Tài liệu Bài giảng môn học: Lý thuyết điều khiển tự động ppt

1
T R   N G   I H  C B Á C H K H O A
KHOA IN
B MÔN T NG HÓA












Lý thuyt
IU KHIN T NG

Liên h :
2

MC LC

Phn m u
1 Khái nim.......................................................................................................................5
2 Các nguyên tc iu khin t ng..................................................................................6
2.1 Nguyên tc gi n nh ...........................................................................................6
2.2 Nguyên tc iu khin theo chng trình ................................................................6
3 Phân loi h thng KT...............................................................................................6
3.1 Phân loi theo c im ca tín hiu ra....................................................................6
3.2 Phân loi theo s vòng kín ......................................................................................6
3.3 Phân loi theo kh nng quan sát tín hiu ................................................................7
3.4 Phân loi theo mô t toán hc..................................................................................7

4 Biêu  iu khin t ng trong mt nhà máy...............................................................8
5 Phép bin i Laplace.....................................................................................................8
Chng 1: MÔ T TOÁN HC CÁC PHN T VÀ H TH!NG I"U KHI#N T$
%NG
1 Khái nim chung...........................................................................................................10
2 Hàm truyn t .............................................................................................................10
2.1 nh ngh&a : ..........................................................................................................10
2.2 Phng pháp tìm hàm truyn t...........................................................................10
2.3 Mt s ví d' v cách tìm hàm truyn t ...............................................................11
2.4 Hàm truyn t ca mt s thit b in hình.........................................................13
2.5 i s s  khi ..................................................................................................13
3 Phng trình trng thái .................................................................................................16
3.1 Phng trình trng thái tng quát ..........................................................................16
3.2 Xây dng phng trình trng thái t( hàm truyn t .............................................18
3.3 Chuyn i t( phng trình trng thái sang hàm truyn ........................................20
Chng 2: )C TÍNH %NG HC C*A CÁC KHÂU VÀ C*A H TH!NG TRONG
MI"N TN S!
1 Khái nim chung...........................................................................................................24
2 Phn +ng ca mt khâu.................................................................................................24
2.1 Tín hiu tác ng vào mt khâu (các tín hiu tin nh).........................................24
2.2 Phn +ng ca mt khâu .........................................................................................24
3 c tính tn s ca mt khâu ........................................................................................25
3.1 Hàm truyn t tn s ...........................................................................................25
3.2 c tính tn s ......................................................................................................26
4 c tính ng hc ca mt s khâu c bn ...................................................................27
4.1 Khâu t, l ..............................................................................................................27
4.2 Khâu quán tính b-c 1.............................................................................................27
4.3 Khâu dao ng b-c 2.............................................................................................29
4.4 Khâu không n nh b-c 1.....................................................................................31
4.5 Khâu vi phân lý tng...........................................................................................32

4.6 Khâu vi phân b-c 1 ...............................................................................................32
4.7 Khâu tích phân lý tng........................................................................................33
4.8 Khâu ch-m tr........................................................................................................33
Chng 3: TÍNH /N 0NH C*A H TH!NG I"U KHI#N T$ %NG
1 Khái nim chung...........................................................................................................35
2 Tiêu chu1n n nh i s .............................................................................................36
2.1 iu kin cn  h thng n nh.........................................................................36
2.2 Tiêu chu1n Routh..................................................................................................36
2.3 Tiêu chu1n n nh Hurwitz..................................................................................37
3 Tiêu chu1n n nh tn s .............................................................................................37
3.1 Tiêu chu1n Nyquist theo c tính tn s biên pha ..................................................37
3
3.2 Tiêu chu1n Nyquist theo c tính tn s logarit .....................................................37
3.3 Tiêu chu1n n nh Mikhailov...............................................................................38
4 Phng pháp qu2 o nghim s ..................................................................................38
4.1 Phng pháp xây dng QNS ..............................................................................38
Chng 4: CH3T L4NG C*A QUÁ TRÌNH I"U KHI#N
1 Khái nim chung...........................................................................................................41
1.1 Ch  xác l-p ......................................................................................................41
1.2 Quá trình quá  ...................................................................................................41
2 ánh giá ch5t l6ng  ch  xác l-p............................................................................41
2.1 Khi u(t) = U
0
.1(t) ..................................................................................................42
2.2 Khi u(t) = U
0
.t.......................................................................................................42
3 ánh giá ch5t l6ng  quá trình quá .........................................................................42
3.1 Phân tích thành các biu th+c n gin..................................................................42
3.2 Phng pháp s Tustin..........................................................................................42

