Bài giảng: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến toạ độ (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

GIẢI TÍCH 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§4 Đồ thị của hàm số
và phép tịnh tiến hệ toạ độ
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tơ Ngọc Vân − Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ4 đồ thị của hàm số
và Phép tịnh tiến hệ toạ độ
A. bài giảng
1. phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ tọa độ

Cho điểm I(x0; y0) và điểm M(x; y) trong hệ toạ độ Oxy, khi ®ã trong hƯ to¹ ®é
IXY ®iĨm M sÏ cã to¹ ®é:
X M = x − x 0
.

 YM = y y 0
2. phơng trình đờng cong đối với hệ tọa độ mới

Phơng trình của đờng cong y = f(x) đối với hệ toạ độ IXY
Ta có, kết quả:
Y = f(X + x0) − y0.


NhËn xÐt: Ta cã hai trêng hợp đặc biệt:
ã Nếu hàm số Y = F(X) là hàm lẻ ta suy ra rằng I là tâm đối xứng của đờng
cong (C).
ã Nếu hàm số Y = F(X) là hàm chẵn ta suy ra rằng đờng thẳng x = x0 là
trục đối xứng của đờng cong (C).
Thí dụ 1:

Cho parabol (P): y =

1 2
x − x − 3.

2

a. Xác định đỉnh I của parabol (P).
uu
r
b. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết
phơng trình của parabol (P) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, chỉ ra phơng
trình trục đối xứng của parabol (P).



Giải

7

a. Tọa độ đỉnh I 1; ữ .
2

uu
r
b. Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x 1
x = X + 1



7 ⇔
7
Y = y + 2
y = Y 2

và khi đó trong hệ tọa độ IXY parabol (P) có phơng trình:
7
1
1
(P): Y = (X + 1)2 − (X + 1) − 3 ⇔ (P): Y = X2.
2
2
2

4


Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = 2X2 là hàm số chẵn dó đó đồ thị
hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm trục ®èi xøng.


NhËn xÐt: Qua vÝ dơ trªn, ta cã:
1. Víi hàm đa thức bậc hai (Parabol) (P): y = ax2 + bx + c, ta có:


b



ã

Điểm I ; ữ chính là đỉnh của parabol.
4a

2a

ã

Đồ thị (P) luôn nhận đờng thẳng x =

b
làm trục đối xứng.
2a

2. Để chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận đờng thẳng x = a làm trục đối
xứng, ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bíc 1:
Víi phÐp biÕn ®ỉi to¹ ®é:
X = x − a
x = X + a


Y = y
y = Y
hàm số có dạng:
Y = f(X + a) ⇔ Y = F(X).
(*)
Bíc 2:
NhËn xÐt r»ng hµm số (*) là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận đờng
thẳng x = a làm trục đối xứng.
Hoạt động

Với yêu cầu nh trong thí dụ 1 cho parabol (P): y = −x2 + x − 1.

Cho hµm sè:
y = x2 + 2x 1.
Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng.

Thí dụ 2:



Giải
Với phép biến đổi toạ độ:
X = x + 1
x = X − 1
⇔

Y = y
y = Y
ta đợc:
Y = (X 1)2 + 2(X 1) − 1 ⇔ Y = X2 − 2 lµ hµm số chẵn.
Vậy, đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng.
Hoạt động

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x2 + 4x + 2 nhận đờng
thẳng x = 2 làm trục đối xứng.

Cho hàm sè:
y = x5 + x3 + 2x − 1.
a. X¸c định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số ®· cho biÕt r»ng hoµnh ®é
cđa ®iĨm I lµ nghiƯm của phơng trình f"(x) = 0.

Thí dụ 3:

5


uu
r

b. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết
phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng I
là tâm đối xứng của đờng cong (C).



