vành sigma đối xứng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐAN ĐÌNH TRÚC
VÀNH SIGMA ĐỐI XOẮN
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
Lời cám ơn
Em xin gửi lời cám ơn chân thành đến tất cả thầy cô trong khoa Toán-
Tin học, đặc biệt là các thầy PGS.TS. Bùi Xuân Hải, TS. Trần Ngọc Hội,
TS. Nguyễn Viết Đông đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt cho em những
kiến thức quý báu trong suốt những năm cao học. Hơn hết, em xin bày tỏ
lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Viết Đông, thầy đã tận tình hướng dẫn em
trong quá trình làm luận văn.
Em cũng xin gửi lời cám ơn đến gia đình, đặc biệt là cha mẹ, những
người đã tạo mọi điểu kiện để em có thể tập trung học tập. Cuối cùng,
xin gửi lời cám ơn đến các anh chị khóa trên, cùng những người bạn đã
học tập và giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua.
Đan Đình Trúc
Mục lục
Lời cảm ơn 3
Mục lục 4
Lời mở đầu 5
Bảng ký hiệu 7
1 Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Các module đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Các vành đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Các hàm tử Ext

n
và Tor
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Giới hạn tới, giới hạn ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Bao và phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Module Σ-đối xoắn và thuần khiết mạnh 18
3 Căn Jacobson của vành tự đồng cấu 26
4 Vành nửa địa phương 34
Tài liệu tham khảo 42
4
Lời mở đầu
Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu về module Σ-đối xoắn và
vành Σ-đối xoắn, dựa trên bài báo [10] của P.A. Guil Asensio, I. Herzog.
Trong suốt luận văn, khi nói đến module M mà không nói rõ thì ta hiểu
M là module phải. Khi nói đến một vành bất kì, ta qui ước đó là vành kết
hợp có đơn vị.
Luận văn gồm có 4 chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn
bị mà chúng ta sẽ sử dụng trong suốt luận văn, đặc biệt là các định nghĩa
và định lý liên quan đến các hàm tử T or
n
và Ext
n
. Cũng trong chương
1, chúng tôi trình bày các tính chất của các module nội xạ thuần khiết,
module dẹt, vành hoàn hảo phải, và vành nửa hoàn hảo phải.
Chương 2 nói về Module Σ-đối xoắn và khái niệm thuần khiết mạnh.
Cụ thể, ta chứng minh được các kết quả chính sau đây.
Định lý 2.11. Cho vành R và M
R

là R-module phải. Ta có các điều
sau:
1) Bao đối xoắn C(M) là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu tối đại
của M. Hơn nữa, m : M
R
→ C(M) là đơn cấu F -thuần khiết và duy nhất
theo nghĩa đẳng cấu.
2) Nếu N
R
là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R
, thì phép
nhúng i : M
R
→ N
R
là đơn cấu F-thuần khiết. Hơn nữa, nếu N
R
⊂ C(N)
là bao đối xoắn của N
R
thì C(N) cũng là bao đối xoắn của M
R
.
3) Nếu M ⊂ N ⊂ C(M) và phép nhúng i : M
R
→ N
R
là đơn cấu
F -thuần khiết thì N

R
là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R
.
Định lý 2.12. Cho vành R. Giả sử rằng phạm trù các R-module phải
xạ ảnh là đóng đối với mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu, khi đó C(R
R
)
là module Σ-đối xoắn.
Chương 3 trình bày về căn Jacobson của vành tự đồng cấu của các
module dẹt đối xoắn. Trong chương này, ta chứng minh được rằng, vành
R thỏa mãn R
R
là module Σ-đối xoắn khi và chỉ khi R là vành hoàn hảo
phải. Ngoài ra, ta cũng chứng minh được kết quả sau.
Định lý 3.16. Cho vành R, R
R
⊂ C là bao đối xoắn của R
R
, và
S = End
R
(C) là vành tự đồng cấu của C. Giả sử đồng cấu f ∈ S thỏa
6
mãn f(1) ∈ CJ, thì f ∈ J(S), với J(S) là căn Jacobson của S. Hơn nữa,
nếu C

là hạng tử trực tiếp của C
R
thỏa mãn C


J = C

thì C

= 0.
Chương 4 trình bày về lớp vành nửa địa phương và quan hệ giữa lớp
vành này và module Σ-đối xoắn. Trong chương này, ta chứng minh được
rằng nếu bao đối xoắn của R
R
là module Σ-đối xoắn, thì R là vành nửa
địa phương. Ta cũng chứng minh được kết quả sau.
Mệnh đề 4.12. Cho vành R và ℵ = max{ℵ
1
, |R|}. Khi đó, nếu mọi
R-module con thuần khiết của R
(ℵ)
R
là module con thuần khiết mạnh cốt
yếu của một hạng tử trực tiếp nào đó của R
(ℵ)
R
, thì R là vành hoàn hảo
phải.
Trong thời gian gần đây, hướng nghiên cứu về module Σ-đối xoắn đang
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Nhiều kết quả
mới và thú vị trong lĩnh vực này đã được công bố và cũng có nhiều vấn
đề mở đòi hỏi cần phải giải quyết. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian và
năng lực nên tác giả bản luận văn này chỉ mới đạt được ở mức độ nắm
được một số kết quả mới mà chưa thể giải quyết được các câu hỏi đặt ra.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng trong luận văn vẫn không tránh
khỏi sai sót. Em rất mong nhận được góp ý của của các thầy cô, anh chị
và các bạn. Xin chân thành cảm ơn.
Bảng ký hiệu
⊂, ⊆ chứa trong
 chứa trong ngặt
|A| lực lượng của tập hợp A
M ⊕ N tổng trực tiếp của M và N
R
(I)
tổng trực tiếp của của các R-module R theo tập chỉ số I
M
(I)
tổng trực tiếp của của các R-module M theo tập chỉ số I
End
R
(M) vành các R-tự đồng cấu của M

