TÓM TẮT TOÀN BỘ KIẾN THỨC ÔN THI TOÁN THI TN VÀ ĐẠI HỌC

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN THPT
DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ơn luyện thi ĐH-CĐ
2.Các nội dung ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm
của thi TNTHPT
VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
• 
•  !"#
o Phương trình tiếp tuyến: tại M
0;
đi qua một điểm M
1
ho$ hệ số góc k
o Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
o Cực trị hàm số
o %& '(&)
o *+,#-##+./012+.30
o Cách xác đònh tiệm cận :
o 456-#789:;75<7=81>7-#2>&?@#AB
C=81!"#A!"#&6D@$DA
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi thêng gỈp:
……
VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT
• ;7(E(&FG(H0>"EIE#J( #&( "KL#(H

• ;7M-#J #&
• Vẽ được đồ thị của các hàm số mũ,logarit và luỹ thừa
• %8+,&=J #&:
• %8+,&=J #&
• Giải hệ phương trình mũ và logarit (Khơng có ở ban cơ bản)
VấN Đề 3:NGUN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN
• ;7"A
o Áp dụng bảng ngun hàm
o Dùng PP đổi biến(dạng 1 và dạng 2)
o PP ngun hàm từng phần
• ;7789
( ). ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −
∫
o Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và ngun hàm cơ bản.
o Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx

β
∫
α
đặt x = asint ;x = atant ;………
o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần:
b b
b
a
a a
u.dv u.v v.du= −
∫ ∫

o Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
o Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ

o Tìm tích phân của các hàm số vơ tỷ:
o Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. Tính
b
f (x) dx
a
∫

• 456-#789
o Tính diện tích hình phẳng
o Tính thể tích vật thể tròn xoay :
NOPQ:*RSE
• Tìm số phức z;
;z
biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…
• ;<+T8U82&L(9(#8E0

• ;=+TVW-#C/5+,XYX98E3
• %8+,&=&88E (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)
• Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Khơng có ở ban cơ bản)
VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, )
• ;7>7ZI8(Z28( V&6(H
• [$\":
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,…
o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• [$&6:Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ và thể tích khối trụ
• [$I:
o Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nón và thể tích khối khối nón
VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN
• H<M2&Z]#
o Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học
o Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp:
• [$\"/*3
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu
o Viết phương trình mặt cầu
o Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn trong khơng gian
• [$81:
o Viết pt mặt phẳng dưới 3 dạng (cơ bản,chùm mp và tổng qt)
• P+.1:
o Viết pt đường thẳng dưới 2 dạng (PTTS và PTCT)
• N&7+,#+T:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• ;7Z#+T:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng và mặt cầu)
• ;7I#+T:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng và mặt
phẳng-mặt phẳng )
• Xác định phương trình;tâm và bán kính của đường tròn trong khơng gian

• ;=="-#2> 2$81$010
o Tìm hình chiếu H của M lên (α)
o Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d).
• Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
o Đối xứng qua mp(α)
o Đối xứng quađường thẳng (d).

• Tìm hình chiếu (d’) của đ.thẳng (d) lên mp (β)
PHẦN A.GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Nhắc lại 1 số công hức về đạo hàm cơ bản:
Bài toán
1:
Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Tìm tập xác định: D=…
2. Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
lim lim
o
x x
x
y y
±
→
→±∞
= =
với x

o
là nghiệm mẫu
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
( )
( )
( )
2
/
/
2
//
/
/
/
//
/
//
/
.
.5
)0(

.4
3
2
.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
−
=






≠
−
=







=
+=
±=±
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee

aaa
x
x
x
x
xx
x
C
a
xx
xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1
/
/
/
sin
1

cot.18
cos
1
tan.17
sincos.16
cossin.15
1
ln.14
ln.
1
log.13
.12
ln 11
.2
1
.10
11
.9
8
1.7
0.6
−
=
=
−=
=
=
=
=
=

=
−
=






=
=
=
−
αα
α
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

sin
cot
cos
tan

sin.cos
cos.sin
ln
ln.
log
.
.ln.
.2
1

2
/
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/

2
/
/
/1
/
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu
a
uu

uu
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−
=






=
−
αα
α
dcx
bax
y
+
+
=.19
ta coù

2
/
)( dcx
bcad
y
+
−
=
22
2
2
11
2
1
.20
cxbxa
cxbxa
y
++
++
=
ta coù

( )
2
22
2
2
22
11

22
11
2
22
11
/
2
cxbxa
cb
cb
x
ca
ca
x
ba
ba
y
++
++
=

10. Vẽ đồ thị.
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/

= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên?
(giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: •
)(lim
23
dcxbxax

x
+++
+∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a
•
)(lim
23
dcxbxax
x
+++
−∞→
=



<∞+
>−∞
)0(
)0(
a
a

+ Bảng biến thiên:
x −
∞
+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
+ y
/
+ 0 − 0 +
y +
∞

-
∞
y CĐ +
∞
-
∞
CT
x −
∞

+
∞
x −
∞
x
1
x
2
+
∞
y
/
−
y
/
− 0 + 0 −
y +
∞

−
∞
y +
∞
CĐ
CT −
∞
Chú ý : dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò : • xác đinh Cực trò ?