Giải
a. Ta lần lợt có:
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 5x4 + 3x2 + 2, y'' = 20x3 + 6x,
y'' = 0 ⇔ 20x3 + 6x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ I(0; −1).
uu
r
b. Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x
x = X


Y = y + 1
y = Y 1
và khi đó trong hệ tọa độ IXY đờng cong (C) có phơng trình:
(C): Y − 1 = X5 + X3 + 2X − 1 ⇔ (C): Y = X3 + X3 + 2X.

NhËn xÐt rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 + X3 + 2X là hàm số lẻ dó đó nó
nhận điểm I làm tâm đối xứng.
Hoạt động

Với yêu cầu nh trong thí dụ 1 cho hàm số y = x3 − 3x2 + 1.


NhËn xÐt: §Ĩ chøng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a; b) làm tâm đối
xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1:
Với phép biến đổi toạ độ:

Bớc 2:
Thí dụ 4:

X = x − a
x = X + a
⇔

Y = y b
y = Y + b
hàm số có dạng:
Y + b = f(X + a) ⇔ Y = F(X).
(*)
NhËn xÐt rằng hàm số (*) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(a;
b) làm tâm đối xứng.

Cho hµm sè:
y=

x 2 − 3x − 2
..
x 2 − 4x

Chøng tỏ rằng đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.



Giải
Với phép biến đổi toạ độ:
X = x − 2
x = X + 2
⇔

Y = y − 1
y = Y + 1
ta đợc:

6


(X + 2) 2 − 3(X + 2) − 2 X 2 + X − 4
X
=
⇔ Y= 2
lµ hµm sè lỴ.
(X + 2) 2 − 4(X + 2)
X2 − 4
X 4
Vậy, đồ thị hàm số nhận đđiểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.

Y +1 =

Hoạt động

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y =
làm tâm đối xứng.

x2
nhận điểm I(1; 1)
x +1

bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho hàm số:

y = x3 3x2 + 1.
a. Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đà cho biết rằng hoành độ
của điểm I là nghiệm của phơng trình y" = 0.
uu
r
b. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết
phơng trình của ®êng cong (C) ®èi víi hƯ to¹ ®é IXY. Tõ đó, suy ra rằng I
là tâm đối xứng của đờng cong (C).
c. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ
Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp
tuyến tại I của (C) và trên khoảng (1; +) đờng cong (C) nằm trên tiếp
tuyến đó.
Bài tập 2: Cho hµm sè:
(H) : y =

2x + 3
.
x +1

Chøng minh r»ng:
a. Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng.
b. Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số.
Bài tập 3: Cho hàm số:
(H) : y = x + 1 +

1
.
x −1

Chøng minh r»ng:
a. Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng.
b. Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số.
Bài tập 4: Cho hàm số:
y = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x − 1.
Chøng tỏ rằng đồ thị hàm số có một trục đối xứng thẳng đứng. Từ đó
tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Bài tập 5: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =
Bài tập 6: Cho hµm sè:

3x − 2
.
x +1

y = x3 + 3mx2 + 6mx + 5(m + 1).
7

a. Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng.
b. Với m tìm đợc ở câu a) tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của đồ thị
hàm số.
Bài tập 7: Cho hàm số:
y=

mx 1
.
x 2m

a. Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.
b. Với m tìm đợc ở câu a) xét sự biến thiên của hàm số.
Bài tập 8: Cho hàm số:
y = 2x + m +

1
.
xm

a. Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) làm tâm đối xứng.
b. Với m tìm đợc ở câu a) tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của đồ thị
hàm số.
Bài tËp 9: Cho hµm sè:
y = x4 + 4x3 + mx2.
a. Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.
b. Với m tìm đợc ở câu a) tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của đồ thị
hàm số.
Bài tập 10: Cho hàm số:

y = f(x) = 2x2.
r
r
HÃy tìm vectơ v (a; b) sao cho đồ thị y = f(x) tịnh tiến theo v ta có đồ thị hàm
số y = g(x) = 2x2 3x + 1.

Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao”.

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 750.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

8


LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

9


bài giảng nâng cao
Bài toán 1: Phép tịnh tiến hệ tọa độ.

