dạy học phương trình – bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương pháp giải cho học sinh thpt ở miền núi

Luận văn
Dạy học phương trình – bất phương
trình vô tỷ theo hướng phân loại
phương pháp giải cho học sinh THPT
ở miền núi
1
Mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
Trải qua hơn 20 năm đổi mới, đất nước ta đã thu được nhiều thành tựu
đáng kể về kinh tế, chính trị, văn hóa, xã hội, đặc biệt trong lĩnh vực khoa học kĩ
thuật. Nhưng bên cạnh đó gặp không ít khó khăn. Xã hội ngày càng phát triển,
càng đòi hỏi phải có đội ngũ lao động có trình độ khoa học kĩ thuật có năng lực
sáng tạo dám nghĩ, dám làm để thích ứng với thời đại.
Chính vì vậy Đảng và Chính phủ ta luôn coi giáo dục là quốc sách hàng
đầu. Trong đó giáo dục môn Toán giữ một vị trí rất quan trọng. Bởi lẽ rất nhiều
vấn đề của các ngành khoa học kĩ thuật dược giải quyết nhờ sự giúp đỡ đắc lực
của toán. Một kiến thức quan trọng và cơ bản là phương trình, bất phương trình
của chương trình THPT. Đặc biệt là mảng phương trình- bất phương trình vô tỷ.
Rất nhiều học sinh lúng túng và khó nhận dạng để lựa chọn cách giải. Các em
dùng tất cả các phép biến đổi thông thường nhưng cũng không tìm ra lời giải đối
với phương trình- bất phương trình vô tỷ lạ, cần vận dụng nhiều phương pháp
mới có thể giải được chúng.
Vì vậy, để giúp các em học sinh nâng cao khả năng giải Toán và hứng
thú trong học tập, cung cấp thêm cho giáo viên về phân loại một số phương pháp
giải phương trình − bất phương trình vô tỷ.Chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài ”Dạy
học phương trình – bất phương trình vô tỷ theo hướng phân loại phương pháp
giải cho học sinh THPT ở miền núi”.
2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một cách tổng quan và có hệ thống về phương trình − bất
phương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy và học môn toán cho giáo
viên và học sinh THPT, đặc biệt là các học sinh ở miền núi. Phân loại các

phương pháp giải phương trình- bất phương trình vô tỷ giúp học sinh hình thành
tư duy toán học trong quá trình học và làm bài tập.
2
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu phương trình- bất phương trình vô tỷ ở trường phổ thông.
- Vai trò của phương trình bất phương trình trong dạy học toán.
- Vị trí chức năng của bài toán về phương trình- bất phương trình.
- Phương pháp tìm lời giải.
- Yêu cầu của lời giải.
- Xây dựng hệ thống ví dụ cho từng phương pháp giải.
- Thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận tài liệu.
- Tìm hiểu thực tế ở phổ thông qua phiếu điều tra.
- Thực nghiệm sư phạm.
- Đánh giá kết quả thu được.
5. Đóng góp của đề tài
Đề tài góp phần vào việc xây dựng một cách có hệ thống các phương
pháp giải về phương trình- bất phương trình vô tỷ cho học sinh THPT, đặc biệt
là học sinh ở miền núi. Đồng thời là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên,
sinh viên ngành sư phạm toán để nâng cao chất lượng day và học.
6. Cấu trúc của đề tài
Phần mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận chung
1, Vai trò của phương trình – bất phương trình vô tỷ trong dạy học toán.
2, Vị trí chức năng của bài toán về phương trình bất phương trình.
3, Phương pháp tìm lời giải.
3
4, Yêu cầu lời giải.
5, Tìm hiểu việc dạy phương trình- bất phương trình vô tỷ 1 số trường

THPT.
Phần nội dung
Chương 2: Phân loại các phương pháp giải phương trình- bất phương
trình vô tỷ
1. Phương pháp biến đổi tương đương .
2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
3. Phương pháp nhân liên hợp.
4. Phương pháp hàm số.
5. Các phương pháp khác: phương pháp bất đẳng thức, phương pháp đồ
thị, phương pháp toạ độ véc tơ, phương pháp hình học, sử dụng điều kiện cần và
đủ, tính chẵn lẻ của hàm số…
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm: kiểm tra giả thiết khoa học và những cơ sở lí
luận của đề tài. Kiểm tra khả năng vận dụng các phương pháp giải phương trình,
bất phương trình vô tỷ.
2. Nội dung thực nghiệm.
3. Tổ chức thực nghiệm.
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
Phần kết luận
4
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1.Vai trò của phương trình - bất phương trình trong dạy học toán
Phương trình - bất phương trình là mảng kiến thức rất quan trọng trong nhiều
ngành khoa học đặc biệt là trong Toán học. Theo Ăngghen “Toán học nghiên
cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng của không gian thế giới khách
quan. Quan hệ bằng nhau giữa các đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ
bản”. “Quan hệ số lượng” được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và trừu tượng.
Chúng không những chỉ ra quan hệ logic “bằng nhau”, “