i
R
i
tích trực tiếp của các vành {R
i
}
C(M) bao đối xoắn của module M
Ext
n
R
(A, B) tích mở rộng n-chiều trên R của các module A và B
Ext

n
(A, B) tích mở rộng n-chiều các module A và B khi vành
R xác định
Ext(A, B) tích mở rộng 1-chiều các module A và B khi vành
R xác định
T or
R
n
(A, B) tích xoắn n-chiều trên R của các module A và B
T or
n
(A, B) tích xoắn n-chiều các module A và B khi vành
R xác định
T or(A, B) tích xoắn 1-chiều các module A và B khi vành
R xác định
R
M M là R-module trái
M
R
M là R-module phải
S
M
R
M là R-module phải và S-module trái
A ⊗
R
B tích tenxơ của hai module A
R
và
R

B
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các module đặc biệt
Định nghĩa 1.1. Dãy khớp các R-module phải
0 −−→ A

λ
−−→ A −−→ A

−−→ 0
được gọi là khớp thuần khiết nếu với mọi R-module trái B, ta có dãy sau
là khớp:
0 −−→ A

⊗ B
λ⊗1
−−→ A ⊗ B −−→ A

⊗ B −−→ 0
Khi đó A

được gọi là module con thuần khiết của A, và λ : A

→ A được
gọi là đơn cấu thuần khiết.
Định nghĩa 1.2. Một R-module M được gọi là nội xạ thuần khiết nếu
với mọi module con thuần khiết S của một R-module phải N, dãy sau đây
là khớp:

Hom(N, M) −−→ Hom(S, M) −−→ 0
Định nghĩa 1.3. R-module phải A được gọi là module dẹt phải nếu hàm
tử A ⊗ − là hàm tử khớp. Nói cách khác A là module dẹt nếu với mỗi dãy
khớp ngắn các R-module trái:
0 −−→ X −−→ Y −−→ Z −−→ 0
8
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9
thì dãy các nhóm tenxơ sau cũng khớp:
0 −−→ A ⊗ X −−→ A ⊗ Y −−→ A ⊗ Z −−→ 0
Module dẹt trái được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
Định lý 1.4. ([2], Mệnh đề 4.85) Cho vành R, và R-module phải C, ta có
các điều sau tương đương.
1. C là R-module dẹt phải
2. Mọi dãy khớp
ε : 0 −−→ A
λ
−−→ B −−→ C −−→ 0
đều là khớp thuần khiết.
Định lý 1.5. ([2], Mệnh đề 4.86) Cho vành R và dãy khớp các R-module
phải ε : 0 → A → B → C → 0. Ta có:
1. Giả sử B là module dẹt. Khi đó, ε là khớp thuần khiết khi và chỉ khi
C là module dẹt.
2. Giả sử C là module dẹt. Khi đó, B là module dẹt khi và chỉ khi A là
module dẹt.
Định nghĩa 1.6. Cho vành R và M
R
là R-module phải. Khi đó R-module
phải S được gọi là module con bé của M
R
nếu với mọi L ⊂ M thỏa mãn

L + S = M thì L = M.
Bổ đề 1.7. Cho R là vành địa phương với ideal tối đại J. Nếu M
R
là
R-module phải hữu hạn sinh thì MJ là module con bé của M.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10
1.2 Các vành đặc biệt
Định nghĩa 1.8. Một vành R được gọi là nửa hoàn hảo phải (trái) nếu
mọi R-module phải (trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh.
Định nghĩa 1.9. Một vành R được gọi là hoàn hảo phải (trái) nếu mọi
R-module phải (trái) đều có phủ xạ ảnh.
Định nghĩa 1.10. Một vành R được gọi là chính quy von Neumann nếu
với mọi a ∈ R tồn tại phần tử a

sao cho aa

a = a.
Định lý 1.11. ([3], Định lý 4.16, trang 120) Vành R là chính quy von
Neumann nếu và chỉ nếu mọi R-module phải là dẹt.
Mệnh đề 1.12. ([7], Mệnh đề 27.6) Cho vành R, và J(R) là căn Jacobson
của R. Ta có các điều sau là tương đương:
1) R là vành nửa hoàn hảo phải.
2) R/J(R) là vành nửa đơn và mọi lũy đẳng x+J(R) của R/J(R) đều
có dạng e + J(R) với e là một lũy đẳng của R.
3) R có một hệ lũy đẳng trực giao e
1
, e
2
, , e
n

với mỗi e
i
Re
i
là vành
địa phương.
4) Mọi R-module phải đơn đều có phủ xạ ảnh.
Mệnh đề 1.13. ([7], Mệnh đề 28.4) Cho vành R, và J(R) là căn Jacobson
của R. Ta có các điều sau là tương đương:
1) R là vành hoàn hảo phải.
2) R/J(R) là vành nửa đơn và J(R) là T-lũy linh phải.
3) R/J(R) là vành nửa đơn và mọi R-module phải khác không đều có
module con tối đại.
4) Mọi R-module dẹt phải đều là module xạ ảnh.
5) R không chứa bất kì hệ lũy đẳng trực giao vô hạn nào và mọi R-
module phải khác không đều chứa module con tối tiểu.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11
1.3 Các hàm tử Ext
n
và T or
n
Định nghĩa 1.14. Cho A là R-module phải và
X : . . . −−→ X
n+1
−−→ X
n
−−→ X
n−1
−−→ . . . −−→ X
0

