Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

NỘI DUNG ÔN TẬP ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM
Chương 1. Ôn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
hàm số.
Chương 2. Hệ thống một số dạng tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp đổi
biến số.
Chương 3. Hệ thống một số dạng tốn tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhiều biến số
bằng phương pháp đổi biến số.
Các dạng toán:
a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách đổi biến.
b. Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y đối với bài tốn tìm GTLN, NN của biểu thức
đối xứng theo 2 biến số x, y.
c. Phương pháp đổi biến số đối với biểu thức đối xứng theo 3 biến số x, y, z.
d. Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu khơng có dấu hiệu đổi biến).
CHƯƠNG 1. ƠN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH
KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ
1.1/ Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D.
Phương pháp chung
-

Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.

Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau:
-

Tính đạo hàm y’.

-

Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2 ...

-

Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) ....

-

KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b].

Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị nào.
1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của các hàm số sau:
f ( x) = x + 4 − x 2

f ( x) = x + 1 + 3 − x

f ( x ) = ( x + 1) 1 − x 2 .

f ( x) = x

(

1 − x2 + x

)

f ( x) = 1 − x 2 + 1 + x 2
2x + 3
f ( x) =
x2 + 1

 π π
f ( x ) = sin 2 x − x, x ∈  − ;  .

 2 2

π
π
f(x)=5cosx–cos5x, − ≤ x ≤ .
4
4

x
2 , x ∈ 0; π  .
f ( x) =
 2
x


cosx+2sin
2

y = 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x

y = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1, x ∈ [ − 1;1]

y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10

1

s inx+2cos


CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1.1/Phương pháp giải
Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định
của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước)
Bước 1. Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x.
Bước 2. Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t. Giả sử tìm được t ∈ K .
Bước 3. Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn. Cụ thể là: Tìm GTLN,
GTNN của hàm số f(t) trên tập số K.
1.2/ Ví dụ minh họa
Trước tiên sẽ lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải một bài toán bằng phương
pháp đổi biến số nói chung, và bài tốn tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp đổi biến nói riêng
thơng qua ví dụ sau:
Ví dụ 1
•

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y =

sin x + 1
sin x + sin x + 1
2

Sai lầm thường gặp

t +1
.
t + t +1
t = 0
−t 2 − 2t
’
⇔

f ' (t ) = 2
Ta có:
; xlim f ( x) = 0 .
2 , f (t) = 0
→±∞
(t + t + 1)
t = −2

Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: f (t ) =

2

Bảng biến thiên của hàm số f(t) như sau:
−∞
t
-2
’
f (t
0 +
)
0

0
0

+∞

-

1

f(t)
1
0
3
1
Từ BBT suy ra: M inf(t ) = f (−2) = − ; Maxf (t ) = f (0) = 1 .
3
1
Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là − và 1.
3
−

•

Phân tích sai lầm

Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là −

2

1
khi: sinx = -2, điều này không xảy ra.
3


Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn đến bài
tốn tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới f (t ) =

t +1

khơng tương thích với bài
t + t +1
2

tốn ban đầu (ngồi ví dụ đang xét thì trong các ví dụ sau đều phải lưu ý điều này).
• Lời giải đúng
Đặt t = sinx, điều kiện −1 ≤ t ≤ 1.
Bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số f (t ) =

t +1
trên đoạn [ −1;1] .
t + t +1
2

Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn [ −1;1] như sau:
t
-1
0
f’(t)
+
0
1

1

+∞

2
3

f(t)
0

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn [ −1;1] lần lượt là 0 (khi
và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0).
Từ đó có: Maxy = 1 đạt được khi và chỉ khi: x = kΠ , Miny = 0 khi và chỉ khi: −

Π
+ k 2Π .
2

Nhận xét
Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa
chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì ta
có thể đưa bài tốn đó về bài tốn đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số.
Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ ràng
dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số không mấy khó khăn, tuy nhiên có những
trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, địi hỏi nhiều phép biến đổi
và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được.
Ví dụ 2

Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx

Nhận xét và hướng dẫn giải
Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx,
Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau
(sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,



Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ u = sin x + cos x = 2 sin  x +
của biến số mới là − 2 ≤ u ≤ 2.

