đề tài các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 1
PHẦN MỞ ðẦU
I.Lý do chọn ñề tài
Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục ở ñất nước ta ñang diễn ra mạnh mẽ
và dần hoàn thiện. ðiều ñó ñòi hỏi người dạy và học phải tìm tòi ra những phương
pháp tổng hợp một lượng kiến thức khá sâu và rộng phù hợp hơn với chương trình
mới. Trong chương trình cải cách toán Trung học phổ thông thì phân môn lượng
giác ñóng vai trò khá quan trọng. Ngoài ra nó còn khá nhiều ứng dụng trong việc
giải các phân môn khác của toán học và một số môn học khác. ðối với các học sinh
Trung Học Phổ Thông, một số các bạn sinh viên và giáo viên thì việc học và dạy
toán lượng giác tương ñối gặp khá nhiều khó khăn vì tính phức tạp và ña dạng của
nó. Là một sinh viên năm 3 của khoa sư phạm vừa trải qua học phần kiến tập sư
phạm tôi ñã mạnh dạn chọn ñề tài “ Các phương pháp giải phương trình lượng
giác và bài tập”cho học phần tiểu luận tốt nghiệp của mình. ðể giúp các bạn sinh
viên, học sinh và một số giáo viên Trung Học Phổ Thông nắm vững ñược một số
phương pháp giải toán phương trình lượng giác hơn. ðồng thời chuẩn bị một lượng
kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân trong tương lai và học
phần Thực tập sư phạm sắp tới. Nhưng do tính ña dạng, phức tạp của lương giác và
thời gian thực hiện ñề tài khá hạn hẹp nên nội dung bài tiểu luận chỉ gói gọn một số
phương pháp giải toán lượng giác và lượng bài tập cơ bản.
II.Mục ñích nghiên cứu
-Hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp
- Có ñược một số phương pháp giải toán phù hợp với bản thân góp phần thực
hiện tốt hơn học phần tực tập sư phạm sắp tới cũng như trong việc giảng dạy trong
tương lai
-Làm nguồn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh, sinh viên và các bạn yêu
toán khác trong việc giải toán và nghiên cứu các ñè tài khác có liên quan.
-Góp phần phục vụ cho việc tổng hợp các phương pháp giải toán lượng giác
Trung học phổ thông.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập

SVTH:Nguyễn Thị ðông 2
III. Thời gian thực hiện ñề tài
Từ ngày: 31/12/2008 ñến ngày 12/04/2009
IV. Phạm vi nghiên cứu
Vì thời gian thực hiện ñề tài tương ñối ngắn và song song với việc thực hiện
nhiều học phần khác nên ñề tài chỉ nghiên cứu chủ yếu các phương pháp giải
phương trình lượng giác tổng quát và mốt số dạng thương gặp.
V.Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện ñề tài tôi ñã thực hiện nhiều phương pháp khác
nhau ñể nghiên cứu. Ở ñây, chủ yếu tôi sử dụng phương pháp tổng hợp, khái quát
các nguồn tư liệu sưu tầm ñược. Trên cơ sở ñó chọn lọc, thống kê lại theo một hệ
thống logic sao cho phù hợp. Bên cạnh ñó còn sưu tầm, tham khảo các bài báo cáo,
các luận văn khác có liên quan. Nhất là tham khảo cách trình bày, cách bố trí từng
ñề mục của những bài nghiên cứu khác sẽ góp phần giúp cho tiểu luận thật sự logic
và khoa học.
VI. Bố cục ñề tài: gồm ba phần
*PHẦN MỞ ðẦU
Giới thiệu sơ lược về ñề tài, phương pháp tiếp cận và thực hiện ñề tài.
*PHẦN NỘI DUNG
A. Lý thuyết: Giới thiệu tổng quát các kiến thức cơ bản cần thiết và các phương
pháp giải phương trình lượng giác.
I.Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản
I.1. Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản
I.2. Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt; Cung liên kết
I.3.Công thức cộng
I.4.Công thức nhân
I.5 Công thức biến ñổi tổng thành tích
I.6. Công thức biến ñổi tích thành tổng

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 3
II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác
II.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản
II.2.Phương pháp ñưa về phương trình tích
II.3.Phương pháp ñặt ẩn số phụ
II.4 phương pháp ñối lập
II.5.Phương pháp tổng bình phương
B. Bài tập: Giải một số bài tập giúp nắm vững hơn các phương pháp giải phhương
trình lượng giác và một số bài tập tự luyện từ dễ ñến khó có hướng dẫn và ñáp số.
C. Một số chú ý quan trọng trước khi giải phương trình lượng giác

*PHẦN KẾT LUẬN
Nhận ñịnh về khả năng phát triển, tầm quan trọng và lợi ích của ñề tài.