−−→ A −−→ 0
là phép giải xạ ảnh bất kỳ của A.
Phép giải thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X là:
X : . . . −−→ X
n+1
−−→ X
n
−−→ X
n−1
−−→ . . . −−→ X
0
−−→ 0
Với mỗi R-module trái B ta có dãy nửa khớp:
X ⊗ B : . . .
∂
∗
−−→ X
n+1
⊗ B −−→ X
n
⊗ B −−→ . . . −−→ X
0
⊗ B −−→ 0
trong đó ∂
∗
là tích tenxơ ∂⊗1
B
. Với mỗi n ≥ 0, ta định nghĩa H
n
(X ⊗B) là

tích xoắn n-chiều trên R của các module A và B. Và ký hiệu T or
R
n
(A, B).
Khi vành R đã rõ, ta sẽ viết gọn là T or
n
(A, B).
Trong trường hợp n=1, ta sử dụng kí hiệu T or(A, B).
Định lý 1.15. ([1], Định lý 2, trang 155) Nếu A hay B là R-module xạ
ảnh thì T or
R
n
(A, B) = 0, n ≥ 1.
Định lý 1.16. ([1], Định lý 5, trang 160) Với mọi R-module phải A và
mọi dãy khớp ngắn bất kỳ các R-module trái:
0 −−→ B

−−→ B −−→ B

−−→ 0
ta có dãy khớp:
. . . −−−→ T or
n
(A, B

) −−−→ T or
n
(A, B) −−−→ T or
n
(A, B


) −−−→ T or
n−1
(A, B

) −−−→
. . . −−−→ T or(A, B

) −−−→ A ⊗ B

−−−→ A ⊗ B −−−→ A ⊗ B

−−−→ 0
Định lý 1.17. ([1], Định lý 6, trang 161) Với mọi R-module trái B và mọi
dãy khớp ngắn bất kỳ các R-module trái:
0 −−→ A

−−→ A −−→ A

−−→ 0
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12
ta có dãy khớp:
. . . −−−→ T or
n
(A

, B) −−−→ T or
n
(A, B) −−−→ T or
n

(A

, B) −−−→ T or
n−1
(A

, B) −−−→
. . . −−−→ T or(A

, B) −−−→ A

⊗ B −−−→ A ⊗ B −−−→ A

⊗ B −−−→ 0
Bổ đề 1.18. Cho dãy khớp ngắn các R-module phải sau:
0 −−→ A

−−→ A −−→ A

−−→ 0
nếu A

và A là module dẹt thì A

là module dẹt, nếu A

và A

là module
dẹt thì A là module dẹt.

Chứng minh. Theo Định lý 1.17, với mọi R-module trái B, ta có dãy khớp:
. . . → T or
n
(A

, B) → T or
n
(A, B) → T or
n
(A

, B) . . . → T or
2
(A

, B) →
T or(A

, B) → T or(A, B) → T or(A

, B) → A

⊗B → A⊗B → A

⊗B → 0
Theo [1], trang 170, nếu A

và A

là module dẹt thì T or(A


, B) = 0 và
T or(A

, B) = 0. Do dãy trên là khớp suy ra T or(A, B) = 0. Do đó A là
module dẹt.
Nếu A

và A là module dẹt thì Tor
2
(A

, B) = 0 và T or(A, B) = 0. Do
dãy trên là khớp suy ra T or(A

, B) = 0. Do đó A

là module dẹt.
Định nghĩa 1.19. Cho A là R-module phải và
X : . . . −−→ X
n+1
−−→ X
n
−−→ X
n−1
−−→ . . . −−→ X
0
−−→ A −−→ 0
là phép giải xạ ảnh bất kỳ của A.
Gọi X là phép giải thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X.

Với mỗi R-module trái B ta có dãy nửa khớp:
Hom(X, B) : 0 −−→ Hom(X
0
, B)
δ
−−→ Hom(X
1
, B) −−→ . . .
. . . −−→ Hom(X
n
, B)
δ
−−→ Hom(X
n+1
, B) −−→ . . .
trong đó δ = Hom(∂, 1
B
). Với mỗi số nguyên dương n, nhóm đối đồng điều
H
n
(Hom(X, B)) được gọi là tích mở rộng n-chiều trên R của các module
A và B đã cho và được ký hiệu là Ext
n
R
(A, B).
Trong trường hợp vành R đã rõ, ta sẽ viết gọn là Ext
n
(A, B).
Với n = 1 ta dùng kí hiệu Ext(A, B).
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13

Định lý 1.20. ([1], Định lý 1, trang 163) Nếu R-module trái A là xạ ảnh
thì Ext
n
R
(A, B) = 0 với mọi số nguyên dương n và với mọi R-module trái
B.
Định lý 1.21. ([1], Định lý 2, trang 163) Nếu R-module trái B là nội xạ
thì Ext
n
R
(A, B) = 0 với mọi số nguyên dương n và với mọi R-module trái
A.
Định lý 1.22. ([1], Định lý 5, trang 168) Nếu A là module trái trên vành
R và
0 −−→ B

−−→ B −−→ B

−−→ 0
là một dãy khớp ngắn các module trái trên vành R thì ta có dãy khớp:
0 −−−→ Hom(A, B

) −−−→ Hom(A, B) −−−→ Hom(A, B

)
−−−→ Ext(A, B

) −−−→ . . . −−−→ Ext
n
(A, B


) −−−→ Ext
n
(A, B)
−−−→ Ext
n
(A, B

) −−−→ Ext
n+1
(A, B

) −−−→ . . .
Định lý 1.23. ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu A là module trái trên vành
R và
0 −−→ A

−−→ A −−→ A

−−→ 0
là một dãy khớp ngắn các module trái trên vành R thì ta có dãy khớp:
0 −−−→ Hom(A

