Giải tích tổ hợp

TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN
GIẢI TÍCH TỔ HP
PHẦN I : KIẾN THỨC CƠ BẢN :
A-GIAI THỪA :
n ! = 1.2.3………….n
1! = 1
2! = 1.2=2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
.
Qui ứơc : 0 ! = 1 .
T/C :
!
( 1)( 2).......( 1) .
!
n
k k n n
k
= + + −
B-CÁC QUI TẮC CỦA PHÉP CHỌN :
1- Qui tắc Cộng :
- thực hiện công việc H có các trừơng hợp
khác nhau :
+ TH1 : Có m cách chọn .
+ TH2 : Có n cách chọn .
+ TH3 : Có p cách chọn .
…..
Vậy : Có tất cả : m+ n +p + … = cách
2- Qui tắc nhân :
- thực hiện công việc H có các giai đoạn :
+ Gđ1 : Có m cách chọn .

+ Gđ2 : Có n cách chọn .
+ Gđ3 : Có p cách chọn .
…..
Vậy : Có : mx n x px…= cách .
C-HOÁN VỊ –CHỈNH HP – TỔ HP :
1- Công thức hoán Vò :
P
n
= n !
2- Công thức chỉnh hợp :

!
; ;
( )!
k
n
n
A n N k n
n k
= ∈ ≤
−
3- Công thức tổ hợp :
!
; ;
!( )!
k
n
n
C n N k n
k n k

= ∈ ≤
−
D- NHỊ THỨC NIUTON :
• Nhòthức:
0 1 1
( ) .... ....
n n n k n k k n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + +
Chú ý :- Vếhai có n+1 số hạng .
- Mũ của a và b trong mỡi số hạng có tổng
bằng n .
- Số hạng tổng quát thứ K+1 có dạng :
T
K+1
=
k n k k
n n
C a b
−
- Tổng các hệ số là : 2
n
Ta có :
0 1
.... .... 2
k n n
n n n n
C C C C

+ + + + =
PHẦN II : BÀI TẬP .
1.Cho X = 1;2;3;4;5 . Hỏi có bao nhiêu tự nhiên có
5 chữ số; 4 chữ số khác nhau được viết từ X .
2. Cho X = 1;2;3;4;5 . Hỏi có bao nhiêu tự nhiên có
3 chữ sốá khác nhau chia hết cho 3 được viết từ
X .ĐS : 24 số .
4- Biết tổng các hệ số của : (x
2
+1 )
n
là 1024 hãy tìm
hệ số của x
12
trong khai triển trên .
ĐS : n=10 => hs là 210 .
5-Cho các số: 1;2;3;4;5;6 .Ta có thể viết các số có
5 chữ số khác nhau .Hỏi :
a- Có bao nhiêu số có mặt số 2 ? .
b- Có bao nhiêu số có mặt 2 số 1 và 6 ?
HD : a- Chữ số 2 có có 5 vò trí vậy có 5.
2
5
120A =
.5= 600 số .
b- Số 1và 6 có
2
5
A
, xếp 4 số vào 3 vò trí còn lại là

3
4
A
. Vậy có
2
5
A
.
3
4
A
= 480 cách .
6-Cho X= 1;2;3;4;5;6 .Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên
6 chữ số khác nhau và thoã: Tổng ba chữ số đầu
nhỏ hơn tổng ba chữ số sau một đơn vò .
HD : n =
1 2 3 4 5 6
a a a a a a
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP
1
TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN
Ta có : a
1
+a
2
+a
3
=a
4

+a
5
a
6
- 1
Mà : 1+2+3+4+5+6 = 21 .
=> a
1
+a
2
+a
3=10 ;
a
4
+a
5+
a
6
=11.
Có các trường hợp :
1;3;6 và 2;4;5 : Có 3! . 3! = 36 .
1;4;5 và 2;3;6 : Có 3! . 3! = 36 .
2;3;5 và 1;4;6 : Có 3! . 3! = 36 .
Vậy : 36 x 3 = 108 Số .
7- Có 20 hsinh có 10nam và 10 nữ hỏi có bao nhiêu
cách chọn 5 HS sao cho :
a- Có đúng 2 nam sinh . ĐS 5400 .
b- Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ .
ĐS : 5400+5400+2100= 12900 .
8- Có 9 viên bi xanh . đó 5 đỏ 4 vàng . Hỏi có bao

nhiêu cách chọn :
a- 6 bi có 2 bi đỏ .
b- 6 bi trong đó bi xanh bằng bi vàng .
HD: a-
2 4
5 13
. 7150C C =
b- 3X và 3Đ :
3 3
9 5
.C C

2X va2Đ 2V :
2 2 2
9 5 4
. .C C C
1X ,1Đ; 2V :
1 1 4
9 5 4
. .C C C
ĐS : 3045
9--( D-2006) Có 12 HS : trong dó 5 HS lớp A; 4 HS
lớp B và 3 HS lớp C . Cần 4 HS đi trực sao cho 4 HS
nầy không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có mấy cách
chọn .
HD : Số cách chọn 4 HS :
4
12
C
.

