hệ thống bài tập và các đề thi ôn toán vào 10

Trn vn hựng email :
Ôn Thi vào THPT
A-Phần đại số
I-Căn Bậc hai bậc ba
A- Lí thuyết ( Đề cơng ôn tập)
B- Bài tập
Bài 1: Không dùng máy tính hãy so sánh
a, 2
31
và 10 -3
26
và 15 -3
11
và -12
2
5
và 5
2

5335 va

23
.3 và
3
32

(căn bậc 3)
b,
3 3
7 15+
và 15 1 và

3
3 1


3 3
37 15
và 2 14 và
3 3
13. 15
c, 3+
3
8
và 6+
3
2
2
3
3
2 6+
và 3+
3
5
Bài 2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x
A=
x2
B=
x7
C=
124 +x
D=

13
2
+x

E=
14
2
x

F=
12
2
+ xx
G=
542
2
++ xx
H=
105 x

I=
7
5


x
J=
7
5

x
x
K=
2
2
1
xx

M=
4
2
x
N=
3
2


x
x
P=
44
2
+ xxx
Q=
42
1
2
++ xx
R=

3
1
2
x
U=
x
x
x 3
3
++
Bài 3a, Cho A=
6 2 5+
và B=
6 2 5
Tính A+B ;A-B ; A.B;
A:B
3b, Cho C=
111036 +
và D=
111036
Tính C+D;C-D ; C.D ; C:D
Bài 4

Thực hiện phép tính
A=
423
2
423
2
+

B=
10067
1
6734
1
341
1
+
+
+
+
+

C=
+
+

35
35
35
35

+

1
Trn vn hựng email :
D= (
3).135415312 +

E=
448)1008700252( +
F=2
48537521240
H=
3253 ++
.
3253 +
G=(15
10:)4503200550 +

I=
)154)(610)(154( +
J=(
)
32
1
:1(:)
12
22
23
323
++
+
+
+
+
Bài 5:Rút gọn các biểu thức sau
A=

549
-
5
B=
7823
-
7

C=
3242
32
++
+
+
3242
32


D=
25353 +

E=
77474 +
F=
62125,6125,6 +++

G=
1247
1
1247

1
+

+
H=
++ 154 154
-2
53

I= 4
24057223 ++
J=
223 246 +
Bài 6: Tính A=
2062935
B=
4813526 ++

C=
34710485354 +++
D=
5122935
Bài 7: Rút gọn biểu thức
a, x-4-
42
816 xx +
với x>4 d,
9696
22
++++ aaaa

với
a bất kì
b,
12
12
++
+
xx
xx
với x
0

e,
12 + aa
+
12 aa
với
21 a
c,


+
ba
ba

ba
ba
+

với a

bab ;0;0
g,
ba
ba
ba
ba





33
với a
bab ;0;0
h,Tìm đk xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn
H
1
=
4444 ++ xxxx
H
2
=
44
2
+ xxx
Bài 8: Chứng minh đẳng thức
a,
1)).((
2
33

=

+

+
+
ba
ba
ab
ba
ba
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
2
Trn vn hựng email :
b,
ba
baba
abba
=
+
+ 1
:
2
với mọi a>0 ; b>0 ; a

b
c, (2+

2).(
1a
aa
a
a
aa
=
+
+
4)
1
với mọi a>0 ; a

1
d,
3612 +++ xx
-
3612 ++ xx
=6 với mọi x

6
e, (
1
21
).
1
2
12

2

=
+



++
+
a
a
a
a
a
aa
a
với mọi a>0 ; a

1
f, (
2
)1()
1
1
).(
1
1
aa
a
aa

a
a
aa
=
+
+
+


với mọi a

0 ; a

1
g,



>

=++++
622
624
224224
neuxx
xneu
xxxx
Bài 9:Tìm gía trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau
A=x
2

