Khóa luận tốt nghiệp toán học:Dạy học nguyên hàm và tích phân hàm hữu tỷ theo hướng phân dạng bài tập và phương pháp giải cho học sinh lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


NGUYỄN THỊ LOAN

DẠY HỌC NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
HÀM HỮU TỶ THEO HƯỚNG PHÂN DẠNG BÀI TẬP
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỌC SINH
LỚP 12










KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC







NGUYỄN THỊ LOAN

DẠY HỌC NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
HÀM HỮU TỶ THEO HƯỚNG PHÂN DẠNG BÀI TẬP
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỌC SINH
LỚP 12



Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC


Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Triệu Sơn

Sơn La, năm 2013


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em đã nhận được sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn giảng viên khoa Toán – Lý –Tin
Trường Đại học Tây Bắc, phòng quản lí khoa học, Ban chủ nhiệm khoa Toán –
Lí – Tin trường Đại học Tây Bắc. Đồng thời tôi cũng nhận được sự giúp đỡ của
các thầy cô giáo trong tổ bộ môn phương pháp toán trường Đại học Tây Bắc,
các thầy cô giáo dạy toán và học sinh khối 12 của hai trường T.H.P.T Than
Uyên, T.H.P.T Đoàn Kết. Cùng sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Thạc sĩ Đinh
Trọng Hiếu giáo viên trường THPT Đoàn Kết, sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn
sinh viên K50 – Đại học sư phạm Toán – Lí.
Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và các em học sinh đã đóng góp ý kiến, giúp tôi hoàn thành khóa luận.
Với luận văn này tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, phê bình của
các thầy cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn
Sinh viên

Nguyễn Thị Loan

KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT DÙNG TRONG KHÓA LUẬN

Kí hiệu, chữ viết tắt
Đọc là
THPT
Trung học phổ thông
NXBGD
Nhà xuất bản giáo dục
NXBHN
Nhà xuất bản hà nội
NXBĐHSP
Nhà xuất bản đại học sư phạm
GV
Giáo viên
HS
Học sinh

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Đóng góp của đề tài 2
6. Cấu trúc của khóa luận 2
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Dạy học giải bài tập toán học 3
1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học 3
1.1.2. Dạy học giải bài tập theo phương pháp đổi mới 4
1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải 4
1.1.4. Phương pháp tìm lời giải 5
1.2. Nguyên hàm - tích phân trong nhà trường phổ thông 6
1.2.1. Vị trí, phân phối của nguyên hàm - tích phân trong chương trình toán
học ở phổ thông 6
1.2.2. Dạy học nguyên hàm- tích phân ở trường phổ thông 7
1.3. Thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ

ở trường phổ thông 8
1.3.1. Đối tượng giáo viên 9
1.3.2. Đối tượng học sinh 13
1.3.3. Đề xuất giải pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực học tập cho học
sinh khi dạy các phương pháp tính tích phân ở trường THPT 18
CHƯƠNG II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
NGUYÊN HÀM HỮU TỶ - TÍCH PHÂN HỮU TỶ 19
2.1. Một số nguyên hàm hữu tỷ cơ bản 19
2.2. Phương pháp giải các dạng toán nguyên hàm hữu tỷ thường gặp 19
2.2.1. Phương pháp tính nguyên hàm dạng 1:
2
dx
ax bx c

(a # 0) 19

2.2.2. Phng phỏp tớnh nguyờn hm dng 2:

2
px
dx
ax bx c

vi P(x) l a
thc bc n 23
2.2.3. Phng phỏp tớnh nguyờn hm dng 3:


2
dx

x ax bx c

24
2.2.4. Phng phỏp tớnh nguyờn hm dng 4:



2
Px
dx
x ax bx c

vi
P(x) l hm a thc bc n 29
2.3. Phng phỏp gii cỏc dng toỏn tớch phõn hu t thng gp 32
2.3.1. Phng phỏp tính tích phân dạng tổng quát sau:

2
dx
I a 0
ax bx c





(trong đó
2
ax bx c 0
với mọi

x;
) 32
322.3.2. Phng phỏp tớnh tớch phõn dng 2:

mx n
I dx, a 0
2
ax bx c






35
2.3.3. Phng phỏp tớnh tớch phõn dng 3:
b
a
P(x)
I dx
Q(x)


với P(x) và Q(x) là
đa thức của x 37
2.3.4. Phng phỏp tớnh tớch phõn dng 4:

2
Px
dx
x ax bx c




39
Chng 3: THC NGHIM S PHM 42
3.1 Mc ớch thc nghim 42
3.2 Ni dung thc nghim 42
3.3 Phng phỏp thc nghim 42
3.4 T chc thc nghim 42
3.5. ỏnh giỏ kt qu thc nghim 49
3.6. Kt lun rỳt ra t thc nghim 50
PHN KT LUN 51
TI LIU THAM KHO 52