3.3 Gii phng trình trng thái ..................................................................................44
3.4 S7 d'ng các hàm ca MATAB..............................................................................44
4 ánh giá thông qua  d tr n nh ...........................................................................45
4.1  d tr biên ..................................................................................................45
4.2  d tr v pha ...................................................................................................45
4.3 Mi liên h gia các  d tr và ch5t l6ng iu khin........................................45
5 Tính iu khin 6c và quan sát 6c ca h thng ....................................................46
5.1 iu khin 6c....................................................................................................46
5.2 Tính quan sát 6c................................................................................................46
Chng 5: NÂNG CAO CH3T L4NG VÀ T/NG H4P H TH!NG
1 Khái nim chung...........................................................................................................48
2 Các b iu khin – Hiu ch,nh h thng ......................................................................48
2.1 Khái nim .............................................................................................................48
2.2 B iu khin t, l P..............................................................................................48
2.3 B bù s8m pha Lead .............................................................................................48
2.4 B bù tr. pha Leg..................................................................................................49
2.5 B bù tr.-s8m pha Leg -Lead................................................................................50
2.6 B iu khin PI (Proportional Integral Controller)...............................................51
2.7 B iu khin PD (Proportional Derivative Controller) .........................................51
2.8 B iu khin PID (Proportional Integral Derivative Controller)...........................52
3 Tng h6p h thng theo các tiêu chu1n ti u ...............................................................53
3.1 Phng pháp ti u modun ...................................................................................53
3.2 Phng pháp ti u i x+ng ................................................................................54
Chng 6: H TH!NG I"UKHI#N GIÁN ON
1 Khái nim chung...........................................................................................................56
2 Phép bin i Z.............................................................................................................56
2.1 nh ngh&a ............................................................................................................56
2.2 Mt s tính ch5t ca bin i Z .............................................................................57
2.3 Bin i Z ng6c ..................................................................................................57
3 L5y m9u và gi m9u .....................................................................................................58

3.1 Khái nim .............................................................................................................58
3.2 L5y m9u................................................................................................................58
3.3 Gi m9u................................................................................................................59
4 Hàm truyn t h gián on.........................................................................................60
4.1 Xác nh hàm truyn t W(z) t( hàm truyn t h liên t'c .................................60
4.2 Xác nh hàm truyn t t( phng trình sai phân.................................................65
5 Tính n nh ca h gián on ......................................................................................65
5.1 Mi liên h gia mt ph:ng p và mt ph:ng z........................................................65
5.2 Phép bin i tng ng ...................................................................................65
Ph' l'c: CONTROL SYSTEM TOOLBOX & SIMULINK TRONG MATLAB
4

1 Control System Toolbox...............................................................................................66
1.1 nh ngh&a mt h thng tuyn tính ......................................................................66
1.2 Bin i s  tng ng ..................................................................................68
1.3 Phân tích h thng.................................................................................................69
1.4 Ví d' tng h6p ......................................................................................................71
2 SIMULINK ..................................................................................................................73
2.1 Khi ng Simulink..............................................................................................73
2.2 To mt s  n gin.........................................................................................74
2.3 Mt s khi th;ng dùng ......................................................................................75
2.4 Ví d'.....................................................................................................................76
2.5 LTI Viewer ...........................................................................................................77
Phn m u
5
















iu khin hc là khoa hc nghiên cu nhng quá trình iu khin và thông tin trong các
máy móc sinh vt. Trong iu khin hc, i tng iu khin là các thit b, các h thng k
thut, các c c sinh vt…
iu khin hc nghiên cu quá trình iu khin các i tng k thut c gi là iu
khin hc k thut. Trong ó « iu khin t ng » là c s lý thuyt ca iu khin hc k
thuât.
Khi nghiên cu các qui lut iu khin ca các h thng k thut khác nhau, ngi ta s
dng các mô hình toán thay th cho các i tng kho sát. Cách làm này cho phép chúng ta
m rng phm vi nghiên cu và tng quát bài toán iu khin trên nhiu i tng có mô t
toán hc ging nhau.
Môn hc iu khin t ng cung cp cho sinh viên các kin thc c bn v xây dng
mô hình toán hc ca mt i tng và ca c h thng. Trên c s ó, sinh viên có kh nng
phân tích, ánh giá cht lng ca h thng iu khin. Ngoài ra, bng các phng pháp
toán hc, sinh viên có th tng hp các b iu khin thích hp  h thng t c các ch
tiêu cht lng  ra.
1 Khái nim
Mt h thng KT 6c xây dng t( 3 b ph-n ch yu theo s  sau :


Trong ó :

- O : i t6ng iu khin
- C : b iu khin, hiu ch,nh
- M : c c5u o l;ng
Các loi tín hiu có trong h thng gm :
- u : tín hiu ch o (còn gi là tín hiu vào, tín hiu iu khin)
- y : tín hiu ra
- f : các tác ng t( bên ngoài
- z : tín hiu phn hi
- e : sai lch iu khin

Ví d v mt h thng iu khin
n gin







C O
M
u
f
y
e
z
h
l
Q
i

Q
0

Phn m u
6


2 Các nguyên tc iu khin t ng
2.1 Nguyên tc gi n nh
Nguyên tc này gi tín hiu ra b<ng mt h<ng s trong quá trình iu khin, y = const. Có 3
phng pháp  thc hin nguyên tc gi n nh gm :
- Phng pháp bù tác ng bên ngoài (a)
- Phng pháp iu khin theo sai lch (b)
- Phng pháp h=n h6p (c)



2.2 Nguyên tc iu khin theo chng trình
Nguyên tc này gi tín hiu ra y = y(t) theo mt chng trình ã 6c nh s>n.  mt tín
hiu ra nào ó thc hin theo chng trình, cn phi s7 d'ng máy tính hay các thit b có lu
tr chng trình. 2 thit b thông d'ng ch+a chng trình iu khin là :
- PLC (Programmable Logic Controller)
- CLC (Computerized Numerical Control)
3 Phân loi h thng KT
3.1 Phân loi theo c im ca tín hiu ra
- Tín hiu ra n nh
- Tín hiu ra theo chng trình
3.2 Phân loi theo s vòng kín
- H h: là h không có vòg kín nào.