- 4x +1 B=4x
2
+4x+11
C=3x
2
-6x+1 D=2+x-x
2

E=x
2
-2x+y
2
-4y+6 F= x
2
-2xy +3y
2
-2x-10y +20
H=x (x+1) (x+2) (x+3) G=
176
1
2
+ xx

Bài 10 Cho biểu thức sau
10.1 A=
824
22
2
+

xx
x
-
824
22
2
++
+
xx
x

a,Rút gọn A
b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A=...=2)
10.2 B=(
)1
1
1
(:)1
1
1
2
+

+
+
x
x
x
với -1<x<1
a,Rút gọn B

bTính gía trị của B tại x=4
52
( KQ: B=
x1
=....=2-
2
)
10.3 C=
131
155

+
xx
xx
với x
10;1 > x
a,Rút gọn C KQ; :C=
1
21


x
x
b,Tìm x để C<3 (đúng với mọi x ; x
10;1 > x
)
10.4 D=
x
x
x

x
x
x

+
+
+
+

+
4
51
2
2
2
1
với mọi x
4;0 x
)
a,Rút gọn D
3
Trn vn hựng email :
b,Tìm x để D=2
10.5 Đ =(
)
2
1
(:)
1
1

11
2

+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x

a,Rút gọn Đ ( KQ:Đ=
1
2
++ xx
)
b, C/m rằng Đ >0 với mọi đk của x để Đ có nghĩa
10.6 E= (
x
1
-
1
1
x
) : (
)
2
1

1
2

+


+
x
x
x
x
( với x>0 ;x

1 và x

4)
1; Rút gọn E
2; Tìm x để E=0
10.7 F=
x
x
x
x
xx
x
+
+

+
+

3
32
1
23
32
1115

a,Rút gọn F ( KQ:F=
3
52
+

x
x
)
bTìm gía trị của x để F=0,5 ( x=1/121)
c, Tìm x để F nhận giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó (E
MAX
=2/3<=>x=0)
10.8 G=
1
)1(22
1
2


+

+

++

x
x
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn G
b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó
10.9 H=
4
12
+

x
xx
,Rút gọn H ( KQ: H=3-
x

3 vì...
bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó
10.10 I=
x
x
x
x

xx
x 1
).
1
2
12
2
(
+



++
+
với x>0; x

1
a,Rút gọn I ( KQ : I =
1
2
x
)
bTính gía trị nguyên của x để I có giá trị nguyên
10.11 J =
x
x
x
x
xx
xx

+
+
+
+

+
+
1
2
2
1
2
393
(với mọi x
1;0 x
).
a,Rút gọn J ( KQ J =
1
3


x
x
bTính gía trị nguyên của x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9)
4
Trn vn hựng email :
10.12 K=
x
x

x
x
xx
x

+
+

+
+
+

2
3
3
12
65
92

a,Rút gọn K ( KQ:K=
3
1

+
x
x

bTính gía trị nguyên của x để K có giá trị nguyên ( x=1;16;25;49)
10.13 M =
xxx

x
xx
x


++
+
+

+
1
1
1
1
1
2

a,Rút gọn M
bTính gía trị của M nếu x=28-6
3
( M=
1++ xx
x
=...=
3328
133


=... )
c, C/m rằng M <

3
1
(xét hiệu và c/m hiệu <0)
10.14 N =1+(
12
).
1
2
1
12



+


+
x
xx
xx
xxxx
x
xx

a,Rút gọn N
b, C/m N >
3
2

c,Tìm x biết N=

61
6
+

10.15 P=
)1
3
22
(:)
9
)3(3
33
2




+


+
+ x
x
x
x
x
x
x
x
với mọi x

9;0 x
)
a,Rút gọn P
b,Tìm x để P<-1 (KQ:
1
3
)3(3
<
+

x
x
<=>....
0
3
)6(4
<
+

x
x
...)
c,Tìm x đẻ P có giá trị nhỏ nhất
10.16 Q=
1
2
1
2
+
+

+
+
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn Q
b,Biết x>1so sánh Q và / Q/
c,Tìm x đẻ Q=2
d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất
Hàm số y=a x+b (a

