đề cương môn học môn lý thuyết xấp xỉ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
LÝ THUYẾT XẤP XỈ
1. Thông tin về giảng viên:
- Họ và tên: Đinh Dũng
- Chức danh, học hàm, học vị: Nghiên cứu viên cao cấp, Giáo sư, Tiến sĩ khoa học
- Thời gian, địa điểm làm việc: Giờ hành chính, E3, 144 Xuân Thủy, Hà Nội
- Địa chỉ liên hệ: Viện CNTT – ĐHQGHN, E3, 144 Xuân Thủy, Hà Nội
- Điện thoại, email:
- Các hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết xấp xỉ, Sóng nhỏ
2. Thông tin về môn học:
- Tên môn học: Lý thuyết xấp xỉ
- Mã môn học:
- Số tín chỉ: 02
- Giờ tín chỉ đối với các hoạt động học tập:
+ Nghe giảng lý thuyết trên lớp: 25
+ Làm bài tập trên lớp: 4
+ Tự học:1
- Đơn vị phụ trách môn học:
+ Bộ môn: Phương pháp tính
+ Khoa: Toán – Cơ – Tin học
- Môn học tiên quyết: Giải tích cổ điển, Đại số tuyến tính, Giải tích hàm
- Môn học kế tiếp: các môn phương pháp tính, các môn giải tích số, …
3. Mục tiêu của môn học:
- Mục tiêu về kiến thức: Môn học trang bị kiến thức hiện đại về lý thuyết xấp xỉ hàm
thực bằng đa thức lượng giác, đa thức đại số, sóng nhỏ và các công cụ khác. Phần
cơ bản của môn học là xấp xỉ bằng phương pháp tuyến tính. Tuy nhiên môn học

cùng đề cập đến một số vấn đề hiện đại của xấp xỉ phi tuyến.
- Mục tiêu về kĩ năng: Sinh viên có thể vận dụng những kiến thức đã được tiếp thu
trong các lĩnh vực của giải tích số, phương pháp tính, xử lý và nén tín hiệu…
- Các mục tiêu khác: thái độ học tập nghiêm túc.
4. Tóm tắt nội dung môn học:

2
Chương đầu trình bày Định lý Weierstrass về xấp xỉ hàm liên tục bằng đa thức với
độ chính xác tùy ý. Chứng minh định lý này được dựa trên định lý xấp xỉ bằng toán
tử tích phân sử dụng đa thức Bernstein cho hàm không tuần hoàn và tổng Fejer cho
hàm tuần hoàn. Chương 2 đề cập đến các không gian hàm số trơn như Sobolev,
Holder và Lipschittz và mối quan hệ giữa các không gian này. Chương 3 trình bày
sự tồn tại và duy nhất của xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian
định chuẩn. Chương 4 trình bày các định lý thuận và đảo xấp xỉ tốt nhất bằng đa thức
lượng giác và đa thức đại số. Chương 5 trình bày xấp xỉ phi tuyến bằng n số hạng.
Chương 5 đề cập sơ lược đến sóng nhỏ và phân tích đa phân giải như một công cụ
xấp xỉ.
5. Nội dung chi tiết môn học:
Chương 1: Định lý Weierstrass
1.1. Các bài toán cơ bản của lý thuyết xấp xỉ
1.1.1. Đối tượng, công cụ và sai số xấp xỉ
1.1.2. Định tính trong xấp xỉ
1.1.3. Định lượng trong xấp xỉ: liên quan giữa độ trơn và tốc độ xấp
xỉ
1.2. Các kiến thức chuẩn bị
1.2.1. Đa thức Bernstein
1.2.2. Hệ số Fourier, tổng Dirichlet và tổng Fejer
1.3. Xấp xỉ bằng toán tử tích phân
1.3.1. Xấp xỉ bằng toán tử tích phân
1.3.2. Xấp xỉ bằng toán tử tổng

1.4. Định lý Weierstrass
1.4.1. Định lý Weierstrass đối với hàm không tuần hoàn
1.4.2. Định lý Weierstrass đối với hàm tuần hoàn
1.5. Bài tập
Chương 2: Xấp xỉ tốt nhất
2.1. Định lý tồn tại và duy nhất
2.1.1. Định lý tồn tại
2.1.2 Định lý duy nhất
2.2. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian định chuẩn
2.2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert
2.2.2. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn
2.3. Bài tập
Chương 3: Không gian các hàm số
3.1. Không gian định chuẩn các hàm số

3
3.1.1. Không gian các hàm liên tục và trơn
3.1.2. Không gian các hàm có biến phân bị chặn
3.1.3. Không gian định chuẩn Lp.
3.2. Không gian Sobolev
3.3. Modul liên tục và modul trơn
3.3.1. Modul liên tục
3.3.2. Modul trơn
3.3.3. Modul liên tục và modul trơn tích phân
3.4. Không gian Holder và Lipschittz
3.4.1. Không gian Lipschittz
3.4.2. Không gian Holder
3.4.3. Mối quan hệ giữa các không gian
3.5. Bài tập
Chương 4: Các định lý cơ bản của lý thuyết xấp xỉ

