Bai tap fvm 1d

PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN
GIẢI CÁC BÀI TỐN


Bước một: Tạo lưới.
Biên của thể tích kiểm soát
B

E

W

A

P
The åtích kiểm soát

Các điểm nút
N
n
E
W

T

n

W

B

s
S
I-1

e
s

w

e

E
t

N

w

P
b

S

i

I

i+
1

I+
1

J+
1j-1
J
j
J1

Thể tích kiểm
sốt vơ hướng
(phương trình
liên tục)


Sai phân hóa

∂
( ρφ ) + div( ρuφ ) = div(Γgradφ ) + Sφ
∂t
Tích phân theo thể tích hữu hạn rời rạc
t + ∆t
t + ∆t
t + ∆t


 t + ∆t ∂














+
(
)
dt
dV
n
.(
u
)
dA
dt
n
.(
grad
)
dA
dt
S
dV
=

Γ
φ
ρφ
+
ρ
φ
∫V  ∫t ∂t
∫
∫
∫

∫

∫
 ∫ φ dt

t A
t A
t V





t + ∆t
t + ∆t
t + ∆t
 t + ∆t ∂

∫V  ∫t ∂t (ρφ)dt dV = ∫t (∆(AΓφ))dt − ∫t (∇(Aρuφ))dt + ∫t S.∆Vdt

 t + ∆t ∂

0


ρφ
(
)
dt
dV
=
ρ
(
φ
−
φ
P
P ).∆V
∫V  ∫t ∂t




Sai phân hóa
t + ∆t

t + ∆t

t

t

∫ (∆(AΓφ))dt − ∫ (∇(Aρuφ))dt =

t + ∆t

∫
t



∂φ
∂φ 
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ 
 (AΓ ) e − (AΓ ) w  + (AΓ ) n − (AΓ ) s  + (AΓ ) t − (AΓ ) b  dt −
 
∂y
∂y  
∂x
∂x  
∂z
∂z  


t + ∆t

∫ ([(Aρuφ)
t

e

− (Aρuφ) w ] + [(Aρuφ) n − (Aρuφ) s ] + [(Aρuφ) t − (Aρuφ) b ])dt


Rời rạc hố phương trình tích phân

φE − φP
∂φ 
∂φ  


 AΓ  −  AΓ  =  A e Γe
x PE
∂x  w 
∂x  e 


 
φ − φw
 −  A w Γw P
x PW
 

φN − φP

∂φ  

∂φ  

 AΓ  −  AΓ  =  A n Γn
∂y  s 
∂y  n 
y PN


 
φ − φS 
 −  A s Γs P

y PN 
 


φT − φP
∂φ 
∂φ  

 AΓ  −  AΓ  =  A t Γt
z PT
∂z  b 
∂z  t 


Đặt:
F = Aρu;

D = AΓ/xi,j

 
φP − φB 
 −  A b Γb

z PB 
 






Rời rạc hố phương trình tích phân
t + ∆t

ρ(φ P − φ ).∆V = −
0
P

∫ {[F φ
e

e

− Fw φ w ] + [Fn φ n − Fs φ s ] + [Ft φ t − Fb φ b ]}dt +

t

t + ∆t

∫ {(D

e

(φ E − φ P ) ) − (D w (φ P − φ w ) ) + (D n (φ N − φ P ) ) − (D s (φ P − φ S ) ) + (D t (φ T − φ P ) ) − (D b (φ P − φ B ) )}dt

t

t + ∆t

+

∫ S.∆Vdt
t

(*)


Rời rạc hố phương trình tích phân

Để xác định vế phải của phương trình (*), tham số trọng
lượng θ nằm trong khoảng từ 0 đến 1 sẽ được áp dụng.
Các tích phân bên vế phải sẽ được viết lại như sau:
t + ∆t

Iφ =

∫ φ P dt = [θ.φ P + (1 − θ)φ ]∆t
0

P

t

(**)


Rời rạc hố phương trình tích phân
Sử dụng phương trình (**) for φE, φW, φN, φS, φT, φB vào
phương trình (*) và chia phương trình này cho ∆t, ta được:
ρ(φ P − φ 0P ).∆V
= −θ{[Fe φ e − Fw φ w ] + [Fn φ n − Fs φ s ] + [Ft φ t − Fb φ b ]} −
∆t
(1 − θ) Fe φ 0e − Fw φ 0w + Fn φ 0n − Fs φ s0 + Ft φ 0t − Fb φ 0b +

{[

] [

] [

) (

) (

]}

θ{(D e (φ E − φ P ) ) − (D w (φ P − φ w ) ) + (D n (φ N − φ P ) ) − (D s (φ P − φ S ) ) + (D t (φ T − φ P ) ) − (D b (φ P − φ B ) )} +

{(

) (

) (

) (

(1 − θ) D e (φ 0E − φ 0P ) − D w (φ 0P − φ 0W ) + D n (φ 0N − φ 0P ) − D s (φ 0P − φ S0 ) + D t (φ 0T − φ 0P ) − D b (φ 0P − φ 0B )
+ S∆V

(***)

Khi θ = 0, phương trình (***) trở nên tường minh, nếu 0<θ<1,
phương trình (***) khơng tường minh, cịn nếu θ = 1, thì phương
trình (***) hồn tồn khơng tường minh. Khi θ = 1/2, phương
trình (***) được gọi là phương trình Crank-Nicolson. Trong phần
này, phương pháp rời rạc hóa khơng tường minh hoàn toàn sẽ
được áp dụng để rời rạc hóa các phương trình tổng qt.

