một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận:
Toán học là một mơn khoa học tự nhiên mang tính chất trừu tượng cao, mơn
tốn cịn là bộ mơn cơng cụ hỗ trợ cho các môn khoa học khác. Với môn đại số
là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng tinh toán, suy luận logic, phát
triển tư duy sáng tạo. Đặc biệt là rèn luyện cho các em học sinh khá,giỏi nâng
cao năng lực tư duy, tính sáng tạo, linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tốn nhất
là bộ mơn đại số càng có ý nghĩa quan trọng.
Việc dạy học sinh giải tốn khơng đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số
kiến thức cơ bản thông qua việc giải các bài tập mà giáo viên cần phải biết rèn
luyện khả năng sáng tạo cho từng học sinh, giúp học sinh biết phân loại ra từng
dạng tốn. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy khơng phải là giải bài tập cho học
sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm ra
phương pháp giải cho từng dạng tốn đó.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong q trình giảng dạy tốn ở các trường THCS và qua các năm cơng tác
giảng dạy tại trường THCS Trần Quang Khải thuộc phòng Giáo dục và đào tạo
huyện Hòa Vang, thành phố Đà Nẵng. Được sự trao đổi học hỏi kinh nghiệm
của các đồng nghiệp và được sự động viên giúp đỡ của lãnh đạo trường, tôi đã
mạnh dạn viết sáng kiến này với suy nghĩ và mong muốn được trao đổi với đồng
nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về “ Một số phương pháp
giải các bài toán chứa căn thức” trong chương trình đại số lớp 9. Với mục đích
thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo của từng học sinh trước mỗi bài toán,
đồng thời giáo viên sẽ có thêm kinh nghiệm trong q trình áp dụng phương
pháp giảng dạy cho từng dạng bài toán. Trên cơ sở đó đối với mỗi bài tốn cụ
thể các em học sinh có thể khái qt hóa thành bài tốn tổng quát và xây dựng
các bài toán tương tự. Mục đích thứ hai là kích thích sự ham học hỏi của học
sinh giúp các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình ở mọi
lúc, mọi nơi.

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

1


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
1.1. Thực trạng:
a) Thuận lợi:
Kể từ năm học 2008 – 2009 bản thân tôi được lãnh đạo phịng GD và ĐT
huyện Hịa Vang phân cơng phụ trách bộ mơn tốn THCS (Tổ trưởng bộ mơn
Tốn THCS) đồng thời được sự chỉ đạo và giúp đỡ trực tiếp của bộ phận chuyên
môn THCS, hướng dẫn cho tôi nghiên cứu tìm tịi các tư liệu để viết thành các
chun đề phục vụ cho công việc dạy chủ đề tự chọn bám sát và chủ đề bồi
dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 và 9. Đặc biệt trong hoạt động chuyên môn, lãnh
đạo trường luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu dạy học đổi mới sáng
tạo nhất. Mặt khác trong sự nghiệp giáo dục ngày nay có nhiều thay đổi đáng kể
nên các cấp ủy Đảng, chính quyền địa phương, đoàn thể, các bậc phụ huynh, hội
khuyến học đã có nhiều sự quan tâm hơn đối với sự nghiệp giáo dục.
b) Khó khăn:
Bên cạnh những thuận lợi nêu trên cũng cịn nhiều khó khăn như: Hầu hết các
em học sinh ở vùng nông thôn đời sống kinh tế gặp nhiều khó khăn, vì vậy việc
quan tâm đến học hành còn nhiều hạn chế về tinh thần lẫn vật chất dẫn đến tình
trạng học sinh lơ là trong học tập trên lớp cũng như ở nhà. Đối với trường THCS
TRẦN QUANG KHẢI nói riêng và các trường trên địa bàn huyện Hịa Vang
nói chung, việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh giỏi toán đã hình
thành từ lâu. Tuy nhiên hiệu quả chưa cao do nhiều nguyên nhân khách quan và
chủ quan ở người dạy và người học. Đa số giáo viên ở xa trường không phải là

người địa phương, đời sống giáo viên hiện nay vẫn cịn nhiều khó khăn, sự phối
hợp giữa giáo viên bộ mơn và giáo viên chủ nhiệm, gia đình học sinh cũng chưa
được thường xuyên. Đa số các em học sinh còn ham chơi, chưa xác định rõ động
cơ và mục đích học tập của mình.
Chính vì vậy trong q trình dạy học, tơi ln tâm huyết với lịng mình là cần
phải nghiên cứu sáng tạo tìm ra những phương pháp giải tốn phù hợp với từng
Nguyễn Đức Tồn: Tổ trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

