C6 ttoantvan

CHƯƠNG

6

TÍNH
TOÁN
THỦY VĂN
6.1
TÍNH TOÁN VÀ PHÂN TÍCH TẦN
SUẤT.
6.1.1. Tần số f:
Tần số là số lần xuất hiện biến cố x trong chuỗi
biến cố xi mà ta quan trắc.

6.1.2. Tần suất P (của biến cố x):
Được định nghóa là tỷ số giữa tần số f của biến
cố xi và tổng số các biến cố x i ( chiều dài của
chuỗi biến cố mà ta quan trắc, n).

Trong lý thuyết xác suất, đại lượng này chính là
xác suất xảy ra biến cố xi.

6.1.3. Tần suất tích luỹ P (của những
biến cố x  xi):
Tần suất tích luỹ P (của những biến cố x  xi): là
tần suất xảy ra những biến cố x lớn hơn hay bằng
biến cố xi; ký hiệu là F(xi)
Để tính được tần suất tích lũy, ta thực hiện các
bước sau:
 Đầu tiên ta sắp xếp (hoặc phân cấp) chuỗi
quan trắc biến cố x i theo thứ tự có giá trị

giảm dần (lớn nhất đứng ở trên, nhỏ nhất
đứng ở dưới).


 Bước kế tiếp tính tần số. Nếu ta không phân
cấp, mà để từng biến cố x i để tính tần số
thì ứng với mỗi biến cố x i tần tố bằng 1
(cũng có thể >=1 . đối với những biến cố x i
xảy ra nhiều lần trong chuỗi n biến cố); còn
trong trường hợp phân theo cấp (x a –xb) thì ta
đếm xem có bao nhiêu biến cố x i rơi vào
khoảng giữa cấp (xa –xb), đó chính là tần số
của cấp (xa–xb).
 Tiếp theo tính tần suất Pxi của biến cố xi
 Cuối cùng tính tần suất tích lũy của những
biến cố x xi bằng cách cộng dồn theo thứ
tự từ trên xuống dưới cột tần suất P xi.

6.1.4. Đường tần suất
Đường biễu diễn tần suất tích luỹ P(x xi) theo xi
thông thường là một đường cong trơn, trong lý
thuyết xác suất, người ta gọi là đường tần suất
tích luỹ và đơn giản hơn gọi là đường tần suất.
Đường tần suất có các giá trị tần suấât tỷ lệ
nghịch với giá trị xi. Trên đường tần suất, ứng với
các giá trị biến cố xi càng lớn thì giá trị tần suất
càng nhỏ , và ngược lại.
Trong thủy văn, người ta dùng đường tần suất để
phục vụ cho hầu hết các thiết kế công trìnhá. Ta
thường gặp các bài toán như sau:

Biết tiêu
chuẩn thiết kế là P%(x xi); tìm xi tương ứng;
hoặc ngược lại, biết xi, tìm P% tương ứng.Ví dụ
để xây dựng một công trình cần phải có lưu lượng
Q5% , là những lưu lượng tương đối lớn). Vì vậy việc
vẽ đường tần suất cho một chuỗi số liệu biến cố
x rất quan trọng.

6.1.5. Hàm mật độ tần suất f(xi):
Hàm mật độ tần suất f(x i) là đạo hàm bậc một
của hàm phân bố tần suất F(xi). Ta coù:


Đồ thị biễu diễn hàm mật độ là một đường cong
trơn hình quả chuông. (có thể xem hình vẽ của ví dụ
dưới đây).
Biết hàm số mật độ tần suất, chúng ta có thể
suy ngược lại hàm phân bố tần suất (tích luỹ) và
ngược lại.