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 4
PHẦN NỘI DUNG
A. Lý thuyết
I.Các công thức và phép biến ñổi lượng giác cơ bản.
I.1 Các công thức biến ñổi lượng giác cơ bản.
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin cos
;cot
cos sin
.cot 1;sin cos 1
1 1
1 ;1 cot
cos sin
cot
sin ;cos
1 1 cot
x x
tgx gx
x x
tgx gx x x
tg x g x
x x
tg x g x
x x

tg x g x
= =
= + =
+ = + =
= =
+ +

I.2 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt; Cung liên kết.
I.2.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt.
0 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin x 0
1
2

2

2

3
2

1
3
2

2
2

1
2

0
cos x 1
3
2

2
2

1
2

0
-
1
2

-
2
2
-
3
2

-1
tg x 0
3
3

1
3

∞

-
3

-1
-
3
3

0
cotg x

∞

3

1
3
3

0
-
3
3

-1
-
3

∞

I.2.2 Cung liên kết
a.Cung ñối nhau
cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx
tg(-x) = -tgx cotg(-x) = -cotgx
b.Cung bù nhau
cos(
π
-x) = -cosx sin(
π
-x) = sinx
tg(-x) = -tgx cotg (
π

-x) = -cotgx
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 5
c. Cung phụ nhau
cos(
2
π
-x) = sinx sin(
2
π
-x) = cosx
tg(
2
π
-x) = cotgx cotg(
2
π
-x) = tgx
d. Cung hơn kém
π

cos(
π
+x) = -cosx sin(
π
+x) = -sinx
tg(
π
+x) = tgx cotg(
π

+x) = cotgx
e. Cung hơn kém
2
π

cos(
2
π
+x) = -sinx sin(
2
π
+x) = cosx
tan(
2
π
+x) = -tanx cotg(
2
π
+x) = -cotgx
I.3 Công thức cộng
sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa
cos(a+b) = cosa.cosb – sina.cosb
cos(a-b) = cosa.cosb + sina.cosb
tg(a+b) =
1 .
tga tgb
tga tgb
−
+

;(a,b,a+b ,
2
k k
π
π
≠ + ∈
Z
)
tg(a-b) =
1 .
tga tgb
tga tgb
+
−
;(a,b,a+b ,
2
k k
π
π
≠ + ∈
Z
)
I.4 Công thức nhân
I.4.1 Công thức nhân ñôi
sin2a =2.sinx.cosx
cos2a = cos
2
x– sin
2
x

= 2. cos
2
x -1
=1- 2. sin
2
x
2
2
2 ;( , )
1 2
tga
tg a a k k
tg a
π
π
= ≠ + ∈
−
Z

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 6
I.4.2 Công thức hạ bậc

2
1
sin (1 os2 )
2
a c a
= −
2

1
os (1 os2 )
2
c a c a
= +

2
1 os2
;( , )
1 os2 2
c a
tg a a k k
c a
π
π
−
= ≠ + ∈
+
Z

I.4.3 Công thức tính theo tg
2
a
= t; (
2
a
≠
2
π
+k

π
, k
∈
Z
)
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
1
t
a
t
t
a
t
t
tga
t
=
+
−
=

+
=
−

I.5 Công thức biến ñổi tích thành tổng

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
1
cos .cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
 
 
= − + +
 
 
= − − −
 
 

I.6. Công thức biến ñổi tổng thành tích

sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
   
+ =
   
   
+ −
   
− =
   
   

+ −
   
+ =
   
   
+ −
   
− = −
   
   

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 7
II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác
II.2.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản.
a. Phương pháp: Dùng phép biến ñổi lượng giác tương ñương ñưa về các dạng
phương trình lượng giác cơ bản ñã biết ñể giải.

b. Các phương trình lượng giác cơ bản
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ( )
( ) ( ) 2
u x v x k
u x v x k
u x v x k
π
π π
= +

