CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC

TRUỜNG TH SỐ 01 ÂN NGHĨA
TỔ: KHỐI 5
oooo
GV thực hiện: NGUYEN THANH LONG
CHUYÊN ĐỀ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC
A- PHẦN MỞ ĐẦU:
Đối với môn toán ở bậc tiểu học thật là đa dạng, có rất nhiều loại toán khác
nhau. Để có thể cung cấp tốt kiến thức cho HS một cách chắc chắn. GV cần nắm một
số dạng toán và cách giải của dạng toán ấy. Bản thân cũng là một GV đứng lớp, tôi
không dám “Múa rìu qua mắt thợ”. Tuy nhiên, phần chuyên đề này ít nhiều gì cũng
góp phần cho các thầy, cô giáo dù có trực tiếp giảng dạy hay không trực tiếp giảng dạy
vẫn có cơ hội ôn lại. Nếu nắm chắc các dạng toán này, tôi tin rằng các thầy, cô sẽ
giảng giải, hướng dẫn các em HS khá, giỏi dể hiểu hơn và đạt hiệu quả hơn.
B-NỘI DUNG CHÍNH:
Chuyên đề này đề cập đến 22 loại toán khác nhau, được chia làm 4 phần.
I/ Phần 1: Tám loại toán vế “Số và các phép tính số học”.
1) Các bài toán về cấu tạo số và chữ số: Phần này chủ yếu đề cập đến việc giải
toán bằng cách dùng các chữ cái a, b, c … để biểu thị các chữ số trong một số. Thực
chất của của các phép biến đổi đối với các đẳng thức chữ ở đây là các phép biến đổi
tương đương trong đại số song đã được “Tiểu học hoá” bằng các cách diễn đạt thích
hợp. Ngoài ra còn có các bài tập khác liên quan đến` qui tắc viết số theo vị trí trong hệ
đếm thập phân và liên quan đến chữ số trong một số hoặc dãy số.
Ví dụ 1: Tìm một số có hai chữ số biết rằng khi viết thêm 1 vào đằng sau số đó thì
sẽ được một số lớn hơn số có được khi ta viết thêm 1 vào đằng trước số đó 36 đơn vị.
Cách 1: Gọi số phải tìm là
ab
, ta có:
a b 1 * Hàng đơn vị: 11 – b = 6 vậy b = 5 (nhớ 1)
1 a b * Hàng chục: 5 – ( a + 1 ) = 3 Vậy a = 1
36 Nhớ

Vậy: 2 số phải tìm
ab
= 15
Cách 2: Gọi số phải tìm là ab, ta có:
ab1 = ab x 10 + 1
1ab = 100 + ab
Vậy: ab1 - 1ab = (ab x 10 + 1) - (100 + ab) = ab x 10 – ab – 99
= ab x 9 - 99 = 9 x ( ab - 11 ) = 36
Vậy; ab - 11 = 36 : 9 do đó: ab = 4 + 11 = 15
Ví dụ 2: Một cuốn sách có 284 trang. Hỏi để đánh số thứ tự các trang sách của
cuốn sách đó ta phải dùng bao nhiêu chữ số.
Giải: - Từ trang 1 đến trang 9 cần dùng: 9 chữ số
- Từ trang 10 đến trang 99 cần dùng: 90 x 2 = 180 (chữ số)
- Từ trang 100 đến trang 284 cần dùng: 185 x 3 = 555 chữ số.
Vậy số chữ số cần dùng: 9 + 180 + 555 = 744 chữ số
2) Các bài toán xét tận cùng của số và tính số chẵn, lẻ:
Ví dụ 1: Tích của các số lẻ có hai chữ số thì tận cùng bằng chữ số gì?
Giải: Tích đó chia hết cho 5 vì có chứa thừa số 5: Tích đó lại là số lẻ gồm toàn
số lẻ, Vậy tích đó tận cùng là 5
Ví dụ 2: Tìm chữ số hàng đơn vị của các dãy tính sau:
a/ 1 x 3 x 5 x … x 17 x19 + 1 x 2 x 3 x … x 8 x 9
b/ 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12
Giải:
a/ Xét P = 1 x 3 x 5 x … x 17 x 19 đây là tích của các số lẻ trong đó có 5 nên P
là số lẻ và chia hết cho 5. Vậy P tận cùng là 5
- Chữ số tận cùng của tích Q = 1 x 2 x 3 x … x 8 x 9 là 0 vì trong Q có các thừa
số 2 và 5, mà 2 x 5 = 10
Vậy: P + Q có tận cùng là 5
b/ Có Tận cùng là 9 .
3) Các bài toán quan hệ về các phép tính:

Ví dụ 1: Hiệu của hai số là 60. Nếu ta cộng thêm 18 đơn vị vào mỗi số thì số lớn sẽ
gấp 3 lần số bé. Hãy tìm hai số đó.
Giải: Khi cộng thêm 18 đơn vị vào mỗi số thì hiệu của hai số vẫn không thay đổi
và bằng 60. Vậy lúc này ta có sơ đồ.
Số lớn
Số bé 60
Ta có số bé lúc sau: 60 : ( 3 - 1) = 30
Do đó: Số bé lúc đầu: 30 - 18 = 12
Số lớn lúc đầu: 12 + 60 = 72
Ví dụ 2: Một phép chia có thương là 6 và dư là 3. Tổng của số bị chia và số chia,
thương và số dư bằng 201, Tìm số bị chia và số chia.
Giải: Ta có sơ đồ.
Số chia:

3
Số bị chia: 201
Thương: 6
Số dư: 3
Vậy: 6 + 1 = 7 (lần) Số chia: 201 – (3 + 6 + 3) = 189
Số chia: 189 : 7 = 27 ; Số bị chia: 27 x 6 + 3 = 165
4) Các bài toán về tính chất chia hết:
Phần này chủ yếu đề cập đến việc vận dụng các dấu hiệu chia hết và các tính
chất của phép chia hết để giải một loạt các bài toán rất đa dạng ở tiểu học.
Ví dụ 1: Hãy viết thêm hai chữ số vào bên phải số 283 sao cho được một số mới
cùng chia hết cho 2, 3 và 5.
Giải: Một số cùng chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số hàng đơn vị là 0. Vậy chỉ
cần tìm chữ số hàng chục là xong. Các chữ số đó là và ta có:
2 + 8 + 3 + X + 0 = 13 + X = 12 + 1 + X
Trong đó 12 chia hết cho 3 nên muốn cho số đó chia hết cho 3 thì (1 + X) phải
chia hết cho 3. Vậy ta có:

1 + X = 3 X = 2
1 + X = 6 X = 5
1 + X = 9 X = 8
Vậy số phải tìm là: 28320 ; 28350 ; 28380
Ví dụ 2: Tìm tất cả các chữ số có 2 chữ số khi chia hết cho 2 thì dư 1, chia cho 3
thì dư 2, chia cho 5 dư 4.
Giải: Nếu số đó đem cộng với 1 thì được 1 số chia hết cho 2, 3 và 5. Số này phải
tận cùng là chữ số 0 và chữ số hàng chục phải chia hết cho 3. Các số này chỉ có thể là :
30; 60; 90
Vậy suy ra các số đó là: 30 – 1 = 29 ; 60 – 1 = 59 ; 90 – 1 = 89
5) Các bài toán về điền số, chữ số, dấu phép tính:
Ví dụ 1: Thay dấu * bằng chữ số thích hợp.
2 * 6 4 * * 7
a/ * 6 8 b/ 4 * * 6
7 0 * 0
Giải: Hàng đơn vị 6+8 = 14 vậy * = 4 Giải: 4 * : 7 dư 4 vậy (4 * - 4)

7
(nhớ 1) * = 6
- Hàng chục: (* + 6) nhớ 1 là 10 46 : 7 được 6 vậy dấu * ở thương là 6
Vậy * + 6 hay * = 4 vì 66 x 7 = 462 nên ta có:
- Hàng trăm: (2 + *) nhớ 1 lá 7 462 7
Vậy 2 + * + 6 hay * = 4 42 66
Ta có: 236 0
468
704
Ví dụ 2: Bảo đó bạn bài toán sau:
HỌC HỌC HỌC
TẬP TẬP TẬP
19 951 996