Cho hàm số:
y = x3 3x2 + 1.

a. Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đà cho biết rằng hoành độ
của điểm I là nghiệm của phơng trình y" = 0.
uu
r
b. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết
phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng I
là tâm đối xứng của đờng cong (C).
c. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ
Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng(; 1) ®êng cong (C) n»m díi tiÕp
tun t¹i I cđa (C) và trên khoảng (1; +) đờng cong (C) nằm trên tiếp
tuyến đó.

Ví dụ 1:



Giải
a. Ta lần lợt có:
Miền xác định D = Ă .
Đạo hàm:
y' = 3x26x, y'' = 6x − 6,
y'' = 0 ⇔ 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ I(1; −1).
uu
r
b. C«ng thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x 1
x = X + 1
⇔

Y = y + 1

y = Y − 1
vµ khi ®ã trong hÖ täa ®é IXY ®êng cong (C) cã phơng trình:
(C): Y 1 = (X + 1)3 3(X + 1)2 + 1 ⇔ (C): Y = X3 3X.
Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 3X là hàm số lẻ dó đó nó
nhận điểm I làm tâm đối xứng.
c. Phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I ®èi víi hƯ täa ®é Oxy, cã
d¹ng:
(d): y = y'(xI)(x − xI) + f(xI) ⇔ (d): y = −3x + 2.
XÐt hiÖu:
H = x3 − 3x2 + 1 − (−3x + 2) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3.
Tõ ®ã, suy ra:
 NÕu H > 0 ⇔ (x − 1)3 > 0 ⇔ x > 1. Tức là, trên khoảng(1; +) đờng cong (C)
nằm trên tiÕp tuyÕn (d).
 NÕu H < 0 ⇔ (x − 1)3 < 0 x < 1. Tức là, trên khoảng(; 1) đờng cong (C)
nằm dới tiếp tuyến (d).
10



Nhận xét:
1. Với hàm đa thức bậc ba (C): y = ax3 + bx2 + cx + d, ta cã:
• Điểm I thuộc đồ thị của hàm số với hoành độ của điểm I là nghiệm của phơng
trình y" = 0 đợc gọi là điểm uốn của đồ thị.
ã Đồ thị (C) luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
2. Với hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng: y = ax4 + bx2 + c. Đồ thị hàm số luôn
nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Ví dụ 2:

Cho hàm sè:
(H) : y =

2x + 3
.
x +1

Chøng minh r»ng:
a. §å thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng.
b. Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số.

Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần lý thuyết.
Giải
b. Với phép biến đổi toạ ®é:

X = x + 1
x = X − 1
⇔

Y = y 2
y = Y + 2
và khi đó trong hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình:
2(X 1) + 3
2X + 1
1
Y+2=
−2 ⇔ Y= .
⇔ Y=
(*)
(X − 1) + 1
X
X

Hàm số (*) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng.
c. Với điểm M(x0; y0) thuộc (H), phơng trình tiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
2x + 3
1
(x − x 0 ) + 0
.
(d): y = y'(x0)(x − x0) + y0 ⇔ (d) : y = −
2
(x 0 + 1)
x0 + 1
TiÕp tuyÕn (d) qua I khi:
2x + 3
2x + 3
1
1
2=−
(−1 − x 0 ) + 0
⇔ 2=
+ 0
2
(x 0 + 1)
x0 + 1
x0 + 1 x0 + 1

⇔ 2(x0 + 1) = 2x0 + 4 ⇔ 2 = 4, vô nghiệm.
Vậy, không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm I.


Nhận xét: Với hàm phân thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt (H): y =
0, ta cã:

ax + b
víi a ≠ 0, c ≠
cx + d

11


ã
ã
ã

d a
Điểm I ; ữ chính là giao ®iĨm cđa hai ®êng tiƯm cËn (tiƯm cËn ®øng và
c c
tiệm cân ngang).
Đồ thị (H) luôn nhận điểm I làm tâm đối xứng.
Không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị qua I.