, B) −−−→ Hom(A, B) −−−→ Hom(A

, B)
−−−→ Ext(A

, B) −−−→ . . . −−−→ Ext
n

(A

, B) −−−→ Ext
n
(A, B)
−−−→ Ext
n
(A

, B) −−−→ Ext
n+1
(A

, B) −−−→ . . .
Định lý 1.24. ([1], Định lý 3, trang 164) Cho A và B là các R-module
trái tùy ý.
0 −−→ M
f
−−→ P
g
−−→ A −−→ 0
là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là module trái xạ ảnh trên R. Khi
đó ta có:
Ext
n
(A, B)
∼
=
Ext
n−1

(M, B), n > 1.
Ext(A, B)
∼
=
Coker[Hom(f, i)].
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14
1.4 Giới hạn tới, giới hạn ngược
Định nghĩa 1.25. Cho I là một tập với ≤ là quan hệ tiền thứ tự trên I
(nghĩa là ” ≤ ” là quan hệ phản xạ và bắc cầu) và C là một phạm trù.
Một hệ thống tới trong C với tập chỉ số I là một hàm tử F : I → C .
Nghĩa là với mỗi chỉ số i ∈ I có một vật F
i
∈ C và với i ≤ j, i, j ∈ I, tồn
tại ϕ
i
j
: F
i
→ F
j
sao cho:
1) ϕ
i
i
: F
i
→ F
i
là cấu xạ đồng nhất với mọi i ∈ I.
2)Nếu i ≤ j ≤ k thì biểu đồ sau giao hoán:

F
i
ϕ
i
k
GG
ϕ
i
j
11
F
k
F
j
ϕ
j
k
bb
Ký hiệu F = {F
i
, ϕ
i
j
|i, j ∈ I}.
Định nghĩa 1.26. Cho F = {F
i
, ϕ
i
j
} là một hệ thống tới trong phạm trù

C , giới hạn tới của hệ thống này, kí hiệu là lim
→
F
i
là một vật, và một họ
các đồng cấu α
i
: F
i
→ lim
→
F
i
thỏa mãn:
1) Với mọi i, j ∈ I, i ≤ j thì α
i
= α
j
ϕ
i
j
.
2) Với mọi vật X và một họ các đồng cấu f
i
: F
i
→ X thỏa mãn
f
i
= f

j
ϕ
i
j
(i ≤ j), tồn tại duy nhất đồng cấu β : lim
→
F
i
→ X làm cho biểu
đồ sau giao hoán:
lim
→
F
i
β
GG
X
F
i
α
i

f
i
dd
ϕ
i
j

F

j
α
j

f
j
qq
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15
Định lý 1.27. ([3], Định lý 2.16) Giới hạn tới của hệ thống tới các module
{F
i
, ϕ
i
j
} tồn tại.
Định nghĩa 1.28. Cho I là một tập với ≤ là quan hệ tiền thứ tự trên I
(nghĩa là ” ≤ ” là quan hệ phản xạ và bắc cầu) và C là một phạm trù.
Một hệ thống ngược trong C với tập chỉ số I là một hàm tử phản biến
F : I → C . Nghĩa là với mỗi chỉ số i ∈ I có một vật F
i
∈ C và với i ≤ j,
i, j ∈ I, tồn tại ψ
i
j
: F
j
→ F
i
sao cho:
1) ψ

i
i
: F
i
→ F
i
là cấu xạ đồng nhất với mọi i ∈ I.
2) Nếu i ≤ j ≤ k thì biểu đồ sau giao hoán:
F
k
ψ
k
i
GG
ψ
k
j
22
F
i
F
j
ψ
j
i
cc
Ký hiệu F = {F
i
, ψ
j

i
|i, j ∈ I}.
Định nghĩa 1.29. Cho F = {F
i
, ψ
i
j
} là một hệ thống ngược trong phạm
trù C , giới hạn ngược của hệ thống này, kí hiệu là lim
←
F
i
là một vật, và
một họ các cấu xạ α
i
: lim
←
F
i
→ F
i
thỏa mãn:
1) Với mọi i, j ∈ I, i ≤ j thì α
i
= ψ
j
i
α
j
.

2) Với mọi vật X và một họ các cấu xạ f
i
: X → F
i
thỏa mãn f
i
=
ψ
j
i
f
j
(i ≤ j), tồn tại duy nhất cấu xạ β : X → lim
←
F
i
làm cho biểu đồ sau
giao hoán:
lim
←
F
i
α
i
44
α
j
%%
X
β

oo
f
i
ÐÐ
f
j
××
F
i
F
j
ψ
j
i
yy
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16
Định lý 1.30. ([3], Định lý 2.22) Giới hạn ngược của hệ thống ngược các
module F = {F
i
, ψ
i
j
} tồn tại.
1.5 Bao và phủ
Cho vành R, X là một lớp các R-module phải. Giả sử rằng X thỏa các
điều kiện sau:
1) X là đóng đối với tổng trực tiếp hữu hạn. Nghĩa là với mọi M
1
, M
2

, , M
n
là R-module phải thỏa mãn M
i
∈ X thì
i=1

n
M
i
cũng thuộc X .
2) Nếu M = N ⊕ L ∈ X thì N, L ∈ X .
Khi đó, ta có những định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.31. Cho R-module phải M
R
. Khi đó, R-module phải X
R
∈
X được gọi là bao X của M
R
nếu tồn tại đồng cấu ϕ : M → X thỏa các
điều kiện sau:
1) Với mọi đồng cấu ϕ