• ; điểm đặc biệt
a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0
•KL: tăng? Giảm
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔ x= 0; x
1,2
=±
a
b
2

−
•KL: tăng? Giảm?
•Giá trò cực trò : y(0) = c
có một cực trò
• Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(±
a
b
2
−
) =−
a4
∆
Có 3 cực trò
+ Giới hạn :
)(lim
24
cbxax
x
++
±∞→
=



<∞−
>+∞
)0(
)0(
a
a

a > 0
a < 0
Điểm uốn I(−
a
b
3
;f(−
a
b
3
))
a > 0

+ Bảng biến thiên :
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
− 0 + y

/
− 0 + 0 − 0 +
y
+
∞
+
∞
y +
∞
CĐ +
∞
CT CT
x −
∞
0 +
∞
x −
∞
x
1
0 x
2
+
∞
y
/
+ 0 − y
/
+ 0 − 0 + 0 −
y

−
∞
−
∞
y
CĐ CĐ
-
∞
CT -
∞
+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương

3.Hàm phân thức : y =
dcx
bax
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ : D = R\






−
c
d
+ Đạo hàm : y
/

=
2
)( dcx
bcad
+
−
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: • x =
c
d
−
là tiệm cận đứng vì
lim
d
x
c
ax b
cx d
±
 
→ −
 ÷
 

+
+
= ∞
• y =
c
a
là tiệm cận ngang vì
lim
x
ax b
cx d
→±∞
+
+
=
c
a
+Bảng biến thiên :
x −
∞
−d/c +
∞
x −
∞
−d/c +
∞
y
/
− || −
y

/
+ || +
y a/c ||+
∞

−
∞
a/c
y +
∞
|| a/c
a/c −
∞
+ Vẽ đồ thò : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao
điểm hai tiệm cận .
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0
CĐ
a < 0
CT


4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y =

fex
cbxax
2
+
++
(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )
+ TXĐ: D = R\






−
e
f

+ Đạo hàm : y
/
=
2
2
).(
)(.2.
fxe
cebfxafxae
+
−++
có ∆
/

=(af)
2
−(bf−c e).ae
∆
/
< 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với ae y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

Hàm số không có cực trò
• Giá trò cực trò tính theo CT : y =
e
bax +2
+ Tiệm cận : • x = −
e
f
là tiệm cận đứng
vì
)(lim xf
e
f
x −→

= ∞
• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);
)]()([lim BAxxf
x
+−
∞→
=
(x)ε
∞→x
lim
=0 => y =
e
a
x + (
e
b
−
2
e
af
) là t/c xiên
+ Bảng biến thiên :
x −
∞
−f/e +
∞
x −
∞
x
1

−f/e x
2
+
∞
y
/
+ || + y
/
+ 0 − || − 0 +
y
+
∞
|| +
∞
−
∞
−
∞
y CĐ ||+
∞
+
∞
−
∞
−
∞
CT

x −
∞

−f/e +
∞
x
−
∞
x
1
−f/e x
2
+
∞
y
/
− || −
y
/
− 0 + || + 0 −
y +
∞
||+
∞

−
∞
−
∞

y
+
∞

+
∞
|| CĐ
CT −
∞
−
∞
+ Vẽ đồ thò : ( như hàm phân thức )
(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
u Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
1. Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
))
• TT có phương trình là : y - f(x
0
)= f
/
(x
0
)(x− x
0
)
x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
a.e > 0

a.e < 0
đứng
Xiên
Xiên
Xiên
Xiên
đứng
đứng

• Từ x
0
tính f(x
0
) ; Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0

)
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
• Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
• Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) là
hệ phương trình :
(1)
= − +
=



f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
có nghiệm
• Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −
a
1

• Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f
/
(x
0
).
• Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? −> f(x
0
) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k
1
.k
2
= −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k
1

= k
2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
• Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) đã vẽ và
y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox
Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
• Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thò (C): y =f(x)
• Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = g(x)
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ: D= ?
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng

Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y
/
= 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính y
CĐ
; y
CT
; kết luận cực trị ?
Chú ý:

1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y

/
= 0.
3) x
0
là cực trị của hàm số 
/
( ) 0
0
/
( )
=



y x
y x
• Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y
/
= ? y
//
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
… .

