GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ
Loại 1. Sử dụng các bất đẳng thức kinh điển để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số
1. Giả sử
D={(x;y;z)| x>0; y>0; z>0, x+y+z=1}
, cho biểu thức
x y z
P= + +
x+1 y+1 z+1
tìm giá trị lớn nhất P.
Tách P thành dạng
1 1 1
P=3-( + + )
x+1 y+1 z+1
Áp dụng cô si
1 1 1
( + + )[( 1) ( 1) ( 1)] 9
x+1 y+1 z+1
x y z+ + + + + ≥
Từ đó suy ra kết quả
3
maxP=
4
2. Cho x>0; y>0 và
5
4
x y+ =
, xét biểu thức
4 1

4
S
x y
= +
, tìm giá trị nhỏ nhất của S.
Đánh giá biểu thức nhỏ nhất lớn nhất và điều kiện thấy nếu ta tách
4=1+1+1+1 ta sẽ áp dụng bất đẳng thức cô si một cách hiệu quả.
1 1 1 1 1
(x+x+x+x+4y)( + + + + ) 25
x x x x 4y
≥
4 1
4(x+y)( + ) 25
x 4y
≥
suy ra
S 5 minS=5≥
3. Cho x>0; y>0 và x+y<1 Xét
2 2
x y 1
P= + +x+y+
1-x 1-y x+y
tìm giá trị min P.
Bằng phương pháp tách ta cũng làm như hai ví dụ trên như sau :
2 2
x 1 1 y 1 1 1
P= + +x+y+
1-x 1-y x+y
− + − +
1 1 1

P= + 2
1-x 1-y x+y
+ −
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
1 1 1 9
[(1-x)+(1-y)+(x+y)]( + + )
1-x 1-y x+y 2
≥
5
P
2
≥
4. Cho
3
3 3
P= x+3y+ y+3z+ z+3x
với
3
x+y+z=
4
và x, y, z>0. Tìm giá trị lớn nhất
của P.
Rõ ràng giá trị x, y, z dương nên ta có khả năng áp dụng bất đẳng thức cô si nhưng
trong biểu thức P của ta lại có một biểu thức tổng, không sao ta vẫn áp dụng cô si
bình thường cho 1 và 1 như sau
3
x+3y+1+1
x+3y
3
≥

3
y+3z+1+1
y+3z
3
≥
3
z+3x+1+1
z+3x
3
≥
( )
3
3 3
P= x+3y+ y+3z+ z+3x 3≤
maxP=3
5. Cho
0 y x 1; P=x y-y x≤ ≤ ≤
, tìm giá trị lớn nhất của P.
Dễ dàng nhận thấy điều kiện của bài toán cho ta có thể giải là :
2
2
x x
y x yx
≥
≥
Mặt khác khi ta áp dụng bất đẳng thức cô si thì phải có hai số mà ở đây lại có 1 số
vì vậy ta phải cộng thêm một số mà khi áp dụng bất đẳng thức ta có thể bỏ đi, ở
đây chỉ có 2 số nên ta nên nghĩ tới
1
4

2
1 1
y x yx
4 4
+ ≥ +
2
1
yx x y
4
+ ≥
Suy ra
1
x y-y x =P
4
≥

1
maxP=
4
6. Cho
x y+z y z+x z x+y
P= + + + + +
y+z x z+x y x+y z
, cho x>0, y>0, z>0 tìm giá trị nhỏ
nhất của P.
7. Cho biểu thức
2 3
2
3x +4 2+y
A= + , x>0, y>0, x+y 4

4x y
≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
9
A=
2
8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
4 4 4
P=x +y +z
trên miền
D=[(x;y;z)|xy+yz+zx=4]
16
minP=
3
9. Tính giá trị min của biểu thức
x 1 y 1 z 1
P=x + +y + +z +
2 yz 2 zx 2 xy
   
 
 ÷
 ÷  ÷
 
   
khi x, y, z
là 3 số dương thay đổi.
10. Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z thỏa mãn
x(x+y+z)=3yz ta có:
3 3 3
(x+y) +(x+z) +3(x+y)(x+z)(y+z) 5(y+z)≤