Bảo nói “Biết rằng các chữ số khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau.
Các bạn hãy điền vào các chữ số thích hớp. Đố các Cậu bài toán có thể giải được
không?”.
Dung nói “được” ; Vinh nói “không”
Hỏi ai đúng? Vì sao?
Giải: Số HỌC HỌC HỌC chia hết cho 3 vì tổng các chữ số chia hết cho 3 (H +
O + C) X 3 chia hết cho 3. Tương tự TẬP TẬP TẬP cũng chia hết cho 3.
Thế nhưng 199519961 lại không chia hết cho 3 (vì 1 + 9 + 9 +5 + 1 + 9 + 9 + 6 = 49
không chia hết cho 3.
Vậy không thể có được phép trừ đã nêu.
6) Các bài toán về dãy số:
Phần này chủ yếu về các bài toán về tính số số hạng, các xác định số hay tổng
quát “trong một dãy số”; vì cách tính tổng các số hạng trong một dãy số, trong một cấp
số cộng, trong một cấp số nhân đã được “tiểu học hoá”.
Ví dụ 1: Điền 4 số hạng nữa vào mỗi dãy số sau:
a/ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
b/ 1, 4, 10, 19, 34 ….
Giải:
a/ Dãy số được thành lập theo qui tắc sau: Từ số thứ 3 trở đi, mỗi số đều tổng
hai số liền trước nó. Do đó ta chỉ cần thực hiện các phép tính: 8 +5=13; 8 + 13 = 21;
21 + 34 = 55 Vậy dãy số được kéo dài: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …
b/ Kể từ số thứ 3 trở đi, mỗi số đã lớn hơn tổng của 2 số liền ngay trước nó 5
đơn vị, do đó 4 số liên tiếp: 58 ; 97 ; 160 ; 262.
Ví dụ 2: Tính nhanh các tổng sau:
a/ 1 + 4 + 9 + 16 + ……… + 100.
b/ 1 + 2 + 3 + 4 + ………. + 999 + 10000.
Giải:
a/ Nhận xét: 1 = 1 x 1 25 = 5 x 5 81 = 9 x 9
4 = 2 x 2 36 = 6 x 6 100 = 10 x 10
9 = 3 x 3 49 = 7 x 7

16 = 4 x 4 64 = 8 x 8
Vậy tổng được viết đầy đủ: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100.
= (1 + 9) + (4 + 16) + 25 + (36 + 64) + (49 + 81) + 100
= 10 + 20 + 25 + 100 + 130 + 100
= 385
b/ Tổng đã cho bằng:
(1 + 100) + (2 + 999) + (3 + 998) + … + (500 + 501)
= 101 + 1001 + 1001 + … + 1001
500 số hạng 1001
= 1001 x 500
= 500500
7) Các bài toán về phân số: Phần này được viết trên cơ sở nâng cao, các kiến
thức về “phân số” và các phép tính về phân số.
Ví dụ 1: So sánh phân số sau không qui đồng.
a/
25
17
và
37
29
b/
18
12
và
17
13

Giải: a/ Vì
25
17

= 1 -
25
8
;
37
29
= 1 -
37
8

Mà
25
8
>
37
8
nên
25
17
<
37
29
b/ Ta có:
18
12
<
17
12
<
17

13

18
12
<
17
13

Ví dụ 2: Cho phân số
26
14
. Hãy tìm một số nào đó để khi cùng thêm số đó vào tử
và mẫu của phân số đã cho thì được một phân số mới có giá trị bằng phân số
9
6
.
Giải: Hiện của mẫu và tử là: 26 – 14 = 12. Hiệu này không đổi khi cùng cộng
thêm một số vào cả tử và mẫu. Vậy với phân số mới ta có sơ đồ:
Tử số
12
Mẫu số
- Tử số của phân số mới là: 12 : (9 – 6) x 6 = 24
Vậy: Số phải tìm để cộng thêm: 24 – 14 = 10
8) Các bài toán về tỉ số và tỉ số phần trăm.
Ví dụ 1: Trước đây 8 năm thì tỉ số giữa tuổi con và tuổi mẹ là
4
1
. Hiện nay tỉ số
đó là
5

