.0549
2.0
0.0000
0.0068
0.0134
0.0255
0.0384
0.0444
0.0491
0.0527
0.0553
0.0588
0.0607
0.0624
0.0631
0.0634
0.0636
0.0637
1.75
0.0000
0.0082
0.0161

0.0304
0.0449
0.0512
0.0559
0.0593
0.0617
0.0647
0.0663
0.0677
0.0681
0.0683
0.0685
0.0686
1.5
0.0000
0.0101
0.0197
0.0365
0.0523
0.0587
0.0631
0.0661
0.0682
0.0707
0.0719
0.0729
0.0732
0.0733
0.0734
0.0735

1.25
0.0000
0.0124
0.0241
0.0435
0.0600
0.0660
0.0699
0.0724
0.0740
0.0758
0.0766
0.0773
0.0775
0.0776
0.0776
0.0776
1.00
0.0000
0.0152
0.0292
0.0508
0.0666
0.0716
0.0745
0.0763
0.0774
0.0785
0.0790
0.0794

0.0795
0.0795
0.0796
0.0796
0.75
0.0000
0.0183
0.0430
0.0560
0.0686
0.0720
0.0738
0.0747
0.0753
0.0759
0.0761
0.0763
0.0764
0.0764
0.0764
0.0764
0.5
0.0000
0.0208
0.0368
0.0536
0.0606
0.0620
0.0627
0.0631

0.0633
0.0635
0.0636
0.0636
0.0637
0.0637
0.0637
0.0637
0.25
0.0000
0.0201
0.0299
0.0356
0.0370
0.0372
0.0370
0.0374
0.0374
0.0374

0.0374
0.0374
0.0374
0.0374
0.0374
0.0374
Z/b
0.0

0.000

0
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Bảng 2.5 : Giá trò hệ số ứng suất k’
T

l /b
0.0
0.15
0.30
0.60
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.50

3.00
4.00
5.00
6.00
10.0
20.0



CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 42
II.5. Phân bố ứng suất trong đất bài toán phẳng

Tải trọng có qui luật phân bố thay đổi trên phương x và không thay đổi theo
phương y được gọi là tải trọng hình băng. Ứng suất tại một điểm trong đất trong
trường hợp này thuộc bài toán phẳng ( trạng thái ứng suất - biến dạng của nền chỉ phụ
thuộc 2 toạ độ x,z ).

Trong thực tế, chỉ cần diện chòu tải có chiều dài lớn hơn một số lần nhất đònh
so với bề rộng ( l ≥ ( 7 ÷ 10 ).b ) thì có thể xem như bài toán phẳng và ứng suất thành
phần gồm: σ
z
, σ
x
, τ
xz


y

p(x) l

O

b x


z


Hình 2.16

5.1 Tải trọng đường trên mặt đất

Tải trọng tập trung thẳng đứng phân bố đều trên đường thẳng theo phương y
được gọi là tải trọng đường. Xét một đoạn vô cùng nhỏ dy trên trục phân bố tải trọng
thì lực phân bố trên đoạn xét này xem như lực tập trung ( hình 2.17 ). p dụng công
thức Boussinesq để tìm ứng suất do tải tập trung phân tố, từ đó tích phân lên từ -
∞
đến +∞ sẽ thu được ứng suất do tải trọng đường.


Thực hiện tích phân suy rộng này đưa đến kết quả sau:
5222
3
)(2
.3
zyx

zpdy
z
++
=
∫
+∞
∞−
π
σ
( 2.33 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 43




Các công thức ( 2.34 ), ( 2.35 ), ( 2.36 ) gọi là công thức Flament ( 1892 ) và là
cơ sở để xây dựng cách tính ứng suất cho bài toán phẳng.

Hình 2.17


5.2 Tải trọng hình băng phân bố đều

Trong trường hợp này, công thức để tính ứng suất tại một điểm bất kỳ
trong nền đất được viết gọn lại như sau :

σ
z
= k
z
.p
222
3
)(
.2
zx
zp
z
+
=
π
σ
222

2
)(
.2
zx
zxp
x
+
=
π
σ
222
2
)(
.2
zx
xzp
xz
+
=
π
τ
( 2.34 )
( 2.37 )

( 2.35 )
( 2.3
6
)
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 44

σ
x
= k
x
.p

τ
xz
= k
τ
.p
Trong đó :
p cường độ tải trọng phân bố đều.
k
z
, k
x
, k
τ
các hệ số để tính ứng suất, phụ thuộc các tỉ số x/b ; z/b
và được thiết lập trong bảng 2.6
x, z toạ độ của điểm xét ( Hình 2.18 )
b bề rộng diện chòu tải trọng.
b