3

Π
÷ , với điều kiện
4


Khi đó sin x cos x =

u2 −1
u2 −1
và bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số f (u ) = u +
2
2

trên đoạn  − 2; 2  .


Trên đoạn  − 2; 2  dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1 (khi


và chỉ khi u = -1) và

2+

1
(khi và chỉ khi u =

2

2 ).

Từ đó có GTNN, LN của hàm số ban đầu.
Ví dụ 3

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = sin4x +cos4x +sinx.cosx +1

Nhận xét và hướng dẫn giải
1
2

1
2

Ta có: sin4x + cos4x = 1 − sin 2 2 x và sin x cos x = sin 2 x.
Từ phân tích trên ta thấy nếu đặt t = sin2x (điều kiện −1 ≤ t ≤ 1 ) ta có hàm số theo biến số t
1
2

1
2

2
sau: h(t ) = − t + t + 2 .

Và bài toán trở thành tìm GTNN, GTNN của hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1].
Đáp số: Maxy =
Ví dụ 4

17
Π
5Π
⇔ x = + k Π hoặc x =
+ k Π ; Miny = 2
8
12
12

⇔ x=

Π
+ k Π ( k ∈ Z ).
4

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = x + 1 − 3 − x − ( x + 1)(3 − x)

Nhận xét và hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số là D = [ −1;3] .
Để ý rằng:

(

x +1 − 3 − x

)

2

= 4 − 2 ( x + 1)(3 − x) ,

Vì thế nếu đặt t = x + 1 − 3 − x thì
g (t ) =

( x + 1)(3 − x) =

4 − t2
và ta có hàm số theo biến t sau:
2

t2
+t −2.
2

2
Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng t = 4 − 2 ( x + 1)(3 − x) ≤ 4, ∀x ∈ [ −1;3] , từ đó suy

ra −2 ≤ t ≤ 2. (hoặc lập BBT của hàm số t ( x) = x + 1 − 3 − x trên D = [ −1;3] để suy ra −2 ≤ t ≤ 2. )
t2
Bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số g (t ) = + t − 2 trên đoạn [ −2; 2] .
2
5
7
Đáp số: Maxy = 2 ⇔ x = 3; Miny = − ⇔ x = 1 −
.
2
2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau bằng phương pháp đổi biến số:

4


y=

2 cos 2 x + cos x + 1
cos x + 1

y = 1 + sin x + 1 + cos x
y=

3 cos 4 x + 4 sin 2 x
3 sin 4 x + 2 cos 2 x

(

)

y = x 6 + 4 1 − x 2 , x ∈ [ −1;1]
y = x3 +

3

1
1
1
− x2 − 2 + x +
3

x
x
x

y=

1
1
−
sin x + 4 cos x − 4

y =

2

y = 2(1 + sin 2 x cos 4 x) −

1 + sin 6 x + cos6 x
1 + sin 4 x + cos 4 x

y = 1 − x2 + 3 ( 1 − x2 )
f(x)=

(với a là tham số)

1
(cos 4 x − cos 8 x)
2
cos x
Π

y=
, với 0 < x ≤ .
2
sin x(2 cos x − sin x)
3

y = 3sin x + 3cos x+1
2

y = sin 6 x + cos 6 x + a.sin x.cos x

2

x 4 − 4 x 3 + 8x 2 − 8x + 5
x 2 − 2x + 2

y = (4cos 4 α + 3sin 2 α )(4sin 4 α + 3cos2 α ) + 25sin 2 α cos 2 α .

f ( x) =

2 1 − x4 + 1 − x2 + 1 + x2 + 3
1 − x2 + 1 + x2 + 1

CHƯƠNG 3. TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CĨ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
2.1/Phương pháp giải
Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến số nào đó ta có thể
dùng phương pháp đổi biến số như sau:
Bước 1. Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới.
Bước 2. Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu).