* 1A,1b;2C :
1 1 2
5 4 3
. .C C C
=60
* 1A,2b;1C :
1 2 1
5 4 3
. . 90C C C =
* 2A,1b;2C :
2 1 2
5 4 3
. . 120C C C =
ĐS :
4
12
C
- ( 60+90+120) = 495-270=225
10- Tìm số hạng không chứa X trong các khai
triển :
12 3 18
3
2 15
1 1
( ) ; ( )
1
( )
x x
x x
x

x
+ +
+

11- Cho hsố của số hạng thứ ba trong :
( x-1/3 )
n
là 3 . Tìm số hạng đứng giữa .
12-Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển :
9
3
( 3 2)+
ĐS : k=3 : 4536
K= 9 : 8
13- Cho khai triển :
3
2
.
n
x
x x
x
 
+
 ÷
 ÷
 
. Biết :
Hệ số của số hạng thou 3 là 36 Tìm số hạng thứ 7 .
14- Cho ( x/3 – 3/x )

12
. Tìm hệ số số chứa x
4
.
15- Giải bptrình :
3 2
2 9
n
n n
A C n
−
+ ≤
HD : ĐK n>= 3
Bpt 
2 4 3; 4n n n− ≤ ≤ ⇔ = =
16- Trong khai triển:
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
có hệ số của số hạng
thứba lớn hơn hệ số của số hạng thou hai là 35 .
Tính số hạng không chứa x trong khai triển trên .
ĐS k= 5 ;
5
10

252C =
17- Cho đa thức :
P(x) = (1+x)
9
+(1+x)
10
+…….+ ( 1+x)
14
khai triển rút
gọn đa thức :
P(x) = a
0
+a
1
x +a
2
x
2
+…….+
a14
x
14
Hãy tìm : a
9
= ? ĐS : 3003 .
18- Tính giá trò :
0 1 2 6
1 6 6 6 6
0 1 2 2 5 5
2 5 5 5 5

* ...
* 2 2 ... 2
S C C C C
S C C C C
= + + +
= + + +
ĐS : S
1
= 2
6
= 64. ; S
2
= 3
5
= 243 .
1 2 2 3 3
3
* 1 2 2 2 ... ( 1) 2
n n n
n n n
S C C C C
= − + − + + −
Khai triển ; (1-x)
n
Chọn :
x = 2 => S
3
= (-1)
n
.

19-CMR :
1 2 3 1
2 3 ... .2
n n
n n n n
C C C nC n
−
+ + + =
HD
0 1 2 2 3 3
(1 ) ...
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +
Lấy đhàm hai vế ta có : chọn x = 1 .=> đpcm.
20- CMđ thức :
2
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
....
2 3 1 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−

+ + + + =
+ +
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP
2
TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN
HD:
Xét :
2
0
(1 )
n
I x dx= +
∫
=
1
2
0
(1 )
1
n
x
n
+
+
+
=
1
3 1
1

n
n
+
−
+
(1 )
Mà
0 1 2 2 3 1 2
0
1 1 1
( ... )
2 3 1
n n
n n n n
I C x C x C x C x
n
+
= + + + +
+
2 3 1
0 1 2
2 2 2
2 ...
2 3 1
n
n
n n n n
I C C C C
n
+

= + + + +
+
(2)
Từ (1) và (2) : đpcm .
21- Tính :
1
0
(1 )
n
I x dx= +
∫
và tính
Tổng S =
0 1 2
1 1 1
....
2 3 1
n
n n n n
C C C C
n
+ + + +
+
HD :
1
0
(1 )
n
I x dx= +
∫

=
1 1
1
0
(1 ) 2 1
1 1
n n
x
n n
+ +
+ −
=
+ +

1
1
2 1
0 1 0 1
0
0
( ... ) ...
2 1
n
n n
n n n n n n
x x
I C C x C dx C x C C
n
+
 

= + + + = + + +
 
+
 
∫
=
0 1 2
1 1 1
....
2 3 1
n
n n n n
C C C C
n
+ + + +
+

=> S =
1
2 1
1
n
n
+
−
+
22 - CMR
1 2 2 1 1
1 4 4 ... 4 4 5
n n n n

n n n
C C C
− −
+ + + + + =
HD : Khai triển : ( 1+x )
n
thay x= 4 => đpcm.
23-CMR:
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 16
3 3 3 ... 2C C C C
− + + =
HD: Khai triển : ( 3x-1)
16
chọn x = 1 .=>đpcm.
24-- Tìm x ; y thuộc N
*
:
1 1
1
6 5 2
y y y
x x x
C C C
+ −
+
= =
X=8 ; y = 3
25- CmR :
1 2 3 1

2 3 ... 2
n n
n n n n
C C C nC n
−
+ + + =
HD: Xét : (1+x)
n
khai triển
- Lấy đạo hàm 2 vế . Chọn x = 1 =>đpcm .
26--Trong khai triển :
28
3
15
n
x x x
−
 
