lí thuyết điều khiển tự động
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (510.04 KB, 196 trang )
1
BÀI GIẢNG
LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
GVTH: Võ Văn Định
NĂM 2009
2
CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN LIÊN TỤC
2.1 Khái niệm
2.2 Hàm truyền đạt và đại số sơ đồ khối
2.3 Sơ đồ dòng tín hiệu
2.4 Phương pháp không gian trạng thái
2.5 Tóm tắt
3
2.1 KHÁI NIỆM
Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết điều khiển là rất đa
dạng và có bản chất vật lý khác nhau như hệ thống điều
khiển động cơ, lò nhiệt, máy bay, phản ứng hóa học …
Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ
thống tuyến tính có thể biểu diễn bằng phương trình vi
phân bậc cao. Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương
trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khắn
Do đó, cần có cơ sở để phân tích, thiết kế các hệ thống
điều khiển có bản chất vật lý khác nhau, cơ sở đó chính
là toán học.
4
2.1 KHÁI NIỆM
Có hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động
giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng hơn là:
-
Phương pháp hàm truyền đạt
-
Phương pháp không gian trạng thái
Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương
trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép
biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian
trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ
phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt các biến phụ
(biến trạng thái).
Mỗi phương pháp mô tả hệ thống đều có ưu điểm riêng
5
Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là:
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
{ }
(2.1) ).()()(
0
∫
+∞
−
== dtetftfsF
st
L
Trong đó:
s: là biến phức (biến Laplace) s = σ + jω
L : là toán tử biến đổi Laplace
F(s): là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi laplace
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức ở biểu thức
định nghĩa (2.1) hội tụ
a. Định nghĩa:
6
Tính tuyến tính
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
{ }
(2.2) )( )( )( )(
2 2 1 1 22 11
sFasFatfatfa
+=+
L
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f
1
(t) có biến đổi Laplace là L{f
1
(t)} = F
1
(s) và hàm f
2
(t) có
là L{f
2
(t)} = F
2
(s)
7
Ảnh của đạo hàm
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
(2.3) )0()(
)(
+
−=
fssF
dt
tdf
L
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
Trong đó f(o
+
) là điều kiện đầu
Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:
(2.4) )(
)(
ssF
dt
tdf
=
L
8
Ảnh của tích phân
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
(2.5)
)(
)(
0
s
sF
df
t
=
∫
ττ
L
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
9
Định lý chậm trễ
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
{ } { }
(2.6) )( .)(
.F(s) etfeTtf
TsTs
−−
==−
LL
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta có f(t-T), khi đó:
f(t)
t
f(t-T)
T
t
10
Định lý giá trị cuối
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
(2.7) )(lim)(lim
0
ssFtf
st
→∞→
=
b. Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
11
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là
các tín hiệu cơ bản
Các tín hiệu cơ bản là: hàm nấc, hàm mũ, hàm sin…
12
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
Hàm xung đơn vị thường được sử dụng
để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
=∞
≠
=
0
0 0
)(
tkhi
tkhi
t
δ
1)(
=
∫
+∞
∞−
dtt
δ
thỏa
δ
(t)
0
t
13
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
Hàm xung đơn vị thường được sử dụng
để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
=∞
≠
=
0
0 0
)(
tkhi
tkhi
t
δ
(2.8) 1)(
=
∫
+∞
∞−
dtt
δ
thỏa
δ
(t)
0
t
Theo định nghĩa:
{ }
(2.9) 1 ).().().()(
0
0
0
0
00
dtetdtetdtett
stst
∫∫∫
++
====
−−
+∞
−
δδδδ
L
{ }
1 )(
=
⇒
t
δ
L
14
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm nấc đơn vị
Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng
hàm nấc đơn vị
(2.10)
0 0
0 1
)(
<
≥
=
tkhi
tkhi
tu
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
{ }
(2.11)
1
).()(
0
0
00
ss
e
s
e
s
e
dtedtetutu
st
stst
=
−−=−===
∞−
+∞
−
+∞
−
+∞
−
∫∫
L
{ }
s
u(t)
1
=
⇒
L
u(t)
1
0
t
15
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm dốc đơn vị
Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ
thống điều khiển theo dõi
(2.12)
0 0
0
)(.)(
<
≥
==
tkhi
tkhit
tuttf
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
{ }
2
0
2
00
1.
