Bài giảng: Cực trị của hàm số (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§2 Cực trị của hàm số

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
2


gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhn
c gii ỏp.

Đ2

cực trị của hàm số

bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D (D Ă ) và x0 D.
a. x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)
chứa ®iĨm x0 sao cho (a; b) ∈ D vµ:
f(x) < f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0}.
Khi ®ã f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).
b. x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;
b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) D và:
f(x) > f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0}.
Khi ®ã f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu đợc gọi chung là cực trị.
2. điều kiện cần để hàm số có cực trị
Xét hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và x0 (a, b).
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm
tại điểm x0 thì f '(x0) = 0.
3. điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo
hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi ®ã:
a. NÕu f '(x) < 0 víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) > 0 víi mäi x (x0; b) thì hàm số
f(x) đạt cực tiểu tại ®iĨm x0.
b. NÕu f '(x) > 0 víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) < 0 víi mäi x (x0; b) thì hàm số
f(x) đạt cực đại tại điểm x0.
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một điểm cực
trị.
Ta tóm tắt định lí 2 trong các bảng biến thiên sau:
x
a

x0
b

+
y'
0
+

CT
y
f(x0)

x



a

x0

b

+
3


y'
y

4

+

0
f(x0)
C§

−


Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
Quy tắc 1: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Tính f(x).
Bớc 2:
Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ...) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
hàm số liên tục nhng không có đạo hàm.
Bớc 3:
XÐt dÊu f'(x). NÕu f'(x) ®ỉi dÊu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực
trị tại xi.
Thí dụ 1:



Tìm cực trị của hàm số y = x +

1
.
x

Giải
Miền xác định D = Ă \{0}.
Đạo hàm:
1
1
y' = 1 2 , y' = 0 ⇔ 1 − 2 = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1.
x
x
Giíi h¹n:
lim
lim
lim
lim
x →−∞ y = x → 0 y = −∞ ,
x →+∞ y = x → 0 y = +.
Bảng biến thiên:
x
0
1
1
+
y'
+
0
0
+


CĐ
2

+
+
y
CT
2



+

Kết luận:
Hàm số có điểm cực đại là (1; 2).
Hàm số có điểm cực tiĨu lµ (1; 2).


NhËn xÐt: Nh vËy, qua thÝ dơ trên các em học sinh có thể thấy sự khác biệt về giá
trị cực đại, cực tiểu với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Hoạt động

Thí dụ 2:



Tìm cực trị của hàm số y =

1 3
x + 2x2 + 3x 1.
3

Tìm cực trị của hàm số y = |x|(x + 2).

Giải
Viết lại hàm số dới dạng:
x(x + 2) víi x ≤ 0
 −2x − 2 víi x < 0
y= 
⇒ y' = 
.
 x(x + 2) víi x > 0
 2x + 2 víi x > 0
Miền xác định D = Ă .
5


Giới hạn xlim y = xlim y = +.

+
Bảng biến thiên:
x
y'
+

1
0
CĐ
1



0

0
CT
0

+
+


y
Kết luận:
Hàm số có điểm cực đại là (1; 1).
Hàm số có điểm cực tiểu là (0; 0).

+


Nhận xét: Nh vậy, cho dù hàm số không có đạo hàm tại x 0 = 0 nhng nó vẫn
đạt cực tiểu tại đó.
Và, để tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Tìm miền xác định của hàm số.
Bớc 2: Biến đổi hàm số về dạng:
f1 (x) víi x ∈ D1

y = ...
.
f (x) víi x ∈ D
k
k

Bớc 3:

Đạo hàm:
f '1 (x) với x D1 \ {x | f1 (x) = 0}

y’ = ...
,
f ' (x) víi x ∈ D \ {x | f (x) = 0}
k
k
k

Bớc 4:
Hoạt động

y = 0 nghiệm (nếu có).
Bảng biến thiên, từ đó đa ra lời kết luận.
Tìm cực trị của hàm số y = xx 1.

Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm
x0, f '(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a. Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
b. Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
Quy tắc 2: Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1:
Tính f(x).
Bớc 2:
Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ...) của phơng trình f'(x) = 0.
Bớc 3:
Với mỗi i ta tÝnh f"(xi), khi dã:

 NÕu f''(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
Nếu f''(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
Thí dụ 3:

6

Tìm cực trị của hàm số y = x − sin2x + 2.




Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 1 − 2cos2x,
y' = 0 ⇔ 1 − 2cos2x = 0 ⇔ cos2x =

1
π
⇔ x = ± + kπ , k∈ ¢ .
2
6

y'' = 4sin2x.
Ta cã:
π
 Víi x = − + k ta nhận đợc:
6

y'' + k ÷ = 4sin  − + 2kπ ÷ = − 2 3 < 0
6
3





hàm số đạt cực đại tại các điểm x = + k , k  .
6

Với x = + k ta nhận đợc:
6




y'' + kπ ÷ = 4sin  + 2kπ ÷ = 2 3 > 0
6

3


hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = + k , k  .
6


Nhận xÐt: Nh vËy, bëi viƯc xÐt dÊu cđa y' gỈp khó khăn nên việc lựa chọn quy

tắc 2 để tìm cực trị của hàm số đà đợc lựa chọn. Quy tắc này còn tỏ ra rất hiệu
quả với các bài toán chứa tham số.
Hoạt động

Tìm cực trị của hàm số y = 3 2cosx cos2x.

Tìm các hệ số a, b, c, d cđa hµm sè:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iĨm x =
1, f(1) = 1.
ThÝ dụ 4:



Giải
Đạo hàm:
f'(x) = 3ax2 + 2bx + c, f"(x) = 6ax + 2b.
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực ®¹i t¹i ®iĨm x = 1,
f(1) = 1 ®iỊu kiƯn lµ:

7


d = 0
a + b + c + d = 1
 f(0) = 0 vµ f(1)=1



⇔

 f '(0) = 0 vµ f'(1)=0 ⇔  c = 0
3a + 2b + c = 0
 f "(0) > 0 vµ f"(1)<0


2b > 0 vµ 6a+2b<0


a = −2

.
b = 3
c = d = 0


VËy, víi a = −2, b = 3 vµ c = d = 0 thỏa mÃn điều kiện đầu bài.
Hoạt động
Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
f(x) = x3 + ax2 + bx + c
đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = 2 và đồ thị của hàm số đi
qua điểm A(1; 0).

bài tập lần 1
Bµi tËp 1: Cho hµm sè:

(C): y = −x3 + 3x2 1.
a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị cđa hµm sè.
b. Chøng tá r»ng víi mäi m∈[−2; 2] phơng trình:
x3 3x2 + m2 = 0.
luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

Bài tập 2: Cho hàm số:
(C): y = x4 2x2 + 1.
a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm thuộc khoảng (2; 2) của phơng
trình x4 − 2x2 + m = 0.
Bµi tËp 3: Cho hµm sè:
(C): y =

Bµi tËp 4:

Bµi tËp 5:
Bµi tËp 6:
Bµi tËp 7:

8

x 2 4x + 4
.
1 x

a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số.
b. Chứng tỏ rằng với mọi m < 0 phơng trình:
x2 (4 m)x + 4 − m = 0
lu«n cã hai nghiƯm dơng phân biệt.
Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hµm sè:
x 2 − 3x + 2
y= 2
.
2x + x 1
Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số:

y = |x|(x + 2).
Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số:
y = |x2 + 4x + 3|.
Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số:
y = x 4 − x2 .


Bài tập 8: Tìm cực trị của hàm số:

y = −2x + 3 x 2 + 1 .
Bµi tËp 9: Tìm cực trị của hàm số y = 8 x 2 .
Bài tập 10: Tìm cực trị của các hµm sè sau:
a. y = x − sin2x + 2.
b. y = 3 − 2cosx − cos2x.
Bµi tËp 11: Cho hàm số:
y = x3 + mx2 4.
Với mỗi giá trị của tham số m, tìm toạ độ của điểm cực đại và cực
tiểu của đồ thị hàm số.
Bài tập 12: Cho hµm sè:
y = msinx − x.
a. Víi m = 2, tìm cực trị của hàm số.
b. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài tập 13: Tìm các hệ số a, b, c, d cđa hµm sè:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại
tại điểm x = 1, f(1) = 1.
Bài tËp 14: Cho hµm sè:
y = x3 + 3mx2 + 3(m2 − 1)x + m3 − 3m.
Chøng minh r»ng víi mọi m hàm số đà cho luôn có cực đại và cực
tiểu, đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và

cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đờng thẳng cố định.
Bài tËp 15: Cho hµm sè y =