≥
”, “
≤
”, “>”, “<”, trên
tập hợp số mà được hiểu như những phép toán trên tập hợp có các phần tử là
những đối tượng loại tùy ý: Mệnh đề, phép biến hình…
Những kiến thức về phương trình – bất phương trình đã được nhiều nhà toán
học nghiên cứu và đã được phát triển thành lý thuyết đại số cổ điển. Không
những thế lý thuyết phương trình còn giữ vai trò quan trọng trong nhiều bộ môn
khác của toán học.
Trong lĩnh vực nghiên cứu thì phương trình – bất phương trình giữ một vị trí
quan trọng. Nhưng trong chương trình toán học ở nhà trường phổ thông thì
phương trình – bất phương trình cũng chiếm vị trí hết sức đặc biệt. Vì đây là nội
dung cơ bản của toán học, nhưng cũng rất phong phú và đa dạng với nhiều
phương pháp khác nhau.
1.1.2. Cấu trúc chương trình nội dung.
Trước khi học về phương trình - bất phương trình ở THPT học sinh đã được làm
quen và thực hành với những kiến thức liên quan đến phương trình - bất phương
trình và dần làm việc với chúng và từng loại thích ứng với yếu tố đã học. Khái
niệm phương trình - bất phương trình chính thức học sinh được học từ lớp 8 và
5
được ôn tập củng cố, chính xác hóa lại kiến thức đó ở lớp 10 đồng thời nâng cao
dần cho học sinh.
Lớp 8:
+ Phương trình bậc nhất một
ẩn
+ Phương trình có chứa ẩn ở
mẫu thức
+ Phương trình có chứa hệ số
chữ

+ Giải bài toán bằng cách lập
phương trình
+ Bất phương trình bậc nhất
một ẩn
+ Hai phương trình tương
đương
Lớp 9:
+ Hệ phương trình tương đương
+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Phương trình bậc hai một ẩn
+ Một số phương trình quy về bậc hai
Lớp 10:
Học sinh được ôn tập lại những kiến thức
về phương trình – bất phương trình đồng
thời đưa ra kiến thức nâng cao dần cho
học sinh
- Phương trình hệ quả
- Phương trình có chứa than số
đòi hỏi phải biện luận khi giải
- Định nghĩa bất phương trình,
các phép biến đổi tương đương
Lớp 11:
+ Phương trình lượng giác –
hệ phương trình lượng giác
+ Bất phương trình lượng
giác – hệ bất phương trình
lượng giác
Lớp 12:
Phương trình – hệ phương
trình mũ và lôgarit

6
đối với bất phương trình
- Giải bất phương trình bậc nhất
bậc hai.
Bất phương trình – hệ bất
phương trình mũ và lôgarit
Nội dung Tiết thứ
Chương III: Phương trình – hệ phương trình (9 tiết)
Bài 1: Đại cương về phương trình (2 tiết)
Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc
hai( 3 tiết)
Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều
ẩn (2 tiết)
Ôn tập chương III (1 tiết)
Kiểm tra chương III(1 tiết)
Chương IV: Bất đẳng thức – bất phương trình (15 tiết)
Bài 1: Bất đẳng thức (2 tiết)
Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
(3 tiết)
Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất (2 tiết)
Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (2 tiết)
Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai (4 tiết)
Ôn tập chương IV (1 tiết)
Kiểm tra chương IV (1 tiết)
19-20
21-22-23
24-25
26
27
28-29

30-31-32
33-34
35-36
37-38-39-40
41
42
7
Chương trình nâng cao.
Chương III: Phương trình và hệ phương trình (16 tiết)
Bài 1: Đại cương về phương trình (2 tiết)
Bài 2: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (2 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
Bài 3: Một số phương trình quy về phương trình bậc
nhất hoặc bậc hai (1 tiết)
Luyện tập (1 tiết)
Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn (3 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai 2 ẩn (1
tiết)
Ôn tập và kiểm tra chương III (2 tiết)
Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình (25 tiết)
Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (3
tiết)
Luyên tập (1 tiết)
Bài 2: Đại cương về bất phương trình (1 tiết)
Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
một ẩn (2 tiết)
Luyện tập (1 tiết)
Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất (1 tiết)
Luyện tập (1 tiết)