0) hệ phơng trình
Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?
d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
5
Trn vn hựng email :
e, Tính f(-4); f(0); f(5)
Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k
2
-3)
(d)

a, Tìm k để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình

y=-2x+10
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k
2
x+(m+3),và đờng thẳng (d) có
phơng trình : y=(3k-2)x+(5-m) .Xác định k và m để 2 đờng thẳng trùng nhau
Bài 4:Cho 2 hàm số : y=(k-1) x+3 và y= (2k+1)x -4
a,Xác định k để 2 đờng thẳng cắt nhau
b, Xác định k để 2 đờng thẳng song song với nhau
c, Hai đờng thẳng có trùng nhau đợc không? Vì sao?
Bài 5: Cho 3 đờng thẳng: y=kx-2 (d
1
) ; y=4x +3 (d
2
) ; y=(k-1)x+4 (d
3
)
Tìm k để : a, (d
1
) song song với (d
2
) d, (d
1
) vuông góc với (d
3
)
b, (d
1
) song song với (d
3
) e, (d

2
) cắt (d
3
)
c, (d
1
) vuông góc với (d
2
)
Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm
số ?
Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết
a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2
b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có
tung độ là 1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng AB với trục hoành và trục tung
Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho 3 đờng thẳng: y=2x-7 d
1
) ; y=x +5 (d
2
) ; y=k x+5 (d
3
)
a,Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d

2
)
b, Tìm k để 3 đờng thẳng đồng quy tại 1 điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục toạ độ : y=-x+5
(1)
; y=4x
(2)
; y=
4
1
x
(3)
b, Gọi giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (1) với các đờng thẳng có
phơng
trình (2) và (3) là A và B .Tìm toạ độ các điểm A và B
c, tam giác AOB là tam giác gì ? vì sao?
d, Tính S


ABO
=?
Bài 11: Cho hàm số y=(m-1)x+m (1)
a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến
b) Xác định m để đờng thẳng (1)
b
1
. Song song với trục hoành
6
Trn vn hựng email :
b

2
Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1
b
3
Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=2-
2
3

c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi
Bài 12: Cho hàm số y=(m-2)x+ n (1) (m;n là tham số )
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua 2 điểm : A(1;-2); B(3;-4)
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ
x=2+
2
và Cắt trục tung tại điểm D có tung độ y=1-
2
c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)
c
1
. Vuông góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3
c
2
. Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1
c
3
.Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0
Bài 13: Cho hàm số y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=
3

và cắt trục tung tại điểm có tung độ y=-
2
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng
thẳng có phơng trình 2x-5y=1
Bài 14: Cho hệ phơng trình



=+
=
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(
)3;2
c) Tìm a;b để hệ có vô số nghiệm
Bài 15: Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ khi a=
13

b) C/m rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a
c) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
a) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
d) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0
Bài 16:Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax
a)Giải hệ khi a=-2
b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1
Bài 17:Cho hệ phơng trình



=+
=+
12
12
ymx
myx
b) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
nguyên

7
Trn vn hựng email :
KQ:( Với m
2
hệ có ng duy nhất: x=y=
2
1
+m
; x=y

Z <=>1

m+2 <=>.......
Bài 18:Cho hệ phơng trình



=+
=+
4
104
myx
mymx
a) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
nguyên dơng
KQ: (m
2
hệ có ng : x=
2

5
;
2
8
+
=
+

m
y
m
m
;
x nguyên dơng<=>x

N<=>
2
8
+

m
m

N<=>
2
10
1
2
10)2(
+

+=
+
++
mm
m

N<=>10

m+2 ..... )
Bài 19:Cho hệ phơng trình



+=
=
52
13)1(
myx
mmyxm
a)Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà
S=x
2
+y
2
đạt giá
trị nhỏ nhất (min S=8 khi m=1)
Bài 20:Cho hệ phơng trình