2 3
x + (cosa − 3sina)x2 − 8(cos2a + 1)x + 1.
3

a. Chøng minh rằng với mọi a hàm số đà cho luôn có cực đại và
cực tiểu.
b. Giả sử đạt cực đại và cùc tiĨu t¹i x1, x2 Chøng minh r»ng:
2
x1 + x 2 ≤ 18.
2
Bµi tËp 16: Cho hµm sè:
y = kx4 + (k 1)x2 + 1 2k.
Xác định các giá trị của tham số k để hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Bài tập 17: Cho hàm số:
y = x4 + 8mx3 + 3(1 + 2m)x2 − 4.
X¸c định m để:
a. Hàm số có cực đại, cực tiểu với tổng bình phơng các hoành độ
bằng 27.
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm.
c. Hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.
Bài tập 18: Xác định m để đồ thị hàm sè:
9


y=

1 4

9
x − x3 − x2 + mx + m
4
2

cã cực đại, cực tiểu với các hoành độ lập thành cấp số cộng.
Bài tập 19: Xác định m để đồ thị hàm số:
y=

1 4 2 3 1
x + x + (m + 1)x2 + 2(m + 1)x − m
4
3
2

cã cùc đại, cực tiểu với các hoành độ lập thành cấp số nhân.

Bài tập 20: Cho hàm số:

y=
Xác định m để:

x 2 + mx − 2
.
mx − 1

a. Hµm sè cã cực trị.
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mÃn x1 + x2 = 4x1x2.
c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dơng.

Bài tËp 21: Cho hµm sè:

y = x + |x2 − 2x + m|
Tìm m để hàm số có cực đại và giá trị cực đại yCĐ < 13.
Bài tập 22: Cho hµm sè:
y = mx 2 − 4x + 1 .
Xác định m để:
a. Hàm số không có cực trị.
b. Hàm số có cực đại.
Bài tập 23: Cho hàm số:
y = −2x + 2 + m x 2 − 4x + 5 .
Tìm m để hàm số có cực đại.
Bài tËp 24: Cho hµm sè:
y=

a sin x − cosx − 1
.
a cos x

Xác định a để hàm số đạt cực trị tại ba điểm phân biệt thuộc (0;
Bài tập 25: Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:

9
).
4

f(x) = x3 + ax2 + bx + c
đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm
A(1; 0).
Bài tập 26: Cho hàm số y = x3 3x2 + 2.

Xác định m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số ở hai
phía khác nhau của đờng tròn (trong và ngoài):
(C): x2 + y2 2mx 4my + 5m2 − 1 = 0.
Bµi tËp 27: Cho hµm sè:
y = x3 − 3mx2 + 4m3.
10


Xác định m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối
xứng nhau qua đờng thẳng y = x.
Bài tập 28: Cho hàm số y =

1 3
x − mx2 − x + m + 1.
3

Chøng minh rằng với mọi m hàm số đà cho luôn có cực đại và cực
tiểu. HÃy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và
cực tiểu lµ nhá nhÊt.
Bµi tËp 29: Cho hµm sè:
y = x4 2mx2 + 2m + m4.
Xác định m để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một
tam giác đều.
Bài tập 30: Cho hàm số:
y=

2x 2 + 3x + m − 2
.
x+2

Chøng tá r»ng nÕu hµm sè đạt cực đại tại x 1 và cực tiểu tại x 2 th× ta
cã |y(x1) − y(x2)| = 4|x1 − x2|.
Bµi tËp 31: Cho hµm sè y =

x 2 − (m + 1)x − m 2 + 4m − 2
.
x 1

a. Xác định m để hàm số có cực trị.
b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
mx 2 + (m 2 + 1)x + 4m 3 + m
Bµi tËp 32: Cho hàm số y =
.
x+m
Xác định m để hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ
(II), một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (IV).
x 2 + mx − m + 8
Bµi tËp 33: Cho hàm số y =
.
x 1
Xác định các giá trị của m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
hàm số ở về hai phía đờng thẳng 9x 7y − 1 = 0.
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Bài tập 34: Cho hàm số y =
.
x 1
Xác định các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu
và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục Ox.
Bài tập 35: Cho hàm số:
y = x3 3x2 9x.