+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ?
Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x
o
:

+ x
o
là điểm cực trị
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=
<=>

≠


+ x
o
là điểm cực đại <=>
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x


=

>

+ x
o
là điểm cực tiểu <=>
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

=

<

• Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi






≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f
/
(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
u
v
u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

Và y
/
=
u v v u
2
v
′ ′
−
=
g(x)
2
v
dấu của y
/
là dấu của g(x)
Nếu h/s đạt cực trò tại x
0
thì y
/
(x
0
)= 0 => g(x
0
) = 0 <=> u
/
v−v
/
u = 0
=>
u u

v v
′
=
′
. Do đó giá trò cực trò y(x
0
) =
u (x )
0
v (x )
0
′
′
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
( )
0
' 0 ó nghiêm
0
a
f x c
≠

⇔ = ⇔

∆ >


- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung
. 0
CD CT
y y⇔ <
- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CD CT
x x⇔ <
đổi dấu qua x
0

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm trên trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ >

⇔


>

- Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm dưới trục hồnh
0
. 0
CD CT
CD CT
y y
y y
+ <

⇔

<

- Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hồnh
. 0
CD CT
y y⇔ =
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y

/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
… . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x
1
) ; f(x
2
) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)
• Kết luận:
max y
[a;b]
=
?
min y
[a;b]
=
?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
• Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
• Đạo hàm : y
/
= ?
cho y

/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

• Lập BBT:
• Từ BBT kết luận
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
min y y
ct
[a;b]
=


* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
max y
[a;b]
=
y
CĐ

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
• nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
• nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
• Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
nào đó thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) ; (C

2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
f (x) g(x)
f (x) g (x)
=
′ ′
=




có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :

• Tiệm cận đứng :
f (x)
lim
x x
0
= ±∞
±
→
=> x = x
0
là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x
0
là những điểm hàm số không xác đònh
• Tiệm cận ngang :
f (x) y
lim
0
x
=
→±∞
=> y = y
0
là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có

tiệm cận ngang
• Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)

lim
x→±∞
[f(x) –(ax + b)] =
(x)
lim
x
ε
→±∞
= 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;
f (x)
a
lim
x
x
=
→±∞
;
[ ]
b f (x) ax
lim
x
= −
→±∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Bài tốn 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh

bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
1 2
1 2
1 2
b
C
a
2 2
( ) và ( )
( )
, (a b)
S y
C
b
Ox C C
a
C C
H
x a x b
y dx
V y y dx
π


= = <

= −
= −
∫
∫

C
1
2
1 2
1 2
d
c
2 2
( ) và ( )
( )
, (c )
S x
C
d
Oy C C
c
C C
H
y c y d d
x dy
V x x dy
π


= = <

= −
= −
∫
∫

Bài tốn 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
• Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m
• Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0
• Giải hệ và kết luận
……………………
Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (C
m
): y=f(x,m)
• Tìm đk của tham số m để quỷ tích tồn tại
• Tìm toạ độ của điểm cần tìm quỷ tích
• Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ trên
• Tìm giới hạn quỷ tích
• Kết luận
Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp:
a) Dạng đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
Ta có: y =
( )
xf
=
( ) ( )
( ) ( )




<
≥
0xf nÕuxf-
0xf nÕuxf
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
• Đồ thị (C
1
) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hồnh (f(x) ≥ 0)
° Phần đối xứng của đồ thị (C) nằm phía dưới trục hồnh qua Ox.
b) Dạng đồ thị (C
2
) của hàm số: y =
( )
xf

Ta có y =
( )
xf
=
( )
( )



<
≥
0 x nÕux-f
0x nÕuxf
• Vẽ đồ thị (C): y = f(x)

• Đồ thị (C
2
) gồm 2 phần:
° Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy.
c) Dạng đồ thị (C
3
) của hàm số:
( )
xfy =
Ta có:
( )
xfy =
⇔
( )
( )



±=
≥
xfy
xf 0
(Do đó
( )
xfy =
được coi là hàm đa trị của y theo x)
• Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
• Đồ thị (C
3

) gồm hai phần:
° Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
° Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
Ta có: y =
( )
( )
xg
xf
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )







<
≥
0xf nÕu

xf
-
0xf nÕu
xg
xg
xf
• Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
• Đồ thị (C
4
) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của (C) ứng với f(x) < 0 qua trục hoành.
e) Dạng đồ thị (C
5
) của hàm số: y =
( )
( )
xg
xf
• Các bước làm tương tự như phần d)
• Chú ý: g(x) ≠ 0.
f) Dạng đồ thị (C
6
) của đồ thị hàm số: y =
( ) ( )
xgxf +

Ta có: y =
( ) ( )
xgxf +
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



<+
≥+
0xf u nÕxgxf-
0xf u nÕxgxf
• đồ thị (C
6
) gồm hai phần:
° Phần đồ thị của hàm số: y = f(x) + g(x) ứng với f(x) ≥ 0
° Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
• Mở rộng:
Vẽ đồ thị hàm số: y =
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfxfxf
k
++++
21
° Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu.
g) Dạng đồ thị (C
7
) của hàm số: y =
( )

xf
• Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)

• Sau đó vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số: y = f(
x
)
• Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số: y =
( )
xf
.
Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau:
y = f(x) ⇒ y = f(
x
) ⇒ y =
( )
xf
……………………
PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT
Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
a
−
n
=
n
a
1

; a
0
= 1 0 ;
m
m
n
n
a a=
( m; n nguyên dương , n > 1)
• Các quy tắc:
a
x
.a
y
= a
x+y
(a.b)
x
=a
x
.b
x
x
a
x y
a
y
a
−
=

x
x
a a

x
b b
=
 
 ÷
 

( )
( )
x
y
y x.y
x
a a a
= =
• Hàm số mũ : y =
x
a
với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
⇔
1

x
a
>
2
x
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x
1
> x
2
⇔
1
x
a
<
2
x
a
* Hàm số logarit: α = log
a
N ⇔ a
α
= N log
a
x = b ⇔ x= a
b
• Đặc biệt :
x
a
a

log
= x ; log
a
x
a
= x ; log
a
1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
log
a
(B.C) = log
a
B + log
a
C
log
a
B
C
 