4.1. Bất đẳng thức Bernstein
4.1.1. Công thức nội suy Ricz
4.1.2. Bất đẳng thức Bernstein
4.2. K-phiếm hàm
4.2.1. Định nghĩa và tính chất của K-phiếm hàm
4.2.2. Mối quan hệ của modul trơn và K-phiếm hàm
4.3. Định lý thuận về xấp xỉ đa thức lượng giác
4.3.1. Các dạng cơ bản của định lý thuận
4.3.2. Nhân Jackson tổng quát và tính chất
4.3.3. Định lý thuận Stechkin
4.3.4. Xấp xỉ đồng thời
4.4. Định lý đảo xấp xỉ đa thức lượng giác
4.4.1. Bất đẳng thức giữa modul trơn và xấp xỉ tốt nhất
4.4.2. Các dạng của định lý đảo
4.5. Xấp xỉ bằng đa thức đại số
4.5.1. Định lý thuận
4.5.2. Định lý đảo
4.6. Bài tập
Chương 5: Xấp xỉ phi tuyến
5.1. Xấp xỉ phi tuyến trong không gian Hilbert
5.2. Xấp xỉ phi tuyến bằng n số hạng

4
5.3. Xấp xỉ tuyến tính và phi tuyến bằng các hàm bậc thang
5.4. Bài tập
Chương 6: Sóng nhỏ (Wavelets)
6.1. Sóng nhỏ Haar và sóng nhỏ Shannon-Kotelnikov
6.1.1. Sóng nhỏ Haar
6.1.2. Sóng nhỏ Shannon-Kotelnikov
6.2. Phân tích đa phân giải và cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn

6.2.1. Cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn
6.2.2. Phân tích đa phân giải
6.2.3. Định lý Meyer-Malat
6.3. Bài tập
6. Học liệu:
6.1 Học liệu bắt buộc:
1. R.A. DeVore, G.G. Lorentz, Constructive Approximation, Springer, Berlin-
Heidelberg, 1993.
2. Daubechies. Ten Lectunes on Wavelets, Society for Industial and Applied
Math, Philadenphia 1992.
6.2 Học liệu tham khảo:
3. G.G. Lorentz, M.V.Golitschek, Yu.Makovoz, Contructive Approximation,
Advance 3. Problems, Springer, Berlin-Heidelberg, 1996
4. E. Hernandez, G.Weiss, A First Course on Wavelets, CRC Press, 1996
5. S.M. Nikolskii, Approximation of Functions of Several Variables and
Imbedding Theorems, Springer, Berlin-Heidelberg, 1975
6. N.I. Akhiezer, Theory of Approximation, Nauka 1965. (Russian)
7. D. Hong, J. Wang, R. Garner, Real Analysis with an Introduction to Wavelets
and Applications, Elsevier (Academic Press) 2005.
7. Hình thức tổ chức dạy học:
7.1 Lịch trình chung:


Nội dung
Hình thức tổ chức dạy học môn học
Tổng
Lên lớp
Thực hành,
thí nghiệm,
điền dã

Tự học, tự
nghiên
cứu
Lý thuyết Bài tập
Thảo
luận
Chương 1 3 1 0,2 4,2
Chương 2 2 2

5
Chương 3 5 1 0,2 6,2
Chương 4 7 1 0,2 8,2
Chương 5 3 0,2 3,2
Chương 6 5 1 0,2 6,2
Tổng 25 4 1 30
7.2 Lịch trình tổ chức dạy học cụ thể:
Tuần Nội dung chính
Yêu cầu sinh viên
chuẩn bị
Hình thức tổ
chức dạy học
Ghi chú
1
Chương 1:
Mục 1.1 – 1.2
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập

về nhà trên lớp

2
Chương 1:
Mục 1.3 – 1.4
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

3
Chương 2:
Mục 2.1 – 2.2
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
4
Chương 3:
Mục 3.1 – 3.2
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

5

Chương 3:
Mục 3.3
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

6
Chương 3:
Mục 3.4
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

7
Chương 4:
Mục 4.1
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

8

Chương 4:
Mục 4.2 – 4.3
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

9
Chương 4:
Mục 4.3 – 4.4
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

10
Chương 4:
Mục 4.4 – 4.5
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

11

Chương 5:
Mục 5.1 – 5.2
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập


6
Tuần Nội dung chính
Yêu cầu sinh viên
chuẩn bị
Hình thức tổ
chức dạy học
Ghi chú
trình được phát
về nhà trên lớp
12
Chương 5:
Mục 5.3
Chương 6:
Mục 6.1
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

13

Chương 5:
Mục 5.3
Chương 6:
Mục 6.1
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

14
Chương 6:
Mục 6.1 – 6.2
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

15
Chương 6:
Mục 6.2
Đọc trước học liệu
bắt buộc và giáo
trình được phát
Giảng lý thuyết
và chữa bài tập
về nhà trên lớp

8. Yêu cầu của giảng viên đối với môn học:
- Yêu cầu của giảng viên về điều kiện để tổ chức giảng dạy môn học như: giảng
đường có điều hòa, bảng đen…
- Yêu cầu của giảng viên đối với sinh viên: tham gia học tập trên lớp tối thiểu 80%,
làm đầy đủ các bài tập về nhà, …
9. Phương pháp và hình thức kiểm tra đánh giá môn học:
- Bài tập về nhà và thi viết
9.1 Các loại điểm kiểm tra và trọng số của từng loại điểm:
- Bài tập về nhà: 20%;
- Thi giữa kỳ : 20 %;
- Thi cuối kỳ: 60 %.
9.2 Lịch thi và kiểm tra (kể cả thi lại)
- Thi giữa kỳ: giữa Tuần thứ 8 và 9
- Thi cuối kỳ: sau tuần thứ 15
9.3 Tiêu chí đánh giá các loại bài tập và các nhiệm vụ mà giảng viên giao cho sinh
viên.
- Đánh giá bài tập về nhà theo trọng số 20%.