Chương 6 đặc trưng hình học

CHƯƠNG 6.
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC

GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấnn


NỘI DUNG
1. Khái niệm
2. Mô men tónh - Trọng tâm
3. Mômen quán tính
4. Mômen quán tính của các hình đơn giản
5. Công thức chuyển trục song song
6. Công thức xoay truïc


1. KHÁI NIỆM
 Thanh để đứng (H.a) chịu
lực tốt hơn thanh để nằm
(H.b)

 Có những đại lượng phụ
thuộc vào hình dáng, vị
trí mặt cắt ngang, ảnh
hưởng đến sự làm việc
của thanh

P
P

x
z

y
a)

x
z

y b)

 Đó là những Đặc trưng Hình Học của mặt cắt ngang.


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
Xét một hình phẳng biểu
diễn mặt cắt ngang A (mặt
cắt A).
Lập hệ tọa độ vuông góc
Oxy.
M(x,y) là một điểm bất kỳ
trên hình.
Lấy chung quanh M một
diện tích vi phaân dA.

y0

y
y0
y

yC

M
C
x0

O

xC

A
dA
x0
x

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
 Mômen tónh :
Mômen tónh của A
đối với trục x (hay y) là:
S x  ydF , S y  xdF
F

y0

y
y0
y

F

vì x, y có thể âm hoặc dương
nên Sx , Sy < 0
>
Thứ nguyên của mômen tónh là
[(chiều dài)3].

yC

M
C
x0

O

xC

A
dA
x0
x

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
 Trọng tâm :
 Trục Trung tâm là trục
mà mômen tónh của A

đối với nó bằng 0
 Trọng tâm là giao
điểm của 2 trục trung
tâm.

y0

y
y0
y

 Mômen tónh đối với trục
đi qua trọng tâm bằng 0.

yC

M
C
x0

O

xC

A
dA
x0
x

x

2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
y0

y

 Cách xác định Trọng tâm C :
Xác định xC và yC
Dựng hệ trục x Cy song
song hệ trục xy
0

0

y0
y

x  xC  xo ; y  yC  yo

yC

A

O

A

Vì Sxo = 0 nên: Sx  y C .A
Tương tự:

Sy  x C .A

C
x0

xC

Sx  (y C  y o )dA  y C dA  y o dA  y C A  Sxo
A

M

xC 

Sy

A
Sx
yC 
A

A
dA
x0
x

x

2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
Tính chất 1: (quan trọng)
y


C

x



C

 Mặt cắt có trục đối xứng,
trọng tâm nằm trên trục đối
xứng .
 Mặt cắt có hai trục đối xứng,
trọng tâm là giao điểm hai trục đối xứng.

y


C

x


2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM
y

Tính chất 2 :

xC

A1
Mômen tónh của hình
x1
phức tạp bằng tổng mômen
tónh của các hình đơn giản.

C1
C
Thí dụ 6-1. Định trọng tâm

y1
mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật.
C2 
Kết quả:
O
x2
Tọa độ trọng tâm
Sy
Sx
x1 A 1  x 2 A 2
; yC 
C của hình trên là: x C  
A

A1  A 2

yC
y2

x

A2

y1 A 1  y 2 A 2

A
A1  A 2


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
1- Mômen quán tính (MMQT)
Mômen quán tính độc cực
(MMQT đối với điểm) của A
đối với điểm O: I 2 dA
p

y

y

A

Mômen quán tính của A đối với

O

M

 Ip , Ix , Iy > 0

dA


x

trục y vaø x : I y 2 dA ; I x 2 dA
x
y
A
A

 Ip = Ix + Iy

A

 Thứ nguyên - [chiều dài]4

x


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
y

Mômen quán tính ly tâm
(MMQT đối với hệ trục xy)
I

xy

x.y.dA
A

Thứ nguyên - [chiều dài]4
Ixy >< 0

y
O

M

A
dA


x

Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằng
tổng mômen quán tính của các hình đơn giản.

x


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Hệ trục chính trung tâm
 Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm
y

đối với hệ trục đó bằng không
O
được gọi là hệ trục quán tính chính

y

M

A
dA


x

 Hệ trục quán tính chính trung tâm
có gốc ở trọng tâm
 MMQT đối với các trục quán tính chính trung tâm
gọi là MMQT chính trung taâm.
I y 2 dA ; I x 2 dA
x
y
A
A

x


3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM
2- Tính chất 3- quan trọng
Trục đối xứng của mặt cắt và trục

vuông góc với nó đi qua trọng tâm
hợp thành hệ trục chính trung tâm

y
dA1

dA2

A1

A2
O

Chứng minh:
I xy  yxdA 
A

 yxdA  ( xy 

A1  A2

A1

yx)dA1 0

x


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP

1- Hình chữ nhật:
Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ truïc QTCTT.
h
2

I y 2 dA  y 2 bdy
x
A
h

3
2
bh
I 
x
12
hb 3
I 
y
12

dA = b.dy
y
dy
h/2

O

h/2

b

y
x


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
2- Hình tròn:

y

dA = 2.d

O



R

Hệ có hai trục đối xứng x, y
cũng là hệ trục QTCTT.

d

 Tính Ip :

D
2
2

I  dA  2 .2.d
p
A
0

D 4
I 
p
32
Ip

Tính Ix , Iy : I  I 
x
y 2

D

D 4
I I 
x
y 64

x


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Hình vành khăn:
 Tính Ip :
4

4

D

d
I I D  Id 

p p
p 32
32

D
I 
(1  4 )
p 32
4

Tính Ix , Iy : I  I  I p
x
y 2
D
I I 
(1  4 )
x
y 64
4

y
d

O
D
d
=

D

x


5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC
SONG SONG

I

X

2

A

I y 2 dA  2 b y.dA  b2 .dA
X
A

y

2

Y dA ( b  y) dA

A

A

A

I I x  2bSx  b A
X
I I y  2aSy  a2 A
Y

y

Y

1- Lập công thức:
Tính IX , IY , IXY :

2

I

XY

Y

b

M
O

A
dA

x
O'
a

x
X

X

I xy  aSx  bSy  abA


5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC
SONG SONG

2

I  Ix  b A
X

Cách nhớ: MMQT đối với trục
mới bằng MMQT đối với trục
cũ cộâng diện tích nhân khoảng
cách hai trục bình phương

y

Y

2- Trường hợp thường dùng:
Khi trục cũ (xy) là
hệ trục chính trung taâm :

y
Y

b

M
O
x

O'
a

A
dA
x
X

X


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 3:

I BB'
3

bh
I BB' 
12

 h
I x  A. 
 2

y

2

h/2

2

3
h
bh
 
   bh 
3
2

O

h/2

B

b

x
B'


4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA
CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP
3- Thí dụ 4: Định MMQT
chính trung tâm
Giải:
- Trọng tâm:
Sx 24.4.2  2(4.12.10)
y  
6cm
C A
(24.4)  2(4.12)
1  I 2  I3
I

I
- MMQT: X X X X
3

24.4
I1 
 (24.4).4 2
X

12
3
4
.
12
I 2 I3 
 (4.12).4 2
X
X
12

4

8 y8

4

12

x

4
10

X
2

y

3

C

X

6

IX=4352cm4

1

x