: M → X

thỏa mãn X

∈ X , tồn tại đồng
cấu f : X → X


sao cho fϕ = ϕ

. Hay nói cách khác, tồn tại đồng cấu
f : X → X

làm cho biểu đồ sau giao hoán.
M
ϕ


ϕ
GG
X
f
~~
X

2) Nếu tồn tại tự đồng cấu g của X thỏa mãn gϕ = ϕ thì g phải là tự
đẳng cấu của X.
Định nghĩa 1.32. Cho R-module phải M
R
. Khi đó, R-module phải X
R
∈
X được gọi là phủ X của M
R
nếu tồn tại đồng cấu ϕ : X → M thỏa các
điều kiện sau:
1) Với mọi đồng cấu ϕ


: X

→ M thỏa mãn X

∈ X , tồn tại đồng
cấu f : X

→ X sao cho ϕf = ϕ

. Hay nói cách khác, tồn tại đồng cấu
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17
f : X

→ X làm cho biểu đồ sau giao hoán.
X
ϕ
GG
M
X

f

ϕ

yy
2) Nếu tồn tại tự đồng cấu g của X thỏa mãn ϕg = ϕ thì g phải là tự
đẳng cấu của X.
Nhận xét 1.33. Ta đã biết những lớp module quen thuộc như lớp các
module phải xạ ảnh, lớp các module phải nội xạ, lớp các module phải dẹt,

lớp các module phải đối xoắn đều thỏa những điều kiện được đề cập ở
trên. Do vậy, sử dụng những định nghĩa ở trên, ta có thể định nghĩa được
phủ dẹt, bao đối xoắn, bao nội xạ, phủ xạ ảnh. Hơn nữa, ta còn biết mọi
module đều có phủ dẹt, bao đối xoắn, bao nội xạ.
Ngoài những định nghĩa trên, ta còn có một số khái niệm liên quan
sau: nếu có R-module phải X
R
∈ X sao cho tồn tại đồng cấu ϕ : M → X
thỏa điều kiện 1) trong Định nghĩa 1.31(có thể không thỏa điều kiện 2)),
thì X
R
∈ X được gọi là tiền bao X của M
R
. Tương tự, nếu có R-module
phải X
R
∈ X sao cho tồn tại đồng cấu ϕ : X → M thỏa điều kiện 1)
trong Định nghĩa 1.32(có thể không thỏa điều kiện 2)), thì X
R
∈ X được
gọi là tiền phủ X của M
R
Chương 2
Module Σ-đối xoắn và thuần khiết
mạnh
Định nghĩa 2.1. Cho vành R có đơn vị, khi đó:
1) R-module phải C
R
được gọi là module đối xoắn nếu Ext(F,C)=0,
với mọi R-module dẹt phải F

R
. Nếu R
R
là module đối xoắn thì ta gọi R
là vành đối xoắn phải.
2) R-module phải M
R
được gọi là Σ-đối xoắn nếu với mọi tập chỉ số
I, tổng trực tiếp M
(I)
là module đối xoắn. Nếu R
R
là module Σ-đối xoắn
thì ta gọi R là vành Σ-đối xoắn phải.
Ta có một số ví dụ về module đối xoắn:
Ví dụ 2.2. Module nội xạ là module đối xoắn.
Ví dụ 2.3. Module nội xạ thuần khiết là module đối xoắn.
Ví dụ 2.4. Cho M
R
là R-module phải, F (M) là phủ dẹt của M
R
và
p : F (M) → M
R
là đồng cấu tương ứng. Khi đó, ta có Kerp là R-module
phải đối xoắn ([4, Ví dụ 1.4]).
Bổ đề 2.5. Cho vành R, M
R
là R-module đối xoắn. Với mỗi tập chỉ số I,
ký kiệu M

(I)
là tổng trực tiếp tương ứng. Nếu bao đối xoắn C
R
= C(M
(I)
)
của M
(I)
có phân tích
C = C

⊕ C”,
18
CHƯƠNG 2. MODULE Σ-ĐỐI XOẮN VÀ THUẦN KHIẾT MẠNH 19
thỏa mãn | I |>| C

|
|M|
, thì M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
C”.
Chứng minh. Với mỗi i ∈ I, ta kí hiệu f
i
: M → M
(I)
là phép nhúng
và M
i
= imf
i
. Gọi p : C → C


là phép chiếu tương ứng với phân tích
C = C

⊕ C”, ta xét ánh xạ g : i → pf
i
: M → C

đi từ tập chỉ số I
đến (C

)
M
là tập hợp tất cả các ánh xạ từ M đến C

. Theo giả thiết,
ta có | I |>| C

|
|M|
=| (C

)
M
|, do đó g không thể là đơn ánh. Suy ra
tồn tại i, j ∈ I, i = j, sao cho pf
i
= pf
j
, hay p(f

i
− f
j
) = 0, dẫn đến
Im(f
i
− f
j
) ⊂ C”. Ta có dãy khớp sau:
0
GG
M
f
i
−f
j
GG
M
i
⊕ M
j
GG
M
i
⊕ M
j
/M
GG
0
xét p

i
: M
(I)
→ M
i
là phép chiếu tự nhiên, ta có p
i
(f
i
− f
j
) = 1
M
. Do đó
Im(f
i
− f
j
) là hạng tử trực tiếp của M
i
⊕ M
j
và đẳng cấu với M. Mặt
khác, dễ thấy rằng C là tiền bao đối xoắn của M
i
⊕ M
j
, suy ra M
i
⊕ M

j
là hạng tử trực tiếp của C. Tóm lại, ta đã chứng minh được M đẳng cấu
với hạng tử trực tiếp của C.
Mệnh đề 2.6. Cho M là R-module đối xoắn khác không. Giả sử tồn tại
lực lượng ℵ sao cho với mọi κ, bao đối xoắn C(M
(κ)
) có thể phân tích
thành tổng trực tiếp của các module có lực lượng không quá ℵ. Khi đó M
R
là module Σ-đối xoắn.
Chứng minh. Xét ℵ ≥ |M| + ℵ
0
là lực lượng thỏa điều kiện và κ > 2
ℵ
.
Ta ký hiệu C = C(M
(κ)
) =

i∈I
C
i
, |C
i
| ≤ ℵ với mọi i ∈ I. Nhận xét rằng
|I| ≥ κ do mỗi M
i
là hạng tử trực tiếp của C. Bây giờ, giả sử rằng với
mỗi chỉ số α < ℵ, ta xác định được tập chỉ số I
α