.).()(
ss
e
s
et
dtetdtetftf
stst
stst
=
−===
+∞
−−
+∞
−
+∞
−
∫∫
L
{ }
(2.13)
1
2
s
f(t)
=
⇒
L
f(t)
1
0
t
1
16
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm mũ
(2.15)
0 0
0
)(.)(
<
≥
==
−
−
tkhi
tkhie
tuetf
at
at
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
{ }
asas
e
dtedteetf
tsa
tsastat
+
=
+
−===
+∞
+−
+∞
+−
+∞
−−
∫∫
1
.)(
0
)(
0
)(
0
L
{ }
(2.16)
1
as
f(t)
+
=
⇒
L
f(t)
1
0
t
17
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm sin
(2.17)
0 0
0 t sin
)().(sin)(
<
≥
==
tkhi
tkhi
tuttf
ω
ω
Theo định nghĩa ta có:
{ }
22
0
11
2
1
.
2
)().(sin
ω
ω
ωω
ω
ωω
+
=
+
−
−
=
−
=
∫
+∞
−
−
sjsjsj
dte
j
ee
tut
st
tjtj
L
{ }
(2.18)
22
ω
ω
+
=
⇒
s
f(t)
L
Từ công thức Euler ta có:
j
ee
t
tjtj
.2
sin
ωω
ω
−
−
=
f(t)
0
t
1
18
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:
1
0 1 1
1
1
0 1 1
1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) (2.19)
n n
n n
n n
m m
m m
m m
d c t d c t dc t
a a a a c t
dt dt dt
d r t d r t dr t
b b b b r t
dt dt dt
−
−
−
−
−
−
+ + + + =
= + + + +
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính
bất biến lên tục đều có thể mô tả bởi phương trình vi phân hệ số
hằng:
Hệ thống
r(t) c(t)
Tín hiệu vào Tín hiệu ra
19
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:
Hệ thống được gọi là hợp thức nếu n ≥ m, hệ thống được gọi là
không hợp thức nếu n < m. chỉ có các hệ thống mới tồn tại trong
thực tế.
Trong đó các hệ số a
i
= (0 ÷n) và b
j
= (0 ÷m) là thông số của hệ
thống (a
0
≠ 0; b
0
≠ 0); n là bậc của hệ thống.
Khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân (2.19) rất khó
khăn, nhờ vào phép biến đổi Laplace ta khảo sat hệ thống một
cách dễ dàng.
20
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:
)() (
)() (
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sCasasasa
mm
mm
nn
nn
++++=
=++++
−
−
−
−
Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế phương
trình (2.19) ta được:
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
++++
++++
=⇒
−
−
−
−
1
1
10
1
1
10
)(
)(
21
1
0 1 1
1
0 1 1
( ) ( )
( ) ( )
n n
n n
m m
m m
a s a s a s a C s
b s b s b s b R s
−
−
−
−
+ + + + =
= + + + +
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
++++
++++
=⇒
−
−
−
−
1
1
10
1
1
10
)(
)(
1
0 1 1
1
1
0 1 1
1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) (2.19)
n n
n n
n n
m m
m m
m m
d c t d c t dc t
a a a a c t
dt dt dt
d r t d r t dr t
b b b b r t
dt dt dt
−
−
−
−
−
−
+ + + + =
= + + + +
22
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a. Định nghĩa:
Đặt:
(2.20)
)(
)(
)(
1
1
10
1
1
10
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
sG
++++
++++
==
−
−
−
−
G(s) là hàm truyền của hệ thống
Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace
của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện
ban đầu bằng 0
Hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà
chỉ phụ thuộc vào bậc và thông số của hệ thống. Do đó ta có thể
dùng hàm truyền để mô tả hệ thống.
23
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
Trong hệ thống tự động các khâu hiệu chỉnh là các bộ điều
khiển đơn giản được sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt của
hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng
và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của hệ
thống
Thường khâu hiệu chỉnh là các mạch điện.
Có hai loại mạch hiệu chỉnh: mạch hiệu chỉnh thụ động và
mạch hiệu chỉnh tích cực.
Mạch hiệu chỉnh thụ động có độ lợi ≤ 1
Mạch hiệu chỉnh tích cực có độ lợi >1
24
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
Quan hệ dòng điện và điện áp trên tụ C cho ta:
Khâu tích phân bậc 1
v
i
(t) v
o
(t)i(t) C
R
dt
tdv
C
dt
tdv
Cti
c
)()(
)(
0
==
25
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:
b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động
Theo định luật Kirchoff ta có:
Khâu tích phân bậc 1
v
i
(t) v
o
(t)i(t) C
R
(2.21) )()(
)(
)()()(.
)()()(
0
0
tvtv
dt
tdv
RCtvtvtiR
tvtvtv
iiC
iCR
=+⇒=+⇒
=+