Bước 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tương ứng với điều kiện của nó.
Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng:
1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có:
1/ a 2 + b 2 ≥ 2ab
2 /(a + b) 2 ≥ 4 ab
3 / 2( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b) 2
4 / a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
5 /(a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca )
6 / 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 .

2/ BĐT Côsi - Với a, b, c khơng âm, ta có: a + b ≥ 2 ab , a + b + c ≥ 3 3 abc , ( a + b + c ) ≥ 27 abc
3

2.2/ Ví dụ minh họa
a. Căn cứ vào mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức để phát hiện ra cách
đổi biến.
Ví dụ 1

Cho x, y, z là các số dương. Tìm GTNN của biểu thức P =

Nhận xét và hướng dẫn giải

5

3 xyz
x+ y+z
+
.
3 xyz
x+ y+z

Dễ thấy

x+ y+z
x + y + z 3 xyz
.
= 1 , do đó nếu đặt t = 3
ta được biểu thức theo biến số t là:
3 xyz
xyz
x+ y+z

1
P (t ) = t + .
t
x + y + z 3 3 xyz
≥
=3.
3 xyz
3 xyz
1
Do đó bài tốn quy về tìm GTNN của hàm số P(t ) = t + trên khoảng [ 3; +∞ ) .
t
2
t −1
Vì P ' (t ) = 2 > 0, ∀t ≥ 3 nên hàm số P(t) đồng biến trên khoảng [ 3; +∞ )
t
10
Từ đó có Min P(t ) = P (3) = , đây cũng là GTNN của biểu thức P.

[ 3;+∞ )
3

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có: t =

Ví dụ 2
Cho x, y khác 0. Tìm GTNN của biểu thức T =

x4 y 4  x2 y 2  x y
+
−  + ÷+ + .
y 4 x4  y 2 x2  y x

Nhận xét và hướng dẫn giải
2

Ta có:

x2 y 2  x y 
+
= + ÷ −2
y 2 x2  y x 

(2a).
2

2
  x y 2

x4 y 4  x2 y 2 

+ 4 =  2 + 2 ÷ − 2 =  + ÷ − 2÷ − 2
4
 y x 
÷
y
x
x 
y



Từ (2a) và (2b) ta thấy nếu đặt t =

(2b).

x y
+ thì: T = t 4 − 5t 2 + t + 4 ,
y x

x2 y 2
Cũng từ (2a) có: t = 2 + 2 + 2 ≥ 4 ⇒ t ≥ 4.
y
x
2

Bài tốn trở thành: Tìm GTNN của hàm số T (t ) = t 4 − 5t 2 + t + 4 trên miền D = (−∞; − 2] ∪ [2; + ∞).
Ta có: T ' ( x) = 4t 3 − 10t + 1 = 4t (t 2 − 4) + 6t + 1 , để ý rằng t 2 − 4 ≥ 0, ∀x ∈ D nên suy ra dấu của T’(t)
trên D và có bảng biến thiên như sau:
t
T’(t

)

+∞

-2

+∞

2

-

+

+∞

+∞

T(t)

-2
2
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của T(t) trên D là -2 khi và chỉ khi: t = -2.