2
. Tính tuổi mẹ hiện nay?
Giải: Ta có:
4
1
=
5
2
Suy ra: - Nếu tuổi con trước đây 2 phần thì tuổi mẹ trước đây là 8 phần (1).
- Vậy tuổi con hiện nay là “2 phần cộng 8 tuổi”.
- Do đó
2
1
tuổi con hiện nay là “1 phần cộng 4 tuổi”.
- Vậy tuổi mẹ hiện nay là “5 phần cộng 20 tuổi” (2)
Từ (1) ta có tuổi mẹ hiện nay: “8 phần cộng 8 tuổi” (3)
Từ (2) và (3) thấy 3 phần chính là: 20 -8 = 12 (tuổi)
Vậy 1 phần: 12 : 3 = 4 (tuổi)
tuổi mẹ hiện nay: 8 x 4 + 8 = 40 tuổi.
Ví dụ 2: Trong học kỳ I, số học sinh tiên tiến của lớp 5A chiếm 45% số HS cả
lớp, sang học kỳ II số HS tiên tiến của lớp chiếm 47,5% số HS cả lớp. Tính số HS lớp
5A?
Giải: Số HS tiên tiến tăng thêm bằng:
47,5% - 45% = 2,5% =
4
1
(số HS cả lớp)
Vậy số học sinh lớp 5A chia hết cho 40
số học sinh lớp 5A : 40; 80; 120; …
Song chỉ có số 40 là phù hợp thực tê. Vậy lớp 5A có: 40 hs

II/ PHẦN 2: CÁC LOẠI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Dạng toán này được dạy chính thức trong chương trình tiểu học (từ tuần 9 đến
tuần 11)
9) Tìm số trung bình cộng; với cấu trúc và cách giải.
n
1
(a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
) hay (a
1
+ a
2
+ a
3
+ … + a
n
) :
n
.
Ví dụ 1: Trung bình cộng của 2 số là 75. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số thứ
hai thì được số thứ nhất. Nếu gấp 4 lần số thứ hai thì được số thứ ba. Tìm ba số đó?
Giải: Theo đề bài thì ta có số thứ nhất gấp 10 lần số thứ 2.số thứ 3 gấp 4 lần số
thứ hai và tổng của 3 số là 75 x 3 = 225
Ta có sơ đồ:

- Số thứ hai: x
- Số thứ nhất: x x x x x x x x x x 225
- Số thứ ba: x x x x
Số thứ hai: 225 : (1 + 4 + 10) = 15
Số thứ nhất: 15 x 10 = 150
Số thứ ba: 15 x 4 = 60
Ví dụ 2: Trung bình cộng của hai số 39. Nếu viết thêm chữ số 7 vào bên trái số
thứ nhất thì được số thứ hai. Tìm 2 số đó?
Giải: Tổng của hai số: 39 x 2 = 78
Vì số thứ hai hơn số thứ nhất 70 đơn vị nên số thứ nhất là:
2
7078 −
= 4 ; số thứ
hai: 4 + 70 = 74.
10) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng, với cấu trúc, nêu cách giải:
ayx
=+

y
x
=
n
m
Ví dụ 1: An và Bình có 33 viên bi. Biết rằng
3
1
số bi của An bằng
5
2
số bi của

Bình. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
Giải: Vì
3
1
=
6
2
nên
6
2
số bi của An bằng
5
2
số bi của Bình
Vậy nên số bi của Ân gồm 6 phần thì số bi của Bình gồm 5 phần
- Số bi của An là:
56
33
+
x 6 = 18 (viên)
- Số bi của Bình là: 33 – 18 = 15 (viên)
Ví dụ 2: Tổng chiều dài của ba tấm vải xanh, trắng, đỏ là 108m. Nếu cắt
7
3
tấm
vải xanh,
5
1
tấm vải trắng,
3

1
tấm vải đỏ thì phần còn lại của ba tấm vải bằng nhau.
Tìm chiều dài mỗi tấm?
Giải: - Số vãi xanh còn lại bằng: 1 -
7
3
=
7
14
(tấm vải xanh)
- Số vãi trắng còn lại bằng: 1 -
5
1
=
5
4
(tấm vải trắng)
- Số vãi đỏ còn lại bằng: 1 -
3
1
=
3
2
(tấm vải đỏ) =
6
4
tấm vải đỏ
Vậy ta có:
7
4