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay thế giới, sự phát triển như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học
kĩ thuật đã tác động mạnh mẽ tới mọi lĩnh vực của đất nước ta nói chung và thúc
đẩy sự nghiệp GD nói riêng chính sự đổi mới đất nước yêu cầu nghành GD-ĐT
phải có sự đổi mới về nội dung, chương trình đào tạo để đáp ứng nhu cầu tạo ra
những con người phát triển toàn diện có đủ đức và tài, những con người có tri
thức,trí tuệ phát triển thông minh sáng tạo, năng động đặc biệt là thực tế. Muốn
vậy các cấp học, bậc học trong nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho

các em hệ thống kiến thức cơ bản hiện đại và đặc biệt phải phù hợp với yêu cầu
thực tiễn.Tức là GD – ĐT phải vũ trang cho mình phương pháp dạy phát huy vai
trò chủ động của người học, giải đáp tốt bốn câu hỏi “Dạy ai ? Dạy cái gì? Dạy
như thế nào? Dạy để làm gì?
Trong học tập nói chung và học tập môn toán nói riêng,lí thuyết và bài
tập có sự tác động qua lại với nhau, hỗ trợ củng cố cho nhau. Để học sinh khắc
sâu kiến thức, có kĩ năng thực hành giải toán, đồng thời góp phần tích cực trong
việc giáo dục rèn luyện và phát triển trí tuệ cho các em.Tuy nhiên thực tế dạy
học cho thấy phần hơn học sinh chỉ ghi nhớ, áp dụng công thức toán học vào
giải bài tập chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa hiểu thấu đáo còn nhìn
nhận vấn đề đặt ra một cách máy móc.
Do đó vai trò của giáo viên “Tổ chức, định hướng, hoạt động tư duy giúp
học sinh vượt qua khó khăn ’’
Nguyên hàm hữu tỷ -Tích phân hữu tỷ là một phần phần quan trọng trong
giải tích toán học,các em học sinh lớp 12 và các sinh viên năm thứ nhất đại học
thường gặp những khó khăn trong việc học chuyên đề này. Chính vì vậy để giúp
các em học sinh tránh những sai lầm khi giải nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu
tỷ.Tôi đã lựa chọn đề tài: “Dạy học nguyên hàm và tích phân hàm hữu tỷ
theo hướng phân dạng bài tập và phương pháp giải cho học sinh lớp 12”.
Tôi hy vọng đề tài nghiên cứu của tôi sẽ là tài liệu tham khảo cho giáo
viên ở các trường THPT và các em học sinh lớp 12
2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận
Khóa luận nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học tích cực,
nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy và học môn toán cho giáo viên và học sinh
THPT.Việc phân dạng bài tập và phương pháp giải nguyên hàm hữu tỷ - tích

2
phân hữu tỷ giúp cho học sinh hình thành tư duy toán học trong quá trình học và
làm bài tập.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ở trường THPT
- Vai trò của Nguyên hàm hữu tỷ -Tích phân hữu tỷ trong chương trình toán
học ở THPT
- Vị trí chức năng của bài toán Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ
- Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân
hữu tỷ ’’ trong chương trình giải tích 12 ở một số trường THPT
- Tìm hiểu việc dạy giải bài tập “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ ’’
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra – quan sát
- Phương pháp thực nghiệm
5. Đóng góp của đề tài
- Đề tài đóng góp vào việc xây dựng một cách có hệ thống các dạng bài tập
và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ” cho học sinh
THPT. Đồng thời là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, sinh viên ngành
sư phạm toán để nâng cao chất lượng dạy và học.
6. Cấu trúc của khóa luận
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu của khóa luận
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Đóng góp của đề tài
6. Cấu trúc của khóa luận
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Phân dạng bài tập và phương pháp giải “Nguyên hàm hữu tỷ -
Tích phân hữu tỷ ’’ cho học sinh lớp 12
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Dạy học giải bài tập toán học
1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập toán học
Ở trường phổ thông dạy học là một hoạt động Toán học. Do đó học sinh có
thể xem việc giải bài tâp Toán học là một hình thức chủ yếu của hoạt động Toán
học. Thông qua việc giải bài tập Toán học, học sinh đều phải trải qua những
hoat động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những định nghĩa, những
định lý,quy tắc, phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt
đông trí tuệ phổ biến và những hoạt động trí tuệ chung. Các bài Toán ở trường
phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc
giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng,
kỹ xảo. Qua đó bước đầu rèn luyện tư duy mềm dẻo, nhuần nhuyễn, bồi dưỡng
năng lực sáng tạo độc đáo, kỹ năng giải bài tập Toán một cách thành thạo.
Hoạt động giải bài tập Toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
dạy học ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả trong việc giải bài tập
Toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học môn Toán.
Vai trò của bài tập Toán thể hiện 3 bình diện.
- Bình diện mục tiêu dạy học
+ Hình thành củng cố kiến thức kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau
trong quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành
phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
- Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập Toán là giá mang hoạt
động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày

trong phần lý thuyết.
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục tiêu day học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ

4
chức cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo
được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra … Tất nhiên, việc giải bài tâp
cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó của quá
trình dạy học mà nó đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng với những
chức năng khác nhau.
Như vậy bài tập Toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển
năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành
phẩm chất tư duy khoa học mà còn kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
Bài tập Nguyên hàm hữu tỷ - Tích phân hữu tỷ mang đầy đủ chức năng, vai
trò của một bài tập Toán học.
1.1.2. Dạy học giải bài tập theo phương pháp đổi mới
a) Xây dựng chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình.
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại hệ thống hóa gồm nhiều kiến thức.
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập sách giáo khoa là trường hợp
riêng dành cho học sinh khá giỏi.
b) Thực hiện gợi động cơ, phân bậc hoạt động tìm tòi lời giải bài toán.
c) Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập toán theo quy trình
bốn bước của G.Poria.
1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy hết tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần phải nắm vững
các yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như
vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng giải trong quá trình dạy học và đánh
giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những
yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết.
i) Kết quả đúng, kể cả bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ,…thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả của bước trung gian cũng
phải đúng. Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình,
biến đổi biểu thức…

5
2i) Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
+ Lập luận phải nhất quán.
+ Luận cứ phải đúng.
+Luận cứ phải hợp logic.
3i) Lời giải phải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ xót một trường hợp, một
chi tiết cần thiết nào, cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân
chia trường hợp không được thiếu khả năng nào,…
4i) Ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.
Việc dạy môn toán cũng phải tuân theo yêu cầu này.
5i) Trình bầy rõ ràng đảm bảo mỹ thuật
Yêu cầu này đặt ra đối với các lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các
yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu ,…) trong lời giải.
6i) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất
Cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán,
phân tích so sánh các cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí

nhất trong số các cách đã tìm được.
7i) Nghiên cứu giải các bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu (i) đến (4i) là các yêu cầu cơ bản, (5i) là yêu cầu về mặt trình
bầy và (6i), (7i) là các yêu cầu đề cao.
1.1.4. Phương pháp tìm lời giải
Trong môn toán ở chương trình phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải. Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinh
cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cách tốt nhất để giáo viên trang bị cho học
sinh một số tri thức phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa, nhằm rèn
luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc,
đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong
chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt nhằm trang bị những hướng dẫn
chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là có thể và cần thiết.

6
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với các gợi ý chi tiết của Polya
(1975) về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có
thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
+ Phát biểu đề bài dưới những dạng kiến thức khác nhau để hiểu rõ nội
dung bài toán.
+ Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh.
+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó
có liên quan, sử dụng các phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình,toán quỹ tích,…

+ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…
+ Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng đã chọn được cách giải hợp lí
Bước 3: Trình bầy lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trật tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.2. Nguyên hàm - tích phân trong nhà trường phổ thông
1.2.1. Vị trí, phân phối của nguyên hàm - tích phân trong chương trình toán
học ở phổ thông
Trong chương trình môn toán ở trường THPT, học sinh học về nguyên hàm
tích phân ở lớp 12. Nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ là môt phần rất quan
trọng trong mảng kiến thức về nguyên hàm tích phân. Nội dung kiến thức bao
gồm các vấn đề sau:
+ Định nghĩa nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm
cơ bản

7
+ Định nghĩa tích phân các tính chất cơ bản của tích phân, các phương pháp
tính tích phân, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích.
Tuy nhiên theo tư tưởng của chương trình sách giáo khoa đổi mới sẽ bổ
sung thêm trong phần nguyên hàm các phương pháp tính nguyên hàm làm nền
tảng cho các phương pháp tính tích phân.
Theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo phần nguyên hàm –
tích phân được học ở cuối học kì I sang đầu học kì II của lớp 12. Nội dung kiến thức
được chia dạy trong 19 tiết: Học kì I (8 tiết); Học kì II (11 tiết). Cụ thể như sau:
Giải tích 12: Chương III: Nguyên hàm và tích phân
Học kì I:

