Bài giảng trọng tâm về hàm số

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN


§ÆNG VIÖT HïNG


BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ
HÀM SỐ


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn





1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC

Nguyên tắc:
+ Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc
chẵn.
+ Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong
bảng xét dấu.
+ Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó.

+ Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo.

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau
a)
2
( ) 3.
3 4
+
= +
−
x
f x
x
b)
1 3
( ) 2 .
1
= − −
−
f x
x x

c)
( 3)(3 2 )
( ) .
1
+ −
=
−

x x
f x
x
d)
4 2 2 1 5
( ) .
3 2 4
− +
= − −
x x
f x
e)
2
3 2
( ) .
1
− +
= −
−
x x
f x x
x
f)
2 2
( ) .
3 1 2 1
+ −
= −
+ −
x x

f x
x x

g)
2
1 1 2
( ) .
1
−
= + −
+
+
x
f x
x x
x x
h)
1 2 3
( ) .
2 2
= + −
− +
f x
x x x

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a)
1 2 3
.
3 2

+ <
+ +
x x x
b)
2
2 1 4
.
2 2
2
−
+ ≤
+
+
x
x x

c)
2
2
2 3 4 15
.
1 1
1
− − + +
+ ≥
− +
−
x x x x
x x
x

d)
4 3 2
2
3 2
0.
30
− +
>
− −
x x x
x x

e)
4 2
2
4 3
0.
8 15
− +
≥
− +
x x
x x
f)
( )
3 2
3 3
0.
2
− − +

>
−
x x x
x x

2. KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC

Nguyên t
ắ
c:
+ f(x) chia cho g(x)
đượ
c h(x) và d
ư
là k thì ta có th
ể
vi
ế
t
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
.= + ⇔ = +
f x
k
f x g x h x k h x
g x g x

+
Để
chia
đ
a th
ứ
c b
ằ
ng l
ượ
c
đồ
Hoocner ta ph
ả
i s
ắ
p x
ế
p
đ
a th
ứ
c chia theo l
ũ
y th
ừ
a gi
ả
m d

ầ
n, s
ố
h
ạ
ng nào
khuy
ế
t ta cho h
ệ
s
ố
b
ằ
ng 0.
+ Th
ự
c hi
ệ
n chia theo quy t
ắ
c:
đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo
.

Các ví d
ụ

đ
i

ể
n hình:
Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau
a)
4 3 2
3 2
3
+ − +
=
+
x x x x
x
………
b)
3 2
3 2 10
1
− + − +
=
−
x x x
x
………
c)
2
2
1
+ +
=
−

x mx m
x
………
d)
(
)
2 2
2 2 2
2 1
+ − +
=
+
x m x
x
………
3. KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
Xét ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
4 3 2
0, 1 .
= + + + + =f x ax bx cx dx e
Bài mở đầu:
CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:

LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Nếu x = x
o
là một nghiệm của phương trình (1) thì
( ) ( )
( )
(
)
3 2
1 0
′ ′ ′
⇔ = − + + + =
o
f x x x ax b x c x d
(
)
3 2
′ ′ ′
→ = + + +
−
o
f x
ax b x c x d
x x


Nguyên tắc:
+ Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x =

−
1.
+ Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản
như 0; ±1; ±2…
+ Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m
bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)
(
)
4 3 2
2 4 3 2 1
= + − − −
f x x x x x

b)
(
)
3 2
4 2 7 1
= − − −
f x x x x

c)
(
)
(
)

(
)
3 2
1 1 2 1
= − + − − + −
f x x m x m x m

Hướng dẫn giải :
a)
(
)
4 3 2
2 4 3 2 1
= + − − −
f x x x x x

Xét phương trình
(
)
4 3 2
0 2 4 3 2 1 0
= ⇔ + − − − =
f x x x x x

Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
4 3 2
2 4 3 2 1

0 1 . 2 4 3 2 1
1
+ − − −
= ⇔ − = + − − − → =
−
x x x x
f x x g x x x x x g x
x

Dùng lược đồ Hoocner ta được
( )
( )
4 3 2
3 2 4 3 2 3 2
2 4 3 2 1
2 6 3 1 2 4 3 2 1 1 2 6 3 1
1
+ − − −
= + + + → + − − − = − + + +
−
x x x x
x x x x x x x x x x x
x

b)
(
)
3 2
4 2 7 1
= − − −

f x x x x

Xét ph
ươ
ng trình
(
)
3 2
0 4 2 7 1 0
= ⇔ − − − =
f x x x x

T
ổ
ng h
ệ
s
ố
b
ậ
c ch
ẵ
n là −2 − 1 = −3, t
ổ
ng h
ệ
s
ố
b
ậ

c l
ẻ
c
ủ
a ph
ươ
ng trình là 4 − 7 = −3
T
ừ

đ
ó ta th
ấ
y ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m x = −1.
Khi
đ
ó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
4 2 7 1
1 . 4 2 7 1 1 .
1
− − −

= + ⇔ − − − = + → =
+
x x x
f x x g x x x x x g x g x
x

Dùng l
ượ
c
đồ
Hoocner ta
đượ
c
( ) ( ) ( )
( )
3 2
2 3 2 2
4 2 7 1
4 6 1 4 2 7 1 1 4 6 1
1
− − −
= = − − → = − − − = + − −
+
x x x
g x x x f x x x x x x x
x

c)
(
)

(
)
(
)
3 2
1 1 2 1
= − + − − + −
f x x m x m x m

T
ổ
ng các h
ệ
s
ố

đ
a th
ứ
c là
(
)
(
)
1 1 1 2 1 0
− + − − + − =
m m m nên f(x) = 0 có m
ộ
t nghi
ệ

m x = 1.
Ti
ế
n hành chia
đ
a th
ứ
c ta
đượ
c
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
3 2 2
1 1 2 1 1 2 1
= − + − − + − = − − − +
f x x m x m x m x x mx m

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)
(
)
4 2
3 2 6
= − − + +
f x x x x
=
……………………………………………………………

b)

(
)
3 2
4 6 1
= + − +
f x x x x
=
………………………………………………………………

c)
(
)
3 2
= + − −
f x x mx x m
=
……………………………………………………………….


d)
(
)
(
)
3 2
2 1
= − + − +
f x x x m x m
=
……………………………………………………….

e)
(
)
3 2
6 8
= + − −
f x x x x
=
……………………………………………………………….

f)
(
)
3 2
2 4 4
= − − + −
f x x x x
=
…………………………………………………………….

