ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỊNH LÝ LAGRANGE potx

CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
ĐỊNH LÝ LAGRANGE
A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Định lý 1
Nếu hàm số y =
f(x)
liên tục trên khoảng (a; b) và có
/
f (x) 0>
(hoặc
/
f (x) 0<
) trong khoảng (a; b) thì
phương trình
f(x) 0=
có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó.
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
2
log x
x
=
.
Giải
Điều kiện: x > 0.
Xét hàm số
( )
2
2

f(x) log x , D 0;
x
= - = + ¥
ta có:
/
2
1 2
f (x) 0, x 0
x ln 2
x
= + > " >
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong
(0; )+ ¥
.
Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Định lý 2
Nếu hàm số y =
f(x)
liên tục trên khoảng (a; b) và có
/ /
f (x) 0>
(hoặc
/ /
f (x) 0<
) trong khoảng (a; b) thì
phương trình
f(x) 0=
có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó.
Ví dụ 2. Giải phương trình
x x

2 3 3x 2+ = +
.
Giải
Xét hàm số
x x
f(x) 2 3 3x 2, D= + - - = ¡
ta có :
/ x x
f (x) 2 ln 2 3 ln 3 3= + -
,
/ / x 2 x 2
f (x) 2 (ln 2) 3 (ln 3) 0 x= + > " Î ¡
.
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1.
Chú ý:
i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b) đồng
thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c.
ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì
f(u) f(v) u v (a; b)= =Û Î
.
Ví dụ 3. Phương trình
3
log x 4 x= -
có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 4. Giải phương trình
2
x 1 2x 2
3 3 x 2x 1
+

- = - + -
(1).
Giải
Đặt
2
u x 1, v 2x= + =
, ta có :
u v u v
(1) 3 3 v u 3 u 3 v- = - + = +Û Û
(2).
Xét hàm số
t / t
f(t) 3 t f (t) 3 ln 3 1 0 t= + = + > "Þ Î ¡

(2) f(u) f(v) u v v u 0= = - =Þ Û Û Û

2
x 2x 1 0 x 1 + - = =Û Û
Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1.
Chú ý:
Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng
f(u) f(v) u v= =Û
được.
Chẳng hạn:
1
f(t) t
t
= -
và
1 1

x y
x y
- = -

x y 0=Þ ¹
là sai.
B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE
I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D.
i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu
0 0
f(x) m x X
f(x ) m, x X
ì
"³ Î
ï
ï
ï
í
ï
= Î
ï
ï
î
, ký hiệu:
x X
m min f(x)
Î
=

.
ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu
0 0
f(x) M x X
f(x ) M, x X
ì
"£ Î
ï
ï
ï
í
ï
= Î
ï
ï
î
, ký hiệu:
x X
M max f(x)
Î
=
.
2. Phương pháp giải toán
2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x)
trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình
/
f (x) 0=
(tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x

1
; x
2
; …; x
n
thuộc đoạn [a; b] (ta
loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]).
Bước 2. Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
), f(b).
Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) x 4x 5= - +
trên đoạn
[ 2; 3]-
.
Giải
Ta có:
2
f(x) x 4x 5= - +
liên tục trên đoạn
[ 2; 3]-
[ ]
/
2

x 2
f(x) 0 x 2 2; 3
x 4x 5
-
= = = -Û Î
- +
( )
f( 2) 17, f 2 1, f(3) 2- = = =
.
Vậy
[ ] [ ]
x 2;3 x 2;3
min f(x) 1 x 2, max f(x) 17 x 2
- -Î Î
= = = = -Û Û
.
Chú ý:
i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu
min max
f , f
thay cho
[ ] [ ]
x 2;3 x 2;3
min f(x), max f(x)
- -Î Î
.
ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1.
iii) Có thể đổi biến số
t t(x)=
và viết

y f(x) g(t(x))= =
. Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là
điều kiện của t đối với x) thì
x X t T
min f(x) min g(t)
Î Î
=
,
x X t T
max f(x) max g(t)
Î Î
=
.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
trên đoạn
[ 1; 1]-
.
Giải
Hàm số
6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
liên trên đoạn

[ 1; 1]-
Đặt
[ ]
2
t x t [0; 1] x 1; 1= " -ÞÎ Î
, ta có:
3 2
9 1
y t 3t t
4 4
= - + +
liên tục trên đoạn [0; 1]
/ 2
9 1 3
y 3t 6t 0 t t
4 2 2
= - + = = =Þ Û Ú
(loại).
( )
1 1 3 1
y(0) , y , y(1) .
4 2 4 2
= = =
Vậy
min
1
y t 0 x 0
4
= = =Û Û
,

max
3 1 2
y t x
4 2 2
= = = ±Û Û
.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f(x) x 5x 6= - + +
.
Giải
Ta có điều kiện:
2
x 5x 6 0 1 x 6 D [ 1; 6]- + + - = -³Û ££Þ
Hàm số
2
f(x) x 5x 6= - + +
liên tục trên D
/
2
2x 5 5
f(x) 0 x D
2
2 x 5x 6
- +
= = =Û Î
- + +
.
( )
( )