Bài 1: Nguyên hàm 2 tiết
Bài tập 2 tiết
Bài 2: Tích phân 2 tiết
Bài tập 2 tiết
Học kì II:
Bài 3: Các phương pháp tính tích phân 2 tiết
Bài tập 2 tiết
Bài 4: Ứng dụng hình học và vật lí của tích phân 2
Bài tập 2 tiết
Bài tập ôn tập chương 2 tiết
Kiểm tra viết cuối chương 1 tiết
1.2.2. Dạy học nguyên hàm- tích phân ở trường phổ thông
a. Dạy học nguyên hàm ở trường phổ thông
Dựa vào định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của đạo hàm, ta có thể
chứng minh được một số tính chất quan trọng của nguyên hàm như:
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x); a là một hằng số thì aF(x) là
nguyên hàm của af(x)
- F(x) + G(x) +C là họ nguyên hàm của f(x) + g(x) nếu F(x) là nguyên
hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x)
Dựa vào các tính chất đó và bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
ta có thể suy ra bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Dựa vào bảng
nguyên hàm cơ bản ta có thể tìm được nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ và
nhiều hàm số khác.

8

Tuy vậy cũng còn chưa tìm được nguyên hàm của một số khá nhiều hàm
số. Vì vậy cũng nên giới thiệu cho học sinh biết phương pháp tìm nguyên hàm
từng phần qua những ví dụ cụ thể. Nếu học sinh nắm được những đặc điểm cơ
bản của hai phương pháp này thì sau này, khi tính tích phân, sẽ có nhiều thuận

tiện hơn.
Khái niệm nguyên hàm một mặt có liên quan với khái niệm đạo hàm, mặt
khác có liên quan với khái niệm tích phân. Vì vậy khi dạy học tìm nguyên hàm,
cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng các kiến thức về đạo hàm đồng
thời cần chú ý rèn luyện cho họ những kĩ năng cần thiết sau này tính tích phân
tốt hơn.
b. Dạy học tích phân ở trường phổ thông
Muốn tính tích phân
 
b
a
f x dx

người ta thường tìm một nguyên hàm của
hàm số
 
fx
rồi sử dụng định lí Niuton-Leibnitz:

   
b
a
b
f x dx F x
a



Nếu sử dụng trực tiếp định lí Niuton-Leibnitz mà không tính được tích phân thì
người ta dùng phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phân.

Trong một số trường hợp, ta cần dùng phối hợp cả ba phương pháp: dùng
trực tiếp định lí Niuton-Leibnitz, đổi biến số, tích phân từng phần, và các trường
hợp phải đổi biến số nhiều lần hoặc tính tích phân từng phần nhiều lần.
Cũng nên chú ý rằng nếu nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân,trong
một số trường hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phương pháp đơn giản
hơn thông thường.
1.3. Thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân hữu tỷ
ở trường phổ thông
Để tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung nguyên hàm hữu tỷ - tích phân
hữu tỷ ở một số trường THPT, chúng tôi đã tiến hành khảo sát 2 trường THPT,
THPT Đoàn Kết, THPT Than Uyên.



9
1.3.1. Đối tượng giáo viên
Bảng 1
S
T
T
Trường
THPT
Số
lượng
giáo
Viên
Tuổi nghề ( năm )
Hệ đào tạo
Chất lượng
giảng dạy

1-10
10-20
Trên
30
ĐH
CĐ
TC
Giỏi
Khá
Trung
bình
1
Đoàn
Kết
6
4
2

6


2
4

2
Than
Uyên
10
5
3

2
10


6
4


Qua điều tra thấy phần lớn giáo viên có thâm liên công tác gần chục năm
trở lên, đã tích lũy được kinh nghiệm giảng dạy. Phương pháp giảng dạy bộ
môn khá ổn định, tay nghề vững vàng. Nhưng số giáo viên trẻ tuổi mới ra
trường còn bỡ ngỡ trong giảng dạy cũng có nên kết quả, chất lượng giảng dạy
còn chưa cao. Hầu hết giáo viên được đào tạo hệ chính quy, có một số giáo viên
được đào tạo ở hệ cử tuyển và chuyên tu đại học. Các giáo viên đều có chất
lượng giảng dạy đạt loại khá trở lên. Đặc biệt có những giáo viên dạy giỏi và đạt
danh hiệu dạy giỏi các cấp như ở trường THPT Đoàn Kết có 33,3% giáo viên thi
giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh đều đạt giải cao trong đợt vừa qua. Tuy chưa phải là
nhiều nhưng nó đã góp phần cổ vũ động viên các nhà giáo dục không ngừng học
hỏi để nâng cao tay nghề, trình độ chuyên môn của mình.