2


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

đối tượng học sinh, nhất là các em học sinh ở vùng nơng thơn để các em có
những tài liệu học tập tốt hơn.
1.2. Các số liệu của thực trạng:
Qua thời gian nghiên cứu và tham khảo ý kiến của các bạn đồng nghiệp, đồng
thời trực tiếp khảo sát trắc nghiệm sự hứng thú học toán của học sinh lớp 9. 9 tơi
đang dạy thì chỉ có 20% các em thực sự có hứng thú học tốn; 40% học sinh
thích học tốn nhưng chưa có hứng thú, 30% học sinh nữa thích nữa khơng,
10% cịn lại khơng thích học tốn, các em cho rằng học tốn khó q.
2. Quá trình thực hiện đề tài:
2.1. Giải pháp thực hiện:
a) Hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải cho mỗi bài tốn, định hướng cách
giải bài tốn, từ đó hướng dẫn học sinh tìm được lời giải ngắn nhất phù hợp nhất.
b) Hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức cơ bản đã học để giải quyết
các vấn đề liên quan đến bài tốn.
c) Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến cách giải bài tốn.
d) Khai thác bài tốn để tìm ra nhiều cách giải.
e) Hình thành phương pháp giải chung cho từng dạng tốn.

2.2. Kiến thức cần truyền đạt:
Để rèn luyện được khả năng sáng tạo, tư duy logic tìm ra phương pháp giải
các bài toán về căn thức bậc hai cho từng đối tượng học sinh. Điều trước tiên
người thầy phải tìm ra nhiều cách giải và hướng dẫn học sinh tìm được lời giải
cho bài tốn.
Do khn khổ và giới hạn của đề tài nên tôi chỉ đưa ra một số dạng toán cơ
bản thường gặp và một số bài tập điển hình cho từng dạng tốn.
* DẠNG 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa
* DẠNG 2: So sánh 2 số
* DẠNG 3: Thực hiện các phép tính về căn thức bậc hai
* DẠNG 4: Rút gọn rồi tính giá trị của một biểu thức.
* DẠNG 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức.
* DẠNG 6: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vơ tỉ).
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

3


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

3. Tổ chức thực hiện:
TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
 DẠNG 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Phương pháp: Biểu thức có dạng

A có nghĩa khi A ≥ 0

 Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để xác biểu thức sau có nghĩa.

Phan sửa lại word 2003

a)

x−2 ;

b)

4 − x2 ;

x2 − 4x + 4

c)

Lời giải:
a)

x − 2 có nghĩa khi x-2 ≥ 0 
2
2
2
b) 4 − x 2 có nghĩa khi 4 − x ≥ 0 ⇔ 2 ≥ x ⇔ 2 ≥ x ⇔ −2 ≤ x ≤ 2

x2 − 4x + 4 =

c)

( x − 2)2 có nghĩa với mọi x (

.

 Ví dụ 2: (dành cho học sinh khá, giỏi)

Tìm điều kiện của x để y xác định
a) y = x 2 − 5 x + 7 ;

b) y = x + 2 + 3 2 x − 5
Lời giải:
2

2

5 3
5
3

a) y = x − 5 x + 7 =  x −  +
có nghĩa ∀x ∈ R. Vì  x − ÷ + > 0

÷
2 4
2 4


2

b) y = x + 2 + 3 2 x − 5
y xác định khi 2 x − 5 ≥ 0 ⇔ 2 x ≥ 5 ⇔ x ≥
(vì khi x ≥

5
2

5
thì x + 2 + 3 2 x − 5 > 0)
2

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

4


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức
A
có nghĩa khi B>0
B

Phương pháp: Biểu thức có dạng

* Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa
3
;
x −1

a)

−2

b)

x2 − 1

;

c)

16
x2 − 4x + 4

Lời giải:
a) có nghĩa khi x 1 > 0  x > 1
2
2
b) có nghĩa khi x − 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇔ x > 1

 x > 1 và x < -1
16

c)

x2 − 4x + 4

16

=

( x − 2) 2

16
x−2 ≠0
x − 2 có nghĩa khi

=

⇔ x−2≠0⇔ x ≠ 2

 Ví dụ 2: ( Dành cho học sinh khá giỏi)
Tìm điều kiện của x để y xác định:
1

a) y =

4x2 + 4 x + 1


1

x−2

+

x2 − 2x + 1
 

1



2

+
b) y = 
÷:  2 −

÷
x +1 
x +1
 x −1

Lời giải:
a) Ta có: y =
=

1
4x2 + 4 x + 1
1

( 2 x + 1)

2

+

+

x−2
x2 − 2x + 1
x−2

( x − 1)