- H kín: có nhiu loi nh h 1 vòng kín, h nhiu vòng kín,…
C
O
M
u
f
y
e
a)
M
b)
f
C
u
e
y
O
M
2

c)
f
C
u
e
y
O
M
1

Phn m u
7
3.3 Phân loi theo kh nng quan sát tín hiu
3.3.1 H thng liên tc
Quan sát 6c t5t c các trng thái ca h thng theo th;i gian.
Mô t toán hc : phng trình i s, phng trình vi phân, hàm truyn
3.3.2 H thng không liên tc
Quan sát 6c mt phn các trng thái ca h thng. Nguyên nhân:
- Do không th t 6c t5t c các cm bin.
- Do không cn thit phi t  các cm bin.
Trong h thng không liên t'c, ng;i ta chia làm 2 loi:
a) H thng gián on (S. discret)
Là h thng mà ta có th quan sát các trng thái ca h thng theo chu k? (T). V bn ch5t, h
thng này là mt dng ca h thng liên t'c.
b) H thng vi các s kin gián on (S à événement discret)
- c trng bi các s kin không chu k?
- Quan tâm n các s kin/ tác ng

Ví d v h thng liên tc, gián on, h thng vi các s kin gián on



3.4 Phân loi theo mô t toán hc
- H tuyn tính: c tính t&nh ca t5t c các phân t7 có trong h thng là tuyn tính. c
im c bn: xp chng.
- H phi tuyn: có ít nh5t mt c tính t&nh ca mt phn t7 là mt hàm phi tuyn.
- H thng tuyn tính hóa: tuyn tính hóa t(ng phn ca h phi tuyn v8i mt s iu
kin cho tr8c  6c h tuyn tính gn úng.
Bng
chuyn 2

Piston
3 2
Piston 1
Bng
chuyn 3
Bng
chuyn 1
Phn m u
8
4 Biêu  iu khin t ng trong mt nhà máy

5 Phép bin i Laplace
Gi s7 có hàm f(t) liên t'c, kh tích. nh Laplace ca f(t) qua phép bin i laplace, ký
hiu là F(p) 6c tính theo nh ngh&a:
0
( ) ( )
pt
F p f t e dt
∞
−
=


- p: bin laplace
- f(t): hàm gc
- F(p): hàm nh

Mt s tính cht ca phép bin i laplace

1. Tính tuyn tính

{ }
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )L af t bf t aF p bF p+ = +

2. nh laplace ca o hàm hàm gc
{ }
'
( ) ( ) (0)L f t pF p f= −

Nu các iu kin u b<ng 0 thì:
{ }
( )
( ) ( )
n n
L f t p F p=
Qu
n lý nhà máy
iu khin, giám sát,
bo d@ng
B iu khin, iu ch,nh, PLC
Cm bin, c cu chp hành
Niv 4
Niv 2
Niv 1
Niv 0
Niv 3
Qu
n lý sn xut,
lp k hoch sx
.

Phn m u
9
3. nh laplace ca tích phân hàm gc
0
( )
( )
t
F p
L f d
p
τ τ
 
 
=
 
 
 


4. nh laplace ca hàm gc có tr.
{ }
( ) ( )
p
L f t e F p
τ
τ
−
− =

5. Hàm nh có tr.

{ }
( ) ( )
at
L e f t F p a
−
= +
6. Giá tr u ca hàm gc
(0) lim ( )
p
f pF p
→∞
=
7. Giá tr cui ca hàm gc
0
( ) lim ( )
p
f pF p
→
∞ =

NH LAPLACE VÀ NH Z CA MT S HÀM THÔNG DNG

f(t) F(p) F(z)
δ
(t)
1 1
1
1
p

1
z
z −

t
2
1
p

( )
2
1
Tz
z −

2
1
2t

3
1
p

( )
( )
2
3
1
2 1
T z z

z
+
−

e
-at

1
p a+

aT
z
z e
−
−

1-e
-at

( )
a
p p a+

( )
( )
( )
1
1
aT
aT

e z
z z e
−
−
−
− −

sinat
2 2
a
p a+

2
sin
2 cos 1
z aT
z z aT− +

cosat
2 2
p
p a+

2
2
cos
2 cos 1
z z aT
z z aT
−

− +


Chng 1 Mô t toán hc


10

MÔ T TOÁN HC CÁC PHN T
VÀ H THNG IU KHIN T NG
1 Khái nim chung
-  phân tích mt h thng, ta phi bit nguyên tc làm vic ca các phn t7 trong s
, bn ch5t v-t lý, các quan h v-t lý, …
- Các tính ch5t ca các phn t7/h thng 6c biu di.n qua các phng trình ng hc,
th;ng là phng trình vi phân.
-  thu-n l6i hn trong vic phân tích, gii quyt các bài toán iu khin, ng;i ta mô
t toán hc các phn t7 và h thng b<ng hàm truyn t (transfer fuction), phng
trình trng thái (state space), v.v
2 Hàm truyn t
2.1 nh ngha :
Hàm truyn t ca mt khâu (hay h thng) là t s gia tín hiu ra vi tín hiu vào biu
din theo toán t laplace, ký hiu là W(p), vi các iu kin ban u trit tiêu.