 ÷
 
= log
a
B − log
a
C log
α
a

B
β
=
β
α
log
a
B
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log
c
a.log
a
b =
log
c
b ⇔
log b
c
log b
a
log a
c
=
0 < a, b ≠ 1 : log
a
b =
1
log a
b

Chú ý : log
10
x = lg x ; log
e
x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log
a
x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ ) MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1
> log
a
x
2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x
1
> x
2
> 0 ⇔ log
a
x
1

<log
a
x
2

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
(e
x
)
/
= e
x
−> ( e
u
)
/
= u
/
.e
u
( a
x
)
/
= a
x
.lna −> ( a
u
)
/

= u
/
.a
u
.lna

(lnx)
/
=
1
x
x ∈(0;+∞) −> (lnu)
/
=
u
u
′
(log
a
x)
/
=
1
x ln a
−> (log
a
u )
/
=
u

u. ln a
′
Bài tốn 3: Giải phương trình mũ: 6 cách
 1. S ^56_#
a a
log
x x x
a = b <=> x=log (a = b <=>a = a <=> x=log )
a
b
b b

W . S ^56 88 +#`,
f (x) g(x)
f (x) g(x)
a a
0 a 1
=
= <=>
< ≠



a . S ^56 88 +#`, $b86
α.
2f (x)
a
+β.
f (x)
a

+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
b f (x)
a
+
+β.
b f (x)
a
−
+ γ = 0 ; Đặt : t =
f (x)
a
Đk t > 0
α.
f (x)
a
+β.
f (x)
b
+ γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
f (x)
a
;
1
t
=
f (x)

b
α.
2f (x)
a
+β.
( )
f (x)
a.b
+ γ.
2f (x)
b
= 0 ; Đặt t =
f (x)
a
b
 
 ÷
 
Q . S ử dụng pp logarit hố 2 vế :
c . S ử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
d . S ử dụng pp đồ thị
Chú ý: Dạng
f (x)
u(x)
= 1 ⇔ [u(x) −1].f(x) = 0 ( trong đó u(x) và f(x) có chứa biến )
Bài tốn 4: Giải phương trình logarit : 6 cách
 1. S ^56_#
a
f(x) 0
log f(x)=b<=> 0 1

f(x)=a
b
a

>

< ≠




W . S ^56 88 +#`,
a a
f (x) 0 (hay g(x) 0)
0 a 1
f (x) g(x)
log f(x) log g(x)
> >
= <=> < ≠
=





a . S ^56 88 +#`, $b86
Q . S ử dụng pp mũ hố 2 vế :
c . S ử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
d . S ử dụng pp đồ thị
Bài tốn 5: Giải bất phương trình mũ và logarit

Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các
cách giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:
• Bất phương trình mũ dạng:
f (x) g(x)
u(x) u(x)≥
f (x) g(x)
TH1: 0 < u(x) <1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
f (x) g(x)
TH1: u(x) > 1 ; u(x) u(x) f (x) g(x)
0 < u(
f (x) g(x)
TQuat : u(x) u(x)
≥ <=> ≤
≥ <=> ≥
≥ <=>
x) 1
[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0

≠


− ≥


• Bất phương trình logarit dạng:
a a
log f(x) log g(x)≥

u(x) u(x)

u(x) u(x)
u(x)
TH1: 0 < u(x) <1 ; f (x) g(x)
TH1: u(x) > 1 ; f (x) g(x)
TQuat :
log f(x) log g(x)
log f(x) log g(x)
log f(
<=> ≤
<=> ≥
≥
≥
u(x)
0 < u(x) 1
f(x) 0
g(x) 0
[ u(x) -1][f (x) g(x)] 0
x) log g(x)

≠

>

<=>

>


− ≥


≥
Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dàng
hơn.
1.
f (x)
a
>
g(x)
a
 (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2. log
a
f(x) > log
a
g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai
hàm số trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
Bài toán 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Không có ở ban cô bản)
Thông thường giải bằng PP thế
PHầN 3: NGUYÊN HÀM.
Bài toán 1:Tìm nguyên hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản).
dx x C= +
∫
x .dx
α
=
∫
1

x
α+
α + 1
+ C (α ≠-1 )
dx
x
∫
= lnx + C ( x≠ 0)
x
e .dx
∫
= e
x
+ C
x
a .dx
∫
=
x
a
ln a
+ C
1
(ax b)
(ax b) dx C
a( 1)
α+
+
α
+ = +

∫
α +
(α ≠-1)
dx
ax b
∫
+
=
1
a
lnax+ b + C
1
ax b
e .dx
a
+
=
∫
e
ax+b
+ C
x
a .dx
α +β
∫
=
x b
1 a
C
ln a