Bài 5: Hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
24-25
26-27
28-29
30
31
32-33-34
35-36
37
38-39
40-41-42
43
44
45-46
47
48
49
8
một ẩn (2 tiết)
Luyện tập (1 tiết)
Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai (1 tiết)
Bài 7: Bất phương trình bậc hai (2 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
Bài 8: Một số phương trình và bất phương trình quy về
phương trình bậc hai (2 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
Ôn tập và kiểm tra chương IV (3 tiết)
50-51
52
53

54-55
56-57
58-59
60-61
62-63-64
1.1.3. Vị trí chức năng của bài tập toán học
Như ta biết các bài toán về phương trình - bất phương trình là một dạng của
bài tập toán. Cho nên để hiểu vai trò của phương trình - bất phương trình ta đi
tìm hiểu về vị trí chức năng của bài tập toán học.
Ở trường phổ thông dạy học là một dạng hoạt động Toán học. Do đó học
sinh có thể xem việc giải bài tập Toán học là một hình thức chủ yếu của hoạt
động Toán học. Thông qua việc giải bài tập toán học, học sinh đều phải trải qua
những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những định nghĩa,
định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt
động trí tuệ phổ biến và những hoạt động trí tuệ chung. Các bài Toán ở trường
phổ thôn là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc
giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng,
kỹ xảo. Qua đó bước đầu rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn, bồi dưỡng
năng lực sáng tạo độc đáo, kỹ năng giải bài tập toán một cách thành thạo.
9
Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả trong việc giải bài tập toán
học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
*) Vai trò của bài tập toán thể hiện 3 bình diện.
- Bình diện mục tiêu dạy học
+ Hình thành củng cố tri thức kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau trong
quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành
phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm chất

đạo đức của người lao động mới.
• Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập toán là giá mang hoạt động liên
hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý
thuyết.
• Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động
để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ chức
cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo được
thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…Tất nhiên, việc giải bài tập.
Cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó của quá
trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng với những chức
năng khác nhau.
10
Như vậy bài tập toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển
năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành
phẩm chất tư duy khoa học, kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh
giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
Bài tập về PT-BPT vô tỷ mang đầy đủ chức năng, vai trò của một bài tập toán
học.
1.1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán
Không phải là thuật giải bài toán mà những kinh nghiệm giải toán mang tính
chất tìm tòi phát hiện
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của Polya về cách
thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học , tổng kết
phương pháp chung để giải bài toán như sau :
+Tìm hiểu nội nội dung đề bài. Ta thực hiện các thao tác :

− Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán
− Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh.
− Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả nội
dung đề bài.
+Tìm cách giải
− Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán .
Biến đổi cái đã cho cái phải tìm hay cái phải chứng minh.Liên hệ cái đã
cho cái phải tìm với những tri thức đã biết,liên hệ bài toán cần giải với
bài toán cũ tương tự,một trường hợp riêng , một bài toán tổng quát hơn ,
hay một bài toán nào đó có liên quan .Sử dụng những phương pháp đặc
thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng , quy nạp toán học ,
toán dựng hình, toán quỹ tích
− Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả tìm được với một số tri
thức có liên quan
11
− Tìm tòi những cách giải khác , so sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lí nhất .
VD: Để tìm lời giải bài toán giải PT:
( )
x x 5 5 **+ − =
Ta cần đặt ra câu hỏi :
− Đã gặp bài toán này hay chưa? Hay gặp bài toán này ở một dạng hơi
khác ? (PT trên là PT vô tỷ, ta đã gặp nhiều lần )
− Xét cái chưa biết (tìm nghiệm của PT trên )
− Thấy được bài toán có liên quan mà có lần bạn giải rồi. Có cần đưa thêm
một số yếu tố phụ thì mới áp dụng bài toán đó ?
− Giáo viên phân tích : Đặc điểm của PT chỉ chứa một nghiệm, làm thế nào
để biến đổi PT vô tỷ thành PT dạng nguyên? (có học sinh nêu ý kiến
chuyển vế

x
rồi ta bình phương hai vế được
( )
( )
2
2
x 5 5 x− = −
. Sau khi
đơn giản ta được
2
x 11x 30 0
− + =
. Đó là cách đồng thời bình phương
hai vế để đưa phương trình vô tỷ thành phương trình dạng nguyên. Có
thể tìm nghiệm của này dễ dàng )
− Để giải phương trình (**) thì điều kiện phương trình có nghĩa là
x 5≥
− Kiểm tra lại kết quả làm được
x 5
x 6
=