6.2 VÍ DỤ TÍNH TOÁN
Ví dụ 1:
Xét sự phân bố tần suất Q max trong năm tại một
trạm thủy văn với các số liệu trong chuỗi thời gian
từ 1930 đến 1979 gồm 50 trị số, trong đó số lớn
nhất là 2560 m3/s, nhỏ nhất là 770 m3/s, trung bình
là 1360 m3/s.
 Đây là các biến ngẫu nhiên, ta tiến hành
phân khoảng cho các trị số, sắp xếp theo
thứ tự từ lớn tới nhỏ thành các cấp lưu

lượng, thống kê số lần xuất hiện biến cố lưu
lượng rơi vào khoảng của cấp, số lần này
gọi là tần số f.
 Tính tần suất P%=100*(f/50).
 Tính tần suất tích lũy (cộng dồn từ trên
xuống) ta được F(Qi)=P%(Q>Qm)
 Ta tính mật độ tần suất f(x i) bằng cách chia
tần suất P cho độ lớn khoảng cách giữa hai
cấp (bằng 300), ta được mật độ tần suất bình
quân của cấp lưu lượng đó, ký hiệu là f(x i).
 Tính toán như bảng sau:


 ý nghóa đường tần suất:
Nếu khi lấy mẫu, mỗi năm chọÏn một trị số Q max,
liên tục trong nhiều năm (n năm) thì tần suất có
hàm ý: trong thời gian rất dài, ví dụ bình quân trong
100 năm xuất hiện bao nhiêu lần, ví dụ P(Q max>1900


m3/s)=20% có nghóa là trong thời gian rất dài, bình
quân 100 năm có 20 lần xuất hiện Qmax>1900m3/s.
Rõ ràng từ hình vẽ, ứng với các giá trị tần suất
tích lũy nhỏû thì Qmax lớn và ngược lại.

6.3 ĐƯỜNG TẦN SUẤT KINH NGHIỆM.
Trong thủy văn, đường tần suất kinh nghiệm là
đường tần suất xây dựng từ các số liệu thực đo
(ví dụ trên). Đây là đườøng tần suất phản ảnh về
tình hình các đặc trưng thủy văn của trạm đang đo,

nhưng không phản ảnh tình hình của trạm khác.
Ví dụ 2:
Trong 20 năm, có lượng mưa bình quân năm từ 1963
đến 1982 như sau:
Công thức tính tần suất kinh nghiệm:
Trong chuỗi số liệu dưới đây, giá trị nhỏ nhất của
số liệu có tần suất 100%, như vậy mặc nhiên
chấp nhận không có số nào nhỏ hơn nữa. Điều
này chỉ đúng khi số liệu dài (n rất lớn). Trong
trường hợp ngược lại , n bằng chừng vài chục số thì
điều này vô lý.
Do đó, người ta dùng một số công thức khác để
tính tần suất P như sau:
 Công thức trung bình:
 Công thức vọng số:
 Công thức số giữa:
Thực tế cho thấy tính theo P2 thì an toàn, P3 thì trung
bình, P1 thì thiếu an toàn.


6.4 NGOẠI SUY ĐƯỜNG TẦN SUẤT KINH
NGHIỆM.
Khi tính toán thuỷ văn cho các công trình quan
trọng thường gặp tần suất rất nhỏ (1%, 0,1%..)
trong khi đó nếu chuỗi số liệu ngắn (ví dụ trên
n=20), nếu tính tần suất theo công thức P 2 thì ứng
với trị số X lớn nhất cũng chỉ cho gần 5%. Do đó
phải ngoại suy (kéo về hai phía ) đường tần suất,
việc này dễ dẫn đến sai số chủ quan (do tự kéo
về hai phía không đúng).

Để khắc phục vấn đề này, người ta dựa vào một
số phương trình toán học để tìm ra các đường tần
suất lý luận. Để xác định đường tần suất lyù


luận, ta làm quen với một số đặc trưng thống kê
sau:

6.4.1 Các trị số đặc trưng thống kê
biểu thị xu thế tập trung
 Số bình quân :

hay

với fi là tần số của xi
 Số đông xd: là trị số X ứng với mật độ
tần suất lớn nhất

6.4.2 Các trị số đặc trưng thống kê
biểu thị xu thế phân tán
 Khoảng lệch lớn nhất: Là hiệu giữa trị
số xmax và xmin:
 Khoảng lệch quân phương :

Khoảng lệch quân phương  nói lên mức độ phân
tán toàn chuỗi,  càng lớn, độ phân tán càng
lớn.
Tuy nhiên  là một số có thứ nguyên nên không
thể dùng so sánh mức độ phân tán giữa các
chuỗi có thứ nguyên khác nhau.