Đặt x+y=a ; z+x=b ; y+z=c ta có bất đẳng thức biến thành dạng :
3 3 3
a +b +3abc 5c≤
Điều kiện của bài toán trở thành
2 2 2
a +b -ab=c
Biến đổi biểu thức thành
2 3
(a+b)c +3abc 5c≤
nhóm c ra ta có :
3
[(a+b)c+3ab]c 5c≤
ta lại thấy có giá
trị ab và a+b, nhìn vào điều kiện của bài toán ta có thể biến đổi như sau :
( )
2
2 2 2
c =a +b -ab= a+b -3ab
( )
2
a+b 4ab≥
thay vào biểu thức trên ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
3 1
c =a +b -ab= a+b -3ab a+b a+b a+b
4 4
≥ − =
suy ra

a+b 2c≤
Thay vào bài toán ta có đpcm
11. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz=1, tìm giá trị
min của biểu thức :
2 2 2
x (y+z) y (z+x) z (x+y)
P= + +
y y+2z z z z+2x x x x +2y y
Pmin=2
12. Cho hai số thực x, y ≠0 và thỏa mãn điều kiện (x+y)xy=x
2
+y
2
-xy
Tìm giá trị max của biểu thức
3 3
1 1
A= +
x y
maxA=16
Bản chất của bài toán là đặt
1 1
=a; =b
x y
sau đó áp dụng tính chất
( )
2
a+b 4ab≥
13. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
1 1 1

4
x y z
+ + =
Chứng minh rằng
1 1 1
+ + 1
2x+y+z x+2y+z x+y+2z
≤
Áp dụng công thức
( )
2
a+b 4ab≥
ta biến đổi thành
1 1 1 1
( + )
a+b 4 a b
≤
Ta thử tính cho biểu thức đầu tiên như sau :
1 1 1 1
[ + ]
2x+y+z 4 2x x+y
≤
lại áp dụng tiếp ta có
1 1 1 1
+
x+y 4 x y
 
≤
 ÷
 

thay vào công thức trên ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
[ + + ]= + +
2x+y+z 4 2x 4 x y 8x 16x 16y
 
≤
 ÷
 
suy ra đpcm
Loại 2. Sử dụng các loại bất đẳng thức khác
1. Tìm giá trị max của biểu thức
2 2 2
P=x +y +z
;
D=[(x;y;z)|x y 2;0 y 2;0 z 2;x+y+z=3]≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Bản chất của bài toán là ở trong điều kiện của nó, người ta cho thế để làm
gì ? để có được một biểu thức trung gian
(2-x)(2-y)(2-z) 0≥
ta sẽ có điều ta mong
muốn. Pmax=5
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
y x
P= +
x y
trên miền
D=[(x;y)|1 x 2;1 y 2]≤ ≤ ≤ ≤
Bản chất của bài toán cũng nằm ở phần điều kiện của nó
1 x 2
≤ ≤
và y≥1 nên ta có:

x 2y≤
suy ra
x
2
y
≤
=>
x
2 0
y
− ≤
3. Cho
3 3 3 3 3 3
1 1 1
P= + +
x +y +1 y +z +1 x +z +1
trong đó x, y, z>0 và xyz=1, tìm giá trị
max của P. MaxP=1
Áp dụng công thức
2 2
x -xy+y xy≥
mà
0x y+ >
nên nhân cả hai vế với
x y+
ta có :
4. Cho
x+y+z=0; -1 x,y,z 2≤ ≤
tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2

P=x +y +z
5. Tìm giá trị lớn nhất của
3 3 3 2 2 2
P=2(x +y +z )-(x y+y z+z x)
với
0 x, y, z 1≤ ≤
DẠNG 2. DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ
Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một miền
D cho trước, gọi
0
y
là một giá trị tùy ý của f(x) trên D thì hệ sau đây ẩn x
0
f(x)=y
x D