⊂ I,|I
α
| ≤ ℵ, thỏa mãn
tính chất nếu α < β, thì I
α
∩ I
β
= ∅ và hạng tử trực tiếp C
α
=

i∈I
α
C
i
của
C có một hạng tử trực tiếp đẳng cấu với M. Khi đó, xét tổng trực tiếp
ℵ bản sao của M, ta có M
(ℵ)
đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của C.
Hơn nữa, ta có thể lấy ℵ lớn tùy ý, do đó M là Σ-đối xoắn. Để kết thúc
chứng minh, ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của I
α
:
CHƯƠNG 2. MODULE Σ-ĐỐI XOẮN VÀ THUẦN KHIẾT MẠNH 20
• α = 0: Với p
i
: C → C
i
là phép chiếu, ta định nghĩa I

0
:= {i ∈ I :
p
i
(M) = 0}. Khi đó, do ℵ ≥ |M|, nên |I
0
| ≤ ℵ.ℵ
0
= ℵ. Hơn nữa, M
là hạng tử trực tiếp của C và M ⊂ C
0
:=

i∈I
0
C
i
.
• α > 0: giả sử rằng với mọi β < α, ta đã định nghĩa được I
β
. Khi
đó, lực lượng của

β<α
I
β
bị chặn bởi |α|.ℵ = ℵ, do đó C

=


β<α
C
β
bị
chặn bởi |ℵ
<ω
| = ℵ. Do |C

|
|M|
≤ ℵ
ℵ
= 2
ℵ
< κ ≤ |I|, nên theo Bổ đề
2.4, tồn tại một hạng tử trực tiếp của C” =

i/∈∪I
β
C
i
đẳng cấu với
M. Khi đó, ta chỉ cần xác định I
α
tương tự như trường hợp trên.
Nhận xét 2.7. 1) Do hàm tử Tensor là hàm tử khớp về bên phải, nên
m : M
R
→ N
R

là đơn cấu thuần khiết khi và chỉ khi với mọi R-module
trái
R
X, tích tensor m ⊗
R
X : M
R
⊗
R
X → N
R
⊗
R
X cũng là đơn cấu.
2) R-module M là nội xạ thuần khiết khi và chỉ khi với mọi f : S → N
là đơn cấu thuần khiết và g : S → M là đồng cấu bất kỳ, thì g mở rộng
được đến N. Nghĩa là tồn tại đồng cấu g

: N → M thỏa mãn g

f = g.
3) Cho vành R. Khi đó, m : M
R
→ N
R
là đơn cấu thuần khiết khi và
chỉ khi với mọi U là R-module nội xạ thuần khiết, và đồng cấu f : M → U
thì f mở rộng được tới N. Ta chỉ cần chứng minh chiều nghịch. Theo [8,
Mệnh đề 2.3.8], tồn tại P E(M), P E(N) lần lượt là bao nội xạ thuần khiết
của M và N. Hơn nữa, M còn là module con thuần khiết của P E(M).

Bây giờ ta xét biểu đồ sau:
0
GG
M
m
GG
f

N
i
GG
f

~~
P E(N)
f”
vv
U
trong đó U là module nội xạ thuần khiết, f : M → U là một đồng cấu.
Khi đó, theo giả thiết, ta có f

: N → U thỏa mãn f

m = f, suy ra tồn
tại f” sao cho f”i = f

. Tóm lại, ta đã có f”im = f, nghĩa là P E(N)
là tiền bao nội xạ thuần khiết của M. Dẫn đến, P E(M) là hạng tử trực
CHƯƠNG 2. MODULE Σ-ĐỐI XOẮN VÀ THUẦN KHIẾT MẠNH 21
tiếp của P E(N) nên là module con thuần khiết của P E(N). Mặt khác,

M là module con thuần khiết của P E(M) suy ra M cũng là module con
thuần khiết của PE(N). Cuối cùng, do N là module con thuần khiết của
P E(N) nên M là module con thuần khiết của N.
Định nghĩa 2.8. Cho vành R, M
R
là R-module phải, ta có các định nghĩa
sau:
1) Đơn cấu m : M
R
→ N
R
được gọi là đơn cấu thuần khiết mạnh nếu
mọi đồng cấu f : M
R
→ C
R
với C
R
là module đối xoắn đều mở rộng được
đến N. Khi đó, m(M
R
) được gọi là module con thuần khiết mạnh của N
R
.
2) Đơn cấu m : M
R
→ N
R
được gọi là đơn cấu F -thuần khiết nếu
F

R
= N/M là module dẹt. Khi đó, m(M
R
) được gọi là module con F -
thuần khiết của N
R
.
Nhận xét 2.9. Dễ thấy rằng mọi đơn cấu F-thuần khiết và đơn cấu chẻ
là đơn cấu thuần khiết mạnh. Hơn nữa, xét m : F
R
→ G
R
là đơn cấu
thuần khiết với F
R
là module dẹt. Khi đó, nhận xét thấy rằng m là đơn
cấu F -thuần khiết nên là đơn cấu thuần khiết mạnh.
Định nghĩa 2.10. Cho vành R, và m : M
R
→ N
R
là đơn cấu thuần khiết
mạnh. Khi đó, m được gọi là đơn cấu thuần khiết mạnh cốt yếu nếu với
mọi đồng cấu f : N
R
→ X
R
thỏa mãn fm là đơn cấu thuần khiết mạnh
thì f cũng là đơn cấu thuần khiết mạnh.
Nếu M