trong ó
( )
( )
( )
Y p
W p
U p

=
v8i
y(0) = y’(0) = … = y
(n-1)
(0) = 0
u(0) = u’(0) = … = u
(m-1)
(0) = 0
2.2 Phng pháp tìm hàm truyn t
T( phng trình vi phân tng quát ca mt khâu (h thng) có dng
1 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( )
... ( ) ... ( )
n m
n m
n m
d y t dy t d u t du t
a a a y t b b b u t
dt dt dt dt
+ + + = + + + (1.1)
bin i laplace v8i các iu kin ban u b<ng 0 và theo nh ngh&a, ta có dng tng quát ca
hàm truyn t
1 0
1 0
... ( )
( )
... ( )
m
m
n

n
b p b p b M p
W p
a p a p a N p
+ + +
= =
+ + +
(1.2)
N(p) : a th+c dc tính

Ý ngha
- Quan sát hàm truyn t, nh-n bit c5u trúc h thng
- Xác nh tín hiu ra theo th;i gian (bin i laplace ng6c)
- Xác nh các giá tr u, giá tr xác l-p ca h thng
- Xác nh 6c h s khuch i t&nh ca h thng
- …

W(p)
U(p) Y(p)
Chng 1 Mô t toán hc


11
2.3 Mt s ví d v cách tìm hàm truyn t
Nguyên tc chung :
- Thành l-p phng trình vi phân ;
- S7 d'ng phép bin i laplace  a v dng hàm truyn t theo nh ngh&a.
Ví d 1 : Khuch i lc b<ng cánh tay òn

Xét phng trình cân b<ng v mômen :
F
1
(t)*a = F
2
(t)*b  F
1
(p)*a = F
2
(p)*b

2
1
F ( )
W(p)=
F ( )
p a
p b
=

Ví d 2 : ng c in mt chiu kich t( c l-p


Gi s7 t( thông Φ = const, J là mômen quán tính qui v tr'c ng c, B là h s ma sát 
tr'c.
Thành l-p hàm truyn t ca ng c v8i:
u: tín hiu vào là in áp phn +ng
ω: tín hiu ra là góc quay ca tr'c ng c.
Gii:

Phng trình quan h v in áp phn +ng:

u
u e
di
u Ri L e
dt
e K
ω
= + +
= Φ

Suy ra

e
di
u Ri L K
dt
ω
= + + Φ (1.3)
Phng trình quan h v momen trên tr'c ng c:

i
d
K i J B
dt
ω
ω
Φ = +
(1.4)

Thay (1.4) vào (1.3), ta 6c:

2
2
e
i i
R d L d d
u J B J B K
K dt K dt dt
ω ω ω
ω ω
 
 
= + + + + Φ
 
 
Φ Φ
 
 

a
b
F
1

F
2

J
u

i
B
Chng 1 Mô t toán hc


12

2
2
e
i i i
LJ d RJ LB d RB
u K
K dt K dt K
ω ω
ω
 
+
= + + + Φ
 
Φ Φ Φ
 

V-y

( )
2
2 2 0
( ) ( )U p a p a p a p
ω

= + +
v8i
2 1 0
; ;
e
i i i
LJ RJ LB RB
a a a K
K K K
 
+
= = = + Φ
 
Φ Φ Φ
 

Hàm truyn t ca ng c in mt chiu là:

2
2 2 0
( ) 1
( )
( )
p
W p
U p a p a p a
ω
= =
+ +

Ví d 3: Tìm hàm truyn t ca mch in t7 dùng KTT, gi thit khuch i thu-t toán là
lý tng.


Ta có:
2
2
i
i
V V dV dV
C V V R C
R dt dt
− − −
−
−
=  = + (1.5)
Xét dòng in qua V
+

0
0
1 1
2
i
i
V V V V
V V V
R R
+ +

+
− −
=  = + (1.6)
Mt khác, do gi thit KTT là lý tng nên V
-
= V
+
.
T( (1.5) và (1.6)

0
2 0 2
i
i
dV dV
R C V R C V
dt dt
+ = −

0 2
2
( )
1
( )
( ) 1
i
V p
R Cp
W p
V p R Cp

−
= =
+


Ví d 4:

V
i

V
0

R
1

R
1

R
2

C
+V
cc

-V
cc

y(t)

u(t)
r
h
γ
γγ
γ
Chng 1 Mô t toán hc


13
Trong ó: u(t): lu l6ng ch5t lAng vào; y(t) là lu l6ng ch5t lAng ra; A là din tích áy ca
b ch5t lAng.
Gi p(t) là áp su5t ca ch5t lAng ti áy b, bit các quan h sau:
( )
( )
p t
y t
r
=
(r là h s)
( ) ( )p t h t
γ
=
Tìm hàm truyn t ca b ch5t lAng.
Gii
Theo các quan h trong gi thit, ta có:
( )
( )
p t
y t h

r r
γ
= = (1.7)
 gia tng chiu cao ct ch5t lAng là:

( ) ( )dh u t y t
dt A
−
= (1.8)
T( (1.7) và (1.8), suy ra:

( ) ( )dy u t y t
dt r A
γ
−
=



( ) ( )
dy
rA y t u t
dt
γ
+ =

Hàm truyn t ca b ch5t lAng trên là:

( )
( )

( ) 1 1
Y p K
W p
U p rAp Tp
γ
= = =
+ +

2.4 Hàm truyn t ca mt s thit b in hình
- Các thit b o l;ng và bin i tín hiu: W(p) = K
- ng c in mt chiu:
2
1 2 2
K
W(p)=
T T 1p T p+ +