∈

có nghiệm, tùy dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện có nghiệm tương
ứng, trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy sau khi biến đổi đưa được về dạng :
0
α y β≤ ≤
vì
0
y
là một giá trị bất kỳ của f(x) nên ta có x
x D x D
minf(x)=α; maxf(x)=β

∈ ∈
.
Như vậy khi sử dụng phương pháp này để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
thực chất ta đã quy về việc tìm điều kiện để một phương trình thường là có thêm
điều kiện phụ có nghiệm.
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2sinx+cosx+1
f(x)=
sinx-2cosx+3
với
x R∈
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
2
2x +7x+23
f(x)= x R
x +2x+10
∈
DẠNG 3. DÙNG CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Phương pháp này kết hợp với việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng
biến và nghịch biến của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số
như các điểm cực trị, các điểm tới hạn.
Người ta hay sử dụng phép biến đổi để bài toán đơn giản, cần chú ý rằng
khi biến đổi phải xác định lại miền xác định của hàm số mới mà ta sử dụng sau khi
đổi biến.
1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
x y
P= +
y+1 x+1

trên miền
D=[(x;y)| x,y 0; x+y=1]≥

min
2
P =
3
;
max
P =1
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
P=x+y+z+ + +
x y z
trên miền
3
D[(x,y,z)x,y,z>0] và x+y+z ]
2
≤

min
15
P =
2
3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
6 2 3
f(x)=x +4(1-x )
khi
x [-1;1]∈
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

2
x+1
f(x)=
x +1
với
x [-1;2]∈
5. Cho hai số thực không âm thỏa mãn x+y=1, tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của
hàm số
2 2
S=(4x +3y)(4x +3x)+25xy

x+y=1
25
maxS= khi
1
2
xy=
4
x+y=1
191
minS= khi
1
16
xy=
16











6. Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn
2 2
x +y =2
, tìm giá trị min, max của biểu
thức
( )
3 3
P=2 x +y -3xy

13
maxP= , minP=-7
2
đặt xy=t
7. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn
( )
3
x+y +4xy 2≥
, tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
( )
4 4 2 2 2 2
A=3 x +y +x y -2(x +y )+1
Xét điều kiện bài toán
( )
3

x+y +4xy 2≥
với điều kiện của biểu thức bất kỳ là
( )
2
x+y 4xy≥
ta có
( ) ( )
3 2
x+y + x+y 2≥
suy ra
( )
x+y 1≥
Biến đổi A về dạng có chứa
2 2
x +y
rồi đặt
2 2
x +y =t
, khảo sát hàm số rồi tính ra
min
9
A =
16
8. Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn
2 2
1x y+ =
, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của biểu thức
2
2

2(x +6xy)
P=
1+2xy+2y
. Bài toán này ta biến đổi về chỉ có x và y sau đó
chia cả hai vế cho y, biến đổi biểu thức thành phương trình bậc 2 tham số P. bài
toán trở thành tìm P để phương trình có nghiệm ta có kết quả là
-6 P 3≤ ≤
9. Cho các số thực thay đổi là x, y, tính giá trị nhỏ nhất của
( ) ( )
2 2
2 2
A= x-1 +y + y+1 +y + y-2
Mấu chốt của bài toán là nhận thấy các biểu thức trong căn là độ dài một vec
tơ, ta nhận thấy tổng hai cạnh trong tam giác lớn hơn hoặc bằng cạnh thứ 3, ta sẽ
có kết quả :
minA=2+ 3
10. Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
2
ln x
y=
x
trên đoạn
3
[1;e ]
2
4
maxy= ; miny=0
e
DẠNG 4. CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ CHỨA THAM SỐ