10
Bảng 2
STT
Nhận thức
phương pháp đổi
mới

Nội dung
THPT

Đoàn
Kết
THPT
Than
Uyên
1
Trọng tâm của
việc
đổi mới
phương pháp
Phát huy tích cực chủ động của
học sinh
8
10
Bồi dưỡng trí thông minh, sáng
tạo cho học sinh
2
6
Nâng cao năng lực, khả năng
sáng tạo của giáo viên
3
4
Ý kiến khác

1
2
Khả năng tiếp
thu bài giảng của
học sinh khi thực
hiện phương

pháp đổi mới
dạy học
Nhanh
3
5
Bình thường
6
8
Chậm hơn so với phương
pháp cũ
2
3
3

Thái độ học tập
của học sinh sau
khi áp dụng đổi
mới phương
pháp dạy học
Hăng hái phát biểu ý kiến
1
3
Còn rụt rè
4
2
Ỷ lại vào tài liệu, không tập
trung học tập nghe giảng
5
3
Ý kiến khác

1

Qua bảng 2 ta thấy hầu hết các giáo viên đều ý thức được trọng tâm, mục
đích của bài học theo phương pháp dạy học đổi mới. Tuy nhiên áp dụng thực
tế thì kết quả chưa cao, là do cả giáo viên và học sinh còn chưa quen, còn lạ
lẫm với phương pháp này, do trình độ nhận thức của học sinh chưa đồng đều,
các em còn rụt rè chưa hăng hái phát biểu ý kiến xây bài. Một số ít học sinh ỷ
lại vào tài liệu có sẵn. Điều đó chứng tỏ phương pháp dạy học đổi mới của
giáo viên còn chưa phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh, chưa kích
thích được trí tò mò, lòng ham hiểu biết của các em. Điều này được giải thích
bằng thực trạng giảng dạy, thực trạng đổi mới các nguyên nhân làm hạn chế
việc đổi mới dưới đây:

11
Bảng 3
S
T
T
Thực trạng
và
nguyên
nhân
Nội dung
THPT
Đoàn
Kết
THPT
Than
Uyên
1

Thực trạng
Giảng dạy
Thầy đọc - trò ghi


Đàm thoại giải quyết vấn đề
8
12
Học sinh tự nghiên cứu và giải quyết vấn
đề


Phương pháp khác
4
3
2
Thực trạng
Đổi mới
Thường xuyên
1
2
Chỉ vào các đợt thao giảng
2

Chỉ có ở các giáo viên khá giỏi
8
5
Rất ít khi dạy theo phương pháp đổi mới
2
1

3
Những khó
khăn gặp
phải khi
đổi mới
Đời sống giáo viên còn chưa cao,chưa
quan tâm giảng dạy theo phương pháp đổ
mới
1

Công tác quản lí, chỉ đạo cấp trên chưa
kịp thời dẫn đến giáo viên chưa tích cực
với dạy học và lên lớp
2
1
Cơ sở vật chất giảng dạy còn thiếu thốn
dẫn đến giáo viên chưa đủ điều kiện dạy
đổi mới
3

Phân phối chương trình chưa hợp lí, đồng
bộ
2
4
Việc đánh giá giảng dạy còn mang tính hình
thức, cứng nhắc
3

Khả năng nhận thức học sinh còn chưa cao
4

3
Ý kiến khác
2
12
4
Phương
pháp học
tập của
học sinh
Chỉ nghe trên lớp
5
3
Nghe giảng trên lớp và làm bài tập trong
sách giáo khoa
4
15
Đọc trước bài kết hợp nghe giảng
3
10
Chủ yếu nghiên cứu dựa vào sách giáo
khoa và tài liệu tham khảo
2
6
Ý kiến khác
1
4

12
Từ bảng số liệu thể hiện trên ta thấy việc đổi mới phương pháp giảng dạy
của giáo viên bậc THPT đã bước đầu được các nhà trường quan tâm. Việc sử