=
=++
2
12)1(
2
mymx
mmyxm
a)Giải hệ khi m=2
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà P=xy
đạt giá trị
lớn nhất (max P=
4
1
khi m=
2
3
)
Bài 21:Cho hệ phơng trình



=
=+
12
2
ymx
myx
a)Giải hệ khi a=2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0

c)Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
dơng
KQ: ( hệ có ng vơi mọi m : x=
2
12
;
2
4
22
+

=
+
+
m
m
y
m
m
; ..........)
Bài 2 2 : Giải các hệ phơng trình sau
a)







=

+
=


+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843
yx
yx

8
Trn vn hựng email :
c)

=+
=
1222
32423
yx
yx
(đk x;y

2 ) d)





=+
=

+
+
+

5
2
1
12
12

1
yx
y
x
x
y
(đk
....0
12
1
<=>>
+

x
y

e)





=+
=+
05
2
5
yx
x
y

y
x
tơng tự câu c đặt ẩn phụ
t
x
y
=
+

12
1
(t>0) Khi đó
ty
x 1
1
12
=

+

Bài 23: Giải các hệ phơng trình sau ( Nâng cao)
)





=+
=+
xy

yx
31
31
2
2
(Trừ từng vế đợc pt tích ta có hệ



=+
=+
0)3)((
31
2
yxyx
yx
<=>










=+
=+

=
=+
03
31
0
31
2
2
yx
yx
yx
yx
b)





=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ

=+
=
2
4
2
tu
tu
cộng từng vế và giải đ-
ợc u;t
c)



=+
=+
31
1
55
yx
yx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t
2
t-6=0 =>u =...
d)

=+
=++
84
19
22
xyyx
xyyx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt
k
2
-19k+84=0
=> k
1
=7; k
2
=12 <=>



=+
=
7
12
yx
xy
.........
e)

=+
=+
10
4
22
yx
yx
(hay x+y=4 và x.y=3
f)



=+
=
65
18)1)(1(
22
yx
yx
( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ mới rồi đặt -(x+y)=u; xy=t
g)



=+
=++
6
5
22
xyyx

xyyx
tơng tự câu d
9
Trần văn hùng email :
h)





=+
=+
6
13
5
x
y
y
x
yx
®k x; y
0
≠
Bµi 24:a) cho hÖ ph /t



=+
−=−
25

43
22
yx
mymx
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm kÐp (kq;
∆
=0=>m=-
4
3
)
b) Cho hÖ ph /t





=+
=+
m
x
y
y
x
yx 8
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm kÐp (kq:
a=2=>(x;y)=(4;4)
Bµi 25: Cho hÖ ph /t




=+
=+
myx
mxy
2
212
22
T×m m ®Ó hÖ cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
.T×m nghiÖm ®ã
( ®a vÒ d¹ng



−=
=−
122
1)(
2
mxy
yx
th× x¶y ra 2 hÖ råi gi¶i )
Bµi 26: Cho hÖ ph /t





++−−=+−
−+=+−+
kkxyxyy

yykyxx
22)1(422
484)42(
22
22
T×m k nguyªn ®Ó hÖ
cã nghiÖm
BiÕn ®æi tõng ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng (a
±
b
±
c)
2
=A , HÖ cã ng <=> A
≥
0
Bµi 27: Cho hÖ ph /t



=+
=−
1
22
yx
myx
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt . T×m
nghiÖm ®ã
KQ; m=
2

th× hÖ cã nghiÖm (
2
1
;
2
1
−
); m=-
2
th× hÖ cã nghiÖm (-
2
1
;
2
1
)
Hµm sè y=a x
2
(a
≠
0)
Sù t¬ng giao cña ®å thÞ hµm sè y=ax
2
vµ Y=a x+b
10
Trn vn hựng email :
Bài 1: Cho Parabol (P): y=
2
1
x

