BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT ÔN THI CẤP TỐC

BÀI TẬP HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
1. Cho C
2
(3m+1)x- m +m
y=
x+m
m khác 0, tìm m để tiếp tuyến với C tại giao
điểm với trục hoành song song với y=x, viết phương trình tiếp tuyến.
(m=-1;m=-1/5)
2. Tìm tọa độ giao điểm của các tiếp tuyến đồ thị
1
3
x
y
x
+
=
−
với trục hoành biết
rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2010 (0;0); (8;0)
3. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
A(0;a), xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến sao
cho hai tiếp tuyến đó nằm tương ứng về hai phía đối với trục Ox

2
- <a 1
3
≠

4. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị C, tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi
điểm ấy chỉ có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến đến C. A(0;-1)
5. Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị C, trên đường thẳng y=x tìm những điểm sao
cho có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị và góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng
4
π
(

M(- 7;- 7); M( 7; 7)
)
Hướng dẫn giải
Bản chất của bài toán là ta vẫn sử dụng
f(x)=g(x)
f'(x)=g'(x)



. Với phương trình thứ
hai ta thường sử dụng trong nhiều trường hợp tính xem là có bao nhiêu tiếp
tuyến, song song, vuông góc. Tuy nhiên trong trường hợp này khi đã có mối
quan hệ hai k với nhau thì ta cần sử dụng phương trình thứ nhất với điều kiện là
nó phải có nghiệm kép tức là
∆
=0 ta sẽ có hàm f(k)=0 và từ đó ta sẽ tính được
điểm cần tìm.
6. Cho hàm số
( 1)m x m
y
x m
− +
=
−
chứng minh rằng Cm tiếp xúc với 1 đường
thẳng cố định tại một điểm cố định khi m thay đổi. y=-x-1
7. Cho C
2
(3m+1)x- m +m
y=

x+m
, với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị
với trục hoành, tiếp tuyến song song với đường thẳng y=x-20, viết phương trình
tiếp tuyến. Chứng minh Cm luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Trên
đường thẳng x=1 chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của Cm đi qua.
(m=-1; m=-1/5 , hai đường thẳng cố định là y=x+1 và y=9x+1; 2<a<10)
8. Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua
A(-6 ;5) (y=-x-1 và y=-1/4x+7/2)
9. Cho hàm số
mx-3
y=
x+m-4
, định m nguyên để hàm số nghịch biến trên từng
khoảng xác định. Với m=2 tìm những điểm thuộc đồ thị mà tại đó tiếp tuyến của
đồ thị tạo với Ox một góc dương 135
0
, viết phương trình tiếp tuyến.
(m=2 ; y=-x+2 và y=-x+6)
10. Cho hàm số
2
(m-2)x-(m -2m+4)

y=
x-m
, chứng minh đồ thị hàm số luôn tiếp
xúc với hai đường thẳng cố định. (y=x+2; y=x-6)
Giải bài toán theo phương pháp sử dụng phương trình hoành độ giao điểm
sau đó cho ∆ bằng 0 với mọi m
11. A là một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số
3 1
3
x
y
x
+
=
−
, tiếp tuyến với đồ thị
hàm số cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tại M và N, chứng minh rằng A là
trung điểm M và N và ∆ tạo bởi tiếp tuyến đó với hai tiệm cận một ∆ có diện
tích không đổi. S=20
12. Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
có đồ thị C, tìm trên C những điểm M sao cho tiếp tuyến
tại M cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm sao cho ∆AOB có diện tích bằng ¼.
M thuộc đồ thị nên viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ trên đồ

thị có dạng
0
,
x 0 0
y=y (x-x )+y
, tiếp tuyến cắt hai trục đồ thị tại hai điểm phân biệt
A, B ta sẽ xác định được tọa độ x,y cho nên diện tích ∆AOB là được tính theo
công thức S=1/2OA.OB
1
M(1;1),M(- ;-2)
2
13. Cho hàm số
2x-1
y=
x-1
, I là giao điểm của hai đường tiệm cận, tìm M thuộc đồ
thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị C tại M vuông góc IM. M(0 ;1), M(2 ;3)
Viết phương trình dạng
0
,
x 0 0
y=y (x-x )+y
sau đó tìm tọa độ giao điểm hai trục
tiệm cận xác định IM rồi nhân với vec tơ chỉ phương của phương trình tiếp tuyến
ta có kết quả.
14. Cho hàm số
2
1
x
y

x
−
=
−
tìm a để đường thẳng y=a(x-3) cắt C tại hai điểm
phân biệt trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1.
a 0≠
15. Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường
thẳng y=-x+m luôn luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm độ dài AB
min.
min
AB =2 2;m=2
Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm, để cắt đồ thị tại hai điểm thì
phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm phân biệt, tính ∆>0 ngoài ra ta
sử dụng viet để tính độ dài AB với y thuộc đường thẳng đó.
16. Cho hàm số
2 4
1
x
y
x

−
=
+
, tìm trên C hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
MN biết M(-3 ;0), N(-1 ;-1)
A(0;-4), B(2;0)
Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm sau đó sử dụng viet và sau khi
tìm được k ta thay ngược trở lại tìm điểm
17. Cho hàm số
2
(2m-1)x-m
y=
x-1
, tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường
thẳng y=x
( )
m R\ 1∈
18. Cho hàm số
x+2
y=
2x+3
viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết rằng tiếp
tuyến đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho ∆OAB cân tại O.
y=-x-2
19. Cho hàm số
2
mx-m -2m-4
y=
x-m-2
, tìm điểm m thuộc Ox mà Cm không đi qua.

a<6; a>-2
20. Cho hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
tìm các điểm trên C những điểm có tọa độ nguyên,
tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là min.
x+1 3
y= =1+
x-2 x-2
những điểm có tọa độ nguyên thì x-2 phải là ước của 3 nên x-
2=±1 ; ±3. ta sẽ tìm được các điểm có tọa độ nguyên.
21. Cho hàm số
x
y=
x+1
, tìm các điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng
cách đến đường thẳng 3x+4y=0 bằng 1.
22. Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
+

=
−
có đồ thị C, tìm m để đường thẳng y=2x+m cắt đồ
thị tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau
Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm và ta có điều kiện y’
1
=y’
2
23. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị C, tìm m để đường thẳng y=m(x+1)-2 cắt đồ
thị hàm số C tại hai điểm sao cho hai điểm sao cho hai điểm đó đối xứng nhau
qua M(1 ;0)
M thuộc đường thẳng nên thay M vào đường thẳng ta tìm được M rồi ta tìm
được hai điểm (0 ;-1), (3; 2)
24. Cho hàm số
(m-1)x+m
y=
x-m
, định m để tiếp tuyến với C tại hoành độ x=4 thì
song song với đường phân giác thứ hai của hệ trục tọa độ Oxy. (m=2)