Cho hàm số:

Ví dụ 3:

(H) : y = x + 1 +

1
.
x 1

Chứng minh rằng:

a. Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng.
b. Qua I không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số.

Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần lý thuyết.
Giải
a. Với phép biến đổi toạ độ:
X = x − 1
⇔

Y = y − 2

x = X + 1

y = Y + 2

và khi đó trong hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình:
1
1
Y + 2 = (X + 1) + 1 +
⇔ Y=X+ .
(*)
(X + 1) 1
X
Hàm số (*) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng.
b. Với điểm M(x0; y0) thuộc (H), phơng trình tiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
(d): y = y'(x0)(x − x0) + y0


1
1

⇔ (d) : y = 1 −
(x − x 0 ) + x 0 + 1 +
.
2 
x0 − 1
 (x 0 − 1) 
TiÕp tuyÕn (d) qua I khi:


1
1
2 = 1 −
(1 − x 0 ) + x 0 + 1 +
.
2 
x0 −1
 (x 0 − 1) 
⇔ 2 = 1 − x0 +

1
1
2
+ x0 + 1+
⇔
= 0 , v« nghiƯm.
x0 −1
x0 −1
x0 − 1

VËy, kh«ng tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm I.

Nhận xét:
1. Với hàm phân thức bậc hai trªn bËc nhÊt (H): y =

0, ta cã:

12

ax 2 + bx + c
, víi a ≠ 0, d ≠
dx + e


 e b 2ac 
§iĨm I  − ; − 2 ữ chính là giao điểm của hai đờng tiệm cận (tiệm cận
d d d
đứng và tiệm cân xiên).
ã Đồ thị (H) luôn nhận điểm I làm tâm đối xứng.
ã Không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị qua I.
2. Ví dụ tiếp theo minh hoạ phơng pháp tìm trục đối xứng (hoặc tâm đối xứng)
của dạng hàm số không mẫu mực.
Ví dụ 4:
Cho hàm số:
y = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x − 1.
Chøng tá r»ng đồ thị hàm số có một trục đối xứng thẳng đứng. Từ đó
tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.

ã

Giải
Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a.
Khi đó, với phép biến đổi toạ ®é:
X = x − a
x = X + a
⇔

Y = y
y = Y
hàm số đợc chuyển về dạng:
Y = (X + a)4 − 4(X + a)3 − 2(X + a)2 + 12(X + a) 1 là hàm số chẵn.
Ta cã:
Y = (X + a)4 − 4(X + a)3 − 2(X + a)2 + 12(X + a) − 1
= X4 + 4a2X2 + a4 + 4aX3 + 2a2X2 + 4a3X − 4(X3 + 3X2a +
+ 3X a2 + a3) − 2(X2 + 2Xa + a2) + 12(X + a) − 1
4
3
2
= X + 4(a − 1)X + 2(3a − 6a − 1)X2 + 4(a3 − 3a2 − a + 3)X +
+ a4 − 4a3 − 2a2 + 12a − 1.
Hµm số trên là hàm số chẵn điều kiện là:
4(a 1) = 0
⇔ a = 1.
 3
2
4(a − 3a − a + 3) = 0
Vậy, đồ thị hàm số có một trục đối xứng x = 1.
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:

x4 4x3 2x2 + 12x 1 = 0.
(*)
Đặt x = X + 1, phơng trình (*) có dạng:
X4 8X2 + 6 = 0 ⇔ X2 = 4 ± 10
⇔X=±

4 ± 10 ⇔ x = 1

4 10 .

Vậy đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm có hoành độ x = 1
Ví dụ 5:



Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =

4 10 .

