Chuong 0 - Giải tích tổ hợp

1

Chương 0. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

0.1. Tóm tắt lý thuyết
0.1.1. Quy tắc đếm
Ta chỉ khảo sát tập hữu hạn:
{
}
1 2 n
X x , x , , x
=
, X có n phần tử,
ký hiệu
.
X n
=

0.1.2. Công thức cộng
Cho X, Y là hai tập hữu hạn và
X Y
= ∅
∩
, ta có
X Y X Y
= +
∪

Tổng quát: Nếu cho k tập hữu hạn
1 2
, , ,

k
X X X
sao cho
∩
,
i j
X Y i j
= ∅ ≠
,
ta có

= + + +
∪ ∪ ∪
1 2 1 2

k k
X X X X X X

0.1.3. Công thức nhân
Cho X, Y là hai tập hữu hạn, định nghĩa tập tích nhý sau
(
)
{
}
× = ∈ ∧ ∈, /
X Y x y x X y Y
, ta có
X Y X Y
× = ⋅

Tổng quát: Nếu cho n tập hữu hạn
1 2
, , ,
k
X X X
, ta có

× × × = ⋅ ⋅ ⋅
1 2 1 2

k k
X X X X X X

0.1.4. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể thực hiện một trong k phương pháp, trong đó
 Phương pháp 1 có
1
n
cách thực hiện,
 Phương pháp 2 có
2
n
cách thực hiện,…,
 Phương pháp k có
k
n
cách thực hiện,
và hai phương pháp khác nhau không có cách thực hiện chung.
Khi đó, ta có
1 2

k
n n n
+ + +
cách thực hiện công việc.
0.1.5. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc có thể thực hiện tuần tự theo k bước, trong đó
 Bước 1 có
1
n
cách thực hiện,
2

 Bước 2 có
2
n
cách thực hiện,…,
 Bước k có
k
n
cách thực hiện,
Khi đó, ta có
1 2

k
n n n
× × ×
cách thực hiện công việc.
0.1.6. Giải tích tổ hợp
a. Chỉnh hợp

Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử
khác nhau lấy từ n phần tử đã cho.
Số chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử, ký hiệu là :
k
n
A

Công thức tính :
(
)
!
( 1) ( 1)
!
k
n
n
A n n n k
n k
= − − + =
−

b. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử
không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho.
Số chỉnh hợp lặp: Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử ký, hiệu là :

k
n
A

Công thức tính:

k k
n
A n
=

c. Hoán vị
Định nghĩa: Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau
đã cho.
Số hoán vị: Số hoán vị từ n phần tử, ký hiệu là
n
P

Công thức tính:
! ( 1)( 2) (1)
n
P n n n
= = − −

d. Tổ hợp
Định nghĩa: Một tổ hợp chập k từ n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n
phần tử.
Số tổ hợp : Số tổ hợp chập k từ n phần tử ký hiệu là :
k
n
C

Công thức tính:

(
)
!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−

3


e. Nhị thức Newton
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑

0
(1 )

n
n k k
n
k
x C x
=
+ =
∑

Bài tập mẫu
Bài 1. Đêm chung kết hoa khôi sinh viên thành phố có 12 thí sinh, chọn 3 thí sinh trao giải:
Hoa khôi, Á khôi 1, Á khôi 2. Có bao nhiêu cách chọn ?
Giải
Nhận xét: thí sinh được trao giải, được chọn từ 12 thí sinh, và có thứ tự (A, B, C cùng
được trao giải, nhưng trường hợp A là hoa khôi, khác trường hợp B là hoa khôi).
Suy ra mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 từ 12 phần tử.
Vậy số cách chọn là:
3
12
A 12.11.10 1320
= =
.
Bài 2. Giả sử có một vị thần có quyền phân phát ngày sinh cho con người, có bao nhiêu cách
phân bố ngày sinh cho 10 em bé ra đời trong năm 1999 tại 1 khu tập thể của công nhân viên
chức.
Giải
Nhận xét: Mỗi ngày sinh của một em bé là 1 trong 365 ngày của năm 1999, nên các
ngày sinh có thể trùng nhau.
Suy ra mỗi cách phân bố 10 ngày sinh là một chỉnh hợp lặp chập 10 từ 365 phần tử.
Vậy số cách phân bố ngày sinh là:

10 10
365
A 365
=
ɶ

Bài 3. có 3 bộ sách:
Toán cao cấp C : 6 tập,
Kinh tế quốc tế : 2 tập,
Xác suất thống kê : 3 tập,
Được đặt lên giá sách. Có bao nhiêu cách sắp:
a) Tuỳ ý;
b) Các tập sách được đặt theo từng bộ.
Giải
4

a) Nhận xét: 3 bộ sách có tất cả 11 tập; đặt lên giá sách, mỗi cách sắp là hoán vị của 11
phần tử.
Suy ra số cách sắp tuỳ ý:
11
P 11!
=

b) Nhận xét:
• Xem mỗi bộ sách là một phần tử.

⇒
có 3
!
cách sắp xếp 3 phần tử này.

• Các cặp sách trong mỗi bộ sách xáo trộn với nhau.
Toán cao cấp C : 6
!

Kinh tế lượng : 2
!

Xác suất thống kê : 3!
Suy ra: số cách sắp xếp 3 bộ sách theo từng bộ là: 3!6!2!3!
Bài 4. Giải bóng đá ngoại hạng Anh có 20 đội bóng thi đấu vòng tròn, có bao nhiêu trận đấu
được tổ chức nếu:
a) Thi đấu vòng tròn 1 lượt.
b) Thi đấu vòng tròn 2 lượt.
Giải
a) Nhận xét: Mỗi trận đấu ứng với việc chọn 2 đội chọn từ 20 đội. Suy ra mỗi trận đấu là
một tổ hợp chập 2 từ 20 phần tử.
Số mỗi trận đấu được tổ chức là :

2
20
20!
C 190
2!18!
= =
trận
b) Nhận xét: Mỗi trận đấu ứng với việc chọn 2 đội chọn từ 20 đội. (đội chủ, đội khách).
Suy ra mỗi trận đấu là một chỉnh hợp chập 2 từ 20 phần tử.
Vậy số trận đấu là :
2
20

20!
A 380
18!
= =
trận
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Trong một lớp gồm 30 sinh viên, cần chọn ra ba sinh viên để làm lớp trưởng, lớp phó
và thủ quỹ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách bầu chọn ?
Bài 2. Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi thành hàng ngang sao cho A và B ngồi cạnh
nhau.
5

Bài 3. Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen.
a) Có tất cả bao nhiêu cách lấy ra 5 bi ?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng ?
Bài 4. Trong một nhóm ứng viên gồm 7 nam và 3 nữ,
a) có bao nhiêu cách thành lập một ủy ban gồm 3 người ?
b) có bao nhiêu cách thành lập một ủy ban gồm 3 người trong đó có đúng 1 nữ ?
c) có bao nhiêu cách thành lập một ủy ban gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ ?
Bài 5. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi từ các chữ số này:
a) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt chữ số 5?
b) Lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số
khác có mặt không quá một lần?