=


− Để bình phương hai vế thì
5 x 0 x 5− ≥ ⇔ ≤
. Đối chiếu điều kiện trên
thì

x 5=
là nghiệm của phương trình đã cho
− Có thật chỉ có cách giải đó thôi không? ( Những học sinh ham suy nghĩ
không chịu dừng lại ở đó, họ muốn tìm phương pháp khác. Có học sinh
đưa ra cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỷ về dạng nguyên .
− C2: Đặt
( )
y x 5 y 0= − ≥
. Ta có phương trình :
12

( )
( )
2
y 0
y y 0 y y 1 0
y 1 L
=

+ = ⇔ + = ⇔

= −


Quay trở về tìm
x
ta được
x 5 0 x 5− = ⇔ =
.
Vậy nghiệm của phương trình là

x 5=
)
− So sánh để tìm ra cách giải tối ưu. Rõ ràng cách thứ hai ngắn gọn hơn .
Có thể coi là cùng nhạc công nhưng bản nhạc đã khác.
+Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp, và thực hiện các bước đó.
+Nghiên cứu sâu lời giải
− Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
− Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.1.5.Yêu cầu đối với lời giải
 Lời giải không mắc phải những sai lầm
− Lời giải không mắc phải những sai lầm về kiến thức toán học, phương pháp
suy luận, kỹ năng tính toán. Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một
biểu thức một hàm số thoả mãn yêu cầu bài ra
− Yêu cầu này cũng đảm bảo lời giải phải đầy đủ, không được thiếu một trường
hợp nào, một chi tiết nào. Đặc biệt giải PT-BPT không được thiếu nghiệm.
− Ngôn ngữ dùng phải chính xác
− Lập luận phải chặt chẽ
+ Luận đề phải nhất quán: Luận đề là một yêu cầu hoặc một điều phải chứng
minh. Luận đề phải nhất quán nghĩa là không được đánh tráo đề bài, đánh tráo
điều phải chứng minh.
+ Luận cứ phải đúng: Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa định lý đã biết
.Trong quá trình giải bài tập phải sử dụng những tiên đề, định nghĩa định lý đã
biết một cách chính xác, đầy đủ các điều kiện
13
+ Luận chứng phải hợp lôgic: Luận chứng là phép suy luận được sử dụng trong
chứng minh, luận chứng phải hợp lôgic nghĩa là phép suy luận phải hợp lôgic
 Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất
Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vận

dụng được nhiều kiến thức khác nhau để di đến cùng một đích, chính quá trình
tìm được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ra
lời giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất và dùng kiến thức đơn giản nhất.
Tìm được những lời giải khác nhau cho một phương trình - bất phương trình là
rất tốt. Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh đã giải
đúng được bài toán theo một phương pháp nhất định. Đứng trước một phương
trình - bất phương trình đầu tiên cần lo giải được nó rồi mới giải theo một cách
khác
 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bài toán khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán mới nhờ
bỏ bớt đi một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ đi một số điều kiện ràng buộc,
hoặc một số đòi hỏi của kết luận, thay hằng bởi biến. Khi đó ta có bài toán mở
rộng hoặc tăng thêm độ phức tạp của bài toán cũ
 Một yêu cầu quan trọng về hình thức là trình bày lời giải rõ ràng đảm bảo
mĩ thuật
1.2. Cơ sở thực tiễn
*Tìm hiểu việc dạy phương trình - bất phương trình vô tỷ một số trường
THPT. Để thấy được thực trạng dạy và học nội dung phương trình trong các
trường THPT ở Sơn La. Chúng tôi điều tra mẫu trên những trường: THPT Mai
Sơn (Mai Sơn – Sơn La), THPT Phù Yên ( Phù Yên- Sơn La).
Để tìm hiểu thực trạng dạy và học chúng tôi tiến hành điều tra hai đối
tượng: Giáo viên và học sinh. Quá trình điều tra thu được kết quả như sau:
1. Điều tra giáo viên
Bảng 1: Đội ngũ giáo viên toán của trường THPT tỉnh Sơn La
14
Trường
THPT
Số
lượng
giáo