α +
+
α
Cosx.dx
∫
= Sinx + C
Sinx.dx
∫
= − Cos x + C
dx
2
Cos x
∫
=
2
(tan x 1).dx+
∫
= tanx + C
dx
2
Sin x
∫
=
2
(Cot x 1).dx
+
∫
= −Cotx + C
Cos(ax b).dx+
∫

=
1
a
Sin(ax+ b) + C
Sin(ax b).dx+
∫
= −
1
a
Cos(ax+ b) + C
dx
2
Cos (ax b)
∫
+
=
1
a
tan(ax+ b) + C
dx
2
Sin (ax b)
∫
+
= −
1
a
Cot(ax+ b) + C
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =

f[u(x)].u '(x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x)
dt u '(x)dx
⇒ =
• I =
f[u(x)].u '(x)dx f (t)dt=
∫ ∫
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
∫
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+

thì đặt x = atant.
CHÚ Ý:
1.
∫
)().(
/)(
dxxuef
xu
Đặt
)(xut =
2.
∫

1
).(ln dx
x
xf
Đặt
)ln(xt =
3.
∫
+ ).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt +=
4.
∫
dxxxf )cos,(sin

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
2
2cos1
sin,
2
2cos1
cos
22
x
x
x
x
−
=
+
=
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2
tan
x
t =
5.
∫
− ).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin=

6.
∫
+ ).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan=
7.
∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=
8.
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22

axxt ±+=
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx
= −
∫ ∫
Hay
udv uv vdu= −
∫ ∫
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

89 75e8<"5
@ Dạng 1
sin
( )
∫
 
 
 
 
ax
f x cosax dx
ax
e
với f(x) là đa thức:
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
= =

⇒
= =
∫
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
Đặt
.
ln( )

( )
( )
= + =
⇒
+
=
=
∫

 
 



a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 3:
sin
.
∫
 
 
 

ax
ax
e dx
cosax
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b).sin(cx+d)dx
∫
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
∫
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:
n m
sin ax.cos axdx
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.

Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx
∫
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính
f (x)
dx
g(x)
∫
trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là
một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
Nên
f (x) r(x)
( )dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
= +
∫ ∫ ∫
.Như vậy
h(x)dx

∫
ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn
phải tính
r(x)
dx
g(x)
∫
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
∫
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x) r(x) A B C
2 2
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
1 2
1 2 2
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của g(x).

*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm
các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .
Bài toán 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
• PP đổi biến dạng 1
∫
+ ).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt +=
• PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o
∫
− ).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin=
o
∫
+ ).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan=
o

∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=

o
∫
±
).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22
axxt ±+=
PHầN 4: TÍCH PHÂN.
( ). ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a

a
= = −
∫
Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
∫
bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x)
dt u '(x)dx⇒ =
• Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
• I =
b
/
f[u(x)]u dx
a
∫
=
u(b)
u(a)
f (t)dt
∫
Dạng 2: Tính I =
f (x)dx
β

∫
α
Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
1
2 2
a x ;
2 2
a x
−
−
thì đặt x = asint
1
2 2
a x ;
2 2
a x
+
+
thì đặt x = atant.
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có
đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =
b b
b
udv u.v vdu
a
a a
= −
∫ ∫

89 75e8<"5
@ Dạng 1
sin
( )
∫
 
 
 
 
ax
f x cosax dx
ax
e
β
α
với f(x) là đa thức: Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
= =
⇒
= =
∫
 
 
 
   
 
   
 

   
 
   
 
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 2:
( ) ln( )+
∫
f x ax b dx
β
α
Đặt
.
ln( )
( )
( )
= + =
⇒
+
=
=
∫


 
 



a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
Sau đó thay vào công thức
udv uv vdu= −
∫ ∫
để tính
@ Dạng 3:
sin
.
∫
 
 
 
ax
ax
e dx
cosax
β
α
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = e
ax

Bài toán 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:
sin(ax+b)sin(cx+d)dx
β
∫
α
;
sin(ax+b).cos(cx+d)dx
β
∫
α

cos(ax+b).cos(cx+d)dx
β
∫
α
.
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.

Dạng 2:
n m
sin ax.cos ax.dx
β
α
∫
(n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).

*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:
R(sinx,cosx)dx
β
∫
α
R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)
thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài toán 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
Yêu cầu tính
f (x)
dx
g(x)
β
∫
α
trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:
f (x) r(x)
h(x)
g(x) h(x)
= +
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là
một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).