dụng phương pháp dạy học đổi mới đã có những chuyển biến ban đầu, giáo
viên đã biết cách tạo ra hệ thống câu hỏi phù hợp dẫn dắt học sinh đi đến tri
thức dựa vào đàm thoại vấn đáp. Tuy nhiên việc đổi mới diễn ra chưa thường
xuyên, chỉ được áp dụng trong các đợt thao giảng và chỉ có các giáo viên có
trình độ chuyên môn khá giỏi dù theo định hướng của bộ giáo dục sẽ áp dụng
phương pháp dạy học đổi mới đồng loạt vào bậc THPT trong năm 2006 –
2007, nhận thức của giáo viên về vấn đề này chưa sâu sắc, bản chất dạy học
hiện nay vẫn là trò thụ động tiếp thu kiến thức theo kiểu thầy truyền đạt, trò
tiếp nhận thầy đọc trò ghi.
Tình trạng này cũng một phần do nguyên nhân đời sống giáo viên chưa
cao,chưa đủ điều kiện tâm huyết với công việc giảng dạy, hơn nữa lại do công
tác quản lí chỉ đạo của cấp trên chưa kịp thời, đảng bộ, công tác kiểm tra đánh
giá mang tính chất hình thức, khuôn mẫu máy móc, học sinh vẫn chưa theo kiểu
dập khuôn, chưa ý thức được tầm quan trọng của việc học bài trên lớp và tự học
bài ở nhà, còn ỷ lại vào tài liệu có sẵn ( như sách giáo khoa, sách bài tập, sách
giải, sách học tốt, …) chưa tự ý thức tư duy kiến thức
Bảng 4
STT
Nội dung
Ý kiến
THPT
Đoàn Kết
THPT
Than Uyên
1
Sự phân bố chương trình
môn toán bậc THPT so
với trình độ nhận thức
của học sinh
Phù hợp

6
9
Chưa phù hợp
1
2
Bình thường
1
3
Ý kiến khác


2
Sự phân bố nội dung
chương trình nguyên
hàm hữu tỷ - tích phân
hữu tỷ đối với học sinh
Phù hợp
4
9
Chưa phù hợp
5
2
Bình thường
1
6
Ý kiến khác
2

13
Qua bảng thống kê trên ta thấy phần lớn giáo viên cho rằng phân phối
chương trình môn toán và phân phối chương trình nguyên hàm hữu tỷ - tích
phân hữu tỷ ở bậc THPT đã phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh và thời
gian tiết học.
1.3.2. Đối tượng học sinh
Việc điều tra ban đầu đã thu được các kết quả về số lượng học sinh, sơ yếu
lí lịch của học sinh một số lớp 12 như sau:
Bảng 5
Trường
THPT
Lớp
Tổng
HS
Điều
tra
Dân tộc
Học lực
Kinh
Thái
Tày
Dân
Tộc
khác
Giỏi
khá
Trung
bình
Yếu
Kém

Than
Uyên

12B
44
15
20

9
2
20
18
4
12D
42
10
18

14
1
18
16
7
Đoàn
Kết
12A
41
12

29
1
18
16
6
12C
39
10


29

8
26
5

Như vậy chất lượng học tập ở trường THPT Than Uyên cao hơn so với
trường THPT Đoàn Kết. Chất lượng học tập giữa các lớp trong cả hai trường
chưa đồng đều về số lượng học sinh khá, giỏi, trung bình, yếu kém. Nguyên
nhân do nhiều yếu tố khác nhau song dễ nhận thấy trường THPT Than Uyên
chất lượng học tập cao hơn do đây là trường thị trấn nơi đây tập trung nhiều
giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy, được nhà nước và nhân dân đầu tư về cơ sở
vật chất khá phong phú, các em có điều kiện học tập tốt. Còn trường THPT
Đoàn Kết là trường có nhiều học sinh con em dân tộc điều kiện học tập còn
nhiều khó khăn nên chất lượng học tập còn chưa cao. Do đó chất lượng, số học
sinh khá, giỏi của trường THPT Than Uyên có phần trội hơn trường THPT
Đoàn Kết.

14
Bảng 6
Trường THPT
Đoàn Kết
Than Uyên
Lớp
12A
12C
12B
12D
Sự yêu
thích môn
Toán
Rất thích
15
13
16
11
Bình thường
26
20
21
25
Không thích


5

Ý kiến khác

6
2
6
Thái độ
học tập
Thường xuyên phát
biểu ý kiến
14
12
15
10
Thỉnh thoảng
20
27
20
25
Không phát biểu
7

9
7
Thời gian
học tập
Rất nhiều
4
2
1
1
Không giành thời
gian

2
3
Ít
5
10
7
3
Vừa phải
28
22
28
29
Nhiều
4
2
2
3
Ý kiến khác

3
4
3
Từ bảng số liệu trên ta thấy hầu hết học sinh ở các lớp trong hai trường
đều rất thích học môn toán. Các em dành thời gian học khác nhau, sự phân bố
thời gian biểu khác nhau, song nhìn chung các em đều dành cho mình khoảng
thời gian hợp lí để học có hiệu quả nhất. Một điểm đáng chú ý là phần lớn các
em đều dành ra một lượng thời gian khá nhiều để học môn toán, đồng thời có
nhiều ý kiến đóng góp xây dựng bài trong giờ toán, tạo cho không khí học tập

sôi nổi, tăng sự hứng thú cho giờ học. Điều này rất quan trọng cho việc học bộ
môn. Nhưng vẫn còn tồn tại một số ý kiến như học toán chỉ cần hiểu trên lớp là
đủ, không cần học thêm thời gian ở nhà, hay việc phát biểu ý kiến theo từng bài,
bài dễ hiểu thì xung phong phát biểu, bài khó thì thôi, hoặc còn một số em chưa tự
tin vào câu trả lời nên còn rụt rè không dám phát biểu, chỉ những câu ăn chắc mới
dám giơ tay. Thực trạng trên dù ít nhưng vẫn đáng cảnh báo, bởi học phải đi đôi