Trong các bài toán này, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số f(x)
trên một miền D sẽ phụ thuộc vào tham số m. khi m biến thiên nói chung các giá
trị này sẽ thay đổi, cấn nhấn mạnh rằng phương pháp dùng đạo hàm tỏ ra có hiệu
lực rõ rệt đối với các loại này.
Có hai loại chính thường gặp là:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một miền D cho trước
theo tham số m;
Xét một toán khác sau khi đã tìm xong giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1. Cho hàm số
4 4
y=sin x+cos x+msinxcosx, x R∈
, biện luận theo m giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số.
2. Cho hàm số
2 2
f(x)=4x -4ax+a -2a
, tìm a để
-2 x 0
min f(x)=2
≤ ≤
DẠNG 5. BÀI TOÁN BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH CÓ THAM SỐ
Để biện luận phương trình và bất phương trình có tham số người ta có thể sử
dụng một trong các cách sau:
Phương pháp tam thức bậc 2;
Phương pháp điều kiện cần và đủ;
Phương pháp chiều biến thiên hàm số;
Phương pháp đồ thị và hình học.
Mặc dù mỗi phương pháp đều có những tính ưu việt riêng song nhìn chung
trong thực tế phương pháp chiều biến thiên hàm số thường được sử dụng vì các lí

do sau:
Lược đồ sử dụng chúng thường là một quy trình đơn giản nhất quán trong các
bài toán và dễ sử dụng;
Hiệu quả sử dụng cao;
Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D và giả thiết rằng tồn tại các giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) xét trên miền đó (các giá trị tương ứng kí hiệu bởi
x D
maxf(x)
∈
và
x D
minf(x)
∈
khi đó), khi đó:
1. Hệ phương trình
f(x)=α
x D


∈

có nghiệm khi và chỉ khi
x D
x D
minf(x)α max f(x)
∈
∈
≤ ≤
2. Hệ phương trình
f(x)α

x D
≥


∈

có nghiệm khi và chỉ khi
x D
max f(x)α
∈
≥
3. Hệ phương trình
f(x)β
x D
≤


∈

có nghiệm khi và chỉ khi
x D
minf(x)β
∈
≤
4.
x D
minf(x)α
∈
≥
là điều kiện cần và đủ để bất phương trình

f(x)α≥
đúng
với mọi
x D
∈
5.
x D
max f(x)β
∈
≤
là điều kiện cần và đủ để bất phương trình
f(x)β≤
đúng
với mọi
x D
∈
Bài tập áp dụng
1. Tìm m để phương trình
4 4
2(sin x+cos x)+cos4x+2sin2x+m=0
có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn
π
[0; ]
2
2. Tìm m để phương trình có nghiệm
2 2 4 2 2
m( 1+x - 1-x +2)=2 1-x + 1+x - 1-x
3. Tìm a để phương trình sau có nghiệm
2 2

2|x -5x+4|=x -5x+a
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
2x -2(m+4)x+5m+10+3-x=0
5. Tìm m để phương trình
2
2+2sin2x=m(1+cosx)
trên đoạn
π π
[- ; ]
2 2
GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và
1x y z+ + ≤
. Chứng minh rằng

2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
ĐS :
1
3
x y z= = =
Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2

4y x x= + −

ĐS :
[ ]
2;2
Maxy (2) 2 2y
−
= =
;
[ ]
2;2
Miny ( 2) 2y
−
= − = −
Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].

2
1
1
x
y
x
+
=
+

ĐS :
[ ]
1;2
Maxy (1) 2y

−
= =
;
[ ]
1;2
Miny ( 1) 0y
−
= − =
Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
3
1;e
 
 
.

2
ln x
y
x
=
ĐS :
3
2
2
1;
4
Maxy ( )
e
y e
e

 
 
= =
;
3
1;
Miny (1) 0
e
y
 
 
= =
Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng
minh rằng

1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
ĐS :
3
4
x y z= = =
Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi

x R
∈
, ta có .