- ng c không ng b 3 pha
K
W(p)=
T 1p +

- Lò nhit
K
W(p)=
T 1p +

- Bng ti
-
W(p)=

p
Ke
τ

2.5 i s s  khi
i s s  khi là bin i mt s  ph+c tp v dng n gin hn  thu-n tin cho vic
tính toán.
2.5.1 Mc ni tip
1 2
W(p)= . ...
n
W W W
2.5.2 Mc song song
1 2
W(p)= ...
n
W W W± ± ±
2.5.3 Mc phn hi


1
1 2
W(p)=
1
W
WW±



W

1

W
2

-
+
U(p) Y(p)
Chng 1 Mô t toán hc


14
2.5.4 Chuyn tín hiu vào t trc ra sau mt khi

2.5.5 Chuyn tín hiu ra t sau ra trc mt khi


Ví d 1: I"U KHI#N M$C CH3T LBNG TRONG B# CHCA
Cho mt h thng iu khin t ng mc ch5t lAng trong b ch+a nh hình vD, bit
r<ng:
- Hàm truyn ca b chuyn i mc ch5t lAng/dòng in
1
1
)(
+
=
pT
pG
c
LT

v8i T
c
=1
- Phng trình vi phân biu di.n qaun h gia lu l6ng và  cao ct ch5t lAng là:
)()()(
)(
tQtQth
dt
tdh
ai
+=+
θ
v8i
θ
=25
- Hàm truyn ca c b chuyn i dòng in sang áp su5t và van t ng là:
LT
LIC
LI
VT
LV
hH
0

Q
i

Q
a

Q
o

M
X P
LT : chuyn i m+c ch5t lAng
LIC : B hiu ch,nh
LY : chuyn i dòng in/áp su5t
LV : van diu ch,nh t ng
VT : van iu khin b<ng tay
W
U(p) Y(p)
W
U(p) Y(p)
⇔
Y(p)
W
Y(p)
W
U
1
(p) Y(p)
±
U
2
(p)
W
U
1
(p) Y(p)

±
U
2
(p)
W
⇔
Chng 1 Mô t toán hc


15
T
i

T
T
T
a

Q
e

=
+
==
1
1
)(
)(
)(
pTpN

pQ
pG
V
e
V
v8i T
v
=4
Yêu cu :
1. Thành l-p s  iu khin ca h thng.
2. Tìm các hàm truyn t
0
( ), ( ), ( )
a
HU HQ HQ
W p W p W p
3. Gi s7 cha có b iu khin C(p) = 1. Tìm giá tr xác l-p ca ct n8c  ngõ ra nu u(t)=
5.1(t) và Q
a
= 2.1(t).

S


Ví d 2 : Cho mô hình ca mt b iu hòa nhit  ch5t lAng nh hình vD


Trong ó :
- T
i

: nhit  ch5t lAng vào b
- T : nhit  ch5t lAng trong b
- T
a
: nhit  môi tr;ng










Bit r<ng :
- Nhit l6ng ch5t lAng mang vào b : Q
i
= VHT
i

v8i H là h s nhit ; V là lu l6ng ch5t lAng vào b.
- Nhit l6ng in tr cung c5p cho b Q
e
(t)
- Nhit l6ng ch5t lAng mang ra khAi b Q
0
= VHT

- Nhit l6ng tn th5t qua thành b do chênh lch v8i môi tr;ng

( )
1
s a
Q T T
R
= −
Bit nhit l6ng ch5t lAng nh-n 6c sD làm tng nhit  ch5t lAng theo biu th+c
l
dT
Q C
dt
=

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca b trao i nhit  trên.

Gii
Phng trình cân b<ng nhit ca b ch5t lAng

0l i e a
Q Q Q Q Q= + − −
Hay
C(p) G
V
(p) G(p)
G
LT
(p)
Q
a

Q
o

Q
i
Y
U
ε
X H
Chng 1 Mô t toán hc


16

a
i e
T T
dT
C VHT Q VHT
dt R
−
= + − −
⇔
1 1
i e a
dT
C VH T VHT Q T
dt R R
 
+ + = + +

 
 

⇔
( )
1 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
i e a
a p a T p b T p Q p c T p+ = + +

⇔
[ ]
0 0
1 0
1
( ) ( ) ( ) ( )
i e a
T p b T p Q p c T p
a p a
= + +
+

Mô hình iu khin là :



Ngoài phng pháp i s s  khi, chúng ta còn có th dùng phng pháp Graph tín hiu
 tìm hàm truyn t tng ng ca mt h thng ph+c tp.
3 Phng trình trng thái
3.1 Phng trình trng thái tng quát

3.1.1 Khái nim
- i v8i mt h thng, ngoài tín hiu vào và tín hiu ra cn phi xác nh, ôi khi ta cn quan
sát các trng thái khác. Ví d' i v8i ng c in là dòng in, gia tc ng c, tn hao,
v.v…
- Khác v8i tín hiu ra phi o l;ng 6c b<ng các b cm bin, các bin trng thái hoc o
6c, hoc xác nh 6c thông qua các i l6ng khác.
- T( ó ng;i ta xây dng mt mô hình toán cho phép ta có th xác nh 6c các bin trng
thái.
3.1.2 Dng tng quát ca phng trình trng thái
Xét h thng có m tín hiu vào và r tín hiu ra.