6


Từ đó có: Min(T) = -2, đạt được khi và chỉ khi x = - y (x và y khác 0) .
Ví dụ 3

1 1
Tìm GTLN, NN của H = ( x + y )  +  . Biết x, y thoả mãn điều kiện 1 ≤ x ≤ y ≤ 2.
x y



Nhận xét và hướng dẫn giải
1

1

x

y

Ta có H = ( x + y )  +  = 2 + + .
x y
y x


x
1
ta có hàm số theo biến số t sau: H (t ) = 2 + t + .
y
t
1 x
1 
Từ điều kiện ràng buộc 1 ≤ x ≤ y ≤ 2 ta suy ra: ≤ ≤ 1 , do đó t ∈  ;1 .
2 y
2 

Vì thế nếu đặt t =

Bài tốn trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số H (t ) = 2 + t +

1
1 
trên đoạn  ; 1 .
t
2 

1− t2
1 
≤ 0 ∀t ∈  ;1 nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn này
2
t
2 
9
1
1 
Từ đó có GTLN của H(t) trên đoạn  ; 1 là
khi: t = , còn GTNN trên đoạn này của
2
2
2 

Vì H ' (t ) =

H(t) bằng 4 khi: t = 1.
Đáp số: Max(H) =

9
⇔ (x; y) = (1; 2) ;
2

Ví dụ 4



Tìm GTNN của Q = xy 


1

 ( x − y)

2

Min(H) = 4 ⇔ x = y (với 1 ≤ x, y ≤ 2).

+

1
1 
+ 2 ÷ với x, y dương và x khác y.
x2 y ÷


Nhận xét và hướng dẫn giải
1

x2 + y 2
1
x y
x y
+
=
+ +
1
2
2
x y
+t
x + y − 2 xy
xy
y x . Đặt t = + , thì theo t ta có: Q(t ) =
Biến đổi:
+ −2
y x
t −2
y x
xy
x y
Hơn nữa dễ thấy + > 2 (với x, y dương và x khác y) nên ta có t > 2.
y x
1
+ t trên khoảng ( 2 ; + ∞ ) .
Vì thế quy về bài tốn quen thuộc: Tìm GTNN của hàm số Q(t ) =
t −2
t = 1
t 2 − 4t + 3

Q'' (t ) =
, Q'' (t ) = 0 ⇔ 
Ta có
. BBT của Q(t) trên khoảng ( 2 ; + ∞ ) như sau:
2
(t − 2)
t = 3
+∞
t
2
3
Q=

Q'(t
)

-

0

+

7


Q(t)
4
Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của Q(t) trên khoảng ( 2 ; + ∞ ) là Q(3) = 4.
Đáp số: Min(P) = 4 đạt được khi và chỉ khi x2 + y2 – 3xy = 0.

b. Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa
mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y.
Cách giải:
x + y = S
(ĐK S 2 ≥ 4 P ),
xy = P


1. Đặt 

2. Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1)
3. Biểu diễn biểu thức M theo S và P rồi kết hợp với (1) để biểu diễn M theo 1 biến S hoặc P.
4. Tìm ĐK cho S hoặc P (M theo biến nào thì tìm ĐK cho biến đó) bằng cách kết hợp (1) và
điều kiện S 2 ≥ 4 P .
5. Tìm GTLN, NN của biểu thức M với điều kiện tìm được của biến số tìm được ở bước 4.
Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ. Ví dụ nếu giả thiết cho thêm x > 0,
y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác.
Ví dụ 5

Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x3 + 1)(y3 + 1).

Nhận xét và hướng dẫn giải
Đặt S = x + y = 1, P = xy
Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + 1 = (xy)3 – 3xy + 2 = P3 – 3P + 2.

8


1
4

Lại có 1 = S2 ≥ 4P suy ra: P ≤ .
1
4

Vậy bài tốn quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P3 – 3P + 2 với P ≤ .


1

Ta lập được bảng biến thiên của M(P) trên khoảng  −∞;  như sau:
4

P

−∞

1
4

-1

M’(P
)

+

0

-

4
M’(P
)
−∞

81
64

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN khơng tồn tại cịn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi và
 1 + 5 1 − 5   1 − 5 1 + 5  
x + y = 1


, giải hệ ta được ( x; y ) = 
 2 ; 2 ÷,  2 ; 2 ÷ .
÷
÷
 xy = −1

 




chỉ khi 

Ví dụ 6

Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2, Tìm GTLN, NN của M = 2 (x3 + y3) – 3xy.

Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a),
Ngồi ra biến đổi giả thiết của bài tốn ta có: x2 + y2 = 2 ⇔ (x + y)2 – 2xy = 2 (6b)
Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ đó
biểu diễn được biểu thức M theo t.
Thật vậy, từ (6b) có: xy =

( x + y)2 − 2 t 2 − 2
=
, kết hợp với (6a) ta biểu diễn được biểu thức
2
2

3
2

3
2
ban đầu theo t là: M (t ) = −t − t + 6t + 3 .

Để x, y tồn tại ta phải có: (x + y)2 ≥ 4xy nên t2 ≥ 2(t2 – 2) từ đó có −2 ≤ t ≤ 2 .
Từ đó có GTNN, GTLN của M (t ) trên [-2; 2] là: Max(M) =

13
, Min(M) = -7.
2

c. Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:
Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x2 + y2 + z2.

Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc
x2 + y2 + z2.

9


Cách giải:
1. Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong hai đại
lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp hằng đẳng thức
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại theo t.
2. Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau:
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx hoặc (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) hoặc 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2
3. Quy về bài tốn đơn giản.
Ví dụ 7

Cho x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTLN, NN của R = x3 + y3 + z3 – 3xyz.

Nhận xét và hướng dẫn giải
Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx)
Viết lại giả thiết của bài toán thành:
(x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = 1
Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx =
biểu thức ban đầu theo t là: R(t) =

(7a),
(7b).

t 2 −1
, kết hợp với (7a) ta biểu diễn được
2

1
(3t – t3).
2

Dễ dàng CM: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, từ đó suy ra

t 2 −1
≤ 1 suy ra − 3 ≤ t ≤ 3.
2

Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn  − 3; 3  , được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1.


d. Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN,
GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian.
Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M khơng có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh giá
được M ≥ N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài toán: tìm GTLN, NN của biểu
thức trung gian N.
Ví dụ 8

1
x

3
2

1
y

1
z

Cho x, y , z > 0 và x + y + z ≤ . Tìm GTNN của M = x + y + z + + + .
Nhận xét và hướng dẫn giải
Rõ ràng khơng có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài tốn
theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thơng qua việc tìm GTNN của
một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau:
+ Trước hết theo BĐT Cơ si ta có
1

1

1

3

M = x + y + z + x + y + z ≥ 3 3 xyz + 3
, đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z (8a)
xyz

10


+

Để

tìm

T = 3 3 xyz +

3

GTNN

của

biểu

thức

M

ta

đi

tìm

GTNN

của

biểu

thức

3
.

xyz

Đặt u = 3 3 xyz thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của hàm số
T (u ) = u +

9
trên khoảng
u

3
 3
3
 0;  (vì 0 < u = 3 xyz ≤ x + y + z ≤ ).
2
 2
 3  15

 3
Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng  0;  , nên MinT (u ) = T  2 ÷ = 2 .
3
(0; ]
 
 2
2

Suy ra GTNN của biểu thức trung gian T là
Tức là T = 3 3 xyz +

3

15
(đạt được ⇔ x = y = z)
2

3
15
≥ , đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z (8b).
xyz 2

+ Từ các kết quả (8a) và (8b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là

15
đạt được khi và chỉ khi
2

x = y = z.
Ví dụ 9

Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1).
Tìm GTNN của biểu thức N = x2 + y2 + z2.