15
với hành, ngoài giờ học trên lớp nắm được lý thuyết các em cần rèn luyện nhiều
thông qua việc làm bài tập ở nhà để tạo thành kỹ năng, kỹ xảo riêng. Hơn nữa, môn
toán là môn khó, kiến thức rộng, vì vậy đối với mỗi liều kiến thức thì lượng thời
gian trên lớp chỉ đủ cho các em nắm được phần kiến thức cơ bản, để các em hiểu
sâu, hiểu rộng hơn buộc phải đọc thêm nhiều tài liệu tham khảo ở nhà.
Bảng 7
Trường THPT
Đoàn Kết
Than Uyên
Lớp
12A
12C
12B
12D
Độ khó của
môn toán
Khó
20
25
21
19
Dễ

1
1
Thú vị
10
4
12
9
Bình thường
11
10
10
13
Phương
pháp
thường
dùng để học
toán
Nghe giảng và hiểu bài ngay
trên lớp
3
1
10
8
Nghe giảng trên lớp, đọc SGK
và tài liệu tham khảo
33
28
29

26
Tự học
1
1
2

Phương pháp khác
4
9
3
8
Đọc sách
tham khảo
Thường xuyên
10
6
17
18
Không
13
20
10
7
Thỉnh thoảng
15
11
13
14
Ý kiến khác
3

2
4
3
Học nhóm
Không
37
32
38
35
Thỉnh thoảng
3
5
4
4
Thường xuyên
1
1

3
Ý kiến khác

1
2


Qua bảng số liệu trên, chúng ta thấy phần lớn các em học sinh đều rất yêu
thích môn toán. Đây là một điều khả quan, rất đáng mừng trong điều kiện phát
triển và xu thế của thời đại ngày nay, bởi đặc thù môn toán có quan hệ chặt chẽ với

16

các nghành khoa học kỹ thuật. Đây sẽ là một tiềm lực lớn cho đất nước ta. Các em
đều cảm thấy môn toán thú vị hay có cảm nhận nhẹ nhàng không quá sợ đối với bộ
môn tương đối khó này. Tuy nhiên các em còn mới sử dụng phương pháp học theo
kiểu nghe giảng trên lớp kết hợp với đọc sách giáo khoa và tài liệu tham khảo,
phương pháp học như vậy còn thụ động chưa phát huy tối ưu tính tích cực học tập
của học sinh. Bên cạnh đó điều đáng phấn khởi là dù chưa phải nhiều nhưng cũng
có những em đã có ý thức tự giác học tập nghe giảng bài và hiểu bài ngay tại lớp,
kết hợp tự học ở nhà. Đa số các em đều sử dụng thêm sách tham khảo, ý thức tự
học, tự nghiên cứu đã tăng lên. Với thực trạng này việc áp dụng phương pháp dạy
học đổi mới vào bậc THPT có tính khả thi, có thể thực hiện được một cách dần dần
từ từ. Phải nói thêm rằng, ý thức học tập thể, học hỏi trao đổi lẫn nhau giữa các em
học sinh hiện nay còn kém, các em chủ yếu tự học, ít học tập theo nhóm chỉ được
sử dụng khi có các thầy cô giáo yêu cầu hoặc vào những đợt kiểm tra, tần số những
lần học nhóm của các em chưa cao nhưng đã có, điều này được phát huy khi áp
dụng phương pháp dạy học đổi mới.
Bảng 8
Trường
Đoàn Kết
Than Uyên
Lớp
12A
12C
12B
12D
Phương pháp
của GV được
HS yêu
Thích
Thầy đọc trò ghi
3

1
2

Thầy nêu câu hỏi hs trả
lời
5
4
4
3
Kết hợp hai phương pháp
trên
30
28
36
32
Ý kiến khác
3
6
2
7
Mức độ học sinh
học phần nguyên
hàm hữu tỷ- tích
phân hữu tỷ
Dễ

1
2
1
Khó

30
25
20
29
Bình thường
11
13
22
12
Những khó khăn
khi học phần
nguyên hàm hữu
tỷ- tích phân hữu
tỷ
Chưa xác định được dạng
bài
26
20
25
23
Tính nhầm khi thay cận
11
15
13
12
Không nhớ công thức
toán học liên quan
4
4
6