Nên
f (x) r(x)
dx h(x)dx dx
g(x) h(x)
β β β
= +
∫ ∫ ∫
α α α
.
Như vậy
h(x)dx
β
∫
α
ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn phải tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α
theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính
r(x)
dx
g(x)
β
∫
α
với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
2 2
1 2
1 2 2
r(x) r(x) A B C
g(x) (x x ) (x x )
a(x ).(x x ) (x x )
= = + +
− −
− α − −
(*) ( x
1
; x
2
là nghiệm của g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm
các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .
Bài toán 6: Tìm tích phân của các hàm số vô tỷ:dùng phương pháp đổi biến số.
Phuơng pháp chung:
• PP đổi biến dạng 1
∫
+ ).( dxbaxf
n
Đặt
n
baxt +=
• PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số

các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o
∫
− ).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin=
o
∫
+ ).(
22
dxxaf
Đặt
tax tan=
o
∫
− ).(
22
dxaxf
Đặt
t
a
x
cos
=

o
∫
±

).
1
(
22
dx
ax
f
Đặt
22
axxt ±+=
Bài tốn 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. Tính
b
f (x) dx
a
∫

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng khơng có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một
nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại khơng thuộc [a;b] thì
b
f (x) dx
a
∫
=
b
f (x)dx
a
∫
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì
b

f (x) dx
a
∫
=
c b
f (x)dx f (x)dx
a c
+
∫ ∫
*Chú ý 1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dùng cơng thức trên tùy theo trường hợp
nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân.
PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f (x)
x a;x b
=


= = =

hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S =
b
| f (x)| .dx
a
∫
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0

• Hình phẳng giới hạn bởi :
f (y)
a;y b
=


= = =

hàm số x liên tục trên [a;b]
trục hoành x 0;y
Diện tích : S =
b
| f (y) | .dy
a
∫
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y f(x)
y g(x)
x b
=


=


= =

hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;

Diện tích : S =
b
| f (x) g(x)| .dx
a
−
∫
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng
hoặc hiệu của nhiều hình.
• Hình phẳng giới hạn bởi :
f (y)
g(y)
y b
=


=


= =

hàm số x liên tục trên [a;b]
hàm số x liên tục trên [a;b]
a;y
Diện tích : S =
b
| f (y) g(y) | .dy
a
−
∫

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y f(x)
x a;x b
=


= = =

hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì V =
b
2
f (x) .dx
a
π
 
∫
 
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
g(y)
a; y b
=


= = =

hàm số x liên tục trên [a;b]
trục hoành x 0;y

quay quanh trục Oy và g(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V =
b
2
g(y) .dy
a
π
 
∫
 
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y f(x);y g(x)
x a;x b
= =


= =

hàm số liên tục trên [a;b]
quay quanh trục Ox thì V =
b
2 2
f (x) g(x) .dx
a
π −
   
∫
   
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
f (y);x g(y)
y a;y b

= =


= =

hàm số x liên tục trên [a;b]
quay quanh trục Oy thì V =
b
2 2
f (y) g(y) .dy
a
π −
   
∫
   
a
b
x
y
a
b
x
y
y=f(x
)
y=g(
x)

PHầN 6: Số PHứC
Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,…

Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c và b = d. 2) môđun số phức
2 2
z a bi a b= + = +
3) số phức liên hợp của z = a+bi là
z
= a − bi.
* z+
z
= 2a; z.
z
=
2
2 2
z a b= +
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
7)
c di 1
z [(ac+bd)+(ad-bc)i]
2 2
a bi
a b
+
= =
+
+
(để thực hiện phép chia:ta nhân tử và mẫu cho số phức liên
hợp của số phức ở mẫu)

Bài toán 2:Căn bậc 2 của số phức:
Định nghĩa căn bậc 2: z là căn bậc 2 của w <=> z
2
=w
Chú ý:
• căn bậc 2 của w=a (a là số thực dương) là z=
a±
• căn bậc 2 của w=a (a là số thực âm) là z=
i a±
• căn bậc 2 của w=0 (a là số thực dương) là z=0
• căn bậc 2 của số phức w=a+bi
Phương pháp:
o Giả sử:z=x+yi ; x,y là số thực là căn bậc 2 của số phức w=a+bi
o lập hệ
( )
2 2
2
2 2 2

z w x yi a bi 2 <=>
2
x y a
x y xyi a bi
xy b

− =
= <=> + = + <=> − + = +

=


o Giải hệ tìm x;y Kết luận
Bài toán 3: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0. với ∆ = b
2
− 4ac.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép
b
x x
1 2
2a
= = −
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm:
b
x
2a
− ± ∆
=
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm:
b i
x
2a
− ± ∆
=
Bài toán 4:Cách tìm dạng lượng giác của 1 số phức: z=a+bi ; a,b là số thực
Cách 1: 1.Tìm r:
2 2
r>0r z a b= = +
2. Tìm 1 Acgumen

sin
sao cho
s
b
r
a
co
r
ϕ
ϕ
ϕ

=




=


3. Thay r và
ϕ
vào công thức z = r(cosϕ+isinϕ)
Cách 2: Biến đổi: z=a+bi = r(
a b
i
r r
+
)=
( s .sin )r co i

ϕ ϕ
+
CỦNG CỐ :Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Không có ở ban cơ bản )

Cho số phức z=ax+b; a,b∈ R.được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức
f"g-#8Eh: số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một
acgumen của số phức z.
• Nếu ϕ là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng ϕ+k2π, k∈Z
• Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| =
2 2
a b+
, r > 0.
a=rcosϕ , b=rsinϕ.
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z = r(cosϕ+isinϕ)
• Dạng lượng giác của số đối của số phức z là -z = - r(cosϕ+isinϕ)
hay –z = r[cos(π+ϕ)+íin(π+ϕ)].
• Số phức liên hợp z của số phức z có dạng lượng giác là :
z =a – bi = r(cosϕ - isinϕ)
hay z = r[cos(-ϕ) + isin(-ϕ)]
*Các phép tính với số phức ở dạng lượng giác:
Kí hiệu z
1
=r
1
(cosϕ
1
+isinϕ
1
) ; z
2