Nhận xét và hướng dẫn giải
Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) ⇔ xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z),
Do đó có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx)
= 2 - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 – 4xyz

(9a)

3

x+ y+z
 , từ đây và (9a) suy ra:
3



Áp dụng BĐT Cauchy ta được xyz ≤ 

3

x+ y+z
N ≥ 2 − 2( x + y + z ) + ( x + y + z ) − 4
 , đẳng thức có ⇔ x = y = z. (9b)
3


4t 3
2
= f (t ) .
Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có: N ≥ 2 − 2t + t −
27
2

Đến đây, bằng cách khảo sát hàm số ta được GTNN của hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3) là
3
3
3
1
, đạt được khi và chỉ khi t = . Từ đó có: Min(N) = , đạt được khi và chỉ khi x = y = z = .
4

2
4
2

Ví dụ 10

Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = 1. Tìm GTNN của biểu
x

y

thức: P = 1 − x + 1 − y .
Nhận xét và hướng dẫn giải
Vì P > 0 với mọi x, y > 0 nên P đạt GTNN khi và chỉ khi P2 đạt GTNN.
Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có:

11


P2 =
=

[

]

x2
y2
2 xy
x2 y 2

2 xy
( x + y ) ( x + y )3 − 3 xy
+
+
=
+
+
=
+ 2 xy
1− x 1− y
y
x
xy
(1 − x)(1 − y )
1 − x − y + xy

1
1
+ 2 xy − 3 = + 2 t − 3 = f (t ) (t = xy ).
xy
t

1
4
 1
Chứng minh được hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn  0;  , suy ra GTNN của hàm số này
 4
1
(chính là GTNN của P2) là f ( ) = 2 , từ đó có kết quả bài toán.
4

Từ giả thiết và BĐT đúng ( x + y ) 2 ≥ 4 xy > 0 ⇒ 0 < t = xy ≤ .

BÀI TẬP
Bài 1 (PP thế). 1/ Cho x + y = 1. Tìm GTLN, NN của P = x3 + y3 + 3(x2 – y2) + 3(x + y).
2/ Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của P = 32x + 3y.
3/ Cho x, y > 0 và x + y =5/4. Tìm GTNN của P =

4 1
+ .
x 4y

4/ Cho y ≤ 0, x 2 + x = y + 12. Tìm GTLN, NN của: xy + x + 2y +17.
Bài 2. (Dựa vào tính đẳng cấp).
1/ Tìm GTLN và GTNN của M = x 2 + xy − 2 y 2 biết: a. x 2 − xy + y 2 = 1. b. x 2 − xy + y 2 ≤ 1.
2( x 2 + 6 xy )
2/ Cho x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của P =
.
1 + 2 xy + 2 y 2
2

2

Bài 3. (Dấu hiệu đổi biến đơn giản)
1/ Cho x, y > 0. Tìm GTNN của P =

xy
x+ y
+
.

xy x + y

1
x y
≤ 1 . Tìm GTNN của biểu thức H = + .
y
y x
1
3/ Cho x, y dương và x + y ≤ 1. Tìm GTLN, NN của: C = xy + .
xy

2/ Cho các số dương x, y thỏa: x +

12


Bài 3. (Đổi biến số S = x + y, P = xy với ĐK S2 >= 4P hoặc S = x2 + y2, P = xy ĐK S2 >= 4P2)
1/ Cho các số dương x và y thoả mãn x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:
a. A =

1
1
+
,
3
x +y
xy

b. B =

3

x
y
+
,
y +1 x +1

c. D = x2y2(x2 + y2).

2/ Cho x, y khác 0 thoả mãn: xy(x+y) = x2 + y2 - xy. Tìm GTLN của N =
3/ Cho 2 số x, y thỏa mãn: 1 – y2 = x(x – y). Tìm GTLN, NN của F =

1
1
+ 3.
3
x
y

x6 + y 6 − 1
x3 y + y3 x

4/ Cho các số thực không âm x, y không âm và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của:

(

)(

)

S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy
2
2
5/ Cho x, y > 0 thỏa mãn x2y + y2x = x + y + 3xy. Tìm GTNN: A = x + y +