2

1


2 x + 1 ≠ 0
x ≠ −
⇔
2
Do đó y xác định khi: 
x −1 ≠ 0
x ≠ 1



1
1  
2 
+
÷:  2 −
÷
x +1 
x +1
 x −1

b) y = 

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

5


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức
x ≥ 0

x ≥ 0
x ≥ 0


⇔
⇔
 x −1 ≠ 0
 x ≠ 1 x ≠ 1



Ta có: y xác định khi: 
 DẠNG 2: So sánh hai số

1. Trường hợp số nguyên với căn thức
Phương pháp: Có thể bình phương cả hai số.

 Ví dụ: So sánh hai số sau: (Khơng dùng máy tính)
a) 3 và 2 2 ;

b) 4 và ;

c) 10 và 3

Lời giải:
a) Ta có 32 > (2 2) 2 ⇔ 9 > 8 (BĐT đúng)
Vậy 3 > 2 2
b) Ta có 42 >

(

15

)

2

⇔ 16 > 15 (BĐT đúng)

Vậy 4 > 15
c) Ta có

(

10

)

2

> 32 ⇔ 10 > 9 (BĐT đúng)

Vậy 10 > 3
2. Trường hợp tổng hoặc hiệu giữa 1 số nguyên với căn thức:
Phương pháp: Có thể chuyển căn thức về riêng một số rồi bình phương hai lần.
Ví dụ: So sánh:
a) 3 + 2 và 2 + 3 ; b) 6 - 5 và 4 - 3 ;

c)

7 - 2 và 3 -

5

Lời giải:
a) Giả sử: 3 + 2 > 2 +  > 3 - 2
1> 3 - 2
 12 >

(

3− 2

)

2

 1 > 3 + 2 -2 6
 >4

 6 >2

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

6


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức



( 6)

2

> 22  6 > 4 (BĐT đúng)

Vậy: 3 + 2 > 2 + 3
b) Giả sử: 6 - 5 > 4 - 3  6 – 4 > 5 - 3
2> 5 - 3

(

 22 >

5− 3

)

2

 4 > 5 + 3 -2 15
 >4


(

15

)

2

15 > 2

> 22  15 > 4 (BĐT đúng)

Vậy 6 - 5 > 4 − 3
7 − 2 > 3− 5

c) Giả sử

⇔ 7 + 5 > 3+ 2
⇔

(

)

2

7 + 5 > 52

⇔ 7 + 5 + 2 35 > 25
⇔ 2 35 > 13

(

⇔ 2 35

)

2

> 132

⇔ 140 > 169

(BĐT sai)

Vậy 7 − 2 < 3 − 5
 DẠNG 3: Thực hiện các phép tính về căn thức bậc hai
1. Trường hợp tính tổng, hiệu các căn thức khác nhau.
Phương pháp: Biến đổi các căn thức thành các căn thức đồng dạng
bằng cách đưa thừa số có căn đúng ra ngồi dấu căn

* Ví dụ: Tính
a)

A = 3 18 − 32 + 4 2 + 162

b)

B = 2 48 − 4 27 + 75 + 12

c)

C = 80 + 20 − 5 + 5 45

Lời giải

a) A = 3 18 − 32 + 4 2 + 162
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

7


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức
= 3 32.2 − 4 2.2 + 4 2 + 9 2.2
= 9 2 − 4 2 + 4 2 + 9 2 = 18 2

b) B = 2 48 − 4 27 + 75 + 12
= 2 4 2.3 − 4 32.3 + 5 2.3 + 2 2.3
= 8 3 − 12 3 + 5 3 + 2 3
=3 3

c) C = 80 + 20 − 5 − 5 45
= 4 2.5 + 2 2.5 − 5 + 5 32.5
= 4 5 + 2 5 − 5 − 15 5
= −10 5

2. Trường hợp các mẫu là tổng hay hiệu của các số nguyên với căn thức.
Phương pháp: Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với
lượng liên hợp của mẫu.

* Ví dụ: Tính.
a)

A=

3

−3
+
7 −2
7 +2

b)

B=

1
1
−
5+2 3 5−2 3

c)

C=

5 2 −2 5
9
−
5− 2
10 + 1

Lời giải:
a)

A=
=

b)

B=

=

3
−3
3.( 7 + 2) − 3.( 7 − 2)
+
=
7 −2
7 +2
( 7 + 2).( 7 − 2)
3 7 + 6 − 3 7 + 6 12
=
=4
7−4
3
1
1
5−2 3 −5−2 3
−
=
5 + 2 3 5 − 2 3 (5 + 2 3).(5 − 2 3)

−4 3 −4 3
=
25 − 12
13

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

8


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức
C=

c)

5 2 −2 5
9
5. 2 ( 5 − 2 )
9( 10 − 1)
−
=
−
5− 2
10 + 1
5− 2
( 10 + 1)( 10 − 1)

= 10 −

9( 10 − 1)
= 10 − ( 10 − 1) = 10 − 10 + 1 = 1
10 − 1

3. Trường hợp trong dấu căn là bình phương của một nhị thức.

Phương pháp: Lấy giá trị tuyệt đối của một nhị thức và chú ý đến BĐT
đúng hay sai