= ⇔ ∈


= − +

Z

( ) ( ) 2
cos ( ) os ( ) ( )
( ) ( ) 2
u x v x k
u x c v x k
u x v x k
π
π
= +

= ⇔ ∈

=− +

Z

cos ( ) 0
( ) ( ) cos ( ) 0
( ) ( ) ,
u x
tgu x tgv x v x
u x v x k k
π
≠



= ⇔ ≠


= + ∈

Z


c.Ví dụ:
* Ví dụ 1:
os( ) sin(2 ) 0
3 2
c x x
π π
+ + + =
(1)
Giải
(1) cos( ) sin(2 ) cos( ) cos( 2 )
3 2 3 2 2
cos( ) cos 2 cos( ) cos( 2 )
3 3
2 2
2 2
3 9 3
( ) ( )
4
( 2 ) 2 2
3 3
x x x x

x x x x
x x k x k
k k
x x k x k
π π π π π
π π
π
π π π
π π
π π
π π π
⇔ + = − + ⇔ + = − − −
⇔ + = − ⇔ + = −
 
+ = − + = +
 
⇔ ∈ ⇔ ∈
 
 
+ = − − + = −
 
 
Z Z


Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 8
Vậy nghiệm của phương trình (1) là:
2 2
9 3

( )
4
2
3
x k
k
x k
π π
π
π

= +

∈


= −


Z

* Ví dụ 2:
3 3
3
sin .cos sin .cos
8
x x x x− =
(2)
Giải:
2 2

3 1 3
sin .cos (sin cos ) .sin 2 .( cos2 )
8 2 8
1 3 3
.sin 4 sin 4
4 8 2
sin 4 sin sin 4 sin( )
3 3
x x x x x x
x x
x x
π π
⇔ − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ = −
⇔ = − ⇔ = −

4 2
3
12 2
( ) ( )
4 2
3 2
3
x k
x k
k k
x k
x k
π
π π

π
π π
π
π π


= − +
= − +


⇔ ∈ ⇔ ∈




= +
= + +




Z Z

Vậy phương trình ñã cho có 2 họ nghiệm:
12 2
( )
3 2
x k
k
x k

π π
π π

= − +

⇔ ∈


= +


Z

II.2.Phương pháp ñưa về phương trình tích.
II.2.1 Phương pháp: Sử dụng các phép ñổi tương ñương ñưa phương trình ñã
cho về dạng phương trình tích.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 9
1
1
2
( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
.
.
.
( ) 0
n
i

i
n
P x A x
A x
A x
A x
=
⇔ =
=


=


⇔




=


∏

Giải các phương trình A
i
=0; Tìm nghiệm và hợp tất cả các nghiệm ñó chính
là nghiệm của phương trình ban ñầu.
II.2.2. Bài tập ví dụ:
* Ví dụ 3)

6 4
2 os sin cos 2 0
c x x x
+ + =
(3)
Giải
4
6 4 2
2 4
2 4 2 2
2 4 2 2
2 4 2
2 4 2
2 4 2
(3) 2 os sin 2cos 1 0
2cos (cos 1) sin 1 0
2cos (cos 1) (sin 1)(sin 1) 0
2cos (cos 1) cos (sin 1) 0
cos [2(cos 1) (sin 1)] 0
cos (2cos sin 1) 0
cos (2cos cos ) 0
c x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
⇔ + + − =
⇔ + + − =

⇔ + + − + =
⇔ + − + =
⇔ + − + =
⇔ − + =
⇔ + =
⇔
2
2
4 2
2
1
cos
cos 0
2
2cos cos 0
cos 0
cos 0 ;
2
x
x
x x
x
x x k k
π
π


= −
=


⇔


+ =

=


⇔ = ⇔ = + ∈Z

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là:
;
2
x k k
π
π
= + ∈
Z

* Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 2 sin 4 sin sin 3
x x x x
+ = +
(4)

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 10
Giải

2 2 2 2
sin 2 sin 4 sin sin 3
1 os4 1 os8 1 os2 1 os6
2 2 2 2
cos4 cos8 cos 2 cos6
4 8 4 8 2 6 2 6
2cos( )cos( ) 2cos( )cos( )
2 2 2 2
cos6 cos2 cos2 cos 4
cos2 (cos6 cos4 ) 0
cos2 0
cos6 cos4 0
x x x x
c x c x c x c x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
+ = +
− − − −
⇔ + = +
⇔ + = +
+ − + −
⇔ =
⇔ =
⇔ − =
=


⇔
− =

cos2 0
cos6 cos 4
2
2 4 2
6 4 2 ,( ) ,( )
6 4 2
5
x
x x
x k x k
x x k k x k k
x x k
x k
π π π
π
π π
π π
=

⇔
 
=

 
= + = +
 
 