(2 xy + 1) 2 − 3
.
2 xy

6/ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = 3. Tìm GTNN của N = x3 + y3 – 3x – 3y.
7/ Cho x, y không âm và x2 + y2 + xy =3. Tìm GTLN, NN của P = x3 + y 3 – x2 – y2.
8/ Cho x, y > 0 và x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTLN, GTNN của P =

x4 + y 4 + 1
.
x2 + y 2 + 1

9/ Cho x, y thỏa x2(2x2 – 1) + y2(2y2 – 1) = 0. Tìm GTLN, NN của: P = x 2(x2 – 4) + y2(y2 – 4) +
2(x2y2 – 4).
10/ Cho x, y thỏa mãn 2(x2 + y2) = xy + 1. Tìm GTLN, GTNN của P = 7(x4 + y4) + 4x2y2.
11/ Cho x, y là hai số thực dương thỏa x 3 + y 3 = 2 . Chứng minh: x 2 + y 2 ≤ 2 .
12/ Cho x, y dương và xy + x + y = 3. CMR:

3x
3y
xy
3
+
+

≤ x2 + y 2 + . .
y +1 x +1 x + y
2

Bài 4 (PP Thế). Cho x, y, z thỏa x + y + z = 0 và x 2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTLN của M = x 5 + y5 +
z5.
Bài 5 (Đổi biến).
1/ Cho x, y > 0 và x + 2y – xy = 0. Tìm GTNN của M =

x2
y2
+
.
4 + 8y 1+ x

2/ Cho a, b ≥ -1. Tìm GTLN của: P = a + 1 + b + 1.
3/ Cho các số thực x, y thoả mãn: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y . Tìm GTLN, GTNN của x + y.
2

2

4/ Cho 2 số x, y thỏa mãn: x + 4y = 1. Tìm GTLN, NN của M =

( x + 1)

+ 4 y ( x + y + 1)
.
x + 2 ( y + 1)
2

5/ Cho các số x, y thỏa: x2 + xy + 4y2 = 3. Tìm GTLN, NN của biểu thức P = x3 + 8y3 – 9xy.
Bài 6.
1/ Cho các số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x2 + y2 + z2 =1.Tìm GTLN và GTNN của
biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx.
2/ Cho x, y, z không âm và x2 + y2 + z2 = 3. Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx +
2
2
2
3/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của M = x + y + z +

13

xy + yz + zx
.
x2 + y2 + z 2

5
.
x+ y+ z


Bài 7. (Đánh giá trung gian)
1/ Cho x, y thỏa (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32 . Tìm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
2/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x + 2012.
x 2 + y 2 + xy 1 1 3
+ + + .
3/ Cho x, y > 0 và x + y ≤ 1. Tìm GTNN của A =
x+ y
x y xy
4/ Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn x + y ≥ 1 . Tìm GTNN của:

(

)

(

)

A = 3 x 4 + y4 + x 2 y2 – 2 x 2 + y2 + 1 .


1 

1 

1









5/ Cho x, y, z > 0 và có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: Q =  x + ÷ y + ÷ z + ÷ .
y
z
x

6/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của các biểu thức:
3
x

3
y

3
1 1 1
và B = x + y + z + + + .
z
x y z
1
.
7/ Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTNN của M = a + b + c +
abc
1 1 1
36
8/ Cho ba số dương x, y, z. CMR: + + ≥
.
2 2
x y z 9 + x y + y 2 z 2 + x2 z 2
1 1 1
9
9/ Cho a, b, c > 0, CMR: + + ≥
.
a b c 2 + abc
18 xyz
10/ Cho x, y, z > 0 và thỏa x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + yz + zx >
.

2 + xyz
18 xyz
11/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR: xy + yz + zx >
.
2 + xyz

A = xy + yz + zx + + +

a 5 − 2a 3 + a b5 − 2b3 + b c 5 − 2c 3 + c 2 3
12/ Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR:
+
+
≤
.
b2 + c 2
a2 + c2
a 2 + b2
3
2

2

2

14


15