=r
2
(cosϕ
2
+isinϕ
2
) thì:
• z
1
.z
2
=r
1
.r
2
[cos(ϕ
1
+ϕ
2
)+isin(ϕ
1
+ϕ
2
)
•
1 1
2 2
z r
z r
=

[cos(ϕ
1
-ϕ
2
)+isin(ϕ
1
-ϕ
2
)]
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z
-1
(nghịch đảo của z) là: z
-1
=
)]sin(.)[cos(
11
ϕϕ
−+−= i
rz
•
[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
ninrir
n
n
+=+
•
[ ]
)sin.(cos)sin.(cos

ϕϕϕϕ
nini
n
+=+
Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z = r(cosϕ+isinϕ) có hai căn bậc hai là
( )
2 2
r cos sin
j j
+
và -
( )
2 2
r cos sin
j j
+

Hay z = r(cosϕ+isinϕ) có hai căn bậc hai là =
( ) ( )
2 2
r cos isin
j j
p p
é ù
ê ú
+ + +
ê ú
ë û
, với r > 0.

*Căn bậc n của số phức z có n giá trị khác nhau z
k
:
z
k
=
2 2
sin
n
k k
r cos i
n n n n
j p j p
é ù
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
ê ú
÷ ÷
+ + +
ç ç
÷ ÷
ê ú
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ê ú
ë û
với k = 0,1,2…,n-1.

B. HÌNH HỌC.
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
• Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, )
• Tính thể tích khối chóp V =
1
Bh
3
;
• Tính thể tích khối hộp chữ nhật V= a.b.c
• Tính thể tích khối lăng trụ: V= Bh.
• Khối cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp
 Dựng trục d của đa giác đáy
y

M(z) ϕ

O x


 Trong mp chứa cạnh bên và trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực)
của cạnh bên
 Khi đó:gọi
'I d d
= ∩
Suy ra I là tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp
 Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh của hình chóp)
o Tính diện tích mặt cầu S = 4πr
2

.
o thể tích khối cầu V =
3
4
r
3
π
• Khối trụ:
o Tính diện tích xung quanh hình trụ S
xq
= 2πrl;
o diện tích toàn phần hình trụ S
tp
= 2πr(r + l).
o thể tích khối trụ V = πr
2
h
• Khối nón:
o Tính diện tích xung quanh hình nón S
xq
= πrl;
o diện tích toàn phần hình nón S
tp
= πr(r + l).
o thể tích khối khối nón V =
2
1
r h
3
π

• Chú ý:
o Các dạng toán:song song,vuông góc ở lớp 11(đặc biệt là các bài toán giao tuyến và thiết diện)
o Không dùng trực tiếp công thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thông
qua việc tính diện tích của hai tam giác đồng dạng)
Ví dụ:
Ta có: AH là đường cao chung của 2 hình chóp A.SMD và A. SBD. Nên ta có:
. .
. .
1
1
.
. .
3
2
1 1
. . .
3 2
SMD
S AMD A SMD SMD
S ABD A SBD SBD
SBD
S AH
SM SD SinS
V V S
SM
V V S SB
S AH SB SD SinS
= = = = =

Vậy:

.
.
. .

. .
S AMD
S ABD
V
SA SM SD
V SA SB SD
=
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong không gian
a
→
= (x;y;z) ⇔
a
→
= x.
i
→
+ y.
j
→
+ z.
k
→

Tính chaát : Cho
a
→

= (a
1
;a
2
; a
3
) ,
b
→
= (b
1
;b
2
; b
3
)
•
a
→
±
b
→
=(a
1
± b
1
; a
2
± b
2

; a
3
± b
3
)
• k.
a
→
= (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích voâ höôùng :
a . b
→ →
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3

=
a
→
.
b
→
Cos ϕ
Cos ϕ =
a b a b a b
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
a a a . b b b
1 2 3 1 2 3
+ +
+ + + +
a b
→ →
⊥
⇔ a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3

= 0

a
→
cùng phương
b
→
;
a
→
≠
0
→
⇔
b
→
= k.
a
→
⇔ [
a
→
,
b
→
] =
0
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z) ⇔

OM
→
= (x;y;z) ⇔
OM
→
= x.
i
→
+ y.
j
→
+ z.
k
→

AB
→
= ( x
B
− x
A
; y
B
−y
A
;z
B
−z
A
)

•
M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 (
MA
→
= k
MB
→
) Thì M có toạ độ là :
M
M
A B
A B
M
A B
x k.x
x
1 k
y k.y
y
1 k
z k.z
z
1 k
−