viên
Tuổi nghề Hệ đào
tạo
Chất lượng
giảng dạy
1-
10
10-
20
Trên
20
Trên
Đại
học
Đại
học
Cao
đẳng
Giỏi Khá Trung
bình
Mai Sơn 10 4 4 2 2 8 0 4 6 0
Phù Yên 14 10 2 2 0 14 0 2 3 0
Nhận xét : Qua điều tra trên cho ta thấy một số giáo viên có thâm niên
công tác lâu năm nên có những kinh nghiệm nhất định trong công tác giảng dạy.
Do đó trình độ các bước lên lớp và phương pháp dạy bộ môn đều nắm vững.
Tuy nhiên cũng có một số giáo viên trẻ mới bước vào nghề nên chưa có nhiều
kinh nghiệm trong công tác giảng dạy.
Về trình độ: Đa số các giáo viên được đào tạo trình độ đại học chính quy
về chất lượng giảng dạy, đa số đều đạt loại khá, giỏi. Trong mỗi trường đều có
những giáo viên đạt chất lượng loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp.

Tuy nhiên số lượng chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích cực trong cổ vũ và
động viên các nhà giáo phấn đấu nâng cao tay nghề và chất lượng giảng dạy
Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy phương trình của giáo viên 2
trường THPT: THPT Mai Sơn và THPT Phù Yên chúng tôi thu được kết quả
như sau :
Bảng 2: Đánh giá về nội dung “ Phương trình – Bất phương trình vô tỉ”
trong chương trình.
STT
Trường
THPT
Số
lượng
Nội dung chương
trình
Mức độ kiến thức
Phù
hợp
Không
phù
hợp
Dễ Khó
Bình
thường
1 Mai 10 6 4 0 4 6
15
Sơn
2
Phù
Yên
14 10 4 0 6 8

Kết quả điều tra cho thấy chương trình về “ Phương trình- bất phương
trình vô tỷ” của học sinh trường THPT là tương đối phù hợp, phân bố hợp lý,
mức độ kiến thức trong chương trình tương đối phù hợp với học sinh.
Kết luận: Bằng phương pháp điều tra tôi rút ra một số kết luận chung
nhất về thực trạng giảng dạy nội dung phương trình- bất phương trình vô tỷ ở 2
trường THPT của Sơn La như sau.
Sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học truyền thống và phương pháp
mới vào bài giảng, chú ý tới thao tác thực hành nhưng chưa thực sự sâu sắc,
chưa chú ý tới cơ sở xuất phát. Do đó gây hạn chế cho việc học sinh phát triển
khả năng nhìn nhận đánh giá có căn cứ, phần lớn còn lúng túng khi giảng “
Phương trình - bất phuơng trình vô tỷ” có các dạng phức tạp.
Một số giáo viên đã thực hiện đổi mới theo sự hiểu biết của mình dựa trên
những cơ sở phương pháp truyền thống, nhưng hiệu quả chưa cao.
2.Điều tra học sinh
Khó khăn lớn nhất của học sinh THPT nói chung và học sinh THPT miền
núi nói riêng là chưa linh hoạt trong việc giải phương trình - bất phương trình vô
tỉ. Dễ chán nản ngại làm khi gặp những bài toán “ phương trình - bất phương
trình vô tỷ “ ở dạng khó.
Bên cạnh đó đa số các em là con em của các đồng bào dân tộc nên không
có điều kiện để học tập, tài liệu tham khảo còn ít. Do đó kết quả học tập chưa
cao.
Qua điều tra về khả năng nhận thức, mức độ kiến thức tính hứng thú học
tập kiến thức phương trình - bất phương trình vô tỷ của học sinh.
Bảng điều tra đối với học sinh: Bảng 1
16
STT
Tên
trường
Lớp Sĩ số
Dân tộc

thiểu số
Kết quả học tập
1
THPT
Mai Sơn
10A2 45 9
Khá
-Giỏi
Trung
Bình
Yếu
kém
28 11 6
2
THPT
Phù Yên
10A1 42 18 20 12 2
Nhận xét: Số lượng học sinh dân tộc là bộ phân nhỏ. Đây là một trong số
lớp chọn của trường có tỉ lệ học sinh khá khá cao
Bảng 2
STT Nội dung
THPT
Mai Sơn
Lớp 10A2
THPT
Phù Yên
Lớp 10A1
1
Tính hứng
thú học tập