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
4. KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Xét phương trình bậc hai:
(
)
(
)

2
0, 1
= + + =f x ax bx c
a) Giải và biện luận phương trình (1):

N
ế
u a
=
0 thì
(
)
(
)
1 0, *
⇔ + =bx c
+ n
ế
u b = 0 và c = 0 thì (*) nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i x.
+ n
ế
u b = 0 và c

≠
0 thì (*) vô nghi
ệ
m.
+ n
ế
u b
≠
0 thì
( )
*
⇔ = −
c
x
b


Nếu a
≠
0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức
( )
2
2
4
; 2

∆ = −

′ ′ ′
∆ = − =



b ac
b ac b b

+ n
ế
u
∆
> 0 thì (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2
1;2
4
.
2 2
− ± ∆ − ± −
= =
b b b ac
x
a a

+ n
ế
u
∆
= 0 thì (1) có nghi

ệ
m kép
.
2
−
=
b
x
a

+ n
ế
u
∆
= 0 thì (1) vô nghi
ệ
m.
b) Hệ thức Vi-ét:
Khi (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
và x
2
thì ta có h
ệ
th
ứ

c Vi-ét:
1 2
1 2

= + = −




= =


b
S x x
a
c
P x x
a

M
ộ
t s
ố
các k
ế
t qu
ả
c
ầ
n l

ư
u ý:


( )
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
+ = + − = −
x x x x x x S P



( ) ( )
3
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
+ = + − + = −
x x x x x x x x S SP



(
)
(
)
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2
2 2 2
x x x x x x S P P
+ = + − = − −



( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
4 4
− = + − = −
x x x x x x S P

c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:

Ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
dương
phân bi
ệ
t khi
2
1 2
1 2
1 2

4 0
0
0
; 0
0


− >

∆ >

−

⇔ = + = >
 
>



= = >


b ac
b
S x x
x x
a
c
P x x
a


Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi
2
1 2
1 2
1 2
4 0
0
0
; 0
0


− >

∆ >

−

⇔ = + = <
 
<



= = >


b ac

b
S x x
x x
a
c
P x x
a


Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔
ac < 0.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi
( )( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2 1 2
4 0 4 0
0
0
2
α 2α 2α
α
α α 0

α α 0
α α 0



− > − >

∆ >


∆ >


− −
 
⇔ + > ⇔ = + = > ⇔ = + = >
   
>

  
− − >

 
− + + >

+ + >


b ac b ac
b b

x x S x x S x x
x ,x
a a
x x
c b
x x x x
.
a a

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi
( )( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2 1 2
4 0 4 0
0
0
2
α 2α 2α
α
α α 0

α α 0
α α 0



− > − >

∆ >


∆ >


− −
 
⇔ + < ⇔ = + = < ⇔ = + = <
   
<

  
− − >

 
− + + >

+ + >


b ac b ac
b b

x x S x x S x x
x ,x
a a
x x
c b
x x x x
.
a a


Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi
( )
2
1 2
0 0
0
; α α 0
α α 0
∆ > ∆ >

∆ > 

 
⇔ ⇔
  
≠ ≠
+ + ≠





x x g
a b c


Ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m và nghi
ệ
m này l
ớ
n h
ơ
n α khi
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
0
0

0
α
α
α
α
2
2
2
2
0
0
0
0
α α α 0
α α 0
α α 0

∆ =


∆ =

∆ =

 
∆ =









−


−
−
−

= = >




= = >
= = >
= = >










⇔ ⇔ ⇔





∆ >



∆ >
∆ >

∆ >

  




   



< < − − <
− + + <
+ + <




 







b
b
b
b
x x
x x
x x
x x
a
a
a
a
c b
x x x x
x x x x .
a a


Ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ

m và nghi
ệ
m này nh
ỏ
h
ơ
n α khi
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
0
0
0
α
α
α
α
2
2
2
2
0
0

0
0
α α α 0
α α 0
α α 0

∆ =


∆ =

∆ =

 
∆ =








−


−
−
−


= = <




= = <
= = <
= = <










⇔ ⇔ ⇔




∆ >



∆ >
∆ >


∆ >

  




   



< < − − <
− + + <
+ + <




 






b
b
b
b
x x

x x
x x
x x
a
a
a
a
c b
x x x x
x x x x .
a a

Ví dụ 1: Cho phương trình
(
)
(
)
+ + + + =
2
1 4 2 3 0, 1
m x mx m

a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −
−−
−1.
H
ướ
ng d

ẫ
n gi
ả
i :
a) Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n ph
ươ
ng trình.
 N
ế
u
m
+ 1 = 0 ⇔
m
= −1 thì
( )
5
1 4 5 0 .
4
x x
⇔ − − = ⇔ = −

 N
ế
u m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là ph

ươ
ng trình b
ậ
c hai có
(
)
(
)
2 2
4 1 2 3 2 5 3
m m m m m
′
∆ = − + + = − −

+ Nếu
2
1
0 2 5 3 0 3
2
m m m
′
∆ < ⇔ − − < ⇔ − < <
thì (1) vô nghiệm.
+ Nếu
2
3
0 2 5 3 0
1
2
m

m m
m
=


′
∆ = ⇔ − − = ⇔

= −

thì (1) có nghiệm kép
2
.
1
b m
x
a m
′
−
= − =
+

+ Nếu
2
3
0 2 5 3 0
1
2
m
m m

m
>


′
∆ > ⇔ − − > ⇔

< −

thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
1;2
2 2 5 3
.
1
m m m
x
m
− ± − +
=
+

b)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
( )
2
3
0 2 5 3 0 *
1
2

m
m m
m
>


′
∆ > ⇔ − − > ⇔

< −


G
ọi hai nghiệm phân biệt là x
1
; x
2
với x
2
> x
1
.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Theo định lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
4
1

2 3
1
b m
x x
a m
c m
x x
a m

+ = − =


+

+

= =

+


Hai nghi
ệ
m
đề
u d
ươ
ng khi
1 2
1 2

1 0
4
0
0
1
1
.
0 2 3
3
0
1
2
o
m
m
x x
m
m
vn
x x m
m
m
− < <


− >


+ >


  > −
+

⇔ ⇔ →
  

> +

 
>

< −


+




c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi
( )( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3 4 4
1 4
1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1
1 4.
1

4 4
2 2
2 2 0
1
1 1
m m m
m
x x x x x x
m m m
m
m
m m
x x x x
m
m m
+ − +
 
− < <

− + > >
 
 + + >  + + + >
    
+ + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
>

    
+ < − + < −
 


 
  
− < − − >
< −


 
+ +
 

Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình
(
)
(
)
(
)
+ + − + =
2
2 2 1 0, 1
x x mx m
.
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x
1
; x
2

; x
3
thỏa mãn
+ + <
2 2 2
1 2 3
7.
x x x

Hướng dẫn giải :
a) Ta có
( )
( )
2
2
1
( ) 2 1 0, 2
x
g x x mx m
= −

⇔

= + − + =



Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2.
Điều đó xảy ra khi
( )

( )
2
2
4 2 5
0
4 1 2 0
8 4 0
4 2 5
*
4 5
( 2) 0
4 2 2 1 0
5
4
g
m
m m
m m
m
m
g
m m
m


> − +


∆ >



− − >
+ − >
  
< − −


⇔ ⇔ ⇔
   
≠
− ≠
− − + ≠






≠



Vậy với
4 2 5
4 2 5
5
4
m
m
m



> − +



< − −




≠


thì ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b)
Do nghi
ệ
m x = −2 < 0 nên
để
(1) có 3 nghi
ệ

m trong
đ
ó 2 nghi
ệ
m âm thì (2) ph
ả
i có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u.
T
ừ

đ
ó ta có
1
0 1 2 0 .
2
P m m
< ⇔ − < ⇔ >

Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Không mất tính tổng quát, giả sử x
1
= −2. Khi đó x
2
; x
3
là hai nghiệm phân biệt của (2).