2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2
Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất.Xác
định toạ độ điểm chung đó
Bài 2: Cho Parabol (P): y=
4
1

x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m
a) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất
b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
c) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) khôngcó điểm chung
Bài 3: Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b
Tìm a và b để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1)
Bài 4: Cho Parabol (P): y=
4
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M(1,5; -1)
b) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau
c) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Bài 5; Cho Parabol (P): y=ax
2

a)Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;-1) và vẽ (P) với a vừa tìm đợc
b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) (ở câu a). hãy viết phơng trình đờng
thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) và song song
với AB
Bài 6: Cho Parabol (P): y=
2
1
x
2
và điểm N(m;0) và I(0;2) với m

0 .Vẽ (P)
a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm N; I
b)C/m rằng (d)và (P) luôn cắt nhau tại 2 diểm phân biệt A và B với mọi m

0
c) Gọi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành . c/m rằng tam giác HIK
vuông tại I
Bài 7: Cho Parabol (P): y=x
2

a) Gọi A và B là 2 điểm thuộc (P) lần lợt có hoành độ là -1 và 2.C/m

OAB
vuông tại A
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d
1
) // AB và tiếp xúc với (P)
c) Cho đờng thẳng (d

2
) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đờng thẳng (d
2
)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ là x
1
và
x
2
thoả mãn
2
2
2
1
11
xx
+
=11
Bài 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x
2
a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)
b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và đi qua B(-1;1)
11
Trn vn hựng email :
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm C thuộc (P)ở
câu a và

có tung độ là
16
1
d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1
Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m
a)Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau .Xác định toạ độ điểm chung đó
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm ,một điểm có hoành độ x=-1.Tìm
điểm còn lại
c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Tìm tập hợp trung điểm I
của AB
Bài 10: Bài thi năm 06-07 và 05-06
Giải Phơng trình
Bài 1: Giải các phơng trình sau
1) 1,5x
2
-2,5x -1=0 6)
0324
4
1
2
=++ xx
2) -x
2
+4x+3=0 7)
0347144 =++ xx
3) x
2
-2(1+

3
)x +2
3
+1=0 8)
15 = xx
( Lập bảng
xét dấu)
4) x
2
(
06)32 =++ x
9)
x
x
x
x
x
x

+
=
+



1
1
11
1
2

5)
2323 =x
10)
xx
x
+
=
1
1
2
1
2
2
Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
1) x
4
x
2
-6=0
2)
1
1
1
1
+

+

+

x
x
x
x
=3 Đặt
t
x
x
=

+
1
1
(đk x


1)
3) (x
2
+2x)
2
-2(x
2
+2x) -3=0 Đặt (x
2
+2x)=t
4) (x
2
+2x+2)
2

-2(x
2
+2x) -28=0 Đặt (x
2
+2x)=t
5) (x
2
-5x)
2
-30(x
2
-5x) = 216
6) (y-x-2)
2
+ (x+2y)
2
=0 a
2
+b
2
= 0 <=>



=
=
0
0
b
a

7) (x-
)
2
x
2
+x-
x
2
- 2=0 Đặt x-
x
2
=t (đk x

0)
8) (x+
05)
1
(5,4)
1
2
=++
x
x
x
Đặt x+
x
1
=t (đk x

0)
9)
0
2
4
2
1
4
2
222
=
+

+


xx
x
xxx
MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 ..... lu ý
ĐKXĐ
12
Trn vn hựng email :
(x+
2
)
2
1
+6x +11=0 Tách 11=
2

6
+8 rồi Đặt x +
2
1
=t
Bài 3; Giải phơng trình (có nhiều phơng pháp)
1)
xx =++ 11
(đk....; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế hoặc
2) x-1=
1+x
Vận dụng t/c đại số :
2 2 2 2
0
; 0
a
a b a b a b
b o
=

= = + =

=

đa về hệ pt )
3) 3x-4
181 =x
......
4) x-
1412 =x

.......
5)
2
3
1
1
1
1
=
+



+
x
x
x
x
đặt ẩn phụ ta có pt: t -
t
1
=
2
3
(đk t>0 ; x>1 hoặc x<-1)
6)
121 =+ xx