Tấm vải xanh =
5
4
tấm vải trắng =
6
4
tấm vải đỏ
Có nghĩa là: Tấm vải xanh 7 phần, tấm vải trắng 5 phần, tấm vải đỏ 6 phần.
Một phần sẽ là: 108 (7 + 5 + 6) = 6 (m)
- Tấm vải xanh dài: 6 x 7 = 42 (m)
- Tấm vải trắng dài: 6 x 5 = 30 (m)
- Tấm vải đỏ dài: 6 x 6 = 36 (m)
11) Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của chúng, với các cấu trúc

ayx
=+

y
x
=
n
m
Ví dụ 1: An có số bi ít hơn bình 3 lần. Nếu Bình cho An 7 hòn thì số bi của 2 hai
bạn bằng nhau. Tính số bi của mỗi bạn lúc đầu?
Giải: Lúc đầu Bình có nhiều hơn An: 7 + 7 = 14 (hòn bi)
Số bi của An: 14: (3 – 1) = 7 (hòn bi)
Số bi của Bình: 7 x 3 = 21 (hòn bi)
Ví dụ 2: Hiện nay anh 13 tuổi và em 3 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi
anh gấp 3 lần tuổi em?
Giải: Anh luôn luôn hơn em: 13 – 3 = 10 (tuổi)

Khi Anh gấp 3 lần tuổi em ta có sơ đồ.
Anh

Em 10 tuổi
Tuổi em lúc đó là: 10 : (3 – 1) = 5 (tuổi)
Sau thời gian: 5 – 3 = 2 (tuổi)
12) Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng với cấu trúc:
ayx
=+
byx =−
Ví dụ 1: Tổngcủa hai số chẵn là 38. Hãy tìm hai số đó ? Biết rằng giữa chúng có
ba số lẻ.
Giải: Hiệu của hai số chẵn liên tiếp là 2. Vì ở giữa hai số chẵn có ba số lẻ nên
hiệu của hai số chẵn đó là 6 (GV vẽ sơ đồ biểu diễn cho HS thấy)
Vậy: - Số bé là: (38 – 6) : 2 = 16
- Số lớn là: 16 + 6 = 22
Ví dụ 2: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 10. Nếu đem thay đổi
thứ tự các chữ số thì số đã cho giảm đi 36 đơn vị. Hãy tìm số đó ?
Giải: Gọi
ab
là số phải tìm ta có:
a + b = 10
ab
-
ba
= 36
ab
-
ba
= (a x 10 + b) – (b x 10 +a)

= a x 9 - b x 9
= (a – b) x 9 = 36
Vậy: a – b = 36 : 9 = 4
Ta có: a + b = 10
a – b = 4
Vậy ta có: a =
2
)410( +
= 7 ; b = 10 – 7 = 3
Vậy số phải tìm là 73
13) Toán đại lượng tỉ lệ thuận; cấu trúc:
Tóm tắt: a
1
b
1
a
2
x b
1
x =
a
2
? x a
1
Ví dụ 1: Trong 2 ngày với 8 người thì sửa được 64m đường. Vậy trong 5 ngày 9
người sửa thì sửa được bao nhiêu mét đường? (Mức làm mỗi người như nhau)
Giải: Tóm tắt: 2 ngày 8 người 64m
5 ngày 9 người ? m
Cách 1: Trong 1 ngày 8 người sửa được : 64 : 2 = 32 (m)
Trong 5 ngày 8 người sửa được : 32 x 5 = 160 (m)