Theo định lí Vi-ét ta được
2 3
2 3
1 2
x x m
x x m
+ = −


= −


Khi
đ
ó
( )
( )
2
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
7 4 2 7 2 1 2 3 0 4 5 0 5 1.
x x x x x x x m m m m m
+ + < ⇔ + + − < ⇔ − − − < ⇔ + − < ⇔ − < <

K
ế
t h
ợ
p v
ớ

i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
4 2 5 1
m
− + < <
là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
2
1 2 1 0.
− − + + =
m x mx m
a)
Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m ≠ 1.
b)
Xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
để
ph
ươ
ng trình có tích hai nghi

ệ
m b
ằ
ng 5, t
ừ

đ
ó hãy tính t
ổ
ng hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng
trình.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức
1 2
2 1
5
0.
2

+ + =
x x
x x

Bài 2: Cho hàm số y = (x – 1)(x
2
+ mx + m).
a) Với m = 2, tính y’ và giải phương trình y’ = 0.
b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3
c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x
1
; x
2
; x
3
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4.
+ + <
x x x

d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình mx
2
– 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x

1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1
+ 4x
2
= 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Cho phương trình
2
1 0
− + − =
x mx m , (v
ớ
i m là tham s
ố
).

a)
Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ

ng ph
ươ
nh trình có nghi
ệ
m x
1
, x
2
v
ớ
i m
ọ
i m. Tính nghi
ệ
m kép (n
ế
u có) c
ủ
a ph
ươ
ng trình và giá tr
ị

c
ủ
a m t
ươ
ng
ứ
ng

b)

Đặ
t
2 2
1 2 1 2
6 .
= + −
A x x x x


Ch
ứ
ng minh A = m
2
– 8m + 8.

Tìm m
để
A = 8,

Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a A và giá tr

ị
c
ủ
a m t
ươ
ng
ứ
ng.
c)
Tìm m sao cho ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m này b
ằ
ng hai l
ầ
n nghi
ệ
m kia.
d)
Tim m
để
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
đề
u l

ớ
n h
ơ
n 1.
Bài 5:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2
1 2 3 0.
x x mx m
− + + − =

a)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b)
Tìm m
để

ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
đề
u d
ươ
ng.
c)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
; x
3
th
ỏ
a mãn
2 2 2

1 2 3
15.
x x x+ + =

d)
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có hai nghi
ệ
m âm.

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn



DẠNG 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA
Xét hàm số bậc ba :
3 3 2
3 3
′

= + + + ⇒ = + +
y ax bx cx d y ax bx c

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

N
ế
u
a
= 0 thì
3 0
3
′ ′
= + → = ⇔ = −
c
y bx c y x
b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
 Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép, tức là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số
( )
= + − − −
3 2
1

1 1
3
y x m x mx
tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
2 1 .
′
= + − +
y x m x m


Hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
khi y′ không
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh (hay hàm s

ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n
trên mi
ề
n xác
đị
nh),
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 vô nghi
ệ
m ho
ặ
c có nghi
ệ

m kép.
T
ừ

đ
ó ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( )
2
2
3 5 3 5
0 1 0 3 1 0 .
2 2
− +
′
∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m

Hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
khi y′
đổ

i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
2
3 5
2
0 3 1 0
3 5
2

+
>



⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔

−
<


m
m m
m

Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
3 5 3 5
2 2
− +
≤ ≤m
- Hàm số có hai cực trị khi
3 5 3 5
; .
2 2
+ −
≥ ≤m m
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số
(
)
= + − + + −
3 2
2 2 3
y mx m x mx m
tùy theo giá tr

ị
c
ủ
a tham s
ố
m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
3 2 2 2 .
′
= + − +
y mx m x m

TH1 :
m = 0.
Khi đó
4 ; 0 0
′ ′
= − = ⇔ =
y x y x
, trong trường hợp này hàm số có một cực trị.
TH2 :
m ≠ 0.
 Hàm số không có cực trị khi
2
0
2 2 6

2 2 6
0
0
5
5
0
5 4 4 0
2 2 6
2 2 6
5
5
≠



− +

≥
− +


≠

≠

 
≥


⇔ ⇔ ⇔

  

′
∆ ≤

+ − ≥

− −




≤
− − 

≤





m
m
m
m
m
m m
m
m

Bài 1:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
 Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
2 2 6 2 2 6
0
0
5 5
0
5 4 4 0
0

− − − +
≠

≠

< <
 
⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ >
+ − <





≠

m
m
m
m m
m

Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
2 2 6 2 2 6
; .
5 5
− + − −
≥ ≤m m
- Hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
khi m = 0.
- Hàm s
ố
có hai c
ự

c tr
ị
khi
2 2 6 2 2 6
5 5
0

− − − +
< <



≠

m
m

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Tìm m
để
các hàm s
ố
sau
đ
ây có c
ự
c
đạ
i và c

ự
c ti
ể
u:
a)
(
)
3 2 2
2 1 2
= − + − +
y x mx m x

b)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 3 2 1
= − − + − + − −
y x m x m m x m m

Bài 2.
Tìm m
để
hàm s
ố

(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
= + − + − + +
y x m x m x m không có c
ự
c tr
ị
.
Bài 3.
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

( ) ( )
3 2

1
1 3 2 1
3
= + + + − +
y m x mx m x

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại
và cực tiểu).
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=



B
x x
A
C
x x
A

Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆ > 0, (*)
+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.
Ta xét một số dạng tính chất điển hình.
Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x
o


Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) :
+ Hàm số đạt cực trị tại
(
)
0 .
′
= ⇔ = →
o o
x x y x m

+ V
ớ

i m tìm
đượ
c, thay vào hàm s
ố
r
ồ
i kh
ả
o sát, t
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta có k
ế
t lu
ậ
n v
ề
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i,
hay c

ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m x
o
hay không.

Cách 2 (s
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n,
đ
i
ề
u ki

ệ
n
đủ
; hay y’’) :
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
(
)
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →

′′
<



o
o
o
y x
x x m
y x

+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
(
)
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →


′′
>


o
o
o
y x
x x m
y x

Chú ý:
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
(
)
( )
0
0
′


=

= ⇔

′′
≠


o
o
o
y x
x x
y x

Ví dụ mẫu: Cho hàm số
= − + − +
3 2
1
( 2) 1.
3
y x m x mx
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :

Ta có
(
)
2
2( 2) 2 2 2 .
′ ′′
= − + − ⇒ = − +y x m x m y x m

a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
0 5 4 0
4
> −

′
⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔

< −

m
m m
m

b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.


 Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì
(

)
0 0 0.
′
= ⇔ =
y m

+ Với m = 0 thì ta có
2
0
4 0
4
=

′
= − = ⇔

=

x
y x x
x

Ta có bảng biến thiên:
x
−∞ 0 4 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
CĐ +∞

−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực đại tại
(
)
( )
0 0
0
0 0
2( 2) 0
0 0
′

=
=


= ⇔ ⇔ ⇔ =
 
− + <
′′
<



y

m
x m
m
y

V
ậ
y m = 0 thì hàm s
ố

đ
ã cho
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 0.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti

ể
u t
ạ
i t
ạ
i x = 2.


 Cách 1:
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2 thì
( )
4
2 0 4 4( 2) 0 5 4 .
5
′
= ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −
y m m m m

+ V
ớ

i
2 2
2
4 4 4 12 4
2 2 0
2
5 5 5 5 5
5
=

 

′ ′
= − → = − − + ⇔ = − + = ⇔
 

=
 


x
m y x x y x x
x

Ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên:
x

−∞
2
5
2 +∞

y’
+ 0
−
0 +
y
CĐ +
∞


−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x
= 2.
Vậy
4
5
= −
m là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )

4
2 0
5 4 0
4
2 .
5
2 0
5
2 0
0

′
 =
+ =
= −

 
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
  
− >
′′
>




<

y
m

m
x m
m
y
m

V
ậ
y
4
5
= −
m thì hàm s
ố

đ
ã cho
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho hàm s
ố

3 2

(2 1) 2 3.
= − + − + −
y x m x mx

a)
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t

ạ
i t
ạ
i x = −1.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = 3.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.

Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.
Khi đó ta có
1 2
2 1
1 2
0
0

0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

>

= + >


> > → ⇔
 
= >


>




Hai
đ
i
ể

m c
ự
c tr
ị
cùng có hoành
độ
âm.
Khi
đ
ó ta có
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x
A
x x
P x x C
A
−

<

= + <



< < → ⇔
 
= >


>




Hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
có hoành
độ
trái d
ấ
u.
Khi
đ
ó ta có
1 2 1 2
0 0 0
C

x x P x x
A
< < ⇔ = < ⇔ <


Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α.
Khi đó ta có
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α
C B
x x x x

x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−
 

− + >
− + + >
 


− − >
  
 
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
−
>


 
>






Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α.
Khi
đ
ó ta có
( )( )
( )
2
2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
α α
0
α α
0
α α
0
α
2
α
2
α
2
α

C B
x x x x
x x
A A
x x
B
x x
B
A
A

−
 

− + >
− + + >
 


− − >
  
 
< < ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ <
−
<



 
<





Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x
1
<
α
< x
2
.
Khi
đ
ó ta có
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
α α α 0 α α 0 α α 0
−
 
< < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <
 
 
C B
x x x x x x x x
A A

Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
. Khi đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2

+ = −




=


B
x x
A
C
x x
A

Ví dụ 1: Cho hàm số

= + − − +
3 2
( 1) 3 .
y x m x mx m

a) Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b) Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

+ =
1 2
1 2
1 1
2 .
x x
x x

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có

2
3 2( 1) 3
′
= + − −
y x m x m

a)
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
2 2
7 3 5
2
0 ( 1) 9 0 7 1 0 *
7 3 5

2

− +
>


′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔

− −
<


m
m m m m
m

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Vậy với
7 3 5
2
7 3 5
2

− +
>




− −
<


m
m
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Gọi x
1
;
x
2
là hoành
độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x
1
;
x
2
là hai nghi
ệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
2(1 )
3
−

+ =




= −

m
x x
x x m

Ta có
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2(1 ) 1 13
2 2 2 3 1 0 .
3 6
+
− − ±
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =
x x
m
x x x x m m m m
x x x x

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
1 13
6
m
− +
= là giá tr

ị
c
ầ
n tìm.
c)
G
ọ
i x
1
; x
2
là hoành
độ

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó x
1
; x

2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình y′ = 0.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta
đượ
c
1 2
1 2
2(1 )
3
−

+ =



= −

m
x x
x x m

Theo bài ta có

( )( )
(
)
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
2 4 0
4(1 )
2 2 0
4 0
2
3
2(1 )
4
4
1 6
3

− + + >
−

 − − >
− − + >
  
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
>



 
− >


x x x x
m
x x
m
x x
m
x x
m

8
8
0
8 5.
3
5
5
+

> −
>


⇔ ⇔ ⇔ − < < −
 

< −


< −

m
m
m
m
m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
7 3 5
8
2
m
− −

− < < là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
d)
Ta có
1
2
1 2
2
1
6
0 3 2( 1) 3 0
1
6

′
− − ∆
= =


′
= ⇔ + − − = ⇔ → <

′
− + ∆
= =



m
x x
y x m x x x
m
x x

B
ả
ng bi
ế
n thiên
x
−∞ x
1
x
2
+∞
y’
+ 0 − 0 +
y
C
Đ
+∞

−∞ CT

Ta th
ấ
y hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ

1
1
6
′
− − ∆
=
m
x
Theo bài ta có
( )
1
2
5 0
1
1 1 6 5

6
5
− − ≥

′
− − ∆

′ ′
= > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔

′
∆ < − −


m
m
x m m
m

2 2
5
5
8 5.
3 24
7 1 10 25
≤ −

≤ −



⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
 
> −
+ + < + +



m
m
m
m
m m m m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
7 3 5
8
2

m
− −
− < < là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + −
3 2
3( 1) 9 .
y x m x x m

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t

ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

− ≤
1 2
2.
x x

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
3 6( 1) 9.
′
= − + +
y x m x

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
1 2
; 0
′
⇔ ∆ >
x x

( )
2
1 3
( 1) 3 0 *
1 3

> − +
⇔ + − > ⇔

< − −


m
m
m


Theo
đị
nh lý Vi-et ta có
1 2
1 2
2( 1)
3
+ = +


=

x x m
x x

Khi
đ
ó:
( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
x x x x x x m m m
Đố
i chi
ế
u v

ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3 1 3
1 3 1

− ≤ < − −

− + < ≤


m
m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= + − + − + +
3 2
(1 2 ) (2
.

) 2
y x m x m x m

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

− >
1 2
1
.
3
x x

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
3 (1 2
.
)2 2= − +
′
+
−
x m x m
y


Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2

( )
2 2
5
(1 2 ) 3(2 ) 4 5 0
*
4

1

>

′
⇔ ∆ = − − − = − − > ⇔

< −

m
m m m m
m


Theo
đị
nh lý Vi-et ta có
1 2
1 2
(1 2 )
3
2
2
.
3
−

+ = −




−

=


m
x x
m
x x

Khi
đ
ó
( ) ( )
2 2
2
1 21 2 2 1 21
1
4 4(1 2 ) 4(2 1
1
9
3
)
⇔−
= + − > ⇔ − − − >
> − x x x x mx mx x x
2
3 29
8

16 12 5 0
3 29
8

+
>


⇔ − − > ⇔

−
<


m
m m
m

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3 29
8
1

+
>


< −



m
m
là các giá trị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − − + − +
3 2
1 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y x m x m x

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti

ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

+ =
1 2
2 1.
x x

Hướng dẫn giải:
Ta có
2
2( 1) 3( 2).
′
= − − + −
y x m x m

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2

khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

2
5 7 0,
′
⇔ ∆ = − + > ∀
m m m


Khi
đ
ó ta có
( )( )
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 2
2( 1) 1 2 2( 1) 3 2
3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3
2 1 2 1
3( 2) 3 2 4 3 3 6

+ = − − + = − = −
 
  
= − ⇔ = − ⇔ = − − = −
  

  
+ = + =
= −
⇒
− − = −
 

x x m x x m x m
x x m x x m x m m
x x x x
x x m m m m

2
4 34
8 16 9 0 .
4
− ±
⇔ + − = ⇔ =m m m V
ậ
y
4 34
4
− ±
=m là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví d
ụ

5: Cho hàm s
ố

= + + + +
3 2
(1– 2 ) (2 – ) 2.
y x m x m x m

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hoành
độ

đ

i
ể
m c
ự
c ti
ể
u nh
ỏ
h
ơ
n 1.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
3 2(1 2 ) 2 ( ).
′
= + − + − =
y x m x m g x

Do h
ệ
s
ố
a = 3 > 0 nên yêu c

ầ
u bài toán tr
ở
thành y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
2
1 2
4 5 0
5 7
1 (1) 5 7 0
4 5
2 1
1
2 3

′
∆ = − − >



< < ⇔ = − + > ⇔ < <

−

= <


m m
x x g m m
S m

Ví dụ 6: Cho hàm số
= +
3 2
4 – 3 .
y x mx x

Tìm
m

để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ

i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
x
1
; x
2

th
ỏ
a mãn

= −
1 2
4 .
x x

Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
12 2 3 36 0.
′ ′
= + − ⇒ ∆ = + >
y x mx m
Khi
đ

ó
1 2
1 2
1 2
4
9
.
6 2
1
4


= −


+ = − → = ±



= −


x x
m
x x m
x x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm số

3 2
( 2) ( 1) 2.
= + + − − +
y x m x m x

a)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
10.
+ <x x

d)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.
Bài 2:
Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 3
2 3 3 6 5 1 4 1.