5 7
f( 1) f 6 0, f
2 2
- = = =
.
Vậy
min
f 0 x 1 x 6= = - =Û Ú
,
max
7 5
f x
2 2
= =Û
.
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
sin x 1
y
sin x sin x 1
+
=
+ +
.
Giải
Đặt
2
t 1
t sin x y , t [ 1; 1]
t t 1

+
= = -Þ Î
+ +
2
/ /
2 2
t 2t
y y 0 t 0 [ 1; 1]
(t t 1)
- -
= = = -Þ Û Î
+ +
( )
( )
2
y( 1) 0, y 0 1, f 1
3
- = = =
.
Vậy
min
y 0 sin x 1 x k2 , k
2
p
= = - = - +Û Û pÎ Z

max
y 1 sin x 0 x k , k= = =Û Û pÎ Z
.
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3
y x 3x 2= - +
trên đoạn [–3; 2].
Giải
Hàm số
3
y x 3x 2= - +
liên tục trên đoạn
[ ]
3; 2-
.
Đặt
3
f(x) x 3x 2= - +
liên tục trên đoạn
[ ]
3; 2-
.
/ 2
f (x) 3x 3 0 x 1 [ 3; 2]= - = = ± -Û Î
.
f( 3) 16, f( 1) 4, f(1) 0, f(2) 4- = - - = = =
16 f(x) 4 x [ 3; 2]- " -Þ £ £ Î
0 f(x) 16 x [ 3; 2]" -Þ £ £ Î
0 y 16 x [ 3; 2]" -Þ £ £ Î
.
Vậy
max min
y 16, y 0= =
.

2.2. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên
¡
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên
D (a; b)=
hoặc
D = ¡
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình
/
f (x) 0=
(tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x
1
; x
2
; …; x
n
thuộc D (ta loại các
nghiệm không thuộc D).
Bước 2. Tính
1
x a
lim f(x) L
+
®
=
, f(x
1
), f(x
2
), …, f(x

n
),
2
x b
lim f(x) L
-
®
=
.
Bước 3.
+ Nếu
{ }
{ }
1 2 n 1 2
min f(x ), f(x ), , f(x ) min L , L<
thì
{ }
min 1 2 n
f min f(x ), f(x ), , f(x )=
(1).
+ Nếu
{ }
{ }
1 2 n 1 2
max f(x ), f(x ), , f(x ) max L , L>
thì
{ }
max 1 2 n
f max f(x ), f(x ), , f(x )=
(2).

+ Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max).
Chú ý:
i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3.
ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max.
Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
2
x 1
f(x)
x 1
+
=
+
.
Giải
Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có:
/ /
2 2
1 x
f (x) f (x) 0 x 1
(x 1) x 1
-
= = =Þ Û
+ +
( )
x x x
2
1
x 1
x
lim f(x) lim lim f(x) 1

1
x 1
x
¥ ¥ ±¥® ® ®
+
= = ±Þ
+
Bảng biến thiên
Vậy hàm số không đạt min và
x R
max f(x) 2 x 1
Î
= =Û
.
Nhận xét:
2
x m x 1 1 0- + + =
có nghiệm thực
1 m 2- <Û £
.
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
2
f(x) x x 2x 2= - - +
.
Giải
Hàm số f(x) liên tục trên
¡
. Ta có:
/ 2
2

x 1
f (x) 1 0 x 2x 2 x 1
x 2x 2
-
= - = - + = -Û
- +

2 2
x 1
x 2x 2 (x 1)
³
ì
ï
ï
Û
í
ï
- + = -
ï
î
(vô nghiệm).
Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng).
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x
y
x 2 1
=
+ -
.

Giải
Ta có
2 2
x 2 2 1 x 2 1 0 D+ > + - > =³ Þ Þ ¡
.
( )
2
2
2
/
2
2
x
x 2 1
x 2
y
x 2 1
+ - -
+
=ị
+ -
( )
2
2
2 2
2 x 2
x 2 x 2 1
- +
=
+ + -

( )
/ 2
y 0 x 2 2 x 2 y 2 2= + = = = ị
,
Gii hn
x x x
2
x
lim y lim lim y 1
2 1
x 1
x
x
Ơ Ơ Ơđ đ đ
= = ị
ổ ử
ữ
ỗ
+ -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
max min
y 2, y 2= = -
.
Nhn xột:

2
m x 2 x m+ = +
cú nghim thc
2 m 2- Ê Ê
.
Vớ d 9. Tỡm m phng trỡnh
2
x 2x 1 m+ + =
cú nghim.
Gii
Xột hm s
2
y x 2x 1= + +
liờn tc trờn
Ă
. Ta cú:
/ 2
2
2x
y 1 0 2x 1 2x
2x 1
= + = + = -
+