⇔ = + ∈ ⇔ = ∈
 
 
= − +
=
 
 
Z Z

Vậy phương trình (4) có nghiệm là:
; ; ,
4 2 5
x k x k x k k
π π π
π
= + = = ∈
Z

III.3. Phương pháp ñặt ẩn số phụ
III.3.1 Phương pháp: Có 2 cách ñặt ẩn số phụ
+ Cách1: ðặt một ẩn phụ, ñưa phương trình ñã cho về một phương trình mới dễ giải
hơn.
+ Cách 2: ðặt 2 ẩn phụ, ñưa phương trình ñã cho về hệ phương trình ñại số rồi giải.
III.3.2 Cách ñặt ẩn phụ ñối với một số loại phương trình lượng giác cơ bản.
a) Phương trình bậc nhất ñối với sin và cos
+Dạng phương trình: sin cos
a x b x c
+ =
(1)
+ðặt

2
x
t tg
=
;
Khi ñó:
2
2 2
2 1
sin ;cos (*)
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 11
Thay (*) vào (1) giải tìm t. Từ ñó suy ra x.
Chú ý: Trước khi ñặt
2
x
t tg
=
ta cần phải xét
,
4
x k k

π
π
= + ∈
Z
có phải là
nghiệm của phương trình (1) hay không.
b) Phương trình ñối xứng loại 1
+Dạng phương trình:
(sin cos ) (sin cos ) 0; ,
n m
a x x b x x d m n
± + + = ∈

(2)
+ðặt
sinx cos
sinx-cos
t x
t x
= +


=

, ñiều kiện
2
t ≤ (*)
2
2
1

sinx cos
2
1
sinx cos
2
t
x
t
x

−
=


⇒
−

=



Thay vào phương trình (2) giải tìm t thoả (*). Rồi từ ñó suy ra x.
c) Phương trình ñối xứng loại 2.
+Dạng phương trình:
1
1
( cot , cot , , cot ) 0
n n
n n
f tg x g x tg x g x tgx gx

−
−
± ± ± =
;n
∈
Z
(3)
+ðặt
cotgx,( )
cotgx,( 2)
t tgx t R
t tgx t
= − ∈


= + ≤



Thay vào phương trình (3), ñưa phương trình (3) về phương trình ña thức theo t.
Giải tìm t từ ñó suy ra x.
III.2.2 Ví dụ
a)Ví dụ 5: Giải phương trình
3
(sinx cos ) sin x cos 1 0
x x
+ + − =
(5)
Giải: ðặt
sinx cos

t x
= +


2
2
1 2sin x cos
1
sin x cos
2
t x
t
x
⇒ = +
−
⇒ =

Thay vào (5) ta ñược:
2
3
1
1 0
2
t
t
−
+ − =

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 12

3 2 2
2
2 3 0 ( 1)(2 3 3) 0
1 0
1
2 3 3 0
sinx cos 1 2 sin( ) 1
4
2
1
4 4
sin( ) ( )
4
2
2
4 4
2
( ) 2 ,
2
2
2
t t t t t
t
t
t t
x x
x k
x k
x k
x k

k x k k
x k
π
π π
π
π
π π
π π
π
π
π
π
π
⇔ + − = ⇔ − + + =
− =

⇔ ⇔ =

+ + =

⇔ + = ⇔ + =

+ = +

⇔ + = ⇔ ∈


+ = − +



=


⇔ ∈ ⇔ = + ∈

= +

Z
Z Z

Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là:
2 ,
2
x k k
π
π
= + ∈
Z

b) Ví dụ 6: Giải phương trình
2 2
3( c tgx) 2( cot ) 2 0
tgx o tg x g x
+ − + − =
(6)
Giải:
+ ðiều kiện:
( )
sinx 0
os2 0 , *

cos 0
2
c x x k k
x
π
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈

≠

Z

+ ðặt
cotgx
t tgx
= +

( 2)
t
≥

2 2 2
2 2 2
2 .cot cot
cot 2
tg x tgx g g x t
tg x g x t
⇒ + + =
⇒ + = −

Phương trình (6) trở thành :
2
2
3 2( 2) 2 0
2 3 2 0
t t
t t
− − − =
⇔ − − =

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 13
2
2
2
1
2
1
c o t 2 2
2 1 0
1
4
;
4
t
t
t
tg x g x tg x
tg x

tg x tg x
tg x tg x tg
x k k
π
π
π
=


⇔ ⇔ =

= −

⇔ + = ⇔ + =
⇔ − + =
⇔ = ⇔ =
⇔ = + ∈ Z

Vậy nghiệm của phương trình (6) là
;
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

