CHUYÊN ĐỀ CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề phương trình lượng giác
Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = −
b) Cung bù:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
− = − − =
c) Cung phụ:
cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
π π π π
     
− = − = − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
d) Cung hơn kém
π
:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
+ = − + = −
e) Cung hơn kém
2
π

:
cos sin ; sin cos ;
2 2
x x x x
π π
   
+ = − + =
 ÷  ÷
   
2. Công thức lượng giác
a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

( )
cos cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
cotacot 1
cot( )
cota cot
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
b
a b
b
+ = −

+ = +
+
+ =
−
−
+ =
+

2 2
2
2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
a
a
=
= −
= −
= −

=
−
c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −
= −

2 2
3 3
1 cos2 1 cos2
sin ; cos
2 2
3sin sin3 3cos cos3
sin ; cos
4 4
a a
a a
a a a a
a a
− +
= =
− +
= =
e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích

[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
−
= + − −
= + + −

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b

a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
3. Hằng đẳng thức thường dùng
( )
2 2 4 4 2 6 6 2
2
2 2
2 2
1 3
sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2
2 4
1 1
1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos
cos sin
a a a a a a a
a a a a a
a a

+ = + = − + = −
+ = = ± = ±
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
1
Chuyên đề phương trình lượng giác
4. Phương trình lượng giác cơ bản
khi 1
2
sin ( ) ; sin sin
( ) arcsin 2
2
khi 1
( ) arcsin 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π
π α π
π π
>

= +



= ⇔ = ⇔
= +



= − +
≤



= − +


khi 1
2
cos ( ) ; cos cos
( ) arccos 2
2
khi 1
( ) arccos 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π

α π
π
>

= +


= ⇔ = ⇔
= +



= − +
≤



= − +



tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +

cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +
5. Phương trình thường gặp
a. Phương trình bậc 2

2 2 2
2 2 2
2
2
.sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( )
.cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( )
cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1
cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( )
.t
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −

cos


1
an ( ) cot ( ) 0 cot ( )
tan ( )
f x b f x c Thay f x
f x
+ + = ⇒ =
b. Phương trình dạng

sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =
 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
 Chia 2 vế cho
2 2
a b+
, dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin
hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp
 Dạng
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =
Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
 Dạng
3 2 2 3
.sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
3
x để được phương trình bậc 3 theo tanx.
Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

d. Phương trình đối xứng loại 1:
(sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + =
Đặt t = sinx
±
cosx, điều kiện
2t ≤
Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.
e. Phương trình đối xứng loại 2 :
( )
tan cot ) (tan cot 0
n n
a x x b x x
+ + ± =
Đặt t = tanx - cotx thì t
∈
R ; Đặt t = tanx + cotx thì
2t ≥
.
Chuyển về phương trình theo ẩn t.
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
2
Chuyên đề phương trình lượng giác
f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát
 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản
 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.
 Phương pháp đặt ẩn phụ.
 Phương pháp đối lập.
 Phương pháp tổng bình phương.
B./ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.
2sin 3x 3
6
π
 
− =
 ÷
 
b.
( ) ( )
0 0
sin 2x 45 c x 60 0os− + + =
c.
tan3x cot 2x=
d.
( )
x
cot c
2
= −
0
ot 2x-30
e.
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
g.
4sinx+cosx = 2 sin x
h.

2
cos( ) sinx x=
Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:
a.
0
tan(2x 15 ) 1− =
, với
( )
0 0
x 180 ;90∈ −
b.
s 3cinx = osx
, với
2
x ;
3
π
 
∈ − π
÷

 

II. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 3. Giải các phương trình
a.
3 tan 3x 3 0− =
b.
( )
( )

s 2c 0inx+1 os2x - 2 =
c.
2
3 2 7 os2x - 3 = 0+sin x c
d.
2
3 4 3 0− + =cot x cot x
Bài 4. Giải các phương trình
a.
cos2x - sinx +2 =0
b.
2 2 2 3
+ =
tan x cot x
c.
2
2
cos2x + sin x cosx +1 = 0+
d.
2
4 2 8 9 0
2
sin x cos x+ − =
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c)
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a.
3cosx + 4sinx = -5
b.
5 2 6 13
2

sin x cos x− =
c.
3cos2x - 2sinxcosx = 2sin7x
d.
sin8 cos6 3(sin 6 cos8 )x x x x− = +
e.
(3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x+ − =
g.
2cos cos( ) 4sin 2 1
3
x x x
π
+ + =
Bài 6. Giải phương trình:
a.
2 2
cos 2 3sin cos 3sin 1x x x x+ + =
.
b.
3 3
4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos4 3x x x x x+ + =
. c.
cos7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = −
.
d.
2
4sin ( ) sin 2 1
6
x x
π

+ + =
e.
2
2sin(2 ) 4sin 1
6
x x
π
+ + =
Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
a.
2 2
2sin ( ) 2cos cos2
6
y x x x
π
= + + +
b.
2sin( )cos( ) sin 2
6 3
y x x x
π π
= + + +
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
3
Chuyên đề phương trình lượng giác
c.
2sin(2 ) 4cos cos( )
3 3
y x x x
π π

