Hw7 TOÁN KỸ THUẬT

Chương 7:

Hàm giải tích

P7.1: Cho hàm f(z) = xy2 + ix2y, tìm số phức z0 để f(z) là :
(a) Khả vi tại z0 ? (b) giải tích tại z0 ?

P7.2: Tìm hàm giải tích f(z) mà hàm phần thực của nó là u(x,y)
= x2 + y ?

P7.3: Chứng minh rằng các hàm sau là hàm nguyên (hàm giải
tích với mọi z) ?
a) f(z) = 3x + y + i(3y – x)

b) f(z) = sinx.coshy + icosx.sinhy

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 7:

1

Hàm giải tích

P7.4: Cho hàm f(z) = [x3 + x2 – (3x + 1)y2] + i[xy(3x + 2) – y3],
chứng minh rằng f(z) giải tích với mọi z và tìm f’(z) ? Biểu diễn
f(z) và f’(z) là các hàm theo z ?
P7.5: Chứng tỏ rằng f(z) = e–y(cosx + isinx) thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann với mọi z ? Tìm f’(z) và viết kết quả dưới
dạng hàm theo biến z ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

2


Chương 7:

Hàm giải tích

P7.6: Hàm nào trong các hàm sau là điều hịa ? Tìm một hàm
điều hịa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ?
(a) u(x,y) = 2x(3 – y) ? (b) u(x,y) = excosy ?

P7.7:
a) Chứng tỏ rằng u(x,y) = x2 – y2 – x – y là phần thực của một
hàm giải tích f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ?
b) Tìm hàm điều hịa liên hợp v(x,y) và cho biết hàm giải tích
f(z) đó (biểu diễn f(z) theo z) ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 7:

3

Hàm giải tích

P7.8: Chứng minh rằng hàm u(x, y) đã cho là hàm điều hịa ?
Tìm hàm điều hịa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ?
(a) u(x,y) = x2 –y2 +2x

(b) u(x,y) = x3 –3xy2 – 5y

P7.9: Chứng minh rằng hàm u(x, y) đã cho là hàm điều hịa ?
Tìm một hàm điều hòa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ? Biểu
diễn lại f(z) chỉ theo biến z ?
(a) u(x,y) = sinx.coshy

(b) u(x,y) = ex[xcosy – ysiny]

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

4


Chương 7:

Hàm giải tích

P7.10: Cho hàm u(x, y) = x.sinx.coshy – y.cosx.sinhy.
a) Chứng tỏ rằng u(x, y) là hàm điều hịa ?
b) Tìm hàm điều hịa liên hợp v(x, y) sao cho f(z) là giải tích và
f(0) = 0 ?

P7.11: Cho hàm f(z) = x2 + ay2 – 2xy +i(bx2 – y2 + 2xy).
a) Xác định a và b để f(z) giải tích ?
b) Theo câu a), xác định f(z) và f’(z) chỉ theo biến z ?

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

Chương 7:

5

Hàm giải tích

P7.12: Tìm hàm giải tích f(z) = u + iv biết 2u + v = ex[cosy –
siny] và f(1) = 1 .

P7.13: Tính tốn giá trị các hàm phức sau và đặt kết quả dưới
dạng đại số a + ib :

a ) e 2+i3π b) ln(1 − i 3) c) sin(1 + i) d) cosh(1 − i)
e) Trị chính của ii

f) Trị chính của (1 + i)1 + i

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

6


Chương 7:

Hàm giải tích

P7.14: Tìm nghiệm của phương trình phức :

a) e z = 0 b) cosh z = 0 c) e z = −2 d) cosh z = −2
e) cos z = 2 f ) ln z = e − iπ

Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM

7