)}


Rời rạc hố phương trình tích phân
Bởi vì phương pháp này áp dụng cho quá trình thay đổi tức thời
(transient), nên người ta sử dụng các phương trình khuếch tán-đối
lưu và các sơ đồ chuyển đổi qua lại. Do đó, ta có:

a P φ P = a W φ W + a E φ E + a S φS + a N φ N + a B φ B + a T φ T + a 0P φ 0P + S u
Trong đó:

a P = a W + a E + a S + a N + a B + a T + a + ∆F − S P
0
P

Với:
0
ρ
0
P ∆V
aP =
∆t

S.∆V = S u + S P φ P


Rời rạc hố phương trình tích phân
aW

 
Fw  
= max Fw ,  D w +
,0
2  
 

 
Fs  
a S = max Fs ,  D s + ,0
2 
 

 
Fb  
a B = max Fb ,  D b + ,0
2 
 


Fe  

a E = max − Fe ,  D e − ,0
2 



Fn  

a N = max − Fn ,  D n − ,0
2 




Ft  

a T = max − Ft ,  D t − ,0
2 



∆F = Fe – Fw + Fn – Fs + Ft – Fb

Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA

φ1

= C1

-β2φ1 + D2φ2 - α2φ3

= C2

-β3φ2 + D3φ3 - αP1φP1

= C3

………..
-βnφn-1 + Dnφn - αnφn+1= Cn
φn+1 = Cn+1


Thuật toán ma trận ba đường chéo TDMA
Trong các phương trình trên, φ1 và φn+1 được xem là những giá trị
biên. Phương trình dạng tổng quát được viết như sau:
-βjφj-1 + Djφj - αjφj+1 = Cj
φ2 =

C
α2
β

φ 3 + 2 φ1 + 2
D2
D2
D2

α3
β3
C3
φ3 =
φ4 +
φ2 +
D3
D3
D3

…………………………..
Cn
αn
βn
φn =
φ n +1 +
φ n −1 +
Dn
Dn
Dn


BÀI TẬP

MƠ HÌNH HĨA VÀ MƠ PHỎNG

SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH HỮU HẠN


1. Bài tốn truyền dẫn nhiệt
Q trình truyền nhiệt ổn định qua tấm phẳng có bề dày L = 2cm;
hệ số dẫn nhiệt k = 0,5 (W/m.độ); nguồn cấp nhiệt không đổi
q/ρCp = 1000 (kW/m3). Các bề mặt A và B của tấm phẳng có nhiệt
độ 100oC và 200oC. Giả sử rằng kích thước theo phương y và z đủ
lớn để gradient nhiệt độ chỉ xuất hiện theo phương x.
Xác định:
1) Phương trình mơ tả q trình truyền nhiệt
2) Biết rằng: Nghiệm giải tích của bài tốn trên có dạng:

 TB − TA q

+
( L − x).x + TA
T =
2k
 L

Đánh giá kết quả gần đúng theo kết quả mô phỏng và
kết quả chính xác theo nghiệm giải tích trên (5 nút)


Xuất phát từ phương trình tổng quát

∂
( ρφ ) + div( ρuφ ) = div(Γgradφ ) + Sφ

∂t

Phương trình truyền nhiệt dạng tổng quát được viết
dưới dạng:
 ∂T
∂ 2T
∂ 2T 
∂T
∂T   ∂ 2T
∂T
 =  k x 2 + k y 2 + k z 2  + Q
ρC p
+ ρC p  u x
+ uy
+ uz
∂y
∂z 
∂t
∂y
∂z   ∂x
 ∂x

Phương trình truyền nhiệt trong tấm phẳng có kích
thước chiều y>>x và z >>x có dạng:

∂T
∂ 2T
ρC p
= kx 2 + Q
∂t

∂x

Trong trường hợp truyền nhiệt ổn định:

∂ 2T
kx 2 + Q = 0
∂x


Biên của thể tích kiểm soát
E

W
B

Điểm giữa

w

∆x/2 ∆x

P

A

e
Các điểm nút
∆x

d  dT 

∫(V ) dx  k dx dV + (V∫)qdV = 0
dT  
dT 

 −  Ak
 + q (V ) = 0
 Ak
dx  e 
dx  w


TP − Tw 
TE − TP  
 + qA∆x = 0
 −  Aw k w
 Ae ke
xPE  
xPW 


a PTP = aW TW + aETE + aP0 TP0 + Su


 
Fw  
aW = max  Fw ,  Dw + ,0 = Dw
2  
 



Fe  

aE = max − Fe ,  De − ,0 = De
2 



aP = aW + aE − S P
F=0

D = Ak/∆x

Sp = 0

SU = qA∆x


Biên của thể tích kiểm soát
E

W
B

Điểm 1

w

∆x/2 ∆x

P

A

e
Các điểm nút
∆x

d  dT 
∫(V ) dx  k dx dV + (V∫)qdV = 0
dT  
dT 

 −  Ak
 + q (V ) = 0
 Ak
dx  e 
dx  w


TE − TP  
TP − TB 
 + qA∆x = 0
 −  Aw k w
 Ae ke
xPE  
xPW / 2 


a PTP = aW TW + aETE + aP0 TP0 + Su

 
Fw  
aW = max  Fw ,  Dw +
,0 = 0
2  
 


Fe  

aE = max − Fe ,  De − ,0 = De
2 



aP = aW + aE − S P
F=0

D = Ak/∆x

2kA
SP = −
∆x

SU = qA∆x+2kATB/∆x

Làm tương tự đối với điểm 5

aW = Dw

aE = 0

aP = aW + aE − S P
F=0

D = Ak/∆x

2kA
SP = −
∆x

SU = qA∆x+2kATA/∆x