II.4.Phương pháp ñối lập
II.4.1 Phương pháp
ðể giải phương trình f(x)=g(x) ta cần chứng minh

f g
x D D
∀ ∈ ∩
:
( ) ( )
f x g x
≤
( hoặc
( ) ( )
f x g x
≥
)
Ta thường giải quyết các vấn ñề của bài toán bằng 3 cách sau:
+ Cách 1: Sử dụng tính bị chặn của hàm sin, cos.
+ Cách 2: Dùng các bất ñẳng thức cơ bản là Cauchy và Bunhiakopsky.
*Bất ñẳng thức Cauchy:
Cho n số không âm
1 2
, , ,
n
a a a
ta có bất ñẳng
thức
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a
+ + + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2

n
a a a
= = =
= 0
*Bất ñẳng thức Bunhiakopsky:
Cho 2bộ số thực: a
1
,a
2
, ,a
n
và b
1
,b
2
,…,b
n
. Ta có bất ñẳng thức
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b
+ + + ≤ + + + + + +

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 14
+ Cách 3: Dùng phương pháp khảo sát hàm số
II.4.2 Ví dụ
a)Ví dụ 7: Giải phương trình
3 4
sin os 1
x c
+ =
(7)
Giải
Ta có
3 2
4 3
2
4 2
sin 1
sin sin
cos sin 1
cos 1
cos cos
x

x x
x x
x
x x
≤

≤


⇒ ⇒ + ≤
 
≤
≤




Dấu “=” xảy ra
3 2
4 2
sin sin
cos cos
x x
x x

=

⇔

=





3 2 2
4 2 2 2
2
2
2
2
2
sin sin 0 sin (sin 1) 0
cos cos 0 cos (cos 1) 0
sin 0
sin 0
sin 1
sin 1
os 0
os 0
sin 0
os 1
sin 0
( )
sin 1
2
x x x x
x x x x
x
x
x

x
c x
c x
x
c x
x k
x
k
x
x k
π
π
π
 
− = − =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 

 =

=






=
=




⇔ ⇔
 

=

=
 


 
=
=




=

=


⇔ ⇔ ∈



=
= +


Z

Vậy nghiệm của phương trình (7) là:
( )
2
x k
k
x k
π
π
π
=


∈

= +

Z

b) Ví dụ 8: Giải phương trình
1 cos
2
x
x
− =

(8) với
0
2
x
π
≤ ≤

Giải:
1 cos 1 cos 0
2 2
x x
x x
− = ⇔ − − =

ðặt
( ) 1 cos
2
x
f x x
= − −

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 15
Ta có
'
( ) sinx
f x x= − +


''

( ) 1 osx 0, x 0,
2
f x c
π
 
= − + ≤ ∀ ∈


 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:
( ) 0, 0,
2
f x x
π
 
≤ ∀ ∈


 

Dấu “=” xảy ra
0
x
⇔ =

Vậy phương trình ñã cho một nghiệm x = 0.

II.5.Phương pháp tổng bình phương.
II.5.1 Phương pháp.
Phương pháp này sử dụng các hằng ñẳng thức cơ bản như
( ) ( )
2 2
;
a b a b c
± ± ±
hoặc
ñưa phương trình ñã cho về dạng
2 2 2
0
0 0
0
A
A B C B
C
=


+ + = ⇔ =


=



Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 16
II.5.2 Ví dụ.

a) Ví dụ 9: Giải phương trình
3
os2 cos6 4(3sin 4sin 1) 0
c x x x x
− + − + =
(9)
Ta có:
3
os2 cos6 4(3sin 4sin 1) 0
c x x x x
− + − + =

2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
(1 2sin ) (1 2sin 3 ) 4sin3 4 0
1 2sin 1 2sin 3 4sin3 4 0
2sin 2sin 3 4sin3 4 0
2(1 sin3 ) 2(1 sin ) 0 (1 sin3 ) cos 0
x x x
x x x
x x x
x x x x
⇔ − − − + + =
⇔ − − + + + =
⇔ − + + + =
⇔ + + − = ⇔ + + =

cos 0

,
2
1 sin 3 0
sin 3 1
2
( ) 2 ,
2
3 2
2
x
x k k
x
x
x k
k x k k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π

=
= + ∈


⇔ ⇔

 
+ =


= −


= +


⇔ ∈ ⇔ = + ∈


= − +


Z
Z Z

Vậy phương trình ñã cho có 1 nghiệm
2 ,
2
x k k
π
π
= + ∈
Z
.
b) Ví dụ 10: Giải phương trình
2sin 2 os2 2 2 sin 4 0

x c x x
+ + − =
(10)
Ta có
2
(10) 2.2sin x cos 1 2sin 2 2 sin 4 0
x x x
⇔ + − + − =