O
x

M ( x,z )

z

Hình 2.18

Khi tính toán độ lún của nền đất có xét đến ảnh hưởng biến dạng hông trong
điều kiện bài toán phẳng ta phải dùng tổng ứng suất θ’ = σ
z
+ σ
x
. Người ta còn rút ra
một kết quả nữa là: tại mọi điểm, phương của ứng suất chính lớn nhất trùng với
đường phân giác góc nhìn 2
β của điểm đó.
b










Khi sử dụng các công thức ( 2.40 ), ( 2.41 ) ta tính
Hình 2.19 được các ứng suất chính tại điểm M (x,y)

( 2.38 )
( 2.39 )

p
x
2
β
σ
3
z

M

σ
1

z
Trò số của các ứng suất chính tại điểm
M( x,z) xác đònh theo công thức:

)2sin2(
1
ββ
π
σ
+=
p
( 2.40 )

)2sin2(
3
ββ
π
σ
−=
p
( 2.41 )
CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 45



τ
xz
/p
0.3183
0.3152
0.2996
0.2836
0.2546
0.2037
0.1592
0.1242
0.0979
0.0784
0.0637
0.0318
0.0187
0.0122
0.0086

σ
x
/p
0.5000
0.4368
0.3471
0.2936
0.2251
0.1424
0.0908
0.0595
0.0403
0.0281
0.0203
0.0069
0.0031
0.0016
0.0010
0.5
σ
z
/p
0.5000
0.4998
0.4969
0.4921
0.4797
0.4480
0.4092
0.3700

0.3341
0.3024
0.2749
0.1979
0.1529
0.1240
0.1042
τ
xz
/p
0.0000
0.0383
0.1273
0.1538
0.1567
0.1273
0.0959
0.0720
0.0551
0.0430
0.0343
0.0165
0.0096
0.0062
0.0043
σ
x
/p
1.0000
0.6852

0.3929
0.2859
0.1862
0.0978
0.0551
0.0332
0.0212
0.0142
0.0100
0.0032
0.0014
0.0007
0.0004
0.25
σ
z
/p
1.0000
0.9882
0.9022
0.8310
0.7347
0.6071
0.5105
0.4365
0.3791
0.3339
0.2976
0.2057
0.1563

0.1259
0.1053
τ
xz
/p
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
σ
x
/p
1.0000
0.7519
0.4502
0.3121
0.1817
0.0805
0.0405

0.0227
0.0138
0.0090
0.0062
0.0019
0.0008
0.0004
0.0002
x/b
0
σ
z
/p
1.0000
0.9968
0.9595
0.9103
0.8183
0.6682
0.5498
0.4618
0.3958
0.3453
0.3058
0.2084
0.1575
0.1265
0.1056
Bảng 2.6 : Hệ số ứng suất thành phần tải băng phân bố đều

z/b
0.00
0.10
0.25
0.35
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00


CHƯƠNG II: PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT 46

τ
xz
/p
0.0000
0.0045
0.0255
0.0447
0.0739

0.1098
0.1254
0.1265
0.1198
0.1098
0.0988
0.0621
0.0403
0.0277
0.0201
σ
x
/p
0.0000
0.0476
0.1082
0.1369
0.1614
0.1650
0.1456
0.1204
0.0969
0.0772
0.0615
0.0265
0.0130
0.0072
0.0044
1.25
σ

z
/p
0.0000
0.0005
0.0063
0.0154
0.0358
0.0772
0.1142
0.1407
0.1568
0.1650
0.1677
0.1538
0.1315
0.1123
0.0971
τ
xz
/p
0.0000
0.0108
0.0551
0.0882
0.1273
0.1567
0.1567
0.1440
0.1273
0.1108

0.0959
0.0551
0.0343
0.0231
0.0165
σ
x
/p
0.0000
0.0817
0.1707
0.2005
0.2112
0.1848
0.1457
0.1110
0.0839
0.0638
0.0490
0.0193
0.0091
0.0050
0.0030
1.00
σ
z
/p
0.0000
0.0016
0.0193

0.0423
0.0839
0.1457
0.1848
0.2045
0.2112
0.2102
0.2047
0.1707
0.1401
0.1171
0.1001
τ
xz
/p
0.0000
0.0419
0.1469
0.1876
0.2107
0.2022
0.1754
0.1469
0.1219
0.1012
0.0845
0.0449
0.0271
0.0179
0.0127

σ
x
/p
0.0000
0.1802
0.2851
0.2836
0.2489
0.1806
0.1269
0.0892
0.0636
0.0463
0.0343
0.0125
0.0057
0.0031
0.0018
x/b
0.75
σ
z
/p
0.0000
0.0112
0.0892
0.1478
0.2137
0.2705
0.2876

0.2851
0.2735
0.2583
0.2421
0.1859
0.1473
0.1211
0.1024
Bảng 2.6 : Hệ số ứng suất thành phần tải băng phân bố đều ( tt )



z/b
0.00
0.10
0.25
0.35
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00