môn toán
Hứng thú 30 27
Bình thường 12 9
Không hứng 3 6
2
Thời gian
giành cho
học tập môn
toán
Nhiều 15 19
Vừa phải 20 21
ít 10 12
3
Đánh giá
môn toán
Khó 38 39
Bình thường 7 3
Dễ 0 0
4
Phương pháp
học môn toán
Tự học 0 0
Nghe giảng
đọc tài liệu
33 34
khác 12 8
17
Nhận xét: Đa số các em đều gặp khó khăn khi học toán. Thời gian giành cho
việc học toán chưa nhiều, phương pháp học chủ yếu là nghe giảng và đọc tài
liệu.

Bảng 3: Thống kê một số kỹ năng khi giải phương trình, bất phương trình vô tỷ.
TT
Kỹ năng cơ
bản
THPT Mai Sơn THPT Phù Yên
1
Nhận dạng PT-
BPT vô tỷ
Thành
thạo(
%)
Chưa
thành
thạo( %
)
Chưa
biết( %)
Thành
thạo
(%)
Chưa
thành
thạo(%)
Chưa
biết %
80 20 0 78 20 2
2
Phép biến đổi
tươngđương
77 15 8 75 20 5

3
Phương pháp
đặt ẩn phụ
65 20 15 50 40 10
4
Phương pháp
hàm số
15 50 35 20 40 40
5
Phương pháp
liên hợp
32 43 25 35 45 20
6
Các phương
pháp khác
22 28 50 15 40 45
Nhận xét: Qua bảng điều tra ta thấy học sinh hầu hết nắm được phương
pháp giải phương trình- bất phương trình vô tỷ: Là phương pháp biến đổi tương
đương và phương pháp đặt ẩn phụ còn các phương pháp khác các em chưa thành
thạo hoặc chưa biết. Có một số em biết phương pháp đó nhưng không biết vận
18
dụng như thế nào trong quá trình giải bài tập. Do đó giáo viên cần nắm bắt được
tình hình này để có phương pháp giảng dạy phù hợp.
CHƯƠNG II
PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT-BPT VÔ TỶ
2.1. Những kiến thức có liên quan
2.1.1. Phương trình
a) Định nghĩa
− Cho 2 hàm số f(x) và g(x) lần lượt có TXĐ:
f

D
và
g
D
. Đặt D=
f g
D D∩
.
Mệnh đề chứa biến x
∈
D có dạng f(x)=g(x) (1) được gọi là phương trình
một ẩn, x được gọi là ẩn số. D=
f g
D D∩
được gọi là tập xác định( hay là
miền xác định) của phương trình (1)
− Nếu
o
x D∃ ∈
sao cho
( ) ( )
o o
f x g x=
đúng thì
o
x
là 1 nghiệm của phương
trình (1). Tập T
( ) ( )
{ }

o o o
x D | f x g x= ∈ =
đúng gọi là tập nghiệm của
phương trình (1). Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Nếu
tập nghiệm của phương trình là tập rỗng thì ta nói phương trình đó vô
nghiệm.
19
b)Các định nghĩa về phương trình tương đương
− Giải một phương trình thường là biến đổi phương trình đó đi đến một
phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải. Nếu phép biến đổi
không làm thay đổi miền xác định của phương trình đã cho được biến đổi
tương đương. Nếu làm thay đổi miền xác định của phương trình thì có thể
tập hợp nghiệm của phương trình đã cho cũng bị thay đổi
− Muốn biết rõ hơn ta dựa vào các định lý và hệ quả sau:
Định lý 1:Cho phương trình
( ) ( )
f x g x=
. Nếu
( )
h x
có cùng miền xác định với
phương trình đã cho thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x h x g x h x= ⇔ + = +
 Hệ quả 1: Có thể chuyển các hạng tử từ vế này sang vế kia của
phương trình nhưng phải đổi dấu nó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x f x g x h x+ = ⇔ = −
 Hệ quả 2 :Mọi phương trình đều có thể đưa về dạng mà vế thứ 2