2
2
2
2 2
4sin x cos 3 2sin 2 2 sin 0
3
2sin x cos sin 2 sin 0
2
1
(1 2sin x cos ) (sin 2 sin ) 0
2
2
(sin x cos ) (sin ) 0
2
x x x
x x x
x x x
x x
⇔ − − + =
⇔ − + − =
⇔ − − − − + =

⇔ − + − =

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 17
2
4
3
2
2
sin
4
( ) 2 ,
2
4
sin x =cos
2
2
2
2
x k
x k
x
k x k k
x
x x k
x x k
π
π
π
π

π
π
π
π
π
π


= +






= +



=
 
⇔ ⇔ ∈ ⇔ = + ∈
 

 
= − +








= + +




Z Z

B.Bài tập
I.Các công thức và phép biến ñổi lượng giác cơ bản.
I.1Bài tập và giải.
Bài 1: Chứng minh rằng:
a
gatga
aaatga
sin
cot
)cossin(cos
222
=
+
++

Giải
Ta chứng minh vế trái bằng vế phải:
Ta có:

2 2 2
2
2
2
2
cos ( sin cos )
cot
( 1)cos
cot
( 1)cos
1
( 1)cos
sin
1
a tg a a a
VT
tga ga
tg a a
VT
tga ga
tg a a
VT
tga
tga
tg a a
VT tga a VP
tg a
+ +

=
+
+
=
+
+
=
+
+
= = =
+
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 18
sin cot sin cot
sin
1 sin
1
cot
sin cot
cot
cot sin
n n n n
n
n n
n
n n
n
n n
a g a a g a
VP

a
atg a
g a
a g a
VP g a VT
g a a
+ +
= =
+
+
 
+
= = =
 
+
 
( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 2
2 2
2 2 2 2
2 4 2 2 4 2
2 4 2 4
2 2
2 2
2 2
sin 4 os os 4sin
1 os 4 os 1 sin 4sin
1 2 os os 4 os 1 2sin sin 4sin
1 2 os os 1 2sin sin

1 os 1 sin
1 os 1 sin 3
A x c x c x x
A c x c x x x
A c x c x c x x x x
A c x c x x x
A c x x
A c x x
= + + +
= − + + − +
= − + + + − + +
= + + + + +
= + + +
= + + + =
Bài 2: Chứng minh:
sin cot sin cot
1 sin 1 sin
n
n n
n n
a ga a g a
atga atg a
 
+ +
=
 
+ +
 

Giải

Ta có:
sin cot sin cot
cot
cot sin
1 sin
cot
n
n
n
a ga a ga
VT g a
ga a
atga
ga
 
 
 
+ +
 
= = =
 
+
+
 
 
 
 
(1)

(2)

Từ (1) và (2): ðiều phải chứng minh
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
4 2 4 2
sin 4 os os 4sin
A x c x c x x
= + + +

Giải:










Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 19
( )
4 4 2 2
2
2 2
(1) sin x cos x 2sin xcos x 1
(1) sin x cos x 1
⇔ + + =

⇔ + =
2 2 2 2
1 os sin 1 sin os
c x x x c x
⇔ − = ⇔ = +
sin 2 sin 4 sin 6 sin8
2sin3 cos 2sin 7 cos
2cos (sin 3 sin 7 )
4cos .sin 5 cos 2
B a a a a
B a a a a
B a a a
B a a a
= + + +
= +
= +
=
os2 os4 os6 os8
2 os3 cos 2 os7 cos
2cos ( os3 os7 )
2cos .2 os5 .cos 2
4cos . os5 .cos 2
C c a c a c a c a
C c a a c a a
C a c a c a
C a c a a
C a c a a
= + + +
= +
= +

=
=
Bài 4: Chứng minh:
a)sin
4
x + cos
4
x = 1- 2sin
2
xcos
2
x (1)
Giải:

(hiển nhiên)

b)
1 cos sin
sin 1 cos
x x
x x
−
=
+

Giải:
2 ,x k k
π π
∀ ≠ + ∈
Z

ta có:
2
(1 cos )(1 cos ) sin
x x x
− + =


Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:
a)
sin 2 sin 4 sin 6 sin 8
os2 os4 os6 os8
a a a a
A
c a c a c a c a
+ + +
=
+ + +