12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
. Khi nào đẳng thức xảy ra?
ĐS :
0x
=
Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh
rằng :

3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
yz
x y y z
z x
xy zx
+ + + +

+ +
+ + ≥

.Khi nào đẳng thức xảy ra?
ĐS :
1x y z= = =
Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
2 2
( )x y xy x y xy
+ = + −
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
= +
.
ĐS :
1
ax 16
2
M A x y= ⇔ = =
Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:

2 2 2 2
( 1) ( 1) | 2 |A x y x y y
= − + + + + + −
ĐS :

1
2 3 0;
3
MinA x y= + ⇔ = =
Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều
kiện xyz = 1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +

ĐS :
2 1MinP x y z= ⇔ = = =
Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức :

1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
= + + + + +

ĐS :
9
1
2
MinP x y z= ⇔ = = =
Bài 12 (ĐH D2007) Cho
0a b
≥ >
. Chứng minh rằng :

1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
+ ≤ +
 ÷  ÷
   

Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x
2
+ y
2
=1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2( 6 )

1 2 2
x xy
P
xy y
+
=
+ +
.
ĐS :
3 1
;
10 10
MaxP 3
3 1
;
10 10
x y
x y

= =


= ⇔

= − = −


;
3 2
;

13 13
MinP 6
3 2
;
13 13
x y
x y

= = −


= − ⇔

= − =


Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2
( )(1 )
(1 ) (1 )
x y xy
P
x y
− −
=
+ +
.
ĐS :
1 1

MaxP 1; 0;MinP 0; 1
4 4
x y x y= ⇔ = = = − ⇔ = =

Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn
x(x + y + z)=3yz, ta có: (x + y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)
3
ĐS :
x y z= =

Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2

) + 1
ĐS :
9 1
MinA
16 2
x y= ⇔ = =

Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y =
1. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
ĐS :
2 3
25 1 191
4
MaxS ;MinP
2 2 16
2 3
4
x
x y
y

+
=



= ⇔ = = = ⇔

−

=


hoặc
2 3
4
2 3
4
x
y

−
=



+

=


Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2a b b c c a ab bc ca a b c+ + + + + + + +

ĐS :
MinM 2 ( , , )a b c= ⇔
là một trong các bộ số :
(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)
Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
2 2
4 21 3 10x x x x− + + − − + +
ĐS :
1
Miny 2
3
x= ⇔ =
Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu
biểu thức
2 3
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
ĐS :
34
MinP 4; 1; 2
33
x y z= ⇔ = = =
Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện :

2 2
2( ) ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
   
= + − +
 ÷  ÷
   
.
ĐS :
2
23
MinP
1
4
a
b
=

= − ⇔

=

hoặc
1

2
a
b
=


=

Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
0;2
.

2
2 3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
ĐS :
[ ]
0;2
Miny (0) 3y= =
;
[ ]
0;2
17

Maxy (2)
3
y= =
Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
3 3 3 6 6 6
x y y z z x
P x y z
− − −
= + + − + +
.
ĐS :
MinP 3 0x y z= ⇔ = = =

Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
0x y z+ + =
và
2 2 2
1.x y z+ + =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5 5 5
.P x y z= + +
ĐS :
5 6 6 6
MaxP ;
36 3 6
x y z= ⇔ = = = −

Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)
2
+ (y – 4)
2
+ 2xy ≤ 32.
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x
3
+ y
3
+ 3(xy – 1)(x + y – 2).
ĐS :
17 5 5 1 5
MinA
4 4
x y
− +
= ⇔ = =

Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
2
(a c)(b c) 4c+ + =
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
3 3
32a 32b a b
P
(b 3c) (a 3c) c

+
= + −
+ +
ĐS :
MinP 1 2 1x y= − ⇔ = =

Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức :

2 2 2
4 9
P
(a b) (a 2c)(b 2c)
a b c 4
= −
+ + +
+ + +
ĐS :
5
MaxP 2
8
a b c= ⇔ = = =

Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
xy y 1≤ −
.
Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2
x y x 2y

P
6(x y)
x xy 3y
+ −
= −
+
− +
ĐS :
5 7 1
MaxP ; 2
3 30 2
x y= + ⇔ = =

Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn
[ ]
0;2
.

2
2 3 3
( )
1
x x
f x
x
− +
=
+

ĐS :
[ ]
0;2
Minf(x) (1) 1f= =
;
[ ]
0;2
Maxf(x) (0) 3f= =