* Ví dụ: Tính.
a)

A=

( 1− 3 )

b)

B=

(2 − 7 )

c)

C=

(3 − 7 )

2

( 2 − 3)

+

2

2

−

(3 + 7 )

2

+

(2

2

7 −5

)

2

Lời giải
a) A =

( 1− 3 )

2

( 2 − 3)

+

2

= 1− 3 + 2 − 3

= 3 − 1 + 2 − 3 =1

b) B =

( 2− 7)

2

−

( 3+ 7)

= 7 − 2 − (3 + 7 )

(vì 3 − 1 < 0 và 2 − 3 > 0 )
2

= 2− 7 − 3+ 7

(vì 2 − 7 < 0 và 3 − 7 > 0 )

= 7 − 2 − 3 − 7 = −5

c) C =

(3 − 7 )

2

+

(2

= 3− 7 + 2 7 −5

7 −5

)

2

= 3− 7 + 2 7 −5

(vì 3 − 7 > 0 và 2 7 − 5 > 0 )

= 7 −2

4. Trường hợp trong dấu căn có tổng hay hiệu của một số với một căn thức:
Phương pháp: Biến đổi lượng trong dấu căn thức thành bình phương
của một nhị thức

* Ví dụ: Tính.
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun môn – Trường THCS Trần Quang Khải

9

Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

a)

A = 3−2 2

b)

B = 7+4 3

c)

C = 21 + 8 5 + 21 − 8 5

Lời giải
a) A = 3 − 2 2 =
=

( 2)

2

− 2 2 + 12 =

2 −1 = 2 −1

(vì

(

)

2 −1

2

2 −1 > 0 )

b) B = 7 + 4 3 = 4 + 2.2. 3 + 3 = 2 2 + 2.2. 3 +
=

(2 + 3 )

2

= 2+ 3 = 2 + 3

( 3)

2

(vì 2 + 3 > 0 )

c) C = 21 + 8 5 + 21 − 8 5
= 16 + 2.4. 5 + 5 + 16 − 2.4. 5 + 5
= 4 2 + 2. 4. 5 +
=

(4 + 5 )

2

+

( 5)

2

+ 4 2 − 2.4. 5 +

(4 − 5 )

2

( 5)

2

= 4+ 5 + 4− 5

= 4+ 5 +4− 5 =8

(vì 4 + 5 > 0 và 4 − 5 > 0 )

5. Trường hợp đặt thành tích của tổng hay hiệu một số nguyên với căn
thức hoặc tổng hay hiệu của hai căn thức
Phương pháp: + Biến đổi số thành căn thức
+ Biến đổi thành các căn thức đồng dạng

+ Đặt nhân tử chung

* Ví dụ: Phân tích thành nhân tử (đặt thành tích)
a) 3 + 3

b) 8 + 18 ;

;

c) 50 − 30

Lời giải:
a) 3 + 3 =

( 3)

2

(

)

+ 3 = 3 3 +1

b) 8 + 18 = 4.2 + 9.2 = 2 2 + 3 2 = ( 2 + 3) 2 = 5 2

(

c) 50 − 30 = 10.5 − 6.5 = 5 10 − 6

)

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

10


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

(hoặc: 50 − 30 = 10.5 − 10.3 = 10 ( 5 − 3 ) )
6. Trường hợp đặc thành tích của các căn thức chứa chữ:
Phương pháp: + Vận dụng hằng đẳng thức (nếu được) để biến đổi
thành các căn thức đồng dạng
+ Đặt nhân tử chung

* Ví dụ: Phân tích thành nhân tử (Đặt thành tích)
a)

x + y − x2 − y2

(với x ≥ y ≥ 0 )

b)

x. y − x + x

(với x ≥ 0; y ≥ 0 )

c) ay + ax + bx + by

(với a,b,x,y không âm)

Lời giải:
a)

x + y − x 2 − y 2 = x + y − ( x − y )( x + y )

(

= x + y − ( x − y). ( x + y) = ( x + y) 1 − ( x − y)

b)

x. y − x + x = x . y − x +

c)

ay + ax + bx + by = a
=

hoặc:

(

(

( x)

2

= x

)

(

)(

)
x)

y + x −1

y+ x + b

y+ x

)

(

a+ b

y+

)

ay + ax + bx + by = ay + by + ax + bx
=

y

(

)

a+ b + x

(

) (

a+ b =

y+ x

)(

a+ b

)

 DẠNG 4: Rút gọn và tính giá trị của một biểu thức
1. Rút gọn biểu thức có chứa chữ
Phương pháp:
+ Trong q trình biến đổi biểu thức ln luôn nhớ với điều kiện nào?
+ Đơn giản tử và mẫu cho ước chung (nếu có)

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

11


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

* Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau
a) A = x

2
với x ≠ 0
x2

b) B = ab 2
c) C =

3
a b4

với a ≠ 0 ; b ≠ 0

2

x2 − 4x + 4
16

Lời giải:
2
2  2 neáu x>0

= x.