Để khắc phục điều này, người ta dùng hệ số biến
động Cv
 Hệ số biến động Cv


trong đó

là hệ số module

Cv  0 và là một số vô thứ nguyên, nên biểu thị
mức độ phân tán tốt hơn. Cv càng nhỏ, thì mức
độ tập trung của chuỗi càng lớn.
Tuy vậy Cv chưa khái quát hết hình dạng của đường
phân bố mật độ tần suất, nên người ta dùng
thêm hệ số thiên lệch Cs.
 Hệ số thiên lệch (hay hệ số không đối
xứng) Cs
Hệ số thiên lệch Cs là đặc trưng phản ánh hình
dạng của đường phân bố mật độ tần suất
lệch về bên trái hay bên phải so với giá trị bình
quân:

Cs cũng là một đại lượng vô thứ nguyên.
Trong công thức tính Cs ta có mẫu số luôn luôn
dương nên:
- Khi tử số (Ki-1)3 >0 thì Cs>0, dạng phân bố
đường mật độ tần suất lệch về bên trái của
trị số bình quân.
- Khi tử số (Ki-1)3 <0 thì Cs<0, dạng phân bố
đường mật độ tần suất lệch về bên phải

của trị số bình quân.
- Khi tử số (Ki-1)3 =0 thì Cs=0, dạng phân bố
đường mật độ tần suất đối xứng qua trục đi
qua trị số bình quân.


P
Cs=0
Cs<0

Cs>0

Cần lưu ý rằng những công thức tính , Cxv; Cs
ở trên chỉ dùng để tính Xtoán
cho những
bq
chuỗi số liệu rất dài (n rất lớn). Ở nước ta,
chuỗi quan tắc thường ngắn (n chỉ bằng vài
chục số), nên công thức tính các đại lượng ,
Cv; Cs được đề nghị sửa đổi như sau:

6.4.3 Sai số lấy mẫu:
Khi tính các đại lượng trung bình
cộng trừ thêm các sai số như sau:

 Sai

số

của

:

sai

sai

số

số

, Cv; Cs ta cần
tuyệt

tương

đối

:

đối:


 Sai

số

của

Cv:sai

sai

 Sai

số

của

số

số

Cs:sai

số

sai

số

tuyệt

tương

tuyệt

tương

đối

:

đối:

đối

:

đối:

6.5 ĐƯỜNG TẦN SUẤT LÝ LUẬN.
Như đã nói ở trên, do tài liệu quan trắc ít, ta nhận
được chuỗi số liệu ngắn nên đường tần suất có
được không đáp ứng được nhu cầu thiết kế (không
suy ra được những giá trị x ứng với tần suất nhỏ,
cần phải kéo dài đường tần suất dễ gây ra sai
số vì chủ quan. Do đó người ta tập trung nghiên cứu
từ lý thuyết, vẽ nên những đường phân bố mật
độ tần suất tổng thể dạng toán y=f(x).
Vì rằng mật độ tần suất chính là:

Nên sau đó, lấy tích phân đường cong mật độ tần
suất sẽ cho ra đường tần suất (tích lũy) lý luận.
Dựa vào đường tần suất lý luận này, người ta kéo
dài và bổ sung cho đường tần suất kinh nghiệm. Ở
đây ta giới thiệu đường tần suất lý luận Pearson III
thường dùng trong thủy văn như sau:

Đường tần suất lý luận Pearson III:

Có đặc tính sau:


Trong đó  là là khoảng lệch tung độ phụ thuộc
vào Cs và P .
Khi Cs và P không đổi thì  cũng không đổi và
không phụ thuộc vào Cv
 Trường hợp Cv=1:
Foster và Rypkin đã dựa vào một số đặc tính của
đường PIII , tiến hành tích phân tìm ra các trị số p
tương ứng với các tần suất và Cs>0 khác nhau và
lập ra bảng tra cứu (xem phụ lục 5 của giáo trình
NKCường)).
 Trường hợp Cv ≠ 1:
Trong thực tế, khi Cv ≠ 1, dựa vào công thức
trên ta suy ra:
Kp=Cv+1
Ví dụ: Cv=0,5; Cs =1; tra bảng ta được 1%=3,02; 75%=0,73; Vậy Kp ứng với hai tần suất trên là:
K1%=3,02.0,5+1=2,51
K75%=-0,73.0,5+1=0,063
Sau khi tính được Kp; ta tìm xp bằng:
 Trường hợp Cs<0 :
Ta vẫn có thể sử dụng bảng tra cứu FosterRypkin, nhưng phải biến đổi lại:
p(Cs<0)= - 100-p (Cs)
Với 100-p (Cs) tra bảng ứng với Csvà giá trị tần
suất bằng (100-p).
Ví dụ:
Tìm 1% khi Cv=0,5 và Cs =-1. Ta có:
1%(Cs=-1)= -(100-1)%(Cs=1)= -99%(Cs=1)=-(-1,59)=1,59
(trong bảng phụ lục 99%(Cs=1)=-1,59)

Như vậy, từ chuỗi số liệu cho trước, sau khi
tính các giá trị , Cv, Cs; ta tra bảng ra p (ứng
với P và Cv=1) và tính được Kp (ứng với P và Cv
của chuỗi vừa tính ); suy ra xp=Kp ứng với
từng giá trị cho trước của P. Sau đó vẽ từng
cặp (xp, P) lên đồ thị ta được đường tần suất
lý luận PIII.
Giới hạn của Cs khi vẽ đường PIII:

Nếu Cs vượt ra ngoài giới hạn trên thì :
Nếu
đường PIII.
Nếu

thì xuất hiện những giá trị âm trên

thì đường tần suất có dạng lưỡi liềm

không phù hợp với các hiện tượng thủy văn.

Đường tần suất lý luận Krisky-Melken:
Trong thực tế thủy văn vẫn tồn tại C s< 2Cv nên
Krisky-Melkin đề nghị thêm dạng đường mật độ tần
suất dùng cho trường hợp này, sau khi lấy tích phân
cho ra đường tần suất tích lũy K-M.
Krisky-Melkin cũng lập những bảng cho sẵn các giá
trị Kp ứng với từng giá trị p cho các trøng hợp
khác nhau của Cs: Cs /Cv=(16) (tra phụ lục 6).

Từ các cặp (Kp,P) hay (xp,P) ta vẽ nên được đường
tần suất lý luận K-M.

6.6 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐƯỜNG
TẦN SUẤT THƯỜNG DÙNG TRONG THỦY
VĂN.


Như đã nói, đường tần suất kinh nghiệm được vẽ
trên cơ sở thực đo, cần kéo dài và hiệu chỉnh
bằng cách dựa vào các đường tần suất lý luận.
Ở đây, chúng ta làm quen với một cách đơn giản
nhất là phương pháp thử đường:
Phương pháp thử đường (đường thích hợp):
Nội dung của phương pháp này là : dựa vào kết
quả tính , Cv của chuỗi số liệu, ta giả thiết nhiều
giá trị Cs khác nhau (thông thường cho C s=mCv với
m=1-6) và vẽ nên được nhiều đường tần suất lý
luận khác nhau. Đường tần suất lý luận nào phù
hợp tốt nhất với các điểm thực nghiệm thì đường
đó được chọn làm tần suất tính toán.
Chú ý rằng đôi khi cần phải hiệu chỉnh lại cả ,
Cv thì mới đạt được đường tần suất phù hợp với
thực nghiệm.
Ưu điểm của phương pháp đường thích hợp là tính
toán đơn giản, dựa trên cơ sở thực nghiệm để
kiểm nghiệm đường tần suất lý luận; hiện nay
phương pháp này được sử dụng nhiều; tuy nhiên
còn phụ thuộc chủ quan người tính
Qua thực tế các số liệu thủy văn ở VN, đường P III

và đường K-M đều cho kết quả tốt.