2 2
2x 0
2
x
2
2x 1 4x

-
ỡ
ù
ù
= -
ớ
ù
+ =
ù
ợ
.
x
2 2
y , lim y ,
2 2
+ Ơđ
ổ ử
ữ
ỗ
- = = + Ơ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( ) ( )
2 2
2
x x
2x 1 x 2x 1 x

lim y lim
2x 1 x
- Ơ - Ơđ đ
+ + + -
=
+ -

2
x x
2 2
1
x
x 1
x
lim lim
1 1
x 2 1 2 1
x x
- Ơ - Ơđ đ
+
+
= = = + Ơ
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + + - + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ

ố ứ ố ứ
.
min
2 2
y y x
2 2
= "ị ị ẻ Ă
.
Vy vi
2
m
2

thỡ phng trỡnh cú nghim.
Chỳ ý: Cú th dựng bt ng thc tỡm min, max ca hm s.
II. NH Lí LAGRANGE
Hm s y = f(x) liờn tc trờn on [a; b] (a < b) v cú o hm trờn khong (a; b) thỡ tn ti s c trong khong
(a; b) sao cho
/
f(b) f(a) (b a)f (c)- = -
.
Vớ d 10. Chng t rng phng trỡnh
3 2
4x 3x 2x 3 0+ + - =
cú nghim trong khong (0; 1).
Gii
Xột hm s
4 3 2
f(x) x x x 3x= + + -
liờn tc trờn [0; 1] v cú o hm trờn (0; 1).

p dng nh lý Lagrange, ta cú :
/ 3 2
f(1) f(0)
c (0;1) : f (c) 0 4c 3c 2c 3 0
1 0
-
= = + + - =$ ẻ ị
-
.
Vy phng trỡnh cú nghim x = c trong (0; 1).
Ví dụ 11. Chứng tỏ rằng phương trình
2
ax bx c 0+ + =
có nghiệm trong khoảng (0; 1), trong đó
a b c
0
m 2 m 1 m
+ + =
+ +
và m > 0.
Giải
a) Khi m = 1 thì ta có bài toán quen thuộc.
Xét hàm số
3 2
ax bx
F(x) cx
3 2
= + +
liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :

/
F(1) F(0) a b
c (0; 1) : F (c) c 0
1 0 3 2
-
= = + + =$ Î
-
2
ax bx c 0+ + =Þ
có nghiệm x = c.
b) Khi m > 0 thì ta chỉ cần giải tương tự với số mũ tương ứng.
Xét hàm số
m 2 m 1 m
ax bx cx
F(x)
m 2 m 1 m
+ +
= + +
+ +
liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
/ m 1 2
F(1) F(0) a b c
c (0; 1) : F (c) x (ax bx c) 0
1 0 m 2 m 1 m
-
-
= + + = + + =$ Î Û
- + +
2

ax bx c 0+ + =Þ
có nghiệm x = c.
Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi a, b thì
sin b sin a b a- -£
.
Giải
Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy ra.
Giả sử
a b<
, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số
f(x) sin x=
trên [a; b] ta có
c (a; b) : sin b sin a (b a) cos c- = -$ Î
sin b sin a b a cos c b a- = - -Þ £
Vậy
sin b sin a b a- -£
với mọi a, b.
Ví dụ 13. Chứng minh rằng nếu
0 a b< <
thì
( )
b a b b a
ln
b a a
- -
< <
.
Giải
Xét hàm số
f(x) ln x=

liên tục trên [a; b] và có
/
1
f (x)
x
=
trên (a; b).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
( )
b a b b a
c (a; b) : ln b ln a ln
c a c
- -
- = =$ Î Þ
(1).
Mặt khác
1 1 1 b a b a b a
0 a b
b c a b c a
- - -
< < < < < <Þ Þ
(2).
Vậy từ (1) và (2) ta có
( )
b a b b a
ln
b a a
- -
< <
.

Ví dụ 14. Chứng minh rằng
( )
1 x 1 1
ln
x 1 x x
+
< <
+
với
x 0>
.
Giải
Xét hàm số
f(t) ln t=
liên tục trên [x; x + 1] và có
/
1
f (t)
t
=
trên (x; x + 1).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
( )
(x 1) x
x 1 1
c (x; x 1) : ln(x 1) ln x ln
c x c
+ -
+
+ + - = =$ Î Þ

.
Mặt khác
1 1 1
0 x c x 1
x 1 c x
< < < + < <Þ
+
.
Vậy
( )
1 x 1 1
ln
x 1 x x
+
< <
+
.
Ví dụ 15. Chứng minh rằng
2 2
b a b a
tgb tga
cos a cos b
- -
-£ £
với
0 a b
2
p
< < <
.

Giải
Xét hàm số
f(x) t gx=
liên tục trên [a; b] và có
/
2
1
f (x)
cos x
=
trên (a; b).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
2
b a
c (a; b) : t gb t ga
cos c
-
- =$ Î
.
Mặt khác
0 a c b 0 cos b cos c cos a
2
p
< < < < < < <Þ
2 2 2
2 2 2
b a b a b a
0 cos b cos c cos a
cos a cos c cos b
- - -

< < < < <Þ Þ
.
Vậy
2 2
b a b a
tgb tga
cos a cos b
- -
-£ £
.