Giải:
Ta ñặt:

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 20
1 2 os2
3 2sin 2
1 2cos
os( / 3) cos2
2 2
sin( / 3) sin 2
3 2sin 2
2 2
2 os( ( / 6)). os( ( / 6))
2sin(( / 6) ). os(( / 6) )
os( ( / 6)). os(( / 6) ) os(( / 6) )
os( ( / 6)).sin(( / 6) ) sin(( / 6) )
c a
B
a
a
c a
B
a
a
c a c a
B
a c a
c a c a c a
B
c a a a

B
π
π
π π
π π
π π π
π π π
+
=
−
+
+
= =
−
−
+ −
=
− +
+ − −
= =
+ − −
(( / 6) )tg a
π
= −


b)
1 2 os2
3 2sin 2
c a

B
a
+
=
−

Giải:









Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:
a) A=sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+…+ sin
2
170
0

Giải:
A=sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+…+ sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+…+ sin
2
170
0

A=sin
2
10
0
+ sin
2
20
0

+…+ sin
2
80
0
+ sin
2
90
0
+sin
2
(180
0
-80
0
)…+ sin
2
(180
0
-10
0
)
A=2(sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+…+sin

2
80
0
)+sin
2
90
0

A=2(sin
2
10
0
+sin
2
20
0
+…+sin
2
40
0
+sin
2
(90
0
-40
0
)+sin
2
(90
0

-30
0
)+…
+sin
2
(90
0
-10
0
)+sin
2
90
0

A=2(sin
2
10
0
+sin
2
20
0
+sin
2
30
0
+sin
2
40
0

+cos
2
40+ cos
2
10
0
+cos
2
20
0
+cos
2
30
0
)+sin
2
90
0
A=2(1+1+1+1)+1=9
b) B=tg1
0
tg2
0
tg89
0

Giải:
B= tg1
0
tg2

0
…tg45
0
tg(90
0
-44
0
)…tg(90
0
-1
0
)
B= tg1
0
tg2
0
…tg45
0
cotg44
0
.cotg43
0
…cotg1
0
5
B
A tg a
C
⇒ = =
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập

SVTH:Nguyễn Thị ðông 21
B= tg45
0
=1
Bài 7: cho cosa=5/13 (0<a<
π
/2)
Tính sin(a+
π
/6) và tg(a-
π
/6)
Giải:
Ta có: cosa=5/13
2
sin 1 os
a c a
= −
144 12
169 13
= =
sin(a+
π
/6)=sina.cos
π
/6+sin
π
/6.cosa
=
12 3 1 5 12 3 5

. .
13 2 2 13 26
+
+ =


12
5
1
( / 4)
( / 4) 7 /17
12
1 . ( / 4)
1
5
tga tg
tg a
tga tg
π
π
π
−
−
− = = =
+
+

Bài 8:
Cho  ABC chứng minh rằng:
a)

os( / 2) sin( / 2). os( / 2) sin( / 2). os( / 2)
c A B c C C c B
= +

b)
( / 2). ( / 2) ( / 2). ( / 2) ( / 2). ( / 2) 1
tg A tg B tg B tg C tg C tg A
+ + =

c)
os( / 2) os( / 2) os( / 2)
2 3
os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2)
c A c B c C
c B c C c A c C c B c A
+ + ≥

Giải
a) gọi A, B, C là góc của  ABC:
Ta có A+B+C=
π


2 2
sin sin os
2 2 2
sin os sin os os ( )
2 2 2 2 2
B C A
B C A

B C A A
c
B C C B A
c c c dpcm
π
π
π
⇔ + = −
+ −
⇔ =
+ −
     
⇒ = =
     
     
 
⇔ + =
 
 


Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 22
1
cot
2 2 2
2
1 1
2 2
2

1 .
2 2 2 2
. . 1 .
2 2 2 2 2 2
A B C C
tg tg g
C
tg
A B
tg tg
A B
tg
C A B C
tg tg tg tg
A C B C A B
tg tg tg tg tg tg
π
+ −
     
= = =
     
 
     
 
 
   
+
   
+
 

   
⇒ = ⇔ =
 
       
 
−
       
       
           
⇒ + = −
           
           
. . . 1
2 2 2 2 2 2
A C B C A B
tg tg tg tg tg tg
           
⇔ + + =
           
           
os
2
(2)
2 2
os . os
2 2
os
2
(3)
2 2

os . os
2 2
B
c
A C
tg tg
A C
c c
C
c
A B
tg tg
A B
c c
= +
= +

b) Ta có:








c)Ta có:
os sin . os sin . os
2 2 2 2 2
os sin sin

2 2 2
(1)
2 2
os . os os os
2 2 2 2
A B C C B
c c c
A B C
c
B C
tg tg
B C B C
c c c c
= +
⇒ = + = +