=
−



−

=

−

 −

=
−


•
M là trung điểm của AB thì I:
A
M
M
M
B
A B
A B
x x
x
2
y y
y
2
z z

z
2
+


=


+

=


 +

=


•
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
G A B C
G A B C
G A B C
1
x (x x x )
3
1
y (y y y )
3
1

z (z z z )
3

= + +



= + +



= + +


• Tích có hướng của 2 véctơ :
1 2 3
1 2 3
Cho ( ; ; );
( ; ; )
a a a a
b b b b
=
=
r
r
Khi đó [
a
→
,
b

→
] =
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
; ;
b b b b b b
 
 ÷
 ÷
 
* [
a
→
,
b
→
] ⊥
a
→
; [
a
→
,
b
→
] ⊥
b
→

• Đk đồng phẳng của 3 véctơ :
a
→
,
b
→
,
c
→
đồng phẳng ⇔ [
a
→
,
b
→
].
c
→
= 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ
AB
→
,
AC
→
,
AD
→
không đồng
phẳng <=> [

AB
→
,
AC
→
].
AD
→
≠ 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( khơng tạo thành tứ diện ) là:
( )A mp BCD∉
• Diện tích tam giác ABC : S
ABC
=
2
1
2 2
AB AC (AB.AC)
2
→ →
−
Hoặc S
ABC
=
2
1
.[
AB
→
,

AC
→
]
• Thể tích tứ diện ABCD : V
ABCD
=
1
6
[
AB
→
,
AC
→
].
AD
→

•
Thể tích hình hộp : V
ABCD.A'B'C 'D'
= [
AB
→
,
AD
→
].
AA
→

′

Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối
chóp,hộp:
Phần 3: Mặt cầu (S)
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là : (x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z−c )
2
= R
2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):

x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2

−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R =
2 2 2
A B C D+ + −
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M
1
(x
1
;y
1
;z
1
)
+ Bán kính R = IM
1
=
2 2 2
(x a) (y b) (z c)
1 1 1
− + − + −
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(
x x
B
A
2
+
;
y y

B
A
2
−
;
z z
B
A
2
−
)
+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho (d) :
o o o
x - x y - y z - z
a b c
= =
; mc(S): (x −a)

2
+ (y−b)
2
+(z−c)
2
= R
2

Tính d(I; (d)) = ?
Nếu:• d(I; d ) > R <=> (d) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (d) tiếp xúc với (S) ( d là tiếp tuyến) (d) ∩ (S) ={M
0
} ;
• d(I; α ) < R <=> (d) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A và B
(Chú ý:AB sẽ vng góc với đt qua tâm I tại trung điểm của nó)
Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho (α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)
2
+ (y−b)
2
+(z−c)
2
= R
2

Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> (α) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (α) tiếp xúc với (S) (
α
là mp tiếp diện) (α) ∩ (S) ={M

0
} ;
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)
2
+ (y−b)
2
+ (z−c)
2
= R
2

+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp (α)
+ bán kính r =
2 2
R [ ; )]− α d(I
Cách xác đònh Hình chiếu H của tâm I lên mp(α) :
+ Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP Giả sử (d)

x a At
y b Bt
z c Ct
= +


= +


= +

+ Toạ độ điểm H là nghiệm hệ PT (gồm pt mp(α) và pt đ.thẳng (d))
+ Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy ra toạ độ điểm H
Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M
0
:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)

+) Tính
→
IM
0
+) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu

(S) và mặt phẳng(α). /;+.#AG +.&?&Z]#3
+ bán kính r =
2 2
R [ ; )]− α d(I
+Cách xác đònh tâm H:
Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP
Giải hệ: (d)
x a At
y b Bt
z c Ct
= +


= +


= +

thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H
Kết luận
Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng:
Cách 1:Viết dưới dạng cơ bản:
i/R3!"#[

/@


XA

Xh

3IN;R; 
( )
, ,n A B C=
r
IR;;j f/@k@

3li/AkA

3l/hkh

3mY
CHÚ Ý:
* (ABC): +) tính
AB ? ; AC ?= =
uuur uuur

+) VTPT của (ABC) là
n [AB,AC]=
r uuur uuur
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT
n
r
.
* mp(a,b) : nếu a//b thì VTPT
a

n [u ,AB]=
r uur uuur
với A∈ a; B ∈ b.
Nếu a cắt b thì
a b
n [u ,u ]=
r uur uur
*(A;a) thì VTPT
a
n [u ,AB]=
r uur uuur
với B∈ a.
* (α) //(β) thì VTPT
n n
α β
=
uur uur
* (α) ⊥a thì VTPT
a
n u
α
=
uur uur

* (α) có hai vectơ chỉ phương
a,b
r r
thì
n [a,b]
α

=
uur r r
.
*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP
a
r
thì
a
n [u ,AB]
α
=
uur uur uuur
( thay
a
u
uur
=
a
r
)
*(α) vng góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT
P Q
n [n ,n ]
α
=
uur uur uuur
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
+) Tính vectơ
AB

uuur
.
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT
AB
uuur
.
* (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì
a
n [n ,u ]
α β
=
uur uur uur
.
* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) .
+) chọn M trên đ.thẳng (D).