3x 2
.
x +1

Giải
Viết lại hàm số dới dạng:
13


5
.

x +1
Gọi I(x0; y0) là tâm đối xứng r đồ thị hàm số, khi đó công thức chuyển hệ toạ độ
uucủa
trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x − x 0
x = X + x 0
⇔

Y = y y 0
y = Y + y 0
và khi đó trong hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình:
5
5
Y + y0 = 3 −
⇔ Y = 3 − y0 −
.
(*)
X + x0 + 1
X + x0 + 1

y = 3

Để I(x0; y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số điều kiện là hàm số trong (*) phải là
hàm lẻ, suy ra:
x 0 + 1 = 0
x 0 = −1
⇔
⇒ I(−1; 3).

3 − y 0 = 0

y 0 = 3
Vậy, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là I(1; 3).
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận điểm I làm tâm

đối xứng của đồ thị.

Phơng pháp áp dụng
Để tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(x0; y0) làm tâm đối
xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1:
Với phép biến đổi toạ độ:
X = x x 0
x = X + x0
⇔

Y = y − y0
 y = Y + y0
hµm sè cã d¹ng:
Y + y0 = f(X + x0) ⇔ Y = F(X).
(*)
Bớc 2:
Đồ thị hàm số nhận điểm I(x0; y0) làm tâm đối xứng điều kiện là:
(*) là hàm số lẻ Giá trị của tham số.



Chú ý: Với các hàm số cơ bản chúng ta cũng có thể sử dụng tính chất của đồ thị
hàm số để tìm ®iỊu kiƯn cho tham sè.
Cho hµm sè:
y = x3 + 3mx2 + 6mx + 5(m + 1).

a. Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng.
b. Với m tìm đợc ở câu a) tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của đồ thị
hàm số.

Ví dụ 1:

Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.
14




Giải
a. Ta có thể lựa chọn các cách giải sau:
Cách 1: Với phép biến đổi toạ độ:
X = x + 1
x = X − 1
⇔

Y = y − 6
y = Y + 6
hàm số có dạng:
Y + 6 = (X − 1)3 + 3m(X − 1)2 + 6m(X − 1) + 5(m + 1)
⇔ Y = X3 + 3(m − 1)X2 + 3X + 2m − 2.
Hµm sè (*) lµ hàm số lẻ điều kiện là:
3(m 1) = 0
m = 1.

 2m − 2 = 0
VËy, víi m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) là tâm đối xứng.

(*)

Cách 2: Ta có:
y' = 3x2 + 6mx + 6m,
y" = 6x + 6m, y" = 0 ⇔ 6x + 6m = 0 ⇔ x = −m
⇒ §iĨm n I(−m; 2m3 − 6m2 + 5m + 5).
V× đồ thị hàm số luôn nhận điểm uốn làm tâm ®èi xøng nªn ta cã:
 − m = −1
⇔ m = 1.
 3
2
 2m − 6m + 5m + 5 = 6
Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 6) làm tâm đối xứng.
b. Bạn đọc tù thùc hiƯn.
VÝ dơ 2:

Cho hµm sè:
y=

mx − 1
.
x − 2m

a. Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.
b. Với m tìm đợc ở câu a) xét sự biến thiên của hàm số.



Giải

a. Ta có thể lựa chọn các cách giải sau:
Cách 1: Với phép biến đổi toạ độ:
X = x 2
x = X + 2
⇔

Y = y − 1
y = Y + 1
hàm số có dạng:
m(X + 2) 1
(m − 1)X + 4m − 3
Y +1=
⇔ Y=
.
(X + 2) − 2m
X + 2 − 2m
Hµm sè (*) lµ hµm số lẻ điều kiện là:
m 1 = 0 m = 1.
Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) là tâm đối xứng.

(*)

15


Cách 2: Giao điểm hai đờng tiệm cận của đồ thị là I(2m; m).
Vì đồ thị hàm số luôn nhận điểm giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm ®èi
xøng nªn ta cã:
 2m = 2
⇔ m = 1.


m = 1
Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.
b. Bạn đọc tù thùc hiƯn.
VÝ dơ 3:

Cho hµm sè:
y = 2x + m +

1
.
xm

a. Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) làm tâm đối xứng.
b. Với m tìm đợc ở câu a) tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của đồ thị
hàm số.