Ví dụ: Vẽ đường tần suất theo phương pháp đường
thích hợp cho chuỗi số liệu Q bình quân từ 1950 đến
1969. Tìm Q10%; Q50%;
Ta lập bảng tính toán dưới đây (để rõ hơn,
nên
xem
tính
toán
trong
file
viduNOISUYTANSUAT.xls):
Từ bảng tính toán, ta có kết quả sau:


Do sai số tương đối của Cs quá lớn, nên ta thiết
lập đường tần suất lý luận bằng cách chọn:
Cs=mCv
chọn m=2; ta có:

Cs=2Cv=2*0,27=0,54

Như vậy, dựa vào Cv=0,27; Cs=0,54; tra phụ lục 6 ( Kp
của đường tần suất Kriski-Menken) ta có
cột P% lý luận như trong bảng dưới đây (cột cuối
cùng)
Từ đường tần suất lý luận, ta suy ra
K10%=1,36

K50%=0,98

Suy ra:
Q10%= K10%*Qtb=1,36*396.75=
539,58 m3/s
Q50%= K50%*Qtb=0,98*396.75= 388,82
3
m /s


6.7 PHÂNTÍCH TƯƠNG QUAN


Khi số liệu của chuỗi biến cố mà ta nghiên cứu
ngắn, không thể dựa vào đó để vẽ đường tần
suất được, ta có thể dựa vào chuỗi số liệu của
biến cố dài hơn để có thể bổ sung cho số liệu
của biến cố đầu, với điều kiện hai biến cố này
phải có quan hệ tương quan, cùng bản chất.
Phương pháp phân tích quan hệ giữa các biến cố
này gọi là phương pháp tương quan.
Có 3 trường hợp quan hệ giữa hai biến cố:
1) Quan hệ chặt chẽ: với mỗi trị số xác định
của biến cố y sẽ có một hay nhiều trị số
xác định của biến cố x, đây là tương quan
hàm số (ví dụ y=x2)
2) Quan hệ rời rạc: Không có quan hệ nào giữa
hai chuỗi biến cố.
3) Quan hệ tương quan: Trong trường hợp ứng với
mỗi giá trị của biến cố y, có thể có được

giá trị này hoặc giá trị khác của biến cố
x mà ta không thể xác định được. Tuy vậy, qua
tài liệu thống kê, có thể tìm một mối quan
hệ nào đó, gọi là tương quan thống kê, hay
gọi tắt là tương quan.
Trong thuỷ văn chủ yếu xét hai loại tương quan
đơn như sau:

6.7.1

Tương quan đường thẳng:

1) Phương pháp giải tích:
a) Phương trình đường
hồi quy:
Ta xây dựng
phương
đường hồi quy như sau:

trình

y
(xi ,yi)

y=a+b
xi

yi
y
(xi ,y)

xi

x


Giả sử (x1, x2,..
xn) và (y1, y2,..
yn) là hai chuỗi
biến cố quan trắc được.
Trên trục toạ độ ta chấm các cặp điểm (x i,yi), nếu
các điểm tập trung trên một dải hẹp, ta có tương
quan đường thẳng y = a+bxi
Từ hình vẽ cho thấy, cùng giá trị x i, ta có giá trị
của điểm quan hệ thực là y i; còn của điểm nằm
trên đường quan hệ là y; ta tính được sai lệch là:

yi - y = yi - (a+bxi)
Để đường hồi quy vẽ được chính xác nhất, ta có
tiêu chuẩn sau:
Tổng bình phương các khoảng lệch là nhỏ
nhất (phương pháp bình phương cực tiểu):