Lập phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của
đồ thị hàm số.
Bài tập 36: Cho hàm số:
1
2
y = x3 − x + .
3
3
11


Lập phơng trình Parabol (P) đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng (d): y =
Bài tập 37: Cho hàm sè:

y=

4
.
3

1 4
x − x3 − 3x2 + 8x.
4

Chøng minh r»ng các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên một
Parabol xác định.
Bài tập 38: Cho hàm số:
y = f(x) =

− x 2 + mx − m 2
.
x−m

a. X¸c định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b. Với m vừa tìm đợc ở phần a, hÃy viết phơng trình đờng thẳng đi
qua điểm cực đại và cùc tiĨu cđa hµm sè.
Bµi tËp 39: Cho hµm sè:
x 2 2mx + m
y = f(x) =
.
x+m
Xác định m để đờng thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ
thị hàm số tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 1.
Bài tËp 40: Cho hµm sè:
x3 − 3x 2 + 3x + m
y = f(x) =
.
x
Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng
cả ba điểm cực trị đều nằm trên đờng cong y = 3(x − 1)2.
Bµi tËp 41: Cho hµm sè:
x2 − x + 9
y=
.
x 1
Lập phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị
hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng (d): 2x y 10 = 0.

12

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.500.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D (D Ă ) và x0 D.
a. x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một
khoảng (a; b) chøa ®iĨm x0 sao cho (a; b) ∈ D vµ:
f(x) < f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0}.
Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).
b. x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một
khoảng (a; b) chøa ®iĨm x0 sao cho (a; b) ∈ D vµ:
f(x) > f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0}.
Khi đó f(x0) đợc gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu đợc gọi chung là cực trị.
13

2. điều kiện cần để hàm số có cực trị
Xét hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và x0 (a, b).
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm
tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.
3. điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo
hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó:
a. Nếu f '(x) < 0 víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) > 0 với mọi x (x0; b) thì
hàm số f(x) ®¹t cùc tiĨu t¹i ®iĨm x0.
b. NÕu f '(x) > 0 víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) < 0 với mọi x (x0; b) thì
hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0.
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một điểm
cực trị.
Ta tóm tắt định lí 2 trong các bảng biến thiên sau:
x
a
x0
b

+



y'
y
x
y'

0

+

CT


a
+

x0
0
CĐ

b


+

y
Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
Quy tắc 1 : Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1: Tính f(x).
Bớc 2: Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ...) tại đó đạo hàm của
hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhng không có đạo
hàm.
Bớc 3: XÐt dÊu f'(x). NÕu f'(x) ®ỉi dÊu khi x qua điểm x i
thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm
x0, f '(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a. Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
b. Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.

Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
14


Quy tắc 2 : Để tìm cực trị của hàm sè y = f(x) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:

Bíc 1: Tính f(x).
Bớc 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ...) của phơng trình f'(x)
= 0.
Bớc 3: Với mỗi i ta tính f"(xi), khi dó:
Nếu f''(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
Nếu f''(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.

B. phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I.
Phơng pháp áp dụng

Sử dụng quy tắc 1 ®Ĩ thùc hiƯn.
VÝ dơ 1:
Cho hµm sè:
y=

1 3
x + 2x2 + 3x 1.
3

a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm thuộc khoảng (4; 2) của phơng trình :
x3 + 6x2 + 9x + 3m = 0.
(1)

Giải
a. Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = x2 + 4x + 3, y' = 0 ⇔ x2 + 4x + 3 = 0 x = 1 hoặc x = 3.
Giới hạn xlim y = và xlim y = +.

+
Bảng biến thiên:
x
2
4
3
1
+
y'
+
0
0
+

CĐ
CT
47/3
7/3
+

y

1
7/3
Kết luận:
Hàm số đồng biến trong các khoảng (; 3) và (1; +).
Hàm số nghịch biến trong khoảng (3; 1).
Hàm số đạt cực đại tại x = 3 và giá trị cực đại yCĐ = 1.
7
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu yCT = .
3
b. Viết lại phơng trình dới dạng:
1 3
x + 2x2 + 3x 1 = −m − 1.
3
15


Khi đó, số nghiệm của phơng trình bằng số giao ®iĨm cđa (C) víi ®êng th¼ng
(d): y = −m − 1.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có kết luận:
7
4
Với m 1 < m > phơng trình không có nghiệm thuộc khoảng (4;
3
3
2).
7
4
Với m 1 = m = phơng trình có một nghiệm thc kho¶ng (−4; 2).
3
3

7
4
 Víi − < −m − 1 1 0 < m < phơng trình có ba nghiệm phân biệt
3
3
thuộc khoảng (4; 2).
Với m 1 = 1 m = 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt thuộc
khoảng (4; 2).
47
50
Với 1 < −m − 1 ≤
⇔ − < m < 0 ph¬ng trình có một nghiệm thuộc
3
3
khoảng (4; 2).
47
50
Với m 1 >
m<
phơng trình không có nghiệm thuộc khoảng (4;
3
3
2).