của nó bằng 0 :
( )
F x 0=

Định lý 2:Cho phương trình
( ) ( )
f x g x=
. Nếu biểu thức
( )
h x
có nghĩa và khác
0 trong miền xác định của phương trình đã cho thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x f x h x g x= ⇔ =
 Hệ quả :Có thể nhân 2 vế của một phương trình với một số khác 0
tuỳ ý
Định lý 3: Nếu nâng 2 vế của một phương trình lên một luỹ thừa bậc lẻ thì ta
được một phương trình tương đương với phương trình đã cho
c)Phương trình vô tỷ
Ta gọi mọi phương trình có ẩn dưới dấu căn thức là phương trình vô tỷ. Nói
cách khác, đó là phương trình có dạng
( )
f x 0=
trong đó
( )
f x
là một hàm số
vô tỷ ( có chứa căn thức của biến số;
x
có thể là một biến, khi đó phương trình

một ẩn, x có thể xem là n biến
( )
n
1 2 n
x x ,x , ,x R= ∈
khi đó phương trình có n
ẩn
20
2.1.2. Bất phương trình
a) Định nghĩa
Cho hai hàm số
( ) ( )
f x ,g x
với
n
x R∈
.
( )
f x
có miền xác định là
n
P R⊂
,
( )
g x
có miền xác định là
n
Q R⊂
. Cả hai hàm số được xác định trong miền
S P Q

= ∩
Bất phương trình
( ) ( )
f x g x>
là kí hiệu của hàm mệnh đề “số trị của hàm số
( )
f x
lớn hơn số trị của hàm số
( )
g x
”
S P Q
= ∩
là miền xác định của bất phương trình.
Nếu
( ) ( )
0 0 0
x S f x g x
∃ ∈ >
thì
0
x
là nghiệm của BPT
{ ( ) ( )
}
0 0 0
T x S f x g x
= ∈ >
là tập nghiệm của BPT
Giải một BPT là tìm tập nghiệm của nó. Nếu tập nghiệm của BPT là tập rỗng ta

nói BPT vô nghiệm
Định nghĩa tương tự cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x ; f x g x ; f x g x< ≥ ≤
b)Bất phương trình tương đương
Định lý 1: Cho hai hàm số
( ) ( )
f x ;g x
với
n
x R∈
.
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x g x f x> ⇔ <
Định lý 2: Cho ba hàm số
( ) ( ) ( )
f x ;g x ;h x
với
n
x R∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x 1 h x f x h x g x> ⇔ + > +
ở đó
( )
h x
có nghĩa trong miền
xác định của (1)
Định lý 3:Cho ba hàm số
( ) ( ) ( )
f x ;g x ;h x

với
n
x R∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x 1 h x f x h x g x (h 0> ⇔ > >
trong miền xác định của (1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x 2 h x f x h x g x h 0> ⇔ < <
trong miền xác định của (2)
21
Định lý 4: Cho hai hàm số
( ) ( )
f x ;g x
với
n
x R∈
( )
( )
( ) ( )
f x
0 f x .g x 0
g x
> ⇔ >
c) Bất phương trình vô tỷ
Ta biết rằng bất phương trình vô tỷ là một bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu
căn thức, nói khác đi đó là bất phương trình dạng
( )
f x 0>

hay
( )
f x 0<
trong
đó
( )
f x
là một hàm số vô tỷ (có chứa căn thức của biến số,
x
có thể là một
biến, khi đó phương trình một ẩn, x có thể xem là n biến
( )
n
1 2 n
x x ;x x R= ∈
khi đó phương trình có n ẩn )
2.2.Một số phương pháp giải thường gặp
2.2.1. Phương pháp biến đổi tương đương.
Giả sử f(x), g(x) là hai hàm số xác định trên E
⊂
R
a) Đối với phương trình vô tỷ
Dạng1
( ) ( )
( )
( ) ( )
2n
2n
g x 0
f x g x

f x g x
 ≥

= ⇔

=  

 

( ) ( ) ( ) ( )
2n 1
2n 1
f x g x f x g x
+
+
= ⇔ =  
 
Dạng 2
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2n 2n
f x 0
f x g x g x 0
f x g x

≥



= ⇔ ≥



=

( ) ( ) ( ) ( )
2n 1 2n 1
f x g x f x g x
+ +
= ⇔ =
22
Dạng3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2n 2n 2n
2n
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
f x 0,g x 0,h x 0
f x g x h x
f x g x 2n f x g x h x
f x g x h x f x g x 2n 1 f x g x h x
+ + + +
 ≥ ≥ ≥