=
2
x
x − 2 neáu x<0


a) A = x

b) B = ab

c) C =

2

3
ab 2 2 a 3  3 neáu a > 0

=
=

2 4
2
a .b
a .b
a − 3 neáu a < 0


x − 4x + 4
=
16

2

( x − 2)
42

2

x−2
neáu x ≥ 2
x−2  4

=
=
4
 2 − x neáu x<2
 4


2. Rút gọn rồi tính số trị của biểu thức
Phương pháp: Sau khi rút gọn biểu thức ta thay đổi giá trị của các
biến để tính số trị của biểu thức

* Ví dụ: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau
a) A = x 2 + 2 x + 1 + 2 x + 1

với x=2

b) B = 4.a 4 − 4a 2 + 1 − a 4 − 6a 2 + 9 với x=3
 x ≠ −1


x
2x + 2
− 2
với  x ≠ 2 y
c) C =
2
xy − 2 y
x + x − 2 xy − 2 y

 y = 1− 3

Lời giải:
a) A = x 2 + 2 x + 1 + 2 x + 1 =

( x + 1)

2

+ 2x + 1

= x + 1 + 2x + 1
Với x=2 ⇒ A = 2 + 1 + 2.2 + 1 = 3 + 4 + 1 = 8
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

12


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

b) B = 4.a 4 − 4a 2 + 1 − a 4 − 6a 2 + 9

=

( 2a

2

− 1) −

(a

2

2

− 3)

2

= 2a 2 − 1 − a 2 − 3
Với a = 3 ⇒ B = 2.

( 3)

2

−1 −

( 3)

2

−3

= 2.3 − 1 − 3 − 3
= 5−0 = 5

c) C =

x
2x + 2
− 2
2
xy − 2 y
x + x − 2 xy − 2 y

=

x
2( x + 1)
−
y ( x − 2 y ) ( x − 2 y )( x + 1)

=

x
2
−
y( x − 2 y) ( x − 2 y)

=

x − 2y
1
=
với x ≠ 2y
y( x − 2 y) y

Với y=1- 3 ⇒ C =

với x ≠ -1

1
1+ 3
1+ 3 1+ 3
1+ 3
=
=
=
=−
1− 3
−2
2
1- 3
1- 3 1+ 3

(

)(

)

 DẠNG 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)
của một biểu thức
Phương pháp: + Sử dụng tam thức bậc hai
+ Sử dụng các bất đẳng thức
+ Sử dụng phép bình phương

* Ví dụ:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
A= x−4 x +5

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B=

x
+ 1 − x − 2x2
2

c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:
C = 1+ x + 3 − x
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

13


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

Lời giải:
a) A = x − 4 x + 5
=

( x)

2

( x ≥ 0)

− 4 x + 4 +1 =

(

)

2

x − 2 +1 ≥ 1

Suy ra GTNN A=1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4
x
2

b) B = + 1 − x − 2 x 2 có nghĩa ⇔ 1 − x − 2 x 2 ≥ 0
⇔ ( x + 1)(1 − 2 x) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤

1
2

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm 1 và (1-x-2x2) ta có:
1 + (1 − x − 2 x 2 ) 2 − x − 2 x 2
1.(1 − x − 2 x ) ≤

=
2
2
2

Suy ra B ≤

x 2 − x − 2 x 2 2(1 − x 2 )
+
=
= 1 − x2 ≤ 1
2
2
2

1 − x − 2 x 2 = 1

⇔ x=0
Vậy GTLN B=1 ⇔ 
x = 0


c) C = 1 + x + 3 − x
1 + x ≥ 0

⇔ −1 ≤ x ≤ 3
Điều kiện 
3 − x ≥ 0


Ta có C ≥ 0 và C 2 =

(

1+ x + 3 − x

)

2

= 4 + 2 (1 + x)(3 − x) ≥ 4

Suy ra C ≥ 2
Vậy GTNN C=2 ⇔ (1 + x)(3 − x) = 0 ⇔ x = −1 hoaëc x=3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có:
2 (1 + x)(3 − x) ≤ 1 + x + 3 − x = 4
⇒ C2 ≤ 8 ⇒ C ≤ 2 2

Vậy GTLN C = 2 2 ⇔ 1 + x = 3 − x ⇔ x = 1
 DẠNG 6: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vơ tỉ)
Phương pháp: + Sử dụng phép bình phương

+ Sử dụng phép đặt ẩn số phụ
+ Sử dụng phép nhân với biểu thức liên hợp
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