Chú ý:
1. Với yêu cầu nh trong câu a), trong các ví dụ tiếp theo chúng ta không đa ra lời
kết luận nh trên nữa, bởi nó đợc nhận ra khi nhìn vào bảng biến thiên.
2. Với hàm đa thức bậc ba tỉng qu¸t:
y = ax3 + bx2 + cx + d, với a 0.

Ta có, đạo hàm:
y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0
(*)
nªn nã sÏ cã hai cùc trị (cực đại và cực tiểu) hoặc không có cực trị.


Chú ý: Liên quan tới cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ chúng ta có định lí
quan trọng sau:
Định lí: Cho hàm số y =
u(x 0 )
u '(x 0 )
=
.
v(x 0 )
v '(x 0 )
Chøng minh
Ta cã:

y(x0) =

16

u(x)
. Chøng minh r»ng nÕu y'(x0) = 0 vµ v'(x0) ≠ 0 th× ta cã
v(x)


u '(x)v(x) − u(x)v'(x)
,
v 2 (x)

u '(x 0 )v(x 0 ) − u(x 0 )v '(x 0 )
y'(x0) = 0 ⇔
=0
v 2 (x 0 )
u '(x 0 )
u(x 0 )
⇔ u'(x0).v(x0) = u(x0).v'(x0) ⇔
=
= y(x0), ®pcm.
v'(x 0 )
v(x 0 )
KÕt quả của định lí trên đợc sử dụng để:
1. Xác định giá trị cực trị của các hàm phân thức hữu tỉ.
2. Lập phơng trình đờng thẳng, đờng cong đi qua các điểm cực trị của các hàm
phân thức hữu tØ.

y' =

VÝ dơ 2:

Cho hµm sè:
(C) : y =

x 2 3x + 3
.
x 1

a. Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số.
b. Chứng tỏ rằng với mọi m > 1 phơng trình x2 (m + 3)x + m + 3 = 0 luôn có
hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Giải
a. Miền xác định D = Ă \ { 1} .
Đạo hàm:
x 2 2x
x 2 2x
y' =
, y' = 0 ⇔
= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
(x 1)2
(x 1)2
Giới hạn:
lim y = lim y = −∞ ,
lim y = lim y = +.
x

x 1

x +

Bảng biến thiên:
x
y'
+

0
0

CĐ
y
3
b. Viết lại phơng trình dới dạng:
x2 3x + 3 = (x 1)m

x 1+

1

+

x =1



không là nghiệm

2
0
1
CT

+

+
+

x 2 3x + 3
= m.

x 1

Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đờng thẳng
(d): y = m.
Dựa vào bảng biến thiên ta khẳng định với mọi m > 1 phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Ví dụ 3:

Cho hàm số:
17


(C) : y =

x2 − x + 1
.
x2 + x + 1

a. Chứng tỏ rằng hàm số có hai điểm cực trị, tìm toạ độ của chúng.
b. Tìm m để phơng trình (m 1)x2 + (m + 1)x + m 1 = 0 có nghiệm duy
nhất.
c. Tìm toạ độ điểm M thuộc Ox nhìn hai điểm cực trị của đồ thị hàm số dới một góc vuông.



Giải
a. Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
2x 2 2
y' = 2

,
(x + x + 1)2
y' = 0 ⇔ 2x2 − 2 = 0 ⇔ x = ±1.
Giíi h¹n lim y = 1.
x
Bảng biến thiên:
x
0
1
1
y'
+
0
0

CĐ
1/3
1
y
3
CT
1

+

+
1

1
Vậy, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A ( 1; 3) và B 1; ữ.

3
b. Viết lại phơng trình dới dạng:
x2 x + 1
= m.
x2 x + 1 = (x2 + x + 1)m ⇔ 2
x + x +1
Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đờng thẳng
(d): y = m.
1
Dựa vào bảng biến thiên ta có với m = 3, m = 1, m = phơng trình có nghiệm
3
duy nhất.
c. Điểm M thuộc Ox nên có M(a; 0).
Để M nhìn hai điểm A, B dới một góc vuông điều kiƯn lµ:
uuuu uuur
r
u
uuuu uuur
r u
AM⊥ BM ⇔ AM ⊥ BM ⇔ AM.BM = 0
1

⇔ ( a + 1; − 3) .  a − 1; − ÷ = 0 ⇔ a2 − 1 + 1 = 0 ⇔ a = 0 M O.
3

Vậy, góc toạ độ O thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Bài toán 2: Tìm cực trị cđa hµm sè b»ng dÊu hiƯu II.

