Problem ch1 TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Bài tập Trường điện từ
Người soạn: Lê Minh Cường
[]

ƒ

Chương 1: Các khái niệm
và luật cơ bản.

ƒ

Chương 4: Trường điện từ
biến thiên.

ƒ

Chương 2: Trường điện tónh.

ƒ

Chương 5: Bức xạ điện từ.

ƒ

Chương 3: Trường điện từ dừng.

ƒ

Chương 6: Ống dẫn sóng
- Hộp cộng hưởng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

Trường điện từ , Ngô Nhật Ảnh – Trương Trọng Tuấn Mỹ , NXB ĐHQG TP
HCM , 2000 .

2.

Bài Tập Trường điện từ , Ngô Nhật Ảnh – Trương Trọng Tuấn Mỹ , NXB
ĐHQG TP HCM , 2000 .

3.

Elements of Engineering Electromagnetics (second edition) , Nannapaneni
Narayana Rao , Prentice-Hall , 1987.

4.

Electromagnetic : concepts & applications (second edition) , Stanley V.Marshall
& Gabriel G.Skitek , Prentice-Hall , 1987.

5.

Electromagnetics (fourth edition) , John D.Kraus , McGraw-Hill , 1991.

Problem_ch1

2

1

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.1: Cho 2 vectơ :
→

→

→

→

→

A = i x+ i
→

Tìm : A + B ; i

→

B

→

→

→

→

→

→

B = i x+ 2 i y− 2 i z

;

y

→

→

→

; A . B ; A × B ; β : góc nhọn hợp bởi 2 vectơ A & B

→

→

→

n : vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa A & B

→
→
→

→
→
→
→
→
→
→
→
→
(ĐS: 2 i x + 3 i y − 2 i z ; 13  i x + 2 i y − 2 i z  ; 3; − 2 i x + 2 i y + i z ; π4 ; ± 13  −2 i x + 2 i y + i z  )









1.2 : Mật độ khối lượng thể tích hình cầu , bkính a, tâm tại gốc tọa độ , có biểu thức :

ρ =

ρ0
r

( ρ 0 = const ) . Tìm khối lượng vật thể hình cầu ?
(ĐS: 2πρ0a2 )

1.3 : Đóa tròn , bkính a, nằm trong mặt phẳng Oxy, tâm tại gốc tọa độ , mang điện với

mật độ mặt : σ = 4πε0/r [C/m2]. Tìm điện tích Q của đóa ?

(ĐS: 8π2ε0a )
Problem_ch1

3

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.4 : Cho hàm vô hướng U = xy , tìm vectơ đơn vị vuông góc với mặt U = xy = 2 tại
điểm P(2,1,0) bằng 2 cách :
+ Dùng tích có hướng của 2 vectơ tiếp tuyến với mặt tại P ?
+ Dùng khái niệm gradient ?
Tìm tốc độ biến đổi cực đại của hàm U tại P ?
→

(ĐS: i n = ±

1
5

→
→

 i x + 2 i y  . Tốc độ biến đổi max =



5

)

1.5 : Cho hàm vô hướng U = r2sin(2φ) trong hệ trụ , tìm tốc độ tăng của hàm này
→
→
→
theo hướng của vectơ A
=  i r + i φ 





tại điểm P(2, π/4, 0) ?

(ĐS: 2 2 )

→
1.6 : Tìm div của các trường vectơ: a ) A =  ( x 2 − y 2 ) i x − 2 xy i y + 4 i z 
→

→

→



→
→
→



b ) A =  r co s φ i r − r sin φ i φ  (Hệ trụ)


→
→
 2→

c ) A =  r i r + r sin θ i θ 
(Hệ cầu)



(ĐS: a ) 0 ; b) cos φ ; c ) 4 r + 2 cos θ )
Problem_ch1

4

2


BÀI TẬP CHƯƠNG 1
→
→
→
1.7 : Tìm rot của các trường vectô: a ) A =  y i x − x i y 



→

→
→


b ) A =  2 r co s φ i r + r i φ 


→
 −r → 
c) A =  e r i θ 



(Hệ trụ)
(Hệ cầu)