14


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

 Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) x − 1 + 3 − x = 2
b) 3 + x + 2 − x − 2 − x 2 − x + 6 + 1 = 0
c) x + 3 − 2 − x − x 2 + 4 x − 4 = 0
(Ví dụ b và c dành cho học sinh khá, giỏi)
Lời giải:
a) pt:

x −1 + 3 − x = 2
 x −1 ≥ 0
x ≥1
⇔
⇔1≤ x ≤ 3
3 − x ≥ 0
x ≤ 3

Điều kiện 

Ta có: ( x − 1 + 3 − x ) 2 = 22
⇔ x − 1 + 3 − x + 2 ( x − 1)(3 − x) = 4
⇔

( x − 1)(3 − x) = 1

⇔

( x − 1)(3 − x) = 1

⇔

x2 − 4x + 4 = 0

⇔

( x − 2)2 = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x =2
b) Pt: 3 + x + 2 − x − 2 − x 2 − x + 6 + 1 = 0 (1)
Vì: − x 2 − x + 6 = (3 + x)(2 − x) nên ta có điều kiện
3 + x ≥ 0
⇔ −3 ≤ x ≤ 2

2 − x ≥ 0

Đặt t = 3 + x + 2 − x ( t ≥ 0 )
⇒ t 2 = 5 + 2 (3 + x)(2 − x) = 5 + 2 − x 2 − x + 6
⇒ t 2 − 5 = 2 − x2 − x + 6

Thay vào phương trình (1) ta có:
t − (t 2 − 5) + 1 = 0 ⇔ t 2 − t − 6 = 0
 t = 3 (Chọn)
⇔ (t − 3)(t + 2) = 0 ⇔ 
a
t = −2 (loại)

Với t = 3 ⇒ 3 + x + 2 − x = 3
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

15

Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

Bình phương 2 vế và rút gọn ta được:
− x2 − x + 6 = 2 ⇔ − x 2 − x + 6 = 4
 x =1
⇔ x2 + x − 2 = 0 ⇔  1
(thỏa mãn điều kiện)
 x2 = −2

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 1 ; x2 = −2
c) Pt:

x + 3 − 2 − x − x2 + 4x − 4 = 0
x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
⇔
⇔ −3 ≤ x ≤ 2
2− x ≥0
x≤2



Điều kiện: 

Phương trình có thể viết thành:
( x + 3 − 2) + (1 − 2 − x ) − ( x 2 − 4 x + 3) = 0
⇔

( x + 3) − 4 1 − (2 − x)
+
− ( x − 1)( x − 3) = 0
x + 3 + 2 1+ 2 − x

⇔ ( x − 1)(

1
1
+
+ 3 − x) = 0
x + 3 + 2 1+ 2 − x

Với điều kiện −3 ≤ x ≤ 2 thì biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai dương nên
phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Bài tập tự luyện:
* Bài 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa
a)

3
; b)
x +1

x 2 − 4 x + 3 ; c)

− x2 + 2x + 8

* Bài 2: So sánh hai số sau: (Không dùng máy tính).
5 và 7 ; b) 3 5 và 32 ; c) 3 − 3 và 5 − 3
* Bài 3: Thực hiện phép tính:

a) A = 2 45 + 80 − 245
1

2

b) B = 2 32 − 162 + 3 72

c) C = ( 5 + 3 − 2 ) ( 5 + 3 + 2 )
* Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:
a)

3
; b)
3+ 2 3

3 +1
2 2 +3
; c)
3 −1
3− 2

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

16


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

* Bài 5: Tính:
a) A = 6 − 2 5 − 6 + 2 5

b) B = 28 + 10 3 − 3 − 5
c) C = 12 − 6 3 +

1
3−2

* Bài 6: Đặt thành tích
b) 15 − 6 ;

a) 5+ 5 ;

c) 27 + 48 − 6

* Bài 7: Rút gọn các biểu thức rồi tính giá trị
a) A = 4 x 2 + 4 x + 1 − x 2 − 2 x + 1
b) B =

x2 − 4
+
x−4

c) C =

x − x2
1+ y
+ 2
2
1− x
y + 2y +1

2
( 2 x − 1) với

với x=-2

x= 3

với x=2; y=3

* Bài 8: Tính (dành cho học sinh khá, giỏi)
a) A = 8 − 2 15 − 8 + 2 15
b) B = 15a 2 − 8a 15 + 16 với a =
c) C =

( x − 1) 3
x2 − 2x + 1

3
5
+
5
3

với a = 2 + 3

* Bài 9: Tính (dành cho học sinh khá, giỏi)
a) A =
b) B =

1 + 2a

1 − 2a
+
1 + 1 + 2a 1 − 1 − 2a

với a =

3
4

1
3 2 − 2 3 2012 − 2012
+
2− 3 3 2+2 3
2012 − 1

c) C = x − 1 − 2 x − 2 + x + 7 − 6 x − 2
* Bài 10: Rút gọn các biểu thức sau ( dành cho học sinh khá giỏi)
a) A =