H thng có :

H thng
u
1
(t)
u
m
(t)
y
1
(t)
y
r
(t)
1 0
1
a p a+

b
0

c
0

Q
e

T
a

T
i

T
Chng 1 Mô t toán hc


17
- m tín hiu vào: u
1
(t), u
2
(t), …, u
m
(t), vit
1
...

m
u
U
u
 
 
=
 
 
 
,
m
U ∈ 
- r tín hiu ra: y
1
(t), y
2
(t), …, y
r
(t), vit
1
...
r
y
Y
y
 
 
=
 

 
 
,
r
Y ∈ 
- n bin trng thái : x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t), vit
1
...
n
x
X
x
 
 
=
 
 
 
,
n
X ∈ 
Phng trình trng thái dng tng quát ca h thng 6c biu di.n d8i dng :

X AX BU

Y CX DU

= +

= +



V8i
, , ,
nxn nxm rxn rxm
A B C D∈ ∈ ∈ ∈   

A, B, C, D gi là các ma tr-n trng thái, nu không ph' thuc vào th;i gian gi là h thng
d(ng.

Nhn xét :
- Phng trình trng thái mô t toán hc ca h thng v mt th;i gian d8i dng các phng
trình vi phân.
- H thng 6c biu di.n d8i dng các phng trình vi phân b-c nh5t.
3.1.3 Ví d thành lp phng trình trng thái
Ví d 1
Xây dng phng trình trng thái ca mt h thng cho d8i dng phng trình vi phân nh
sau :

2
2
2 5
d y dy
y u

dt dt
+ + =

Gii
H có mt tín hiu vào và mt tín hiu ra.
t
1
2
x y
dy
x y
dt
=
= =


T( phng trình trên, ta có :

2 2 1
2 5x x x u+ + =


Nh v-y :

1 2
2 1 2
5 1 1
2 2 2
x y x
x x x u

= =



= − − +


 


⇔
[ ]
1 1
2 2
1
2
0 1 0
5 1 1
2 2 2
0 1
x x
u
x x
x
y
x
   
   
   
= +

   
   
− −
   
   
   
 
=
 
 



Chng 1 Mô t toán hc


18
t A, B, C, D là các ma tr-n tng +ng, suy ra
X AX BU
Y CX DU

= +

= +




Ví d 2
Cho mch in có s  nh hình vD sau, hãy thành l-p phng trình trng thái cho

mch in này v8i u
1
là tín hiu vào, u
2
là tín hiu ra.



Gii
Gi s7 mch h ti và các iu kin u b<ng 0. Gi i là dòng in chy trong mch, ta có :

0
0
0
1
1
t
i
t
di
u Ri L idt
dt C
u idt
C

= + +





=





t các bin trng thái là :
1 2 0
,x i x u= =
, ta có :


1 1 2
2 1
i
u Rx Lx x
Cx x
= + +


=



hay
1 1 2
2 1
1 1
1
i

R
x x x u
L L L
x x
C

= − − +




=




và
2 0
x u=

V-y :

[ ]
1 1
2 2
1
0
2
1
1

1
0
0
0 1
i
R
x x
L L
u
L
x x
C
x
u
x
 
− −
 
 
   
 
= +
 
   
 
   
 
 
 
 

 
 
=
 
 




HAi : Tr;ng h6p t
1 0 2
,x u x i= = , phng trình trng thái ca mch in sD có dng nh
th nào ?

Nhn xét
- V8i cùng h thng sD có nhiu phng trình trng thái khác nhau.
- Hàm truyn t ca h thng là duy nh5t.
3.2 Xây dng phng trình trng thái t hàm truyn t
3.2.1 Khai trin thành các tha s n gin
Nu hàm truyn t 6c biu di.n d8i dng tích các th(a s nh sau :
R L
C
u
i
u
0

Chng 1 Mô t toán hc

19

( )
1
( ) 1
( )
( )
n
i
i
Y p
W p K
U p p p
=
= =
−
∏




t các bin trung gian nh hình vD, ta có :

1 1 1
2 2 2 1
1
...
n n n n
x p x Ku
x p x x

x p x x
−
= +


= +




= +




và y = x
n
Suy ra phng trình trng thái là :

[ ][ ]
1 1
2 2
1 2
1
0
0 1
0
0 0 1
n n
T

n
x p
K
x p
u
x p
y x x x
   
 
   
 
   
 
= +
   
 
   
 
   
 
   
=




3.2.2 Khai trin thành tng các phân thc n gin
Nu hàm truyn t 6c khai trin d8i dng :

1

( )
( )
( )
n
i
i
i
K Y p
W p
p p U p
=
= =
−


1
( ) ( )
n
i
i
i
K
Y p U p
p p
=
 
=
 
−
 




S  c5u trúc nh sau :

Nh v-y :
i i i
pX p X U= + 
i i i
x p x u= +


1
1
p p−
2
1
p p−
1
n
p p−
U
X
1

X
2

Xn

K
1

K
2

K
n

Y
1

Y
2

Yn

Y
1
K
p p−
2
1
p p−
1
n
p p−

U
Y x

1

x
2

x
n

Chng 1 Mô t toán hc


20
Hay
[ ][ ]
1 1
2 2
1 2 1 2
1
1
1
0
1
n n
T
n n
x p
x p
u
x p
y K K K x x x

   
 