→

→

(ĐS: a ) − 2 i z ; b ) 2 (1 + s in φ ) i z ; c ) −
→

→

e− r
r

→

→

iφ )
→

1.8 : Dùng định lý Stokes, tìm lưu số của vectơ : F =  ( x + y ) i x + ( x − z ) i y + ( y + z ) i z 




trên chu vi tam giác ABC theo chiều ABC với : A(0,0,0) ; B(0,1,0); C(0,0,1) ?
(ĐS: 1 )

1.9 : Dùng định lý Divergence, tìm thông lượng của vectơ vị trí gởi qua một mặt trụ
kín đáy tròn bán kính a, tâm tại gốc tọa độ, cao h, trục hình trụ trùng trục z ?

(ĐS: 3πa2h )
Problem_ch1

5

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.10 : Trường điện có vectơ cảm ứng
điện cho trong hệ trụ :

 2→
 kr i r
D = 
kR 3 →


ir
 r

r < R

→

r > R

; k , R = c o n st

Tìm mật độ điện tích khối tự do ρ trong 2 miền và mật độ điện tích mặt tự do σ trên
mặt r = R ?
 3k r r < R
;σ ( r = R ) = 0 )
(ÑS: ρ = 
r > R
0

1.11 : Trường từ dừng (không thay đổi

theo thời gian) có vectơ cường độ
trường từ cho trong hệ trụ :

 g r →i
φ

H = 
2 →
gR


iφ
 r
→

r < R
r > R

; g , R = c o n st

Tìm vectơ mật độ dòng khối trong 2 miền và mật độ dòng mặt trên mặt r = R ?

→
(ĐS: J =  2 g i

→

 0

Problem_ch1

z

r < R
r > R

;Js(r = R ) = 0 )

6

3


BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.12 : Trong không gian (µ = const) tồn

tại trường từ dừng (không thay
đổi theo thời gian) có vectơ cảm
→
ứng từ cho trong hệ trụ :
B=
Tìm vectơ mật độ dòng khối trong
các miền , vectơ mật độ dòng mặt
trên các mặt r = a và r = b ?

 µ Ir →
 2π a 2 i φ

 µI →
iφ

 2π r
0



ra
; I, a , b = const

b
(ÑS:

 I →
π a 2 i z r < a
I →

→
→

iz
−
a < r < b ; J s =  2π b
J = 0
 0
0
b


Problem_ch1

r = b )
r = a

7

BAØI TẬP CHƯƠNG 1

1.13 : Trong miền ε = const , µ = const , không có điện tích tự do và dòng điện dẫn ,

tồn tại một trường điện từ biến thiên tần số gốc ω có vectơ cường độ trường từ
cho trong hệ tọa độ Descartes như sau :
→

H

= −C.

→
→
βa
πx 
πx 
sin 
sin(
z)
cos
cos(
z)
i
C.
iz
t
t
ω
β
ω
β

−
+
−
x



π
 a 
 a 

trong đó C , a, β là các hằng số .
Tìm vectơ cường độ trường điện của trường điện từ biến thiên trên ?
Chứng minh :

β2 +

π2
= ω 2εµ
a2
→

(ĐS: E =

→
Ca  2 π 2   π x 
 β + 2  sin 
 sin(ω t − β z) i y )
ωπε 0 
a   a 

Problem_ch1

8

4


BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.14 : Tìm độ lớn sức điện động xuất hiện trong vòng dây hình chữ nhật , cạnh a và b ,
nằm trong mặt phẳng Oxz, biết cảm ứng từ :

→

→

B = B0 cos(ω t ) i y

(ĐS:

abB0ω sin(ω t )

)

, cạnh thứ tư chuyển
1.15 : Khung dây có 3 cạnh→ cố định
→
động với vận→tốc : → v = v 0 i y , đặt vuông góc với
trường từ : B = B 0 i z , tìm sức điện động xuất hiện
trong vòng dây ?