5 − 3 − 29 − 12 5

b) B = 6 − 2

2 + 12 + 18 − 8 2

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

17

Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

c) C =

x8 + 3 x 4 + 4
− x4 + x2 − 2
4
2
x +x +2

Hướng dẫn: Tử của C có thể viết:
x 8 + 3 x 4 + 4 = x8 + 4 x 4 + 4 − x 4 = ( x 4 + 2 ) − ( x 2 )
2

2

* Bài 11: (Dành cho học sinh khá giỏi)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y = x −1− 2 x − 2 + x + 7 − 6 x − 2

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q=

1
x−2 x +3

c) Cho biểu thức: P =

x2 − x
2 x + x 2( x − 1)

−
+
x + x +1
x
x −1

1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3. Tìm x để biểu thức Q =

2 x
nhận giá trị là số nguyên
P

* Bài 12: Giải các phương trình sau (dành cho học sinh khá, giỏi)
a)

x3 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3

b) 8 + x + 5 − x = 5
c) 2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14
* Hướng dẫn:
Câu a) Đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích
Câu b) Đặt ẩn số phụ t = x (t ≥ 0) rồi dùng phương pháp bình phương 2
vế của phương trình
Câu c) Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm
2x − 3 + 5 − 2x ≤

(2 x − 3) + 1 (5 − 2 x) + 1
+

= 2 (1)
2
2

Mặt khác: 3x 2 − 12 x + 14 = 3( x − 2) 2 + 2 ≥ 2 ∀x (2)

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

18


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

Từ (1) và (2) ta thấy x thoả mãn pt khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở
thành đẳng thức tức là:
2 x − 3 + 5 − 2 x = 3 x 2 − 12 x + 14 = 2

(2) trở thành đẳng thức khi: x-2=0 ⇔ x=2
Thay x=2 vào (1) cũng trở thành đẳng thức. Do đó pt có 1 nghiệm x=2
Trên đây là 6 dạng toán về giải các bài tập chứa căn thức thường gặp trong
chương trình đại số lớp 9. Mỗi dạng tốn tơi mới chọn một số bài tốn điển hình
để giới thiệu về cách phân loại và phương pháp giải cho mỗi dạng tốn đó để
học sinh có thể nhận dạng các bài toán mới thuộc dạng nào, từ đó sẽ có cách giải
hợp lý, nhanh gọn và chính xác hơn.

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

19

Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

III. KẾT LUẬN
1. Bài học kinh nghiệm:
1.1. Đối với giáo viên:
-

Nhiệt tình, có tinh thần trách nhiệm cao, tâm huyết với nghề dạy học, nhất
là dạy bộ môn tốn.

-

Xây dựng kế hoạch, chương trình phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học
sinh giỏi.

-

Nắm vững kiến thức toán học, nội dung chương trình SGK.

-

Nắm vững phương pháp giảng dạy bộ mơn tốn và phương pháp bồi
dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu.

1.2. Đối với học sinh:
-

Thường xuyên phát động phong trào thi đua học tập trong lớp, trong trường.

-

Chọn đối tượng phù hợp để phụ đạo và bồi dưỡng.

-

Hướng dẫn phương pháp học tập ngay trên lớp cho học sinh.

-

Kiểm tra việc học tập trên lớp, học tập ở nhà của học sinh thông qua giờ
dạy, vở ghi bài, vở bài tập, vở nháp,...

-

Động viên khen thưởng, khuyến khích kịp thời đối với những em tiến bộ
có thành tích trong học tập, nhất là những em học sinh yếu có ý thức vươn
lên, những em học sinh giỏi đạt giải cấp thành phố.

2. Những điểm còn hạn chế:
-

Mỗi dạng toán mới chỉ đưa ra một số bài tốn điển hình làm mẫu.

-

Chưa trình bày được nhiều cách giải khác nhau của mỗi bài toán.

-

Chưa khai thác hết các dạng toán, mới chỉ làm đại diện ở một số bài toán.