Giải
a. Ta có thể lựa chọn các cách giải sau:
Cách 1: Với phép biến ®ỉi to¹ ®é:
X = x − 1
x = X + 1
⇔

Y = y − 3
y = Y + 3
hµm sè cã d¹ng:
1

1
Y + 3 = 2(X + 1) + m +
⇔ Y = 2X + m − 1 +
. (*)
(X + 1) − m
X +1− m
Hµm sè (*) lµ hµm số lẻ điều kiện là:
m 1 = 0 m = 1.
Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) là tâm đối xứng.
Cách 2: Giao điểm hai đờng tiệm cận của đồ thị là I(m; 3m).
Vì đồ thị hàm số luôn nhận điểm giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đối
xứng nên ta cã:
m = 1
⇔ m = 1.

3m = 3
VËy, víi m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 3) là tâm đối xứng.
b. Bạn đọc tự thực hiện.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận một đờng

thẳng song song với trục Oy làm trục đối xứng của đồ thị.

Phơng pháp áp dụng
Để tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đờng thẳng x = a làm
trục đối xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:
16


Bớc 1:

Bớc 2:

Với phép biến đổi toạ độ:
X = x − a
x = X + a
⇔

Y = y
y = Y
hµm sè cã d¹ng:
Y = f(X + a) ⇔ Y = F(X).
(*)
Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng điều kiện là:
(*) là hàm số chẵn Giá trị của tham số.

Cho hàm số:
y = x4 + 4x3 + mx2.
a. Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.
b. Với m tìm đợc ở câu a) tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của đồ thị
hàm số.

Ví dụ 4:



Giải

a. Giả sử đồ thị hàm số có trục ®èi xøng song song víi Oy lµ x = a (a 0). Khi đó, với
phép biến đổi toạ độ:
X = x − a

⇔

Y = y

x = X + a

y = Y

hµm sè
Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 là hàm số chẵn.
Ta có:
Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2
= X4 + 4(a + 1)X3 + 2(3a2 + 6a + m)X2 +
+ 2(2a3 + 6a2 + am)X + a4 + 4a3 + ma2
Hµm sè (1) lµ hµm sè ch½n
4(a + 1) = 0
⇔
⇔ m = 4.
3
2
2(2a + 6a + am) = 0

(1)

Vậy, với m = 4 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.

b. Với m = 4 hàm số có dạng:
y = x4 + 4x3 + 4x2.
Ta lần lợt có:
Miền xác định D = Ă .

Đạo hàm:
y' = 4x3 + 12x + 8x,
y' = 0 ⇔ 4x3 + 12x + 8x ⇔ 4x(x2 + 3x + 2) = 0
⇔ x = 0, x = −1, x = −2.
 Giíi h¹n:
17


lim y = lim [x4(1 − 2 +
x →∞
x →∞
x2
 Bảng biến thiên:
x
2
y'
0
+

y +
CT
0
Bạn đọc tự kết luận.

1
) = +.
x4

1
0

CĐ
1



0
0
CT
0

+
+
+

Bài toán 4: Đồ thị hàm số y = f(x + a) + b.
Phơng pháp áp dụng
Từ đồ thị y = f(x) để suy ra đồ thị y = f(x + a) + b chóng ta thùc hiƯn mét phÐp tịnh
r
tiến theo vectơ v (a ; b) (trong thực tế ta thực liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các trơc
täa ®é), cơ thĨ cã thĨ lùa chän mét trong hai lợc đồ sau:
Từ y = f(x) suy ra y = f(x + a) = g(x) và lại từ y = g(x) suy ra:
y = g(x) + b = f(x + a) + b.
 Tõ y = f(x) suy ra y = f(x) + b = h(x) và lại tõ y = h(x) suy ra:
y = h(x + a) = f(x + a) + b.
r
Khi đó, vectơ v (a ; b) đợc gọi là vectơ tịnh tiến.
Chúng ta có thể tìm đợc vectơ bằng phơng pháp hằng số bất định.