R
là module con của N
R
, và m : M
R
→ N
R
là phép nhúng thì
N
R
được gọi là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R
. Dễ thấy rằng,
nếu N
R
là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R
, và K
R
là mở rộng
thuần khiết mạnh cốt yếu của N
R
, thì K
R
là mở rộng thuần khiết mạnh
cốt yếu của M
R
.
Nhận xét 2.11. Cho vành R, M
R

là R-module phải, và N
R
là mở rộng
thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R
. Khi đó, không tồn tại module con S
R
khác không của N
R
sao cho S ∩ M = 0 và
M⊕S
S
là module con thuần khiết
CHƯƠNG 2. MODULE Σ-ĐỐI XOẮN VÀ THUẦN KHIẾT MẠNH 22
mạnh của
N
S
. Thật vậy, xét f : N
R
→ X
R
là đồng cấu thỏa mãn fm là
đơn cấu thuần khiết mạnh, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f
là toàn cấu, nghĩa là f : N
R
→ X
R

N
kerf

là đồng cấu chiếu. Ta ký hiệu:
• E(N, M) = {S|S ⊂ N, S ∩M = 0 và
M⊕S
S
là module con thuần khiết
mạnh của
N
S
}.
• ϕ = {f|f : N →
N
kerf
, fm là đơn cấu thuần khiết mạnh }.
Bây giờ ta xét các ánh xạ:
• g : E(N, M) → ϕ sao cho g(S) = f với f : N → N/S là phép chiếu.
• g

: ϕ → E(N, M) sao cho g

(f) = kerf.
thì dễ thấy gg

= g

g = 1. Từ đó thấy rằng, nếu f là đơn ánh thì
E(N, M) = 0 và ngược lại.
Định lý 2.12. Cho vành R và M
R
là R-module phải. Ta có các điều sau:
1) Bao đối xoắn C(M) là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu tối đại

của M. Hơn nữa, m : M
R
→ C(M) là đơn cấu F -thuần khiết và duy nhất
theo nghĩa đẳng cấu.
2) Nếu N
R
là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R
, thì phép
nhúng i : M
R
→ N
R
là đơn cấu F-thuần khiết. Hơn nữa, nếu N
R
⊂ C(N)
là bao đối xoắn của N
R
thì C(N) cũng là bao đối xoắn của M
R
.
3) Nếu M ⊂ N ⊂ C(M) và phép nhúng i : M
R
→ N
R
là đơn cấu
F -thuần khiết thì N
R
là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R

.
Chứng minh. 1) Trước hết, ta chứng minh C(M) là mở rộng thuần khiết
mạnh cốt yếu của M. Gọi f : C(M) → X là đồng cấu bất kỳ thỏa mãn
fm là đơn cấu thuần khiết mạnh, ta xét biểu đồ sau:
M
m
GG
m
44
C(M)

f
GG
X
α
||
C(M)
CHƯƠNG 2. MODULE Σ-ĐỐI XOẮN VÀ THUẦN KHIẾT MẠNH 23
khi đó, tồn tại α sao cho biểu đồ trên giao hoán, nghĩa là αfm = m. Suy
ra αf là tự đẳng cấu, do đó f phải là đơn cấu. Mặt khác, với mọi đồng cấu
g : C(M) → C bất kỳ trong đó C là module đối xoắn, xét β = g(αf)
−1
α
thì βf = g.
Bây giờ, giả sử h : M → N cũng là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu
của M thì tồn tại h

: N → C(M) sao cho h

h = m. Hơn nữa, dễ thấy

rằng h

là đơn cấu.
2) Nếu N
R
là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của M
R
, thì do 1),
M ⊂ N ⊂ C(N) ⊂ C(M). Mặt khác, dễ thấy C(N) là tiền bao đối
xoắn của M nên C(M) là hạng tử trực tiếp của C(N). Tóm tại, ta đã có
C(M)
∼
=
C(N). Khi đó, xét dãy khớp:
0
GG
N/M
GG
C(N)/M
GG
C(N)/N
GG
0
thì dễ thấy N/M là module dẹt.
3) Gọi k : N → X là đồng cấu thỏa ki là đơn cấu thuần khiết mạnh và
i
N
: N → C(M) là phép nhúng. Lấy S
R
là module khác không thỏa S ⊂ N,

S ∩ M = 0 và
M⊕S
S
là module con thuần khiết mạnh của N/S. Do N/S
là module con thuần khiết mạnh trong C(M)/S nên
M⊕S
S
là module con
thuần khiết mạnh trong C(M)/S. Theo nhận xét 2.10, k phải là đơn cấu.
Bây giờ, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử M ⊂ N ⊂ C(M) ⊂ X
và i
C
: C(M) → X là phép nhúng. Với α : N → C là đồng cấu bất kỳ
trong đó C là module đối xoắn, tồn tại đồng cấu β : C(M) → C thỏa
βi
N
= α. Hơn nữa, do i
N
i : M → C(M) là mở rộng đơn cấu thuần khiết
mạnh cốt yếu, nên tồn tại γ : X → C sao cho γi
C
= β. Tóm lại, ta đã tìm
được γ thỏa mãn γi
C
i
N
= γk = α.
Định lý 2.13. Cho vành R. Giả sử rằng phạm trù các R-module phải xạ
ảnh là đóng đối với mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu, khi đó C(R
R