= − + + + − −
y x m x m x m

a)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b)
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài 3:
Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
= + − + − + +
y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ
điểm cực tiểu nhỏ hơn 2.
Bài 4:
Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2
1 4 3 2.
3
= + + + + + + +
y x m x m m x m
Gọi x
1

, x
2
là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm
số.
a)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
b)
Tìm m sao cho biểu thức
(
)
1 2 1 2
2= − +
P x x x x

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 5:
Cho hàm s
ố

3 2
1
( 6) 1.
3

= + + + −
y x mx m x
Tìm giá trị của m để
a)
hàm số có cực trị.
b)
hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn
1 1
1 2
1 1
.
3
+
+ =
x x
x x

c)
hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d)
hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Tính ch
ấ
t 4: Các c
ự
c tr

ị
n
ằ
m cùng phía, khác phía v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị
với y
CĐ
.y
CT
< 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với
y
CĐ
.y
CT
> 0.
Ví d
ụ
1: Cho hàm s

ố

= + + +
3 2
3 – 2
y x x mx m
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c

ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 6
′
= + +
y x x m
, hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Tức là
9 3 0 3.
′
∆ = − > ⇔ <
m m
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:

LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox:
( )
3 2
2
1
3 – 2 0
( ) 2 2 0, 1
= −

+ + + = ⇔

= + + − =

x
x x mx m
g x x x m

Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
Ta có điều kiện
3 0
3
( 1) 3 0

′
∆ = − >
⇔ <


− = − ≠

m
m
g m

Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + − − + −
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
y x m x m m x
, v
ớ
i
m
là tham s
ố
.
Tìm
m để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự

c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c tung.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
3 2(2 1) ( 3 2)
′
= − + + − − +
y x m x m m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
(
)
2
2
0 2 1 3 3 2 0
′
⇔ ∆ > ⇔ + − − + >
m m m

2
13 3 21

2
13 5 0
13 3 21
2

− +
>


⇔ + − > ⇔

− −
<


m
m m
m

Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
(
)
2
3 3 2 0 1 2.
− + < ⇔ < <
m m m
K
ế
t h
ợ

p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c 1 < m < 2 th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

= − + − −
3 2
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
, v
ớ
i
m
là tham s
ố

.
Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v

ề
cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
2 2 1
′
= − + −
y x mx m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự

c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2
0 2 1 0 1
′
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠
m m m
Hàm s
ố
có các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề

cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m
cùng d
ấ
u
1
0 2 1 0 .
2
⇔ > ⇔ − > ⇔ >
ac m m
Kết hợp điều kiện ta được
1
1
2
< ≠
m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính ch
ấ
t 5: Các bài toán c
ự
c tr

ị
khi
y′
′′
′
= 0 gi
ả
i
đượ
c nghi
ệ
m ‘
đẹ
p’
Khi phương trình y′ = 0 có
( )
2
ax b
∆ = +
thì điều kiện để hàm số có cực trị là
( )
2
0 0 .
b
ax b x
a
∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ −

Khi đó,
1

2
0
x x
y
x x
=

′
= ⇒

=

và s
ử
d
ụ
ng yêu c
ầ
u c
ủ
a
đề
bài
để
gi
ả
i ra tham s
ố
.
Ví d

ụ
1: Cho hàm s
ố

= − + − − +
3 2 2 3
3 3( 1) .
y x mx m x m m

Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
. Khi
đ
ó, tìm
m

để
kho

ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i
đế
n g
ố
c t
ọ
a
độ
b
ằ
ng
2
l
ần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi

ả
i :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3( 1) 0 2 1 0
′ ′
= − + − ⇒ = ⇔ − + − =
y x mx m y x mx m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀
m

Khi

đ
ó
(
)
( )
1 1;2 2
0
1 1; 2 2

= − ⇒ − −
′
= ⇔

= + ⇒ + − −


x m A m m
y
x m B m m

Do h
ệ
s
ố
a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là
đ
i
ể
m c
ự

c
đạ
i và B là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
Theo bài ta có
2
3 2 2
2 6 1 0
3 2 2

= − +
= ⇔ + + = ⇔

= − −


m
OA OB m m
m

V
ậ
y
3 2 2
= − ±m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Ví dụ 2: Cho hàm số
(
)
−
= − + − + −
2
3
3 1
1
(3 2) 1.
3 2
m x
y x m x m

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
+ >
3 3
1 2
28
x x

d) hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể

m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
+ =
2 2
1 2
2 12
x x

Hướng dẫn giải :
Ta có
(
)
(
)
2 2
3 1 3 2 0 3 1 3 2 0.
y x m x m y x m x m
′ ′
= − − + − ⇒ = ⇔ − − + − =

a) Hàm s
ố
có c

ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
( ) ( )
2
2
0 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1
m m m m m
∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠

b)
V

ớ
i
(
)
( )
3 1 3 1
1
2
1 0
3 1 3 1
3 1
2
m m
x
m y
m m
x m

− − −
= =


′
≠ ⇒ = ⇔
 − + −
= = −



Hoành

độ
các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ớ
n h
ơ
n 2 khi
3 1 2 1.
m m
− > ⇔ >

V
ậ
y v
ớ
i m > 1 thì hàm s
ố

đ

ã cho có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và hoành
độ
c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ớ
n h
ơ
n 2.
c) Ta có
( )
3
3 3
1 2
4
28 1 3 1 28 3 1 3 .

3
x x m m m
+ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ >

d) Do vai trò bình
đẳ
ng c
ủ
a x
1
; x
2
nên ta có hai tr
ườ
ng h
ợ
p x
ả
y ra

V
ớ
i
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 10
1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10
3

x x m x x m m m
±
= = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → =
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
ta
đượ
c
1 10
.
3
m

±
=

V
ớ
i
( )
2
2 2
1 2 1 2
22 2 22
3 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1
2 6
x m x x x m m m
±
= − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → =
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ

n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
ta
đượ
c
2 22
.
6
m
±
=
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

+=
+
3 2
3y x x
m

Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m A, B sao cho

.
=
0
120
AOB
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :

Ta có
2
0
3 6 0
2 4
= ⇒ =

′ ′
= + ⇒ = ⇔

= − ⇒ = +

x y m
y x x y
x y m

V
ậ
y hàm s
ố
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).
Ta có

(0; ), ( 2; 4).
= = − +
OA m OB m
 

Để

 
0
1
120 cos
2
= ⇒ = −
AOB AOB
( )
( )
2 2
2
2 2
4 0
( 4) 1
4 ( 4) 2 ( 4)
3 24 44 0
2
4 ( 4)
4 0
12 2 3 2
4
12 2 3
3

3
3
− < <
+

⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔

+ + =

+ +
− < <

− +

⇔ ⇔ = = − +
− ±

=


m
m m
m m m m
m m
m m
m
m
m

V

ậ
y
2
4
3
= − +m là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − + − −
3 2
3 3 1
y x mx m

Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự

c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua (d): x + 8y
−
−−
−
74 = 0.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
0
3 6 3 2 0
2
=


′ ′
= − + = − − ⇒ = ⇔

=

x
y x mx x x m y
x m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇒
m ≠ 0
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là

3 3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )
− − − − ⇒
A m B m m m AB m m


Trung
đ
i
ể
m
I
c
ủ
a
AB
có to
ạ

độ

3
( ;2 3 1)
− −
I m m m
Đườ
ng th
ẳ
ng d:
(

)
: 8 74 0
+ − =
d x y có m
ộ
t véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng
(8; 1)
= −

u
.
A và B
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i nhau qua d
⇔

( )
3
8(2 3 1) 74 0
2

. 0

+ − − − =
∈


⇔ ⇔ ⇔ =
 
⊥
=



 
m m m
I d
d m
AB d
AB u

V
ậ
y m = 2 là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số
( )
= − + − +

3 2
3
3 1 1
2
m
y x x m x
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
c) hàm số đạt cực đại tại x = 0.
d) hàm số không có cực đại, cực tiểu.
e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
( ) ( )
( )
3 2 2 2
3
3 1 1 3 3 3 1 3 1
2
m
y x x m x y x mx m x mx m
′

= − + − + ⇒ = − + − = − + −

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện
( )
2
0 2 0 2.
m m
∆ > ⇔ − > ⇔ ≠

V
ậ
y v
ớ
i m ≠ 2 thì hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 2 khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m
(2) 0
, ( )
(2) 0
′
=


′′
>

y
I
y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó
4 2 1 0 3
( ) 3
12 3 0 4
m m m
I m
m m
− + − = =
 
⇔ ⇔ ⇒ =
 
− > <
 

Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm
(0) 0
, ( )
(0) 0
′
=


′′
>

y
I
y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ
1 0 1
( ) 1
3 0 0
m m
I m
m m
− = =
 
⇔ ⇔ ⇒ =
 
− < >
 

Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)
2
≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2.
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị.
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x
2
– mx + m – 1 = 0
( )
1
1
2
2
2

2
3 2
2
1
2
2
2
2
3 5 4
1
2
2
m
m m
y
x m
m
m m
m m
x
y
−

+ −

=
= = −




∆ = − ⇒ ⇒

− +
− +


= =
=





G
ọ
i A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
) là các
đ
i
ể
m c
ự
c

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó
2
3 8 6
2 ;
2
m m
AB m
 
− +
= −
 
 


Đườ
ng th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m c
ự

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u song song v
ớ
i d : y = 9x + 1 khi
( )
2
2 2
3 8 6
2
2
/ / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0
9 1
d o
m m
m
AB u m m m m m vn
− +
−
⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = →
−
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm s

ố

(
)
2
3
2 1
1
2(2 1) 3.
3 2
m x
y x m x
−
= − − + +

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm.
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2
thỏa mãn
4 4
1 2
17
x x

+ >

d)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn

2 2
1 2
2 12
x x
+ =

Bài 2:
Cho hàm s
ố

(
)
2
3 2
3 1
1
(2 ) 2.
3 2
m x
y x m m x
+
= − − + −

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x
1
; x
2

thỏa mãn
2 2
1 2
40
x x
− =

d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy.
Bài 3: Cho hàm số
3
3 2
= − +
y x mx

a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất.
Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình
Lấy y chia cho y′ ta được
. ( ) ,
′
= + +
y y g x ax b
khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của
chúng. Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì
(
)
(

)
1 1 2 2
; , ;
+ +
M x ax b N x ax b
, trong đó x
1
; x
2
là hai
nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )= − + + − + −
3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti

ể
u. Khi
đ
ó, hãy vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m
đ
ó.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3(1 ) 0 2 1 0
′ ′
= − + + − ⇒ = ⇔ − + − =
y x mx m y x mx m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀

m

Vậ
y hàm s
ố
luôn có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m.
Chia y cho y′ ta
đượ
c
2
1
2
3 3
 

′
= − + − +
 
 
m
y x y x m m

G
ọ
i
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
, khi
đ
ó
( )
( )

1
2
2
1 1 1
2
2 2 2
1
2
3 3
1
2
3 3

 
′
= − + − +
 


 

 

′
= − + − +
 

 

x

x
m
y x y x m m
m
y x y x m m

Do
( ) ( )
( )
1 2
2
2
1 1
2
2 2
2
0 , : 2
2

= − +
′ ′
= = ⇒ ⇔ ∈ = − +

= − +

x x
y x m m
y y A B d y x m m
y x m m

V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho là
2
2
= − +

y x m m
.
Ví d
ụ
2: Cho hàm s
ố

= − − +
3 2
3 2
y x x mx

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ

ng
đ
i qua các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
d
:
y
=
−
−−
−
4
x
+ 3.
H
ướ
ng d

ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2
3 6
′
= − −
y x x m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(
)
0 9 3 0 3, *
′

⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
G
ọ
i
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các
đ
i
ể

m c
ự
c tr
ị
, khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
 
∆ = − + + −
 
 
m m
y x
Theo bài ta có
2
2 4
3
3
2 3
3

/ / : 4 3

 
− + = −
 


 
⇔ ⇔ =
∆ = − +


− ≠

⇒

m
m
m
d y x
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= − − +
3 2
3 2
y x x mx

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này cách
đề
u
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
):
y
=
x

−
−−
−
1.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − −
y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −
m m
Chia y cho y
′
ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′

= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
Gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
 
= − + + −
 
 
m m
AB y x
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1:
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d)

2 3
2 1 ,
3 2
 
− + = ⇔ = −
 
 
⇔
m
m (thỏa mãn)

TH2:
Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng
( )
1 2 1 2
1 1
2 2
+ +
⇔ = − ⇔ = −
I I
y y x x
d y x
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .2 6 0
3 3 3 3
     
− + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =
     

    
⇔

m m m m
x x x x m
Vậy
3
0;
2
= = −
m m là các giá trị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − +
3 2
3
y x x mx

Tìm
m

để
hàm s
ố
có c
ự
c

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua (
d
):
x

−
−−
−
2
y

−
−−
−
5 = 0.
Hướng dẫn giải :
Ta có

2
3 6
′
= − +
y x x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2 1
2
3 3 3 3
   
′
= − + − +
   
   
y x y m x m

Gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;

A x y B x y
là các điểm cực trị, khi đó
( )
2 1 2
2 2
3
:
3 3
 
− + ⇒ = −
 

=

AB
m x m kA mB y
Ta có
( )
1
: 2 5 0
2
− − = ⇒ =
d
d x y k
A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có
( ) ( )
1 2
. 1 2 1 0
2 3
 

⊥ ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ =
 
 
AB d
AB d k k m m
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2
= − + + + −
y x m x x m
Tìm m
để
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ
i

ể
m c
ự
c ti
ể
u
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
1
: .
2
=
d y x

Đ
/s:
m
= 1
Bài 2:
Cho hàm s
ố

3 2
3 2
= − − +
y x x mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng qua các

đ
i
ể
m
đ
ó t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
: 4 5 0
+ − =
d x y m
ộ
t góc 45
0
.
Đ
/s:
.
= −
1
2
m

Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2 2
3
= − + +
y x x m x m

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
= −
d y x

Đ/s : m = 0
Bài 4: Cho hàm số
3 2 3
3 4
= − +
y x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Đ/s :
2