Cho hàm số:
y = f(x) = 2x2.

r
r
HÃy tìm vectơ v (a; b) sao cho đồ thị y = f(x) tịnh tiến theo v ta có đồ thị hàm
số y = g(x) = 2x2 − 3x + 1.
VÝ dơ 1:

 Híng dẫn:
Giải

r
Giả sử tồn tại vectơ v (a; b) để tịnh tiến đồ thị y = f(x) thành đồ thị y = g(x).
Khi ®ã:
g(x) = f(x + a) + b
⇔ 2x2 − 3x + 1 = 2(x + a)2 + b = 2x2 + 4ax + 2a2 + b
suy ra:
r 3 1 
 4a = −3
a = −3 / 4
⇔
⇒ v  − ; − ÷.
 2
 4 8
 b = −1/ 8
2a + b = 1

C. bµi tËp rÌn lun
Bµi tËp 1: Cho parabol:
(P): y = 2x2 − 3x + 1.
18

a. Xác định đỉnh I của parabol (P).
uu
r
b. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phơng trình của parabol (P) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, chỉ ra phơng trình trục
đối xứng của parabol (P).
Bài tập 2: Cho hàm số:
f(x) = x3 3x2 + 1.
a. Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đà cho biết rằng hoành độ của
điểm I là nghiệm của phơng trình f"(x) = 0.
uu
r
b. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phơng trình của đờng cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng I là tâm
đối xứng của đờng cong (C).
c. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy.
Chứng minh rằng trên khoảng(; 1) đờng cong (C) nằm dới tiếp tuyến tại I
của (C) và trên khoảng
(1; +) đờng cong (C) nằm trên tiếp tuyến đó.
Bài tập 3: Cho hàm số:

x +1
x 1
Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm I(1 ; 1) làm tâm ®èi xøng.
Bµi tËp 4: Cho hµm sè:
1
(H): y = 2
và điểm I(2; 2).
x+2
uu
r

Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết
phơng trình của đờng cong (H) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng I
là tâm đối xứng của ®êng cong (H).
Bµi tËp 5: Cho hµm sè:
c
(H): y = ax + b +
,
x − x0

y=

trong ®ã a ≠ 0, c 0 và điểm I(x0; y0) uu mÃn y0 = ax0 + b. Viết công thức chuyển hệ
thỏa
r
toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phơng trình của đờng cong (C) đối với
hệ toạ độ IXY. Từ đó, suy ra rằng I là tâm đối xứng của đờng cong (C).
Bài tập 6: Cho hàm số:
1
y = x3 + 3mx2 2.
m
Xác định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xøng.
Bµi tËp 7: Cho hµm sè:
2x 2 + (m − 4)x 2m + 1
y=
.
x2
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.
2
+1.
Bài tập 8: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm sè y =

x −1
Bµi tËp 9: Cho hµm sè y = f(x) = x3 + 3x + 1.
19


r
r
HÃy tìm vectơ v (a; b) sao cho đồ thị y = f(x) tịnh tiến theo v ta có đồ thị hàm số y
= g(x) = x3 3x2 + 6x − 1.
r
x2
Bµi tËp 10:Cho hµm sè y = f(x) =
. HÃy tìm vectơ v (a, b) sao cho đồ thÞ y = f(x)
x−2
r
x 2 + 17x + 70
tÞnh tiÕn theo v ta có đồ thị y = g(x) =
.
x+6
D. hớng dẫn đáp số
Bài tập 1:
3 1
a. Tọa độ đỉnh I ; ữ .
4 8
uu
r
b. Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
3
3