Trong 5 ngày 1 người sửa được : 160 : 8 = 20 (m)
Trong 5 ngày 9 người sửa được : 160 + 20 = 180 (m)
Cách 2: 1 ngày làm 64 m đường thì cấn: 2 x 8 = 16 (người)
5 ngày 9 người làm. Vậy 1 ngày thì phải: 9 x 5 = 45 (người)
5 ngày 9 người làm sẽ được:
16
4565x
= 160 (m).
14) Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch: Cấu trúc:
Tóm tắt: a
1
b
1
a
1
x b
1
x =
a
2
? x a
2
Ví dụ: Một đơn vị bộ đội chuẩn bị một số gạo đủ ăn cho 50 người, ăn trong 10
ngày. 3 ngày sau đơn vị đó được tăng cường thêm 20 người nữa. Hỏi đơn vị đó gạo ăn
trong mấy ngày?
Giải:
Sau khi đã ăn 3 ngày rồi, số gạo còn lại đủ cho 50 người ăn trong thời gian:
10 – 3 = 7 (ngày)
Số người cũ và mới: 50 + 20 = 70 (người)
Cùng một số gạo, cho 50 người ăn trong 7 ngày thì cũng như cho 70 người ăn

thì hết trong thời gian:
70
750x
= 5 (ngày)
Vậy số gạo còn thiếu: 7 – 5 = 2 (ngày).
* Đây là sáu loại toán dạy chính thức trong chương trình nên theo tôi, các thầy,
cô giáo ta tự đọc tìm hiểu lấy dạng cơ bản của chúng trong sách giáo khoa. Ở đây tôi
chỉ nêu một số dạng phức tạp dành cho HS khá, giỏi.
III/ PHẦN 3:
Tiếp theo, tôi xin đề cập đến các loại toán điển hình không được dạy chính thức
trong chương học của tiểu học mà chỉ được dạy gián tiếp trong lúc luyện thi cuối cấp
hoặc bồi dưỡng HS giỏi. Tuy nhiên trong các năm trước đây từ năm 2004 – 2005 thì
bằng hình thức tự luận thường gặp.
15) TOÁN TRỒNG CÂY: Có cấu trúc
b
a
hoặc
b
a
± 1
Ví dụ: Người ta trồng cây ở hai bên của một quãng đường dài 1 km, cứ 50m thì
trồng một cây. Hỏi tất cả trồng bao nhiêu cây? Biết rằng ở hai đầu đường đều có cây.
Giải: 1km = 1000m.
Số khoảng cách trong 1000m
1000 : 50 = 20 (khoảng cách)
Số cây mỗi bên đường là: 20 + 1 =21 (cây)
Số cây ở hai bên đường: 21 x 2 = 42 (cây)
Lưu ý: - Nếu có trồng cây ở cả hai đầu đường thì:
Số cây = số khoảng cách + 1
- Nếu “trồng cây” trên một đường khép kín thì:

Số cây = Số khoảng cách.
16) CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ:
Trong bài toán có nhiều đại lượng (thông thường là 2 đại lượng) và một đại
lượng nào đó có hai giá trị khác nhau.
Để giải bài toán này, ta có thể biến đổi hai số cho trước của một đại lượng (bằng
cách nhân hoặc chia cho cùng một số) để cho chúng bằng nhau. Sau đó tìm cách khử
hai giá trị bằng nhau đó (trừ đi) để dẫn đến bài toán chỉ còn một đại lượng mà ta có thể
giải một cách dể dàng.
Ví dụ 1: Hôm trước cô Bình mua cho nhà trường 3 lọ mực xanh và 2 lọ mực đen
hết 9200 đồng. Hôm sau cô mua 2 lọ mực xanh và 3 lọ mực đen hết 8800 đồng. Tính
giá tiền một lọ mực mỗi loại ?
Giải: - Gấp 2 lần số lượng mua lần đầu ta có: Mua 6 lọ mực xanh và 4 lọ mực
đen hết 9200 x 2 = 18400 (đ) (1)
- Gấp 3 lần số lượng mua lần sau. Ta có: Mua 6 lọ mực xanh và 9 lọ mực
đen hết 8800 x 3 = 26400 (đ) (2)
Ta thấy (2) nhiều hơn (1) là: 9 – 4 = 5 (lọ mực đen)
Vậy giá tiền 5 lọ mực đen: 26400 – 18400 = 8000 (đ)
Giá tiền một lọ mực đen: 8000 : 5 = 1600 (đ)
Giá tiền 2 lọ mực xanh là: 8800 – (1600 x 3) = 4000 (đ)
Giá tiền 1 lọ mực xanh: 4000 : 2 = 2000 (đ)
Ví dụ 2: Một người mua 10 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết cả thảy 9500 đ.
Tính giá tiền mỗi quả trứng? Biết số tiền mua 5 quả trứng gà nhiều hơn số tiền mua 2
quả trứng vịt là 1600 đồng.
17) CÁC BÀI TOÁN DẠNG THỪA THIẾU:
Ví dụ 1: Nam đi mua một số vở ở một cửa hàng, nếu mua loại vở giá 1500 đồng
thì thiếu 5000 đồng. Nếu mua loại vở 1000 đồng thì thừa 8000 đồng. Hỏi Nam có bao
nhiêu tiền và định mua bao nhiêu quyển vở?
Giải:
Số tiền mua loại vở 1500 đồng nhiều hơn số tiền mua loại vở 100 đồng:
5000 + 8000 = 13000 (đ)