18

Phơng pháp áp dụng
Sử dụng quy tắc 2 để thực hiện.
Ví dụ 1:
Tìm cực trị của hàm số y =



8 x2 .

Giải
Cách 1: (Sử dụng quy tắc 1): Ta lần lợt có:
Ta có điều kiện:
8 x2 0 ⇔ x ≤ 2 2 ⇒ D = [− 2 2 ; 2 2 ].
2x
x
Đạo hàm: y' = −
,
y' = 0 ⇔ x = 0.
2 = −
2 8−x
8 x2
Bảng biến thiên:
x
0
2 2
+
2 2
y'
0

+

CĐ
y
0
0
2 2
Cách 2: (Sử dụng quy tắc 2): Ta lần lợt có:
Ta cã ®iỊu kiƯn:
8 − x2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 2 ⇒ D = [− 2 2 ; 2 2 ].
Đạo hàm:
2x
x
y' =
,
y' = 0 x = 0.
2 = −
2 8−x
8 − x2
8
 Ta cã y'' = −
⇒ y''(0) < 0.
(8 − x 2 )3 / 2
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và không có cực tiểu.
Ví dụ 2:
Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của các hàm số:
2x + 3
y = 3 sinx + cosx +
.
2

Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 3 cosx sinx + 1,

y'' = − 3 sinx − cosx.
π

 x = 2 + 2kπ
π
1
y' = 0 ⇔ sin(x − 3 ) = 2 ⇔ 
, k∈Z.
 x = 7 π + 2kπ

6

Ta cã:
π
 Với x =
+ 2k ta nhận đợc:
2
19


y''(

+ 2k) = 3 < 0
2

Hàm số đạt cực đại tại các điểm x =


7
+ 2k ta nhận đợc:
6
7
y''(
+ 2k) = 3 > 0
6

Với x =

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x =
Ví dụ 3:

1.


+ 2k, kZ.
2

7
+ 2k, kZ.
6

Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của hàm số y = x 4 2mx2 +



Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hµm:
y' = 4x3 − 4mx,
y" = 12x2 − 4m.
3
y' = 0 ⇔ 4x − 4mx = 0 ⇔ 4x(x2 − m) = 0.
(1)
Ta xét các trờng hợp:
Trờng hợp 1: Nếu m ≤ 0 khi ®ã (1) cã nghiƯm duy nhÊt x = 0 và đổi dấu qua
nghiệm này từ "" sang "+" nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Trờng hợp 2: Nếu m > 0 khi đó (1) cã c¸c nghiƯm x = 0, x = ± m.
Ta có:
y"(0) = 4m < 0 Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
y" m = 12m 4m = 8m > 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = m.

(

)

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.
Phơng pháp áp dụng
Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện
theo các bớc:
Bớc 1:
Miền xác định và tính đạo hàm y'.

Bíc 2:
Lùa chän theo mét trong hai híng:
Híng 1: NÕu xét đợc dấu của y' thì sử dụng dấu hiệu I với lập luận:
Hàm số có k cực trị

Phơng trình y' = 0 có k nghiệm phân biệt và
đổi dấu qua các nghiệm đó
Hớng 2: Nếu không xét đợc dấu của y' hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về
cực đại hoạc cực tiểu thì sử dụng dấu hiệu II, bằng việc tính
thêm y". Khi đó:
20


1. Hàm số có cực trị hệ sau có nghiÖm thuéc D
y ' = 0
.

 y '' ≠ 0
2. Hµm sè cã cùc tiĨu ⇔ hƯ sau cã nghiƯm thuéc D
y ' = 0
.

 y '' > 0
3. Hµm số có cực đại hệ sau có nghiệm thuộc D
y ' = 0
.

 y '' < 0
4. Hµm sè đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là:
x 0 D

x 0 là điểm tới hạn .
y ''(x ) > 0
0

5. Hàm số đạt cực đại tại x0 ®iỊu kiƯn lµ:
x 0 ∈ D

 x 0 lµ ®iĨm tíi h¹n .
 y ''(x ) < 0
0

Híng 3: Víi yêu vầu về thuộc tính các điểm cực trị thông thờng
chúng ta sử dụng định lý Viét.