+
 ÷
 
Hãy tìm số hạng không chứa x . Biết :
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + +=
HD:K=5 =>

5
12
792C =
27-- Tính tích phân :
1
2 3
0
1
0 1 2
(1 )
1 1 1 1 2 1
: ...
3 6 9 3 3 3( 1)
n
n
n
n n n n
I x x dx
CMR C C C C
n n
+
= +
−
+ + + + =
+ +
∫
Giải :
-Đổi biến số : u= 1+x
3
ta có :

1
2 1
3( 1)
n
I
n
+
−
=
+
- Mặt khác ta có :
-
3 0 2 3 3 6 3
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + +
Nhân hai vế cho x
2
. Lấy tphân hai vế .
Tìm nghuên hàm thế cậ từ 0->1 Ta được vế
trái .
28-( A-2002) Cho khai triển :
1
3
2
2 2
n
x

x−
−
 
+
 ÷
 
. Biết :
1 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ tư bằng 20.
Hãy tìm n và x ?
ĐS : n = 7 và x= 4 .
29-( D-2002) Tìm n số nguyên dương :
0 1 3
2 4 ... 2 243
n n
n n n n
C C C C
+ + + + =
ĐS : Xét (1+x )
n
và chọn x= 2 => n= 5.
30-CMR:
17 0 16 1 2 15 2 17 17 17
17 17 17 17
3 4.3 4 .3 ... 4 . 7C C C C
+ + + + =
- Xét : ( 3x+4)

n
chonï x = 3 .=> đpcm.
31- ( A- 2003 ) Tìm hsố của x
8
trong khai triển
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
Biết :
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
HD : K= 4 =>
4
12
495C =
.

32- ( B-2003 ) Cho n ng dương tính Tổng :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP
3
TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐÁNG GV: PHẠM HỒNG TIẾN
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
..
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
+
− − −
= + + + +
+
Xét : (1+x)
n
Khai triển tính tp hai vế ta có :
1 1
3 2
1
N n
s
n
+ +
−

=
+
33-(A-2004) Tìm hệ số của x
8
tromg khai triển :
[1+x
2
( 1-x)]
8
Hd : Số hạng chứa x
8
số hạng thou 4 và thứ 5:
3 6 3 4 8 4
8 8
3 4
8 8
(1 ) ; (1 )
: 3 238.
C x x C x x
DS C C
− −
+ =
25- (D- 2004) Tìm số hạng không chứa x :
7
3
4
1
x
x
 

+
 ÷
 
Với x > 0 . ĐS : k= 4 => 35 .
34- ( B- 2004)
Thấy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : Có 5 câu khó ;
10 câu tb ; 15 câu dễ . Hỏi từ 30 câu hõi trên lập
được bao nhiêu đề kt sao cho mỗi đề có 5 câu hỏi
khác nhau trong đó mỗi đề nhất thiết phải có 3 loại
câu hỏi : khó ; tb ; dễ và câu dễ không ít hơn hai .
Giải : Có ba THợp :
- 2dễ + 1TB + 2 khó : 10500.
- 2d + 2 TB + 1 kh : 23625 .
- 3d + 1TB + 1 kh : 22750
Tổng : 56.875 .
35- ( A- 2005 ) Tìm số nguyên dương n sao cho :
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005.
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
HD :
Xét : ( 1-x)
2n+1
Khai triển, lấy đạo hàm hai vế
Chọn x = 2 được : ( 2n+1) = 2005  n = 1002 36-

( D.2005) Tính giá trò biểu thức :
4 4
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
. Biết rằng :
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
HD :Giải pt : n= 5 n=-9 L
M= ¾
37- ( CĐ- 05) Cho ( 1-x)
n
+x(1+x)
n-1
=P
x
Khai triển P

x
= a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+….+ a
n
x
n .
Biết : a
0
+a
1
+a
2
+………+a
n
= 512 . Tìm a
3
=?
HD : Từ đề bài : Cho x=1 thì:
2
n-1
= a
0
+a

1
+a
2
+………+a
n
= 512=2
9
n=10
( 1-x)
10
+x(1+x)
9
=> a
3
=
2 3
9 10
84C C− = −
38- Có18 HS : trong đó có 7 HS k12 ; 6 HS kh11 ; 5
HS k10 . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 HS dự trại
hèsao cho mỗi khối có 1 HS
HD :
Số cách chọn 8 HS :
8
18
C
Vậy : ĐS
8 8 8 8
18 13 12 11
( ) 41811C C C C Cach− + + =

39-Cho
( x+1)
10
.( x + 2 ) = x
11
+a
1
x
10
+a
2
x
9
+….+a
11 . Hãy
tính
a
5
?
Hd : Khai triển : (x+10)
10
nhân (x+2) .
A
5
=
5 4
10 10
2 672C C+ =
//
Chúc Các Em thi TNPT- ĐH và CĐ năm 2008

thành công theo nguyện vọng của mình
//
Phạm Hồng Tiến
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ÔN THI ĐH-CĐ 2008 ĐAI SỐ TỔ HP
4