 (yi-y)2 = (yi-(a+bxi))2=min
Giải phương trình trên với a và b là hai biến số. Ta
tìm cực tiểu của hàm số trên để suy ra a và b:

hay:
Giải hệ phương trình trên ta suy ra:

Như vậy phương trình đường hồi quy có dạng:


trong đó:
: lần lượt là giá trị trung bình của các giá trị
chuỗi biến cố x,y.
Tương tự , phương trình đường hồi quy
x=a1+b1yi
có dạng như sau:

b) Hệ số tương quan :
Để biết được mức độ chặt chẽ của
quan hệ giữa hai chuỗi biến cố, ta
dùng hệ số tương quan .
Xét góc  hợp bởi hai đường hồi quy
như hình vẽ:
 Khi =0; hai đường hồi quy trùng
nhau, ta có quan hệ chặt chẽ và
trở thành hàm số. Lúc ấy hệ số
góc của chúng bằng nhau:

y

y=a+bx

2
1

x

 Khi <>0: hai đường hồi quy không trùng nhau, ta
có quan hệ thống kê. Khi ấy ta có:
Như vậy
biểu thị mức độ quan hệ chặt
chẽ của tương quan thẳng giữa hai biến cố x
và y
Đặt
quan

gọi là

hệ số tương

Thay các giá trị của b,b1 vào ta được:


( x  x )( y  y ) ( x  x )(y  y )

 
i

i

 (x  x)  (y
2

i



 (x  x)(y  y )
 (x  x)  (y  y )
i

i

i

i

i

2

i

2

i

 y )2


 (K  1)(K  1)
 (K  1)  (K  1)
xi

xi

x=a1+b

1y

yi

2

yi

2


Trong đó:
 Khi
: quan hệ đồng biến (mưa-dòng chảy).
 Khi
: quan hệ nghịch biến (bốc hơi-dòng
chảy).
 Khi
càng nhỏ thì mức độ tương quan càng
kém.
Qua phân tích tài liệu, nếu
>0,8 và chuỗi
quan trắc lớn hơn 10 năm thì có thể áp dụng
phương pháp giải tích để tìm phương trình
đường hồi quy thẳng.

c) Hệ số hồi quy:
Là hệ số các đường hồi quy:
 Hệ số hồi quy y theo x:

 Hệ số hồi quy x theo y:
Khi ấy,

d)

Phương trình các đườøng hồi quy được

viết lại dưới dạng sau:


 Phương

trình

đường

hồi

quy

y

theo

x:

 Phương

trình

đường

hồi

quy

x

theo

y:

Khi áp dụng phương pháp giải tích để tìm phương trình
đường hồi quy ta không mắc phải các sai số chủ
quan, có mức độ để đánh giá tương quan. Tuy
nhiên không tránh khỏi những điểm quá phân
tán.
Trong thực tế, người ta thường kết hợp với phương
pháp tương quan đồ giải để bổ sung thêm vấn đề
kéo dài tài liệu.

2) Phương
giải:

pháp

đồ

y
y=a+b

 Chấm các điểm (xi,yi) lên
(xi ,yi)
xi
hệ trục toạ độ. Nếu các
điểm tương đối tập trung
thành dải hẹp (kiểm tra
qua hệ số tương quan
>0,8), ta có thể vẽ đường
thẳng đi qua giữa các
x
điểm, và đường này sẽ
là đường tương quan để bổ sung kéo dài tài liệu
(có x suy ra y hay ngược lại).
Phương pháp này có thể khắc phục được những
trường hợp các điểm quá phân tán cần loại bỏ.
Ví dụ:
Hai trạm A và B ở gần nhau, có cùng điều kiện hình
thành dòng chảy. Ta có chuỗi số liệu quan trắc 12
năm về module dòng chảy cho hai trạm A và B như
sau: (xem trong tính toán baûng .xls)