Mỗi quyển vở giá 1500 đồng đắc hơn 1000 đồng
1500 – 1000 = 500 (đ)
Vậy số vở Nam định mua.
13000 : 500 = 26 (quyển)
Số tiền Nam có: 26 x 1500 – 5000 = 34 9 (đồng)
Ví dụ 2: Trong một lớp, nếu xếp 4 HS ngồi một bàn thì thiếu 1 bàn. Nếu xếp 5
HS một bàn thì thừa 2 bàn, Hỏi có bao nhiêu học sinh? Bao nhiêu bàn?
Giải: Thiếu 1 bàn tức là dư 4 HS, thừa 2 bàn tức là thiếu 10 HS.
Số HS ngồi 1 bàn 5 người nhiều hơn số HS ngồi 1 bàn 4 người: 10 + 4 = 14 (hs)
Mỗi bàn 5 HS hơn mỗi bàn 4 HS 1 bàn:
Vậy số bàn: 14 : (5 – 4) = 14 (bàn)
Số HS của lớp: 4 x 14 x 4 = 60 (hs)
18) CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM:
Loại toán này không có cấu trúc toán học ổn định. Tên gọi giả thiết tạm chỉ gợi
lên một phương pháp chứ không gọi là cấu trúc.
Ví dụ 1: “Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một chẵn”
Tính số gà và chó?
Cách 1: Giả sử 36 con đều là gà.
Lúc đó 36 con có: 36 x 2 = 72 (chân)
Vậy số chân co lên: 100 – 72 = 28 (chân)
Vậy số chó là: 28 : 2 = 14 (con)
Số gà là : 36 – 14 = 22 (con)
Cách 2: Giả sử 36 con đều là chó:
Lúc đó 36 con có: 36 x 4 = 144 (chân)
Vậy số chân gắn thêm: 144 – 100 = 44 (chân)
Vậy số gà là: 44 : 2 = 22 (con)
Số gà là : 36 – 22 = 14 (con)

Ví dụ 2: 54 người cùng qua sông một lượt bằng hai loại thuyền gồm 7 chiếc:
Loại chở 10 người một chuyến, loại chở 6 người một chuyến, Hỏi có bao nhiêu thuyền
mỗi chuyến.
19) CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ.
Đây cũng là loại toán mang cấu trúc một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhưng
giải bằng phương pháp thế.
Ví dụ1: Đuôi con cá nặng 150 g, đầu con cá nặng bằng đuôi và một nửa thân,
thân cá nặng bằng đầu và đuôi. Hỏi con cá nặng bao nhiêu Kg ?
Giải: Đầu = Đuôi +
2
1
thân (1)
Thân = Đầu + đuôi (2)
Từ (1) và (2) ta có: Thân = 2 đuôi +
2
1
thân

2
1
thân = đuôi nên thân = 4 đuôi
Thân cá nặng: 250 x 4 = 1000 (g) = 1 (kg)
Vậy cả đầu và đuôi nặng: 1 (kg)
Cả con cá nặng: 1 + 1 = 2 (kg)
Ví dụ 2: 1 gói bánh và 1 gói kẹo giá 12000 đồng, 3 gói bánh có giá tiền bằng 5
gói kẹo. Hỏi giá của mỗi gói bánh, mỗi gói kẹo?
Giải: 1 gói bánh và 1 gói kẹo giá 12000 đồng
Vậy 3 gói bánh và 3 gói kẹo giá 36000 đồng
Thế 3 gói bành bằng 5 gói kẹo ta thấy 8 gói kẹo có có giá 36000 đồng.
Giá 1 gói kẹo: 36000 : 8 = 4500 (đồng)