y0
(ĐS: -B0.l.v0 )
1.16 : Dây dẫn bằng đồng , có γ = 5,8.107 (S/m) , ε = ε0 = 8,842 (pF/m) , dạng hình trụ ,
đường kính d = 1 mm, mang dòng hình sin, biên dộ 1 A, tần số 50 Hz. Tính mật
độ dòng dẫn và dòng dịch trong dây dẫn ? Nhận xét ?
J = 1,27.106.sin(100πt) ; Jdịch = 6,1.10-11.cos(100πt) (A/m2) . J >> Jdịch )

(ĐS:

Problem_ch1

9

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.17 : Bieát :
→




→

→

→




B1 = B0  2 i x + 4 i y + 5 i z  ( m2 ) (B0
Wb

= const)

Và mặt phân cách có vectơ mật độ dòng mặt :
→

Js =

→

Tìm B 2

B0
µ0

 → 2→  ( A)
 ix− i y  m



trên mặt phân cách ?




→

→

→

→




(ĐS: B2 = B0  5 i x + 4 i y + 5 i z  ( m2 )
Wb

)

1.18 : Tại điểm P trên mặt phân cách 2 môi→ trường
điện môi , về phía môi trường 1, vectơ E1 có :

E1x = 104 ; E1y = 5.103 (V/m) ; E1z = 0 .
Giả sử trên mặt →phân→ cách không tồn tại điện
tích tự do , tìm E 2 ; D 2 trên mặt phân cách ?
→




→

→




(ĐS: E 2 =  10 i x + 15.10 i y  ( m )
Problem_ch1

4

3

V

)

10

5


BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.19 : Cho môi trường 1 có : γ1 = γ0 , ε1 = ε0 ; moâi trường 2

có : γ2 = 3.γ0 , ε2 = 4.ε0 , với γ0 = const . Giả sử trường
không phụ thuộc thời gian và đều trong 2 miền, và :
→

→


→

→




J 1 = J 0  i x + 2 i y + 9 i z  ( m2 ) ; J 0 = const
A

Tìm vectơ cường độ trường điện trong môi trường 2
và mật độ điện tích tự do mặt trên mặt phân cách ?
→

(ĐS: E 2 =

J0
γ0

→
→
J0
→

 i x + 2 i y + 3 i z  ; σ = −3ε 0 γ 0 )



1.20 : Hai moâi trường bán vô hạn phân cách bởi mặt (S) có phương trình : 3x + 4y =
4. Môi trường 1 chứa gốc tọa độ có ε1 = ε0 ; môi trường 2 có ε2 = 5ε0 . Cho biết
vectơ cường độ trường điện trong môi trường 1 tại mặt S laø :
→




→

→




E1 =  4 i x + 2 i y  ( m )
V

và trên mặt S có điện tích tự do phân bố với mật độ mặt σ = 4,75.ε0 (C/m2).
Tìm vectơ cường độ trường điện trong môi trường 2 tại mặt S ?
→

→

→

(ĐS: E 2 = 2, 65 i x + 0, 2 i y (V/m)
Problem_ch1

)

11

BAØI TẬP CHƯƠNG 1
1.21 : Cáp đồng trục, có bán kính lõi là a , bán kính vỏ là b. Trong không gian giữa lõi

và vỏ tồn tại trường điện từ có các vectơ cho trong hệ trụ :
→

E=

E0 → → H0 →
ir ; H =
iφ
r
r

Tính công suất điện từ truyền dọc cáp ?

(ĐS: P = 2πE0H0ln(b/a) )

1.22 : Trên bề mặt của dây dẫn điện hình trụ tròn , trường điện từ có :
→

E=

I → →
I →
iz ;H =
iφ
γS
2π a

Với : I, γ, S, a : cường độ dòng điện, độ dẫn điện, tiết diện và bán kính dây dẫn.
Xác định :
a) Vectơ Poynting ?

b) Công suất điện từ đưa vào đoạn dây dẫn dài L, suy ra điện trở của đoạn dây ?
→

I2

→

(ĐS: P = − 2π aγ S i r ; Pdt =
Problem_ch1

I2 L
γS

;R =

Pdt
I2

= γLS )
12

6