7)
341 =++ xx

8)
24
2
= xx
9)
513416123
22
=+++ yyxx
(ta có
44)2(316123
22
+=+ xxx
Nên
216123
2
+ xx
;
3134
2
+ yy
10)
5168143 =++++ xxxx
11)
1252
22
=+ xxxx
đặt ẩn phụ
txx =+ 52
2
(

t
0)
12) 3x
2
+2x=1-x+2
xx +
2
đặt
xx +
2
=t (
t
0)
Phơng trình bậc cao (Dành cho nâng cao)
Phơng trình a x
3
+bx
2
+cx+d=0
(1)
(a

0)
-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích
-Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng
tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x
1
;x

2
;x
3
thì x
1
+x
2
+x
3
=-b/a
x
1
.x
2.
x
3
=-d/a
x
1
.x
2
+x
1
x
3
+ x
2
.x
3
=c/a

Bài 4.1: a) Giải phơng trình 2x
3
+7x
2
+7x+2=0
13
Trn vn hựng email :
a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái
về dạng tích
b) Giải phơng trình x
3
+7x
2
-56 x+48=0
a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
d) Giải phơng trình 2x
3
+5x
2
+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x
3
+ 4x
2
-29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x
2
+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x
4
109x

2
+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a

0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng
nhau )
ph ơng pháp giải gồm 4 b ớc
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0) rồi
nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới
-Đặt ẩn phụ : (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2

1
x
=t
2
-2 ta đợc phơng trình ẩn t
-giải phơng trình đó ta đợc t = .
- thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
Giải phơng trình sau
10x
4
- 27x
3
- 110x
2
-27x +10=0 (1)
Ta nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của (1)
chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0)
ta đợc pt <=>10x
2
-27x - 110 -
2
1027
xx
+
= 0
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT

10( x
2
+
)
1
()
1
2
x
x
x
+
) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x
=t
2
-2 thay vào (2) ta có
<=> 10t
2
-27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t
1

=-
2
5
; t
2
=
5
26
+ Với t
1
=-
2
5
(x+
)
1
x
=-
2
5
2x
2
+5x+2=0 có nghiệm là x
1
=-2 ; x
2
=-1/2
+Với ; t
2
=

5
26
(x+
)
1
x
=
5
26
5x
2
-26x+5 =0 có nghiệm là x
3
=5 ; x
4
=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=








5;
5
1
;2;
2

1
Bài 4.4 Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0 (1)
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a

0 e

0) và
2
)(
b
d
a
e
=
;
14
Trn vn hựng email :
phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy
Chú ý :Khi
a
e
=1hay a=e thì d=

b; lúc đó (1) có dạng a x
4
+ bx
3
+ cx
2


bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc
a x
2
+bx +c +
2
x
c
x
d
+
= 0 (2)
Nhóm hợp lí a (x
2
+
0)()
2
=+++ c
bx

d
xb
ax
c

-Đổi biến đặt x+
bx
d
=t => x
2
+(
2
2
2) t
b
d
bx
d
=+
do (d/b)
2
=c/a
nên x
2
+ c/ a x
2
=t
2
-2. d/b
Khi đó ta có phơng trình a (t

2
- 2
b
d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at
2
+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x
4
-4x
3
-9x
2
+8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1=
2
)
4
8
(

; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy
x=0 không phải là nghiệm của (1)
Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x
2
(x

0)

ta đợc
x
2-
-4x -9 +
2
48
xx
+
=0 (x
2

+
)
4
2
x
- 4( x -
x
2
) -9 =0 (2)
* Đặt ( x -
x
2
) =t (3) => .( x
2

+
)
4

2
x
=t
2
+4 thay vào (2)
Phơng trình (1) trở thành t
2
-4t -5 =0 có nghiệm là t
1
=-1 ; t
2
=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+
bx
m
=yb => x
2
+
b
m
y
xb
m 2
2
22
2
=
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó

Khi đó phơng trình có dạng
[x
2
+( a+d)x +ad ] [ x
2
+ (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x
2
+( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc )
Ta có phơng trình At
2
+B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
15
Trn vn hựng email :
y
2
+8y +15 =0 nghiệm
y

1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x
2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4
=-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S =
{ }
64;6;2
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)
4
+(x+b)
4

= c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là
các hệ số )
c ách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+
2
ba +
=> x+a =t+
2
ba
và x+b=t -
2
ba

Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t
4
+2 (
2
ba +
)
2
t
2
+ 2(
2
ba +
)
4
c =0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải

Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
9t
4
+8t
3
+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2
- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3

Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]
2
+b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a

0 ; f(x) là đa thức một biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at
2
+ bt +c =0 (2) là
PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t
0
thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t
0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R

Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x
2
+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2
=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5
+3x
4
-5x

3
-5x
2

+ 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng
bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng
( x+1) (2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 )=0
Khi đó phơng trình có dạng
[x
2
+( a+d)x +ad ] [ x
2
+ (b+c )x +bc ] =0
16
Trn vn hựng email :
Do a+d=b+c nên ta đặt [x
2
+( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad
hoặc bc )
Ta có phơng trình At
2
+B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x

Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm
y
1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x

2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4
=-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S =
{ }
64;6;2
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)
4
+(x+b)
4
= c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là
các hệ số )
c ách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+
2
ba +
=> x+a =t+
2
ba
và x+b=t -
2
ba

Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t

4
+2 (
2
ba +
)
2
t
2
+ 2(
2
ba +
)
4
c =0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải
Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
9t
4
+8t
3

+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2
- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3
Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]
2
+b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a

0 ; f(x) là đa thức một biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at
2
+ bt +c =0 (2) là
PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t
0
thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t

0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x

2
+ 3x =t (2)
17
Trn vn hựng email :
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2
=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5
+3x
4
-5x
3
-5x
2

+ 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng
bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng
( x+1) (2x
4
+x
3
-6x
2

+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình
2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải
Giải (2) ta đợc x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5 ;x
5
=-1
Bài tập VN : Giải các phơng trình sau

1) x
3
- 4x
2
- 29x -24 =0 2) 8x
3
- 20x
2
+28x - 10 =0
3) x
4
- 3x
3
+9x
2
-27 x+81=0 4, x
4
-10x
3
+11x
2
-10x+1=0
5, x
4
+5x
3
-14x
2
-20x +16 =0 6, x
4

+4x
3
-10 x
2
-28 x-15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18)
=2x
2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x
2
nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) rồi chia 2 vế cho 4x
2

và đặt t=x+7/x (đk x 0)
8) 3x
5
-10x
4
+3x
3
+3x
2
-10x+3=0 9) x
5
+2x
4
+3x
3
+3x
2

+2x+1=0
10) 6x
5
-29x
4
+27x
3
+27x
2
-29x+6=0 11) x
5
+4x
4
+3x
3
+3x
2
-4x+1=0
12) (x
2
-8x+7)(x
2
-8x+15)=20
13) (x
2
-3 x+1) (x
2
+3x+2) (x
2
-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x

2
-3 x+1) (x
2
-3x-4)
(x
2
-3x-10)=-30
14) 3(x
2
+x) -2(x
2
+x ) -1=0 15) (x
2
-4x+2)
2
+4x
2
-4x-4=0
16) (x
2
-x+1)
4
-6x
2
(x
2
-x+1)
2
+5x
4

=0 17) (x+6)
4
+(x+4 )
4
=82
18)
04
5
35
2
2
=+
+
+
+
xx
x
x
xx
19) (x-2,5)
4
+(x-1,5)
4
=17
Định lí Vi et - dấu của nghiệm
Bài 1: Cho phơng trình (m
2
-5m+3)x
2
+(3m-1)x -2 =0

(1
)

a) Giải phơng trình khi m=2
b) Tìm m để phơng trình (1) có 1 nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm còn lại
(thay x=1..
18