3. Kết quả đạt được:
Qua những năm thực tế giảng dạy chương trình tốn 9 và bồi dưỡng học sinh
giỏi toán 9 ở trường THCS TRẦN QUANG KHẢI tôi nhận thấy trước đây khi
chưa áp dụng phương pháp này mỗi lớp tơi dạy có tới 30% đến 40% học sinh
yếu mơn tốn, số lượng học sinh giỏi đạt giải cấp thành phố rất khiêm tốn. Từ
khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này với cách làm như trên thì tỉ lệ học sinh
yếu giảm rõ rệt và số lượng học sinh giỏi và học sinh đạt giải cấp thành phố tăng
Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

20


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

lên, năm sau luôn cao hơn năm trước. Hơn thế nữa qua cách làm này, các em
học sinh rất hứng thú và u thích mơn tốn hơn. Kết quả cụ thể như sau:
Tổng

Năm

số HS

học

(2 lớp 9)

Chất lượng bộ mơn
Khá
T.Bình

Giỏi

Kết quả học
Yếu

Kém

sinh giỏi cấp

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

2009-2010

72

10

13,9%

15

20,8%

41

56,9%

6

8,4%

/

/

2010-2011

71

14

19,7%

17

23,9%

36

50,7%

4

5,7%

/

/

2011-2012

71

15

21,1%

20

28,2%

34

47,9%

2

2,8%

/

TP
3 giải

/

(1 nhì+ 2 KK)
4 giải
(1 nhì + 3 KK)
6 giải
(1 nhì+ 1 ba
+ 4 KK)

4. Một số đề xuất, kiến nghị:
Để thực hiện đề tài này có hiệu quả tơi xin kiến nghị những vấn đề sau:
-

Nhà trường cần tiến hành khảo sát chất lượng đầu năm để xác định rõ đối
tượng học sinh.

-

Xây dựng kế hoạch phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh giỏi ngay
từ đầu năm và kể cả thời gian nghỉ hè.

-

Tăng cường sự phối hợp chặt chẽ giữa gia đình với nhà trường, giữa
GVBM với GVCN để tạo ra một sức mạnh tổng hợp.

-

Phát động các đợt thi đua học tập trong công tác Đội

-

Tổ chức tốt các buổi đố vui để học ( ngoại khóa)

-

Tổ chức các câu lạc bộ giúp nhau trong học tập.

-

Khen thưởng động viên các em học sinh có thành tích trong học tập vào
các buổi chào cờ đầu tuần.

-

Phát động phong trào thi giải tốn qua mạng Internet.

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

21


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

5. Lời kết:
Do tính đa dạng mn màu mn vẻ của tốn học, thật khó lịng tìm ra một
phương pháp hữu hiệu nhất để làm chìa khóa khai thơng mọi tri thức, mọi tiềm
năng vốn có của tốn học, nhằm giúp cho con người tiếp cận nó một cách dễ
dàng hơn.
Những phương pháp được trình bày ở trên chỉ là kinh nghiệm chủ quan của
bản thân trong quá trình dạy học. Do thời lượng có hạn và kinh nghiệm, năng
lực của bản thân cịn hạn chế nên tơi chỉ gói gọn những bài tập ở dạng cơ bản
mang tính chất giới thiệu nhằm trao đổi với các bạn đồng nghiệp để cùng nhau
tham khảo. Vì vậy kinh nghiệm này chưa thể đáp ứng đầy đủ nhu cầu của người
đọc và khơng thể tránh khỏi những điều sai sót, rất mong được sự cộng tác và
đóng góp ý kiến chân tình q báu của các bạn đồng nghiệp và các bạn độc giả
yêu toán nhằm bổ sung cho đề tài này thêm phong phú và đa dạng hơn về cách
giải các bài tốn chứa căn thức.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Hịa Vang, ngày 10/12/2012
Người viết

Nguyễn Đức Tồn.

Nguyễn Đức Tồn: Tổ trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

22

Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT
1

Tên tài liệu
SGK đại số 9

Tác giả
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)
Tơn Thân (Chủ biên) và nhóm tác

2

SGV đại số 9

giả...
Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên)
Tôn Thân (Chủ biên)
Phạm Gia Đức
Trương Công Thành
Nguyễn Duy Thuận

3

Bài tập tốn 9

Nguyễn Huy Đồn
Tơn Thân ( Chủ biên)
Phạm Gia Đức
Trương Công Thành

4

Sách Nâng cao và

Nguyễn Duy Thuận
Vũ Hữu Bình

phát triển tốn 9 (Tập
5

I,II)
Tốn nâng cao và

Vũ Dương Thụy ( Chủ biên)

6

các chuyên đề đại số 9
Toán cơ bản và

Nguyễn Ngọc Đạm
Vũ Hữu Bình

7

nâng cao đại số 9
Các bài tốn có

Nguyễn Đức Tấn

8

nhiều cách giải lớp 9
Các bộ đề thi tuyển

Nguyễn Q Dy

sinh mơn tốn lớp 10

Nguyễn Văn Nho

Nguyễn Đức Tồn: Tở trưởng chun mơn – Trường THCS Trần Quang Khải

23


Đề tài: Một số phương pháp giải các bài toán chứa căn thức

MỤC LỤC
Phan sửa lại word 2003.................................................................................................4

Nguyễn Đức Toàn: Tổ trưởng chuyên môn – Trường THCS Trần Quang Khải

24