X = x 4
x = X + 4


⇔

Y = y + 1
y = Y − 1


8
8


vµ khi ®ã trong hƯ täa ®é IXY parabol (P) cã ph¬ng trình:
2
3

1
3

(P): Y = 2 X + ữ 3  X + ÷ + 1 ⇔ (P): Y = 2X2.
4
8
4


Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = 2X2 là hàm số chẵn dó đó đồ thị
3

hàm số nhận đờng thẳng x = làm trục đối xứng.
4
Bài tập 2:
a. I(1; 1).
uu
r
b. Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x − 1
x = X + 1
⇔

Y = y + 1
y = Y 1
và khi đó trong hệ tọa độ IXY đờng cong (C) có phơng trình:
(C): Y − 1 = (X + 1)3 − 3(X + 1)2 + 1 ⇔ (C): Y = X3 − 3X.
NhËn xÐt rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 3X là hàm số lẻ dó đó nó
nhận điểm I làm tâm đối xứng.
c. Phơng trình tiếp tuyến của đờng cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy, có dạng:
(d): y = f'(xI)(x xI) + f(xI) ⇔ (d): y = −3x + 2.
XÐt hiÖu H = x3 − 3x2 + 1 − (−3x + 2) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3.
Tõ ®ã, suy ra:
 NÕu H > 0 ⇔ (x − 1)3 > 0 ⇔ x > 1. Tức là, trên khoảng(1; +) đờng cong (C)
nằm trên tiếp tuyÕn (d).
 NÕu H < 0 ⇔ (x − 1)3 < 0 x < 1. Tức là, trên khoảng(; 1) đờng cong (C)
nằm dới tiếp tuyến (d).
Bài tập 3: Với phép biến đổi toạ độ

20

X = x − 1
x = X + 1
⇔

Y = y 1
y = Y + 1
khi đó hàm số cã d¹ng:
(X + 1) + 1
(X + 1) + 1
2
Y+1=
⇔Y=
−1 ⇔Y= .
(*)
(X + 1) − 1
(X + 1) − 1
X
Hµm số (*) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm I(1, 1) làm tâm đốiuu
xứng.
r
Bài tập 4: Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x + 2
x = X − 2
⇔

Y = y − 2
y = Y + 2
vµ khi đó trong hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình:
1
1

Y+2=2
Y= .
(*)
(X 2) + 2
X
Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số (*) là hàm số lẻ dó đó nó nhận điểm I
làm tâm đối xứng.
uu
r
Bài tập 5: Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x x 0
x = X + x 0
⇔

Y = y − y 0
y = Y + y 0
và khi đó trong hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình:
c
c
Y + y0 = ax0 + b +
⇔Y= .
(*)
X + x0 − x0
X
NhËn xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số (*) là hàm số lẻ dó đó nó nhận điểm I
làm tâm đối xứng.
Bài tập 6: m = 1.
Bài tập 7: m = −4 .
Bµi tËp 8: Gäi I(x0; y0) lµ tâm đối xứng của đồ thị hàm số, khi đó công thức chuyển hệ
uu

r
toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là:
X = x x 0
x = X + x 0
⇔

Y = y − y 0
y = Y + y 0
và khi đó trong hệ tọa độ IXY hàm số có phơng trình:
2
2
+1 Y =
+ 1 y0.
Y + y0 =
(*)
X + x0 − 1
X + x0 1
Để I(x0; y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số điều kiện là hàm số trong (*) phải là
hàm lẻ, suy ra:
x 0 1 = 0
x 0 = 1
⇔
⇒ I(1; 1).

y 0 − 1 = 0
y 0 = 1
Vậy, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1).
r
Bài tập 9: v (1; 2).

21


r
Bài tập 10: Giả sử tồn tại vectơ v (a; b) để tịnh tiến đồ thị y = f(x) thành ®å thÞ y = g(x).
Khi ®ã:
a = 8
r
(x + a)2
x 2 + 17x + 70
f(x + a) + b = g(x) ⇔
+b=
⇔
⇒ v (8; 1).
(x + a) − 2
x+6
b = 1

22