Chú ý: Với hàm ®a thøc bËc ba:
y = ax3 + bx2 + cx + d.
Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số có các điểm cực
trị thoả mÃn điều kiện K ", khi đó ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1: Ta cã:
 MiỊn x¸c định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0.
(1)
Bớc 2: Hàm số có cực đại, cùc tiĨu khi:

Bíc 3:

a ≠ 0

(1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt ⇔ 
.
∆ ' > 0
Khi ®ã (1) cã hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mÃn:
2b

x1 + x 2 = − 3a

.

x x = c
 1 2 3a

Thùc hiện phép chia đa thức y cho y' đợc:

21


Bíc 4:
VÝ dơ 1:

y = y'.g(x) + h(x) ⇒ y1 = y(x1) = h(x1) vµ y2 = y(x2) = h(x2).
VËy toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A(x1; y1) và B(x2; y2).
Kiểm tra điều kiện K.

Cho hµm sè y =

1
1

mx3 − (m − 1)x2 + 3(m 2)x + .
3
3

Tìm m để:
a. Hàm số có cực trị.
b. Hàm số có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 thoả mÃn x1 + 2x2 = 1.
c. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng.
d. Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT .
e. Hàm số đạt cực đại tại x = 0.



Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = mx2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2)
y' = 0 ⇔ f(x) = mx2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2) = 0.
a. Ta xÐt hai trêng hợp:
Trờng hợp 1. Nếu m = 0, ta đợc:
(1) 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3.
V× qua x = 3 đạo hàm y' đổi dấu, do đó m = 0 thoả mÃn.
Trờng hợp 2. Nếu m 0 thì hàm số có cực trị khi:
Phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt
2 − 6

m≠0

m ≠ 0

 2
⇔
⇔
⇔
.
2

2+ 6
∆ ' > 0
(m − 1) − 3m(m − 2) > 0
0 < m <

2
2− 6
2+ 6
VËy, hµm sè cã cực trị khi
.
2
2
b. Trớc hết, hàm số có cực đại và cực tiểu
(1) có hai nghiệm phân biệt m thoả mÃn (*).
Khi đó, gọi x1, x2 là hoành độ các điểm cực trị, ta có:
2(m 1)

(2)
x1 + x 2 =

m
.


 x .x = 3(m − 2)
(3)
 1 2
m

3m − 4
m−2
Tõ x1 + 2x2 = 1 vµ (2) ta cã x1 =
vµ x2 = −
.
m
m
Thay x1, x2 vào (3) ta đợc:
22

(1)

(*)


m = 2
3m − 4 m − 2
3(m − 2)
.
=
⇔
.
m
m

m
m = 2 / 3
2
VËy, víi m = 2 hc m = thoả mÃn điều kiện đầu bài.
3
c. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng
(1) có hai nghiệm phân biệt thoả mÃn 0 < x1 < x2
m ≠ 0
m ≠ 0
2 − 6

(m − 1) 2 − 3m(m − 2) > 0
∆ ' > 0




 2
⇔
⇔ 3m(m − 2) > 0
⇔
.

2+ 6
P > 0

2 < m <
S > 0
 2(m − 1) > 0


2

 m

d. Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt vµ m > 0
m > 0
m > 0
2+ 6
⇔
⇔
⇔ 0.
∆' > 0
(m − 1) 2 − 3m(m − 2) > 0
2





e. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
y '(0) = 0
3(m − 2) = 0
⇔
⇔
⇔ m = 2.
 y ''(0) < 0
 −2(m − 1) < 0

Cho hµm sè:
y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx + m3.
Tim m hàm số có cực đại và cực tiểu và:
a. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu bằng 2.
b. Hai điểm cực đại, cực tiểu tạo với điểm C(4; 0) một tam giác vuông tại
C.