= + + +
d.
6 6
sin cos sin 4y x x x= + +
.
Bai 8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
a.
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+ +
=
+ +
. b.
sin
cos 3
x
y
x
=
+
c.
2
4sin
2 sin(2 )
6
x
y

x
π
=
+ +
.
Bài 9. Tìm các giá trị của x để
1 sin
2 cos
x
y
x
+
=
+
là số nguyên.
IV. Phương trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx
Bài 10. Giải các phương trình:
a.
2
6 2
2
sin x s inxcosx - cos x+ =
b.
2
2 2 3 2 2
2
sin x sin2xcos2x + cos x− =
c.
2 3 6
2

cos x sinxcosx = 3 + 3+
d.
2
4 3 3 2 2 4
2
sin x sin x cos x+ − =
e.
( ) ( )
4 4 1
3
sinxcos x - sin x cosx + 2sin x cos x +
2 2
π π
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
Bài 11. Giải các phương trình
a.
( )
2
3 8 9 0
2
sin x s inxcosx + 8 3 cos x+ − =
b.
2
1
2
2

2
sin x s in2x - cos x+ =
c.
( ) ( )
2
2 3 3 1 1
2
sin x sinxcosx + 3 cos x+ + − = −
d. 4sinx + 6cosx =
1
cosx
Bài 12. Giải các phương trình
a.
2
2 4 3
3
sin x cos x s inx+ =
b. 2sin
3
x = cos3x
c.
3
2
4
sin x sinx
π
 
+ =
 ÷
 

d. 2sin
3
x = cosx
Bài 13. Giải các phương trình
a.
2 3 6
3
sin x sin x sin x cos x+ =
b.
3
4 0sin x sin x cosx− + =
c.
3
4 3
3 2
cos x sin x cosxsin x s inx=0− − +
d.
3 2
sin 3cos 3sin cos 2sinx x x x x+ = +
e.
3
cos2 sin cos cos sinx x x x x+ = +
g.
3
sin 3 cos cos sinx x x x+ = +
V. Phương trình đối xứng với sinx và cosx, đối xứng với tanx và cotx
Bài 14. Gải các phương trình
a.
( )
3 2 2 3 0sinx+cosx sin x+ + =

b.
sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
c.
( )
2 12 12 0sin x sinx - cosx− + =
d.
3 3
1sin x cos x+ =
e. 1 + sin
3
2x + cos
3
2x =
3
4
2
sin x
g.
3
4
3
sin x sin x cos x
π
 
+ = +
 ÷
 
h.
1 t anx = 2 2 sinx+
i. sinx +

1
sinx
+ cosx +
1
cos x
=
10
3
VI. Phương trình lượng giác khác
Bài 15. Giải các phương trình
a. cos5xcos3 = cosxcos7x b. sin2x - cos5x = cosx - sin6x
c. cosx + cos11x = cos6x d. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x
e. tanx + tan2x = tan3x g.
2
sinx+sin3x+sin5x
tan 3
osx+cos3x+cos5x
x
c
=
Bài 16. Giải các phương trình
a.
2 2 2
5 2 3sin x sin x sin x+ =
b.
3
3 4 5
2
2 2 2
cos x cos x cos x+ + =

c. 8cos
4
x = 1 + cos4x d. sin
4
x + cos
4
x = cos4x
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
4
Chuyên đề phương trình lượng giác
e. 3cos
2
2x - 3sin
2
x + cos
2
x g. sin
3
xcosx - sinxcos
3
x =
2
8
h.
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +
i. tanx + tan2x = sin3xcosx
Bài 17.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phương trình
a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 15
0

)cot(x - 15
0
) =
1
3
c. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx d. 3sin
4
x + 5cos
4
x - 3 = 0
e. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin
2
x g. 1 + sinxcos2x = sinx + cos2x
h. sin
2
xtanx + cos
2
xcotx - sin2x = 1 + tanx + cotx
i. sin
2
x + sinxcos4x + cos
2
4x =
3
4
.
VII. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình lượng giác
1. Đặt ẩn phụ
Áp dụng cho các loại phương trình :
• Phương trình bậc hai, bậc ba… với một hàm số lượng giác

• Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx)
• Phương trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t =
sinx cosx
±
) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t =
tanx cotx±
)
• Một số phương trình khác…….
Bài tập vận dụng :
Bài 22. Giải các phương trình lượng giác sau
1.
1 3sin 2 2 tanx x+ =
2.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = +
3.
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2x+sinx.cosxx x c− =
4.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
5.
2
4

tan 5 0
cos
x
x
− + =
6.
2
2
4 2 2
cos cos 3 0
cos 3 cos
x x
x x
 
+ − + − =
 ÷
 
7.
( )
2 2
2
4
4 tan 10 1 tan tan 0
cos
x x x
x
+ + + =
8.
2
cos cos cos sin 1x x x x+ + + =

9.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
10.
2
cos9 2cos 6 2 0
3
x x
π
 
+ + + =
 ÷
 
Bài tập vận dụng
Bài 23 : Giải các phương trình
1.
3 3 3
cos 4 cos3 .cos sin sin 3x x x x x= +
2.
2 2
1 sin sin sin cos 2cos
2 2 4 2
x x x

x x
π
 
+ − = −
 ÷
 
3.
10 10 6 6
2 2
sin cos sin cos
4 4sin 2 cos 2
x x x x
x x
+ +
=
+
4.
cos cos3 2cos5 0x x x+ + =
5.
sin 3 sin 5
3 5
x x
=
6.
( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x+ + − + =
VIII. Phương trình lượng giác trong một số đề thi ĐH
1.
1 1 7

4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(ĐH A-2008)
2.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin .cosx x x x x x− = −
(DH B-2008)
3.
( )
2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(ĐH D-2008)
4.
( ) ( )
2 2

1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(ĐHA07) 5.
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
(B07)
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
5