) là
module Σ-đối xoắn.
Chứng minh. Từ giả thiết, ta có C(R
(I)
) là module xạ ảnh với mọi tập
chỉ số I. Theo Mệnh đề Kaplansky, [7, Mệnh đề 26.1], C(R
(I)
) có thể
được phân tích thành C(R
(I)
) =

i∈I
F
i
thỏa mãn F
i
sinh bởi những tập
CHƯƠNG 2. MODULE Σ-ĐỐI XOẮN VÀ THUẦN KHIẾT MẠNH 24
đếm được. Nhận xét thấy rằng C(R
(I)
) là bao đối xoắn của C(R)
(I)
do
R
(I)
là module con F -thuần khiết của C(R)
(I)
. Áp dụng Mệnh đề 2.5 với
ℵ = ℵ

0
+ |R|, ta có kết quả cần chứng minh.
Bổ đề 2.14. Cho vành R, F là R-module tự do phải, và p : F → M là
một toàn cấu thuần khiết. Giả sử:
1) Module M chứa một module con thuần khiết mạnh cốt yếu, xạ ảnh
P .
2) Mọi module con thuần khiết của F là thuần khiết mạnh cốt yếu trong
một hạng tử trực tiếp nào đó của F .
Khi đó, p là toàn cấu chẻ.
Chứng minh. Xét e : P → M là phép nhúng. Do P là module xạ ảnh, nên
e nâng được thành e

: P → F. Hơn nữa, e

: P → F là đơn cấu thuần
khiết. Không mất tính tổng quát, ta có thể ký hiệu ảnh của e

là P ⊂ F
R
.
Bây giờ, đặt Y = Kerp. Theo giả thiết, Y là module con thuần khiết
của F và tồn tại hạng tử trực tiếp L của F là mở rộng thuần khiết mạnh
cốt yếu của Y . Nhận xét rằng, do p
|P
= e là đơn cấu nên Y ∩ P = 0. Tiếp
theo, do F/(P ⊕ Y )
∼
=
M/P qua đẳng cấu α : f + (P ⊕ Y ) → p(f) + P
nên dễ thấy rằng P ⊕ Y là module con thuần khiết của F. Bây giờ, ta xét

π : F → F/P là phép chiếu, hạn chế của π lên Y là π
Y
: Y → F/P là đơn
cấu thuần khiết do F/(P ⊕Y ) là module dẹt. Từ đó, suy ra π
L
: L → F/P
là đơn cấu thuần khiết do L là mở rộng thuần khiết mạnh cốt yếu của Y .
Dẫn đến, P ∩ L = 0 và F/(P ⊕ L) là module dẹt do F/P là module dẹt.
Nghĩa là, ta đã có P ⊕ L là module con thuần khiết của F. Mặt khác, dễ
thấy rằng:
(P ⊕ L)/Y
∼
=
P ⊕ (L/Y )
là một mở rộng thuần khiết mạnh của P . Chứng minh tương tự như Định
lý 2.11 phần 3, ta có i : P → P ⊕ (L/Y ) là mở rộng thuần khiết mạnh cốt
yếu của P . Từ đó, dẫn đến L/Y = 0, nghĩa là L = Y . Suy ra p là toàn
cấu chẻ và M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của F .
CHƯƠNG 2. MODULE Σ-ĐỐI XOẮN VÀ THUẦN KHIẾT MẠNH 25
Mệnh đề 2.15. Cho R là vành có tính chất mọi R-module con thuần khiết
của một R-module phải tự do R
(I)
là module con thuần khiết mạnh cốt yếu
của một hạng tử trực tiếp nào đó của R
(I)
. Khi đó, R-module phải C(R
R
)
là Σ-đối xoắn.
Chứng minh. Gọi P

R
là một R-module phải xạ ảnh. Nhận xét rằng, từ
Định lý 2.12, để chứng minh kết quả trên, ta chỉ cần chứng minh bao đối
xoắn C(P
R
) của P
R
là module xạ ảnh. Xét p : F → C(P ) là một toàn cấu
với F
R
là module tự do, khi đó do P dẹt nên C(P ) cũng dẹt, dẫn đến p là
toàn cấu thuần khiết. Áp dụng Bổ đề 2.13, p là toàn cấu chẻ.
Chương 3
Căn Jacobson của vành tự đồng cấu
Định nghĩa 3.1. Cho M là R-module phải. L =

i∈I
L
i
⊂ M gọi là hạng
tử trực tiếp địa phương của M nếu với mọi tập chỉ số hữu hạn K ⊂ I thì
tổng trực tiếp L =

i∈K
L
i
là một hạng tử trực tiếp của M.
Bổ đề 3.2. ([12], Mệnh đề 2.17) Cho M là R-module phải. Nếu mọi hạng
tử trực tiếp địa phương của M là hạng tử trực tiếp của M thì M là tổng
trực tiếp của những R-module không phân tích được.

Bổ đề 3.3. ([11], Mệnh đề 7) Cho R là vành đối xoắn phải. Nếu R
R
là
R-module không phân tích được thì R là vành địa phương.
Bổ đề 3.4. Cho C
R
là R-module dẹt đối xoắn. Khi đó vành các tự đồng
cấu S = End
R
C của C
R
là vành đối xoắn phải.
Chứng minh. Gọi C(S) là bao đối xoắn của S. Ta đã biết C(S)/S là S-
module dẹt, do đó dãy khớp:
0
GG
S
S
i
GG
C(S)
S
GG
C(S)/S
GG
0
là thuần khiết. Dẫn đến dãy sau cũng khớp:
0
GG
S ⊗

S
C
f
GG
C(S) ⊗
S
C
GG
C(S)/S ⊗
S
C
GG
0
26