Ví dụ 2:



Giải
Ta lần lợt có:
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 6x2 6(m + 1)x + 6m,
y' = 0 ⇔ x2 − (m + 1)x + m = 0 ⇔ x = 1 hc x = m.
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phơng trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức
là khi m 1.
Khi đó, toạ độ hai điểm cực trị lµ A(1; m3 + 3m − 1), B(m; 3m2)
a. Ta cã:
AB = 2
⇔ 2 = AB2 = (m − 1)2 + (−m3 + 3m2 − 3m + 1)2
= (m − 1)2 + (m3 − 3m2 + 3m − 1)2 = (m − 1)2 + (m − 1)6.
23


Đặt t = (m 1)2 (điều kiện t > 0), ta đợc:
t3 + t 2 = 0 (t − 1)(t2 + t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ⇔ (m − 1)2 = 1

⇔ m = 0 hc m = 2.
VËy, víi m = 0 hoặc m = 2 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
b. ABC vuông tại C điều kiện là:
uuu uuu
r
r
uuu uuu
r r
AC ⊥ BC ⇔ AC ⊥ BC ⇔ AC.BC = 0
⇔ (3; −m3 − 3m + 1).(4 − m; −3m2) = 0
⇔ 3(4 − m) + (−m3 − 3m + 1)(−3m2) = 0
⇔ m5 + 3m3 − m2 − m + 4 = 0 ⇔ (m + 1)(m4 − m3 + 4m2 − 5m + 4) = 0
⇔ (m + 1)[(m4 − m3 + m2) + (3m2 − 5m + 4)] = 0 ⇔ m = −1.
VËy, víi m = −1 thoả mÃn điều kiện đầu bài.


Chú ý: Với hàm đa thøc bËc bèn:
y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Câu hỏi thờng đợc đặt ra " Tìm giá trị của tham số để hàm số có các điểm cực
trị thoả mÃn điều kiện K ", khi đó ta thùc hiƯn theo c¸c bíc:
Bíc 1: Ta cã:
 MiỊn xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d,
y' = 0 ⇔ 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d = 0.
(1)
Bíc 2: Hµm số có cực đại, cực tiểu
(1) có ba nghiệm phân biệt.
Khi đó, phơng trình (1) có ba nghiệm phân biƯt x1, x2, x3 tho¶ m·n hƯ
thøc Viet:

 x1 + x 2 + x 3 = −3b / 4a

 x1x 2 + x 2 x 3 + x 3 x1 = c / 2a .
 x x x = −d / 4a
 1 2 3
Lu ý: NÕu y' ph©n tÝch đợc thành y' = (x x1)(Ax2 + Bx + C), ta cã:
B

x2 + x3 = − A


x x = C
 2 3 A

Bíc 3: Thùc hiƯn phÐp chia ®a thức y cho y' ta đợc:
y = y'.g(x) + h(x).
Do ®ã:
y1 = y(x1) = h(x1), y2 = y(x2) = h(x2), y3 = y(x3) = h(x3).
Vậy toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A(x1; y1), B(x2; y2) vµ C(x3; y3).

24


Bớc 4:

Kiểm tra điều kiện K.

Cho hàm số:
y = mx4 + (m 1)x2 + 1 2m.

Xác định các giá trị của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị.

Ví dụ 3:



Giải
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 4mx3 + 2(m 1)x,
y' = 0 ⇔ 2x(2mx2 + m − 1) = 0. (*)
x = 0
⇔
.
2
 f(x) = 2mx + m − 1 = 0
Hàm số có ba điểm cực trị khi:
(*) có ba nghiƯm ph©n biƯt ⇔ f(x) = 0 cã hai nghiƯm ph©m biƯt
⇔ 2m(m − 1) < 0 ⇔ 0 < m < 1.
Vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị khi m (; 0][1; +).

Cho hàm số y = x4 2mx2 + 2m + m4. Xác định m để hàm số có
các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Ví dụ 4:



Giải
Ta lần lợt có:
Miền xác định D = Ă .

Đạo hàm:
y' = 4x3 − 4mx = 4x(x2 − m),
y' = 0 ⇔ x(x2 − m) = 0. (1)
Hµm sè cã cùc đại, cực tiểu khi:
(1) có ba nghiệm phân biệt m > 0.
(*)
Khi đó (1) có ba nghiệm phân biệt x = 0, x = m và toạ độ ba điểm cực trị:
A(0; 2m + m4), B( m ; m4 − m2 + 2m) , C( m ; m4 − m2 + 2m)
Ta cã ∆ABC ®Ịu khi:
2
2
AB = AC (ld)
2
⇔ AB2 = BC2 ⇔ − m + ( −m2 ) = 2 m

AB = BC

(

)

(

)

(*)

⇔ m4 − 3m = 0 ⇔ m3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3.
Vậy, với m =

3

3 thoả mÃn điều kiện đầu bài.


Chú ý: Với hàm phân thức hữu tỉ:
y=

u(x)
v(x)

25