Tương tự ta có:






Từ (1)+(2)+(3)và
3
2 2 2
A B C
tg tg tg+ + ≥
ta ñuợc:
os( / 2) os( / 2) os( / 2)

2 3
os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2)
c A c B c C
c B c C c A c C c B c A
+ + ≥
(ñpcm)


Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 23
2
2
1 sin
os
x
A
c x
+
=
1 2 os2
1
3 os2
2
1 2 os2
1 2 os2
2
c x
c x
A
c x

c x
−
+
−
= =
+
+
0 0 0 0 0
16sin10 sin30 sin50 sin 70 sin 90
B =
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
0 0 0
0
0 0
0
16sin10 sin(90 60 )sin(90 40 )sin(90 20 )
16sin10 os60 os40 os20
16sin10 os60 os40 os20 os10
os10
8sin 20 os60 os40 os20
os10
4sin 40 os60 os40
os10
2sin80 os60
os10

2si
B
B c c c
c c c c
B
c
c c c
B
c
c c
B
c
c
B
c
B
= − − −
=
=
=
=
=
=
0 0 0
0
0
n(90 10 ) os60
os10
2 os60 1
c

c
B c
−
= =

Bài 9: Tính
a) theo cos2x

b)
0 0 0 0 0
16sin10 sin 30 sin 50 sin 70 sin 90
B =

Giải:
Ta có:


Vậy


b)

2 2
1 2 os2 1 2 os2
sin os
2 2
c x c x
x c x
− +
= =
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 24
2 2
2 2
2
2 2
1 cos
os
1 cos 2
1
os
2
2
1 os sin
x x

C tg c x
x
x
C tg c x
x
tg
C c x x
+
= −
−
= −
= − =
(cos os3 )(cos os3 )
2sin 2 .sin( ).2 os2 .cos
2sin .cos .2sin 2 . os2
sin 4 .sin 2
A a c a a c a
A a a c a a
A a a a c a
A a a
= − +
= − −
=
=
4
2 2
2
2 2
1 3
4 os 2 os2 os4

2 2
1
4( os ) 2 os2 (1 os4 ) 1
2
1 os2 1
4 2 os2 (1 os4 ) 1
2 2
1
1 2 os2 os 2 2 os2 (2 os 2 ) 1
2
0
D c x c x c x
D c x c x c x
c x
D c x c x
D c x c x c x c x
D
= − − −
= − − + −
+
 
= − − + −
 
 
= + + − − −
=

Bài 10: ðơn giản biểu thức:
a)
2 2

1 cos
os
1 cos 2
x x
C tg c x
x
+
= −
−

b)
4
1 3
4 os 2 os2 os4
2 2
D c x c x c x
= − − −

Giải:
a)




b)

Bài 11: Biến ñổi thành tích:
2 2
os os 3
A c a c a
= −

Giải:







Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 25
3 2
3 3 3
A tg x tg x tg x
= − − +
2
2
3
3
( 1) 3( 1)
( 1)( 3)
( 1)( 3)( 3)
( ( / 4))( ( / 3))( ( / 3))
sin( / 4)sin( / 3)sin( / 3)

1 1 1
os .
2 2
2
4 2
sin( / 4)sin( / 3)sin( / 3)
os
A tg x tgx tgx
A tgx tg x
A tgx tgx tgx
A tgx tg tgx tg tgx tg
x x x
A
c x
A x x x
c x
π π π
π π π
π π π
= − − −
= − −
= − − +
= − − +
− − +
=
= − − +

Bài 12: ðơn giản biểu thức
Giải

Bài 13: Biến ñổi thành tích

Giải:










Bài 14: Chứng minh ñẳng thức sau:
[ ] [ ]
[ ]
sin 5
2( os2 os4 )
sin
(sin 5 2 os2 .sin 2 os4 .sin )

/
sin
sin 5 sin( 2 ) sin( 2 ) sin( 4 ) sin( 4 )
sin
sin 5 sin sin 3 sin 5 sin3
sin
sin
1
sin
a
B c a c a
a
a c a a c a a
B
a
a a a a a a a a a
B
a
a a a a a
B
a
a
B
a
= − +
− −
=
 
− − + + − + + −
 

=
+ − − +
=
= =