   
 
   
 
= +
   
 
   
 
   
 
   
=




3.2.3 S dng mô hình tích phân c bn
Tr;ng h6p hàm truyn t có dng

1 0
( )
( )
( ) ...
n
n
Y p K
W p

U p a p a p a
= =
+ + +

t
( 1) ( )
1 2 1 3 2
, , ,..., ,
n n
n n
x y x x y x x y x y x y
−
= = = = = = =
      

Suy ra :

1 2
2 3
11
1
...
...
n
n n
n n n
x x
x x
a
a K

x x x u
a a a
−
=
=
= − − − +




3.3 Chuyn i t phng trình trng thái sang hàm truyn
1
( ) ( )W p C pI A B D
−
= − +


MT S BÀI TP CH !NG 1
Bài tp 1 I"U KHI#N LU L4NG CH3T LBNG TRONG !NG DEN
Cho s  iu khin mc lu l6ng ca mt ;ng ng d9n ch5t lAng nh hình vD


Bit hàm truyn ca c c5u chuyn i t( dòng in sang áp su5t + van LV + ;ng ng + b
chuyn i t( lu l6ng sang dòng in là
12.2)(
)(
)(
+
==
−

p
e
pX
pY
pH
p


Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 2

I"U CHFNH NHI T % C*A MÁY LOI KHÍ CHO NGI HHI
FE
FT
FIC
FY
Y
X
FE : o lu l6ng
FT : chuyn i lu l6ng/ dòng in
FIC : b iu khin lu l6ng
FY : chuyn i dòng in/áp su5t
LV
Chng 1 Mô t toán hc


21
N8c tr8c khi 6c a vào lò hi cn phi qua máy loi khí nh<m loi b8t khí CO
2

và O
2
trong n8c. Các loi khí này kém tan, chính vì v-y sD làm áp su5t hi th5p, nhit 
cao. N8c trong máy loi khí này có áp su5t th5p và nhit  bão hòa khong 104°C. S 
diu ch,nh nhit  ca máy loi khí nh sau :



Hàm truyn ca van iu ch,nh TV + ni hi + b o TE là

18
2
)(
)(
)(
4
+
==
−
p
e
pX
pY
pT
p

B
 chuyn i in áp/dòng in TY có nhim v' chuyn i tín hiu in áp ( vài micro
volt) t, l v8i nhit  thành tín hiu dòng in I (4-20mA)  a n b iu ch,nh TIC.

Hàm truyn ca b chuyn i TY là :

13.0
1
)(
)(
)(
+
==
ppY
pI
pC

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 3 I"U CHFNH NHI T % C*A B% TRAO /I NHI T
S  ca mt b trao i nhit nh hình vD, trong ó θ
1
>T
1
.

LT
TE
TY
TIC
Q
v

Q

e

Hi
n ni
hi
N8c
TE : u dò nhit  TV : van t ng iu ch,nh nhit 
TY : chuyn i in áp/dòng in LT : b chuyn i m+c
TIC : b iu ch,nh nhit  LV : van iu ch,nh m+c
LV
TV
Y
I
X
T
Chng 1 Mô t toán hc


22

Yêu cu iu khin là gi cho nhit  ra T
2
ca ch5t lAng cn làm nóng không i v8i mi
lu l6ng Q
f
.
Mt tín hiu iu khin X a n van sD khng ch nhit  T
2
ca ch5t lAng, nhit  này
6c th hin qua tín hiu o l;ng Y. Hàm truyn ca van TV + b trao i nhit + b o

TT là
( )
3
12
4.1
)(
)(
)(
+
==
p
pX
pY
pH . Mt khác, nu gi tín hiu iu khin X không i nhng
lu l6ng Q
f
ca ch5t lAng cn làm nóng thay i cIng làm nh hng n nhit  ra T
2
.
nh hng ca Q
f
n T
2
6c cho bi hàm truyn
( )
2
15.0
2
)(
)(

)(
+
−==
p
pQ
pY
pD
f

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 4 I"U KHI#N NHI T % C*A M%T MÁY HÓA LBNG GA (liquéfacteur)
S  khi ca mt máy hóa lAng ga 6c cho trong hình sau :


Trong ó :
TT : b chuyn i nhit 
TIC : b iu ch,nh nhit 
FT
1
: b chuyn i lu l6ng (in t()
FT
2
: b chuyn i lu l6ng v8i o l;ng tuyn tính
M
FT
1

TIC
FT

2

TT
Q
2
, T
1

Q
2
, T
2

Q
1
, T
3

Q
1
, T
4

Ga cn hóa lAng
Ga lAng
Ch5t làm lnh
Y X
FIC
X
1

TT
TIC
TV
FT
Q
f
,T
1

Q
f
,T
2

Q
c
,θ
2

Q
c
,θ
1

Ch5t lAng cn làm nóng
Ch5t lAng
mang nhit
Y
X

TT : b chuyn i nhit  TV : van iu ch,nh nhit 
TIC : b iu ch,nh nhit  FT : b chuyn i lu l6ng
Chng 1 Mô t toán hc


23

 iu khin nhit  ca ga ã 6c hóa lAng, ng;i ta i lu l6ng Q
1
ca ch5t
làm lnh bi b iu khin TIC. Ga tr8c khi hóa lAng có nhit  T
1
, sau khi 6c hóa lAng
sD có nhit  T
2
. Hàm truyn ca các khâu trong s  6c nh ngh&a nh sau :

p
eK
pQ
pT
pH
p
1
1
1
2
1
1)(
)(

)(
1
θ
τ
+
==
−

)(
)(
)(
2
2
2
pQ
pT
pH =
)(
)(
)(
3
2
3
pT
pT
pH =
)(
)(
)(
1

2
4
pT
pT
pH = 1
)(
)(
)(
2
5
==
pT
pY
pH 1
)(
)(
)(
1
6
==
pX
pQ
pH

V8i K
1
=2,
τ
1
=1 min,

θ
1
=4 min.