3
Ý kiến khác



4


17
Bảng 9
S
T
T
Một số kĩ năng
cơ bản
THPT
Đoàn Kết
THPT
Than Uyên
Thành
Thạo
(%)
Chưa
Thành
Thạo
(%)
Chưa
Biết
(%)
Thành

Thạo
(%)
Chưa
Thành
Thạo
(%)
Chưa
Biết
(%)
1
Tính tích phân
sử dụng trực
tiếp, hoặc đưa
về nguyên hàm
cơ bản và sử
dụng định nghĩa


20,5


70


9,5


23

68,5


8,5
2
Tính tích phân
bằng phương
pháp đổi biến số

37

60,2

2,8

29,8

60,2

10
3
Tính tích phân
bằng pp tích
phân từng phần

30

65

5

31,9

59,6

8,5

Như vậy, qua hai bảng số liệu cho ta thấy rằng phần lớn các em học sinh
đều có xu hướng học theo kiểu vấn đáp giải quyết vấn đề có lẽ trong tiết học
như vậy đã khuấy động được không khí sôi động của cả lớp, đồng thời tạo sự
hứng thú cho việc học tập của các em. Với tiết học đó học sinh tập trung tiếp thu
bài giảng tốt hơn. Điểm tích cực này là điều kiện thuận lơi cho việc áp dụng
phương pháp dạy học theo hướng đổi mới phát huy tính tích cực học tập, tự phát
hiện và giải quyết vấn đề của các em.
Đối với phần học nguyên hàm hữu tỷ- tích phân hữu tỷ các em đều nhận xét
rằng khó, điều này càng được thể hiện rõ trong bảng 9 nói lên mức độ, kỹ năng
giải toán tính nguyên hàm hữu tỷ- tích phân hữu tỷ của các em chưa thành thạo.
Nhìn chung là các em chưa thật sâu sắc hay còn mơ hồ trong việc giải các bài

18
toán tính nguyên hàm hữu tỷ- tích phân hữu tỷ. Để khắc phục tình trạng này
theo tôi cần phân dạng bài tập và phương pháp giải. Đưa ra một số biện pháp
góp phần thúc đẩy nâng cao chất lượng dạy học ở các trường THPT miền núi.
1.3.3. Đề xuất giải pháp sư phạm nhằm nâng cao năng lực học tập cho
học sinh khi dạy các phương pháp tính tích phân ở trường THPT
Qua số liệu thống kê điều tra được về giáo dục của một số trường THPT
miền núi. Các giáo viên phần đa chỉ mới cho học sinh tiếp cận ngoài rìa.
Phương pháp dạy học mới chứ chưa một nơi nào áp dụng hoàn chỉnh. Chính vì
thế kết quả giáo dục chưa cao, học sinh còn luống cuống trong học tập. Từ thực
tế đó tôi xin đưa ra một số giải pháp sau:

Phân dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán tích phân hữu tỷ -
nguyên hàm hữu tỷ ở chương trình toán lớp 12. Nhằm mục tiêu giúp học sinh
đứng trước một bài toán tích phân hữu tỷ - nguyên hàm hữu tỷ biết được ở dạng
nào và cách làm thế nào, giải thích được tại sao làm như vậy? Dạy cho học sinh
biết cách phân dạng bài tập và phương pháp giải từng bài để các em có thể áp
dụng được để giải thành thạo các bài tập.




19
CHƯƠNG II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
NGUYÊN HÀM HỮU TỶ - TÍCH PHÂN HỮU TỶ

2.1. Một số nguyên hàm hữu tỷ cơ bản

dx
1. ln | x | C
x
du
ln u C
u






2
2

dx 1
2. C
xx
du 1
C
uu








 
 
 
 
2
21
2
2
1
dx 1
3. ln | ax b| C
ax b a
dx 1 1
4. C
(ax b) a ax b
ax b

dx 1
ax b C
a 2 1
ax b
ax+b
1
C
a1
11
C
a (ax b)



  





   













ku' u'dx
5. dx k kln | u | C
uu
  


2.2. Phương pháp giải các dạng toán nguyên hàm hữu tỷ thường gặp
2.2.1. Phương pháp tính nguyên hàm dạng 1:
2
dx
ax bx c

(a # 0)
Phương pháp chung: Ta thực hiện các bước sau
Bước 1: Tính
2
b 4ac  

Bước 2: Phân chia các trường hợp của


+ Với

> 0. Ta biến đổi để đưa nguyên hàm về tổng các nguyên hàm dưới
dạng
dx
ax+b