+ = ⇔

+ + =



+ = ⇔ + + + =
Các căn thức bậc lẻ làm xong phải thử lại để khử nghiệm ngoại lai.
Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
1.
2
3x 9x 1 x 2 0− + + − =
(1).
2.
2
x 2x 4 2 x 0− − − − =
(2).
3.
3 3
3
x 1 3x 1 x 1+ + + = −
(3).
Bài giải.
1. Phân tích: Nhận thấy phương trình (1) có thể biến đổi và áp dụng dạng1 để
giải phương trình.
Lời giải
(1)
( )
2
2 2
2
2 x 0
2 x 0
3x 9x 1 x 4x 4

3x 9x 1 x 2
− ≥

− ≥


⇔ ⇔
 
− + = − +
− + = −



2
x 2
x 2
1
x 3
x
2
2x 5x 3 0
1
x
2
≤


≤



=

⇔ ⇔ ⇔ = −
 

− − =
−



=



Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm là
1
x
2
= −
Lưu ý: Khi giải PT trên học sinh thường đặt điều kiện
2
3x 9x 1 0− + ≥
mà không
đặt điều kiện
2 x 0− ≥
để bình phương 2 vế. Do đó lời giải sẽ bị sai.
23
2. Phân tích: Nhận thấy phương trình (2) có thể biến đổi và áp dụng dạng 2 để
giải phương trình.
Lời giải:

( )
2
2 2
2 x 0 x 2
2 x 2x 4 2 x
x 2x 4 2 x x x 6 0
− ≥ ≤
 
⇔ − − = − ⇔ ⇔
 
− − = − − − =
 
x 2
x 2
x 2
x 3
≤


⇔ ⇔ = −
= −




=


. Vậy phương trình (2) có 1 nghiệm là x=-2.
3. Áp dụng dạng 3 để giải phương trình ta có:

( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3
3
3
3 x 1 3x 1 x 1 x 1 3x 1 x 1
x 1 3x 1 3 x 1 3x 1 x 1 3x 1 x 1
3 x 1 3x 1 x 1 3x 3 x 1 3x 1 x 1 x 1
x 1 3x 1 x 1 x 1
⇔ + + + = − ⇔ + + + = −
⇔ + + + + + + + + + = −
⇔ + + − = − − ⇔ + + − = − −
⇔ + + − = − +
 
 

( )
( )
( )
2 2 2
x 0

x 1 3x 2x 1 x 2x 1 0 4x x 1 0
x 1
=

⇔ + − − + + + = ⇔ + = ⇔

= −

Thử lại, thay x=0 vào phương trình (3) ta có: 2=-1(vô lý).
Vậy x=0 không thỏa mãn phương trình (3) nên không là nghiệm của
phương trình (3).
Thay x=-1 vào phương trình (3) ta có:
3 3
2 2− = −
(đẳng thức đúng)
Vậy phương trình (3) có một nghiệm x=-1.
Chú ý: Trong một số phương trình để giải cho gọn ta có thể giải các
phương trình hệ quả của chúng, sau đó kiểm tra lại kết quả.
b) Đối với bất phương trình vô tỷ
Dạng 1
24
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2n
2n
f x 0
g x 0

f x g x
g x 0
f x g x

≥



<



> ⇔

 >




>  


 



( ) ( )
( )
( )
( ) ( )

2n
2n
f x 0
f x g x g x 0
f x g x

≥


< ⇔ ≥


<
 

 

Dạng2
( ) ( ) ( ) ( )
2n 1
2n 1
f x g x f x g x
+
+
> ⇔ >  
 

( ) ( ) ( ) ( )
2n 1
2n 1

f x g x f x g x
+
+
< ⇔ <  
 
Dạng 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2n 2n 2n
2n
2n 2n 2n
2n
f x 0,g x 0,h x 0
f x g x h x
f x g x 2n f x g x h x
f x 0,g x 0,h x 0
f x g x h x
f x g x 2n f x g x h x
 ≥ ≥ ≥

+ > ⇔

+ + >


 ≥ ≥ ≥


+ < ⇔

+ + <


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
f x g x h x f x g x 2n 1 f x g x h x
f x g x h x f x g x 2n 1 f x g x h x
+ + + +
+ + + +
+ > ⇔ + + + >
+ < ⇔ + + + <
Ví dụ minh hoạ: Giải các bất phương trình sau:
1.
2
4 2 2 2x x x− − > −
(1)
2. 2.
2
4 5 1x x x− − < −
(2)
3. 3.
3
2 1 1x x− + − >
(3)
Bài giải

1. Phân tích :
Nhận thấy bất phương trình (1) có dạng
f (x) g(x)>
. Áp dụng phép
biến đổi tương đương đối với dạng 1 ta có cách giải bất phương trình trên
Lời giải
25