Hãy thành l-p mô hình iu khin ca h thng.
Chng 2  c tính ng hc

24



"C TÍNH NG HC CA CÁC KHÂU
VÀ CA H THNG TRONG MIN TN S
1 Khái nim chung
- Nhim v' ca chng : xây dng c tính ng hc ca khâu/h thng trong min tn s. M'c
ích :
+ Kho sát tính n tính
+ Phân tích tính ch5t
+ Tng h6p b iu khin
- Khâu ng hc : nhng i t6ng khác nhau có mô t toán hc nh nhau 6c gi là khâu ng
hc. Có mt s khâu ng hc không có phn t7 v-t lý nào tng +ng, ví d' ( ) 1W p Tp= + hay
( ) 1W p Tp= − .
2 Phn ng ca mt khâu
2.1 Tín hiu tác ng vào mt khâu (các tín hiu tin nh)
2.1.1 Tín hiu bc thang n v
1 0
( ) 1( )
0 0
t
u t t

t
≥

= =

<



Dng tng quát

0 0
0 0
0
U
( ) 1( )
0
t t
u t U t t
t t
≥

= − =

<


2.1.2 Tín hiu xung n v
0 0
1( )

( ) ( )
0
t
d t
u t t
t
dt
δ
≠

= = =

∞ =



Tính ch5t :

0
( ) 1t dt
δ
∞
=


2.1.3 Tín hiu iu hòa
u(t) = U
m
sin(ωt + ϕ)
Biu di.n d8i dng s ph+c

( )
( )
j t
m
u t U e
ω ϕ
+
→

2.1.4 Tín hiu bt k
i v8i mt tín hiu vào b5t k?, ta luôn có th phân tích thành tng ca các tín hiu n gin  trên.
2.2 Phn ng ca mt khâu
Cho mt khâu 6c mô t toán hc nh hình vD :

W(p)
U(p)
Y(p)
u(t)
y(t)
t
u
1
t
δ
(t)
Chng 2  c tính ng hc

25
nh ngh&a: Phn ng ca mt khâu (h thng) i vi mt tín hiu vào xác nh chính là c
tính quá  hay c tính thi gian ca khâu ó.

2.2.1 Hàm quá  ca mt khâu
Hàm quá  ca mt khâu là phn ng ca khâu i vi tín hiu vào 1(t).
Ký hiu : h(t)
Biu th+c :
1
( )
( )
W p
h t L
p
−
 
=
 
 

2.2.2 Hàm trng lng ca mt khâu
Hàm trng lng ca mt khâu là phn ng ca khâu i vi tín hiu vào
δ
δδ
δ
(t).
Ký hiu :
ω
ωω
ω
(t)
Biu th+c :
{ }
1

( ) W(p)t L
ω
−
= hay
( )
( )
dh t
t
dt
ω
=

Ví d : Cho mt khâu có hàm truyn t là

5
( )
2 1
W p
p
=
+

Tìm phn +ng ca khâu i v8i tín hiu u(t) = 2.1(t-2)-2.1(t-7).
3 c tính tn s ca mt khâu
3.1 Hàm truyn t tn s
3.1.1 nh ngha:
Hàm truyn t tn s ca mt khâu, ký hiu là W(j
ω
ωω
ω

), là t s gia tín hiu ra vi tín
hiu vào  trng thái xác lp khi tín hiu vào bin thiên theo qui lut iu hòa
( ) sin
m
u t U t
ω
=
.

- J trng thái xác l-p (nu h thng n nh): y
xl
(t)= Y
m
sin(ωt + ϕ)
- Biu di.n d8i dng s ph+c :

( )
( )
j t
u t e
ω
→


( )
( )
j t
m
y t Y e
ω ϕ

+
∞
→
- Theo nh ngh&a :
( )
( )
( )
( )
( )
j t
j
xl m m
j t
m
m
y t Y e Y
W j e
u t U
U e
ω ϕ
ϕ
ω
ω
+
= = =
Nhn xét: Hàm truyn t tn s
- Là mt s ph+c
- Ph' thuc vào tn s tín hiu.

Do W(j

ω
) là s ph+c nên có th biu di.n nó nh sau :

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
j
W j A e
W j P jQ
ϕ ω
ω ω
ω ω ω
=
= +

3.1.2 Cách tìm hàm truyn t tn s t hàm truyn t ca mt khâu
Có th ch+ng minh 6c hàm truyn t tn s 6c tìm 6c t( hàm truyn t ca mt
khâu (h thng) theo quan h sau :
( ) ( )
p j
W j W p
ω
ω
=
=
Ví d : Tìm hàm truyn t tn s ca khâu có hàm truyn
5
( )
2 1
W p

p
=
+
.
Ý ngha ca W(jω
ωω
ω)