Giá 1 gói bánh: 12000 – 4500 = 5700 (đồng)
20) CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐI NGƯỢC TỪ CUỐI.
Đặc điểm của loại toán này là khi giải người ta thường xuất phát từ những quan
hệ được nói đến sau cùng trong bài, để lần lược tính toán ngược lên những quan hệ
được nói đến đầu tiên trong đề toán. Loại toán này ta hay dùng sơ đồ đặc biệt gọi là
lưu đồ.
Ví dụ: Có 3 kho gạo với tổng số gạo là 210 tấn. Nếu chuyển 20 tấn ở kho A
sang kho B, rồi chuyển 50 tấn ở kho B sang kho C. Thì số gạo kho C sẽ gấp đôi số gạo
kho B. Số gạo kho B, sẽ gấp đôi số gạo kho A. Tính xem lúc đầu số gạo ở mỗi kho bao
nhiêu tấn?
Giải: * Kho A
20
Lúc đầu:
+20
Lúc sau
* Kho B
+20-50
Lúc đầu:
+50-20
Lúc sau
* Kho C
+50
Lúc đầu:
-50
Lúc sau
Ta có sơ đồ gạo lúc sau của 3 kho:
Kho A
Kho B 210 Tấn
Kho C
Số gạo kho A lúc sau: 210 : 7 = 30 (tấn)

Số gạo kho A lúc đầu: 30 + 20 = 50 (tấn)
Số gạo kho B lúc sau: 30 x 2 = 60 (tấn)
Số gạo kho B lúc đầu: 60 + 50 – 20 = 90 (tấn)
Số gạo kho C lúc sau: 60 x 2 = 120 (tấn)
Số gạo kho C lúc đầu: 120 – 50 = 70 (tấn)
IV/ PHẦN 4:
21) CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
- Loại toán 1 động tử
- Hai động tử chạy ngược chiều.
- Hai động tử chạy cùng chiều.
Ví dụ 1: Cùng một lúc có một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh b. Với vận tốc 50 Km/giờ.
Một xe máy từ tỉnh B đến tỉnh A với vận tốc 30 km/giờ. Ô tô và xe máy gặp nhau sau
2 giờ 30 phút.
a/ Tính quảng đường?
b/ Tính khoảng cách giữa ô tô và xe máy khi đi được 1 giờ 30 phút ?
Ví dụ 2: Một xe lửa dài 150m vượt qua chiếc cầu dài 450m mất 40 giây.
a/ Tính vận tốc của xe lửa?
b/ Xe lửa đó vượt qua người đi xe đạp mất 25 giây. Tính vấn tốc xe đạp?
22) TOÁN HÌNH HỌC.
- Các yếu tố các hình đã học.
- Các công thức tính chu vi, diện tích, cạnh, cao, khối, thể tích.
- Quan hệ tỉ lệ giữa các đại lượng trong hình.
- Quy tắc cộng, trừ diện tích.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 30m; AC = 40m; BC = 50m.
Người ta làm 1m đường rộng 6m phạm vào mãnh đất ấy dọc theo cạnh BC. Chỉ có
mãnh đất tam giác vuông AED. Tính diện tích còn lại?
KẾT THÚC.
Đối với mỗi loại toán, các thầy, cô lưu ý đọc thật kỹ để tìm hiểu cội rể … Nếu
cần thì có thể dùng phương pháp Đại số để giải, rồi, sau đó tìm cách “dịch” ra ngôn
ngữ tiểu học như đã nêu.

Sau đây tôi xin giói thiệu một số tài liệu để chúng ta tham khảo.
- Tuyển chọn các bài toán hay và khó lớp 5 (Phạm Thị Minh Tâm).
- Các dạng toán bồi dưỡng HS tiểu học 5 (Nguyễn Văn Nhỏ).
- Chuyên đề bồi dưỡng HS giỏi toán 4, 5 (Võ Đại Mau).
- 500 bài toán chọn lọc tiểu học 5 (Ngô Long Hậu) …
Xin chân thành cảm ơn.