.
2
= ±m

Bài 5: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2
= − + + + −
y x m x x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1
:
2
=
d y x

Đ/s : m = 1
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3= − +
y x x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
: 2 5 0
− − =
d x y

Đ/s : m = 0
Bài 7: Cho hàm số

3 2
7 3
= + + +
y x mx x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
:3 7 0.
− − =
d x y

Đ/s :
3 10
.
2
= ±m

Bài 8: Cho hàm số
3 2 2 2
3( 1) (2 3 2)
= − − + − + − +
y x m x m m x m m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
: 4 20 0
+ − =
d x y
góc 45
0
.
Đ/s :

3 15
.
2
±
=m

Bài 9: Cho hàm số
3 2
3 2
= − +
y x x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn
2 2
( ) : ( ) ( 1) 5
− + − − =
C x m y m
.
Đ/s :
4
2; .
5
= = −
m m

MỘT SỐ BÀI GIẢI MẪU VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CHỌN LỌC
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)

3 3
= − − + − +
y x m x m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2
2 1.
+ =
x x

Giải :
TXĐ :
D
=
R

Ta có
(
)
(
)
2
' 2 1 3 2
y x m x m
= − − + −

Để hàm số có cực đại cực tiểu tại x
1
; x
2
thì phương trình
' 0
y
=
có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
hay
( ) ( )
2
2
' 1 3 2 5 7 0
m m m m
∆ = − − − = − + >
luôn đúng với mọi m
Theo định lí Viète ta có:
(
)
( )
1 2
1 2
2 1
3 2
x x m
x x m

+ = −



= −



Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Như vậy ta có hệ:
(
)
(
)
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
2 1 1
3 2 2
2 1 3
x x m
x x m
x x
+ = −

= −



+ =


Từ
(
)
(
)
1 3
và
ta dễ dàng giải được
2
1
3 2
4 5
x m
x m
= −


= −


Thay vào
(
)
2
ta có:

( )( ) ( )
(
)
1
4 5 3 2 3 2 19 73
16
m m m m− − = − ⇔ = ±

Vậy
(
)
1
19 73
16
m = ±
là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 2
3
= + − + − +
m
y x m x m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2

1.
< <
x x

Giải :
TXĐ :
D
=
R

Ta có
(
)
2
' 2 2 1
y mx m x m
= + − + −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thì phương trình
(
)
(
)
2
' 2 2 1 0 *
y mx m x m= + − + − =
có hai nghiệm phân
biệt x
1
; x

2
sao cho
1 2
1.
< <
x x

Đặt
1
t x
= −
ta có
(
)
*
trở thành
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
1 2 2 1 1 0 4 1 4 5 0 **
m t m t m mt m t m+ + − + + − = ⇔ + − + − =

(
)
*
có 2 nghiệm
1 2
1
x x
< <

thì PT
(
)
**
có hai nghiệm
1 2
0
t t
< <
hay
( )
5
4 5 0 0
4
m m m
− < ⇔ < <

Vậy
5
0
4
m
< <
là giá trị cần tìm.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
1
3 4
3
= − − +

y x mx mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m
m
m x mx m

Giải :
TXĐ :
D
=
R

Ta có
2
' 2 3

y x mx m
= − −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thì PT
2
' 2 3 0
y x mx m
= − − =
có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2

Hay
(
)
(
)
2
' 3 0 ; 3 0;m m m
∆ = + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

Theo định lí Viète ta có:
1 2
1 2
2

3
x x m
x x m
+ =


= −

thay vào
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m
m
m x mx m
ta có :
(
)
( )
2
2
1 1 2 2
2 2

2 1 2 1
9
2
9
x x x x m
m
m x x x x m
+ + +
+ =
+ + +

( )
( )
2
2
2
1 2 1 2 2
2
2
9
1 2 3 9 4
x x x x x m
m m m m m
m
+ − + +
⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = −
( vì
0
m
≠

)
Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

Bài 4: Cho hàm số
3 2 2
1 1
( 3)
3 2
= − + −
y x mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
dương sao cho
2 2
1 2
5
.
2
+ =
x x

Giải :
TXĐ :
D
=

R

Ta có
2 2
' 3
y x mx m
= − + −

Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
dương thì PT
2 2
' 3 0
y x mx m
= − + − =
có 2 nghiệm dương phân biệt
x
1
; x
2

(
)
2 2
1 2
2
1 2
4 3 0

0 3 2
3 0
m m
x x m m
x x m

∆ = − − >


⇔ + = > ⇔ < <


= − >



Ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 7
2 2 3
2 2
x x x x x x m m m+ = + − = − − = ⇔ = ±

Kết hợp ĐK ta có
7
2

m =
là giá trị cần tìm.
Bài 5: Cho hàm số
3
3 2
= − +
y x mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng
3 2
, với C(1 ; 1).
Ta có :
2 2
' 3 3 0
y x m x m
= − = ⇔ =
. Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B
0(*)
m
⇔ >

Khi đó :
2 2 ( ; 2 2)
2 2 ( ;2 2)
x m y m m A m m m
x m y m m B m m m

= ⇒ = − + ⇒ − +

= − ⇒ = + ⇒ − +




Từ đo ta có pt đường thẳng qua A,B là:
2 2 0
mx y
+ − =

Theo bài ra ta có
3
2
2 1
1 1
. ( ; ) 4 16 . 3 2
2 2
4 1
ABC
m
S AB d C AB m m
m
−
= = + =
+

2
1
4 . 2 1 3 2 (2 1) 18 2( *)
2
m m m m m tm
⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
3( 1) 12 3 4
= − + + − +
y x m x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với
9
1; .
2
 
− −
 
 
C

Ta có :
2 2 2
' 3 6( 1) 12 0 2( 1) 4 0 2 2 4 0
y x m x m x m x m x mx x m
= − + + = ⇔ − + + = ⇔ − − + =

2
( 2 ) 2( 2 ) 0 ( 2)( 2 ) 0
2
x
x x m x m x x m
x m

=

⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔

=


Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B
1(*)
m
⇔ ≠
khi đó:
Ta có:
3 2 3 2
2 9 (2;9 )
2 4 12 3 4 (2 ; 4 12 3 4)
x y m A m
x m y m m m B m m m m
= ⇒ = ⇒


= ⇒ = − + − + ⇒ − + − +


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Vì tam giác ABC nhận O làm trọng tâm nên
3 2
2 2 1 0

1
( *)
9
2
9 4 12 3 4 0
2
+ − =


⇔ = −

− + − + − =


m
m tm
m m m m

Vậy
1
2
= −
m
là giá trị cần tìm
Bài 7: Cho hàm số
3 2 3
2 3( 1) 6
= − + + +
y x m x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho
2.
=AB

Ta có :
2
1
' 6 6( 1) 6 0 ( 1)( ) 0
x
y x m m x x m
x m
=

= − + + = ⇔ − − = ⇔

=


Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B
1(*)
m
⇔ ≠
khi đó:
Ta có:
3 3
3
2 2
1 3 1 (1; 3 1)
(1 ;( 1) )
3 ( ;3 )

x y m m A m m
AB m m
x m y m B m m

= ⇒ = + − ⇒ + −

⇒ = − −

= ⇒ = ⇒




2 6 2
0
2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ( *)
2
m
AB m m m tm
m
=

= ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔

=


Vậy m = 0 ; m = 2. là giá trị cần tìm
Bài 8: Cho hàm số
3 2 2 3

3 3( 1) 4 1
= − + − − + −
y x mx m x m m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
Ta có :
2 2 2 2
1 1
' 3 6 3( 1) 0 2 1
1 1
x m x m
y x mx m x mx m
x m x m
− = = +
 
= − + − = ⇔ − + = ⇔ ⇔
 
− = − = − +
 

Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại A, B :
Ta có:
3
3
1 ( ) 3 4 1 3 (1 ; 3)
1 ( ) 3 4 1 1 ( 1 ;1 )
x m y x m x m m A m m
x m y x m x m m B m m

= + ⇒ = − − + − = − ⇒ + −


= − + ⇒ = − − + − = + ⇒ − + +



Vì tam giác OAB vuông tại O nên ta có :
2
1
. 0 (1 )( 1 ) ( 3)( 1) 0 2 2 4 0
2
m
OAOB m m m m m m
m
= −

= ⇔ + − + + − + = ⇔ − − = ⇔

=

 

Vậy
1; 2.
= − =
m m

Bài 9: Cho hàm số
3 2 3 2
3( 1) 3 ( 2) 2
= + + + + + +

y x m x m m x m m

Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.
Ta có :
3 2 3 2 3
2
3 2 3 2 3
( ) 3( )
' 3 6( 1) 3 ( 2) 0
2 ( ) 3( ) 4
x m y x m x m m m m m
y x m x m m
x m y x m x m m m m m

= − ⇒ = + + + + − = −
= + + + + = ⇔

= − − ⇒ = + + + + − = − +



(ở đây
' 0
y
=
luôn có 2 nghiệm phân biệt)
Khoảng cách giữa các điểm cực trị là
4 16 2 5
AB = + =

Đ/s :
2 5.
=AB

Bài 10: Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
= − + − +
y x mx m x

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
+ y
CT
> 2.
2 2 2
1
' 2 1 0 ( ) 1
1
x m
y x mx m x m
x m
= +

= − + − = ⇔ − = ⇔


= − +


Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại A, B
Ta có:
3 3
3
3 3
3
1 1
1 ( ) 1
3 3 3
1 5
1 ( ) 1
3 3 3
m m
x m y x m x m
m m
x m y x m x m

+
= + ⇒ = − + − + = −


 +
= − + ⇒ = − + − + = −



Ta có: y
CĐ
+ y
CT
> 2
3
3
3
2
2 2 2 2 6 0
3
3 0
m
m
m m m
m

>
⇔ − + > ⇔ − > ⇔

− < <



Kết luận:
3
3 0
m
m


>

− < <


là giá trị cần tìm
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số sau :
a)
3 2
( 1) 2
= + + + −
y x m x x m

b)
3 2 2 3 2
3 3(1 )
= − + + − + −
y x mx m x m m
.
a, Ta có :
2
' 3 2( 1) 2
y x m x
= + + +
.Để hàm số có 2 cức trị
' 0
y
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt.
2

1 6
( 1) 6 0
1 6
m
m
m

> − +
⇔ + − > ⇔

< − −


(*).
Khi đó gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
A x y B x y
là tọa độ 2 điểm cực trị.
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2
1 1 10 2 4 11 2
'
3 9 9 9
m m m m
y x y x
+ − − +
 
= + + −
 

 

Ta có:
2 2
1 1 1 1 1
1 1 10 2 4 11 2 10 2 4 11 2
'( )
3 9 9 9 9 9
m m m m m m m
y x y x x x
+ − − + − − +
 
= + + − = −
 
 


2 2
2 2 2 2 2
1 1 10 2 4 11 2 10 2 4 11 2
'( )
3 9 9 9 9 9
m m m m m m m
y x y x x x
+ − − + − − +
 
= + + − = −
 
 

Vậy với đk (*) đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số là :
2
10 2 4 11 2
9 9
m m m
y x
− − +
= −

b, Tương tự câu a ta có:
2
2
y x m m
= + −
với
m R
∈


Bài 12: Cho hàm số
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
= − + + − − + −
y x m x m m x

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.

Ta có :
2 2

' 3 2(2 1) 3 2
y x m x m m
= − + + − + −
. Để hàm số có 2 cức trị
' 0
y
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt.
2 2 2
'
5 30
' 0 (2 1) 3( 3 2) 0 10 5 0 (*)
5 30
y
m
m m m m m
m

> − +
⇔ ∆ > ⇔ + + − + − > ⇔ + − > ⇔

< − −



Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
A x y B x y
. Theo định ly Viet:

1 2
2
1 2
2(2 1)
3
3 2
3
m
x x
m m
x x
+

+ =



− +

=



Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook:
LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện DH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Theo đk A, B nằm khác phía với Oy
2
1 2
3 2

0 1 2
3
m m
x x m
− +
⇔ = < ⇔ < <

Kết hợp (*) kết luận:
1 2
m
< <


Bài 13: Cho hàm số
3 2 2
3
= − + +
y x x m x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
= −
d y x

Ta có
2 2
' 3 6
y x x m

= − +
. Để hàm số có 2 cức trị
' 0
y
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt
2
'
' 0 9 3 0 3 3
y
m m∆ > ⇔ − > ⇔ − < <
(*) .
Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
A x y B x y
.
+ Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2 2
1 1 2 3
' 2
3 3 3 3
m m m
y x y x
 
+
 
= − + − +
 
 

 
 

+ Từ đó ta có pt đương thẳng qua các điểm cực trị là:
2 2
2 3
2
3 3
m m m
y x
 
+
= − +
 
 
.
Vì A, B đối xứng nhau qua
1 5
:
2 2
= −
d y x
nên :
. 1
d AB
I d
k k
∈




= −


 
( với I là trung điểm của AB)
Giải
2
1 2
. 1 2 1 0
2 3
d AB
m
k k m
 
= − ⇔ − = − ⇔ =
 
 
 
( thõa mãn (*))
Với
0
m
=
ta có
(0;0), (2; 4) (1; 2)
A B I d
−
⇒
− ∈

Vậy
0
m
=
là giá trị cần tìm
(chú ý: ở đây các e có thể giải cả 2 đk
. 1
∈



= −


 
d AB
I d
k k

để
ng
ắ
n g
ọ
n ta nên gi
ả
i 1
đ
k là

. 1
= −
 
d AB
k k và thử lại đk
kia)
Bài 14: Cho hàm số
3 2 3
3 4
= − +
y x mx m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Ta có :
2
0
' 3 6 0
2
=

= − = ⇔

=

x
y x mx
x m
. Để hàm số có cực đại cực tiểu tại A,B
0
m

⇔ ≠

Khi đó gọi
2
3
3
(1; 2 )
(0;4 ), (2 ;0)
( ;2 )

= −

⇒




AB
u m
A m B m
I m m
( v
ớ
i I là trung
đ
i
ể
m AB)
Vì A,B
đố

i x
ứ
ng nhau qua
:
d y x
=
nên :
2
2
2
1
. 1 2
2 1 0

∈

=
 
⇔ ⇔ = ±
 
= −
− =




 
d AB
I d
m m

m
u u
m

Bài 15:
Cho hàm s
ố

3 2
3( 1) 9 2
= − + + + −
y x m x x m

Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này

đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
1
:
2
=
d y x

Đ
/s : m = 1
Bài 16:
Cho hàm s
ố

3 2
3= − +
y x x mx