Chuyen de pt bac cao

Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Chuyên đề: Phơng trình bậc cao
Phần I: Phơng trình bậc ba.
I.Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Cho phơng trình ax3 + bx2 +cx + d = 0 ( a  0 ) (1)
Giải phơng trình khi biết một nghiệm x0

Phơng pháp chung
Đoán nghiệm x0 của phơng trình (1) rồi phân tích (1) thµnh:
( x – x0)( ax2 + b1x + c1 ) = 0
Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào các kết qu¶ sau:
NÕu a + b + c + d = 0 th× (1 ) cã nghiƯm x = 1.
NÕu a - b + c - d = 0 th× (1 ) cã nghiÖm x = - 1.
NÕu a,b,c,d  Z và (1) có nghiệm hữu tỷ

thì p, q theo thứ tù

lµ íc cđa d vµ a.
NÕu a.c3 = d.b3 ( a, d ≠ 0) th× ( 1 ) cã nghiƯm
VÝ dụ 1: Giải các phơng trình sau:
a.2x3 + x2 - 5x + 2 = 0

b.2x3 + x + 3

c.3x3 - 8x2 - 2x + 4 = 0

d. x3 + x2 -

=0

x-2

=0

Gi¶i
a. 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0 (1 )
Nhận xét phơng trình (1) có a + b + c + d = 0 Do đó phơng
trình

(1)

có

một

nghiệm

x

=

1.

Phơng

trình

Vậy phơng trình có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = -2; x=

(1)

;

b.2x3 + x + 3 = 0 (2)
Đào Minh Trëng: Trêng THCS Hïng S¬n

1


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Nhận xét: Phơng trình cã: a - b + c - d = 0 do đó phơng trình
có nghiệm x = -1
Phơng

trình

(2)

Vậy phơng trình cã mét nghiÖm duy nhÊt. x=-1
c.3x3 - 8x2 - 2x + 4 = 0 (3)
Giải
Nhận xét: Phơng trình có: a = 3; d = 2.
a = 3 cã c¸c íc số là: 1; 3;

d = 2 có các ớc số là: 1;

2;
Vậy phơng trình nếu có nghiệm hữu tỷ thì chỉ có thể là một
trong các giá trị sau: 1; 2;

Nhận thấy: x =

là

nghiệm của phơng trình.
Phơng trình (3)
Vậy phơng trình có ba nghiệm phân biệt: x =
d. x3 + x2 -

x-2

; x = 1±

=0
Gi¶i

NhËn xÐt: a.c3 =

.1= d.b3 do đó phơng trình có

nghiệm
; Biến đổi phơng trình về dạng

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất :
Chú ý:
Đào Minh Trởng: Trêng THCS Hïng S¬n

2


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao

1.Khi đà thành thạo các phơng pháp nhẩm nghiệm,
không cần nêu nhận xét cho lời giải cho mỗi phơng trình.
2.Nếu các phơng pháp nhẩm nghiƯm kh«ng cã ta cã
thĨ vËn dơng kiÕn thøc vỊ phân tích đa thức thành
nhân tử bằng các phơng pháp đà học.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x3 - 3

x2 + 7x -

=0 (1)

Giải
Biến đổi phơng trình về dạng

Vậy phơng trình có ba nghiệm phân biệt:

;

;

II.Cách giải phơng trình bậc ba trên trờng số phức.
Cho phơng trình: x3 + ax2 +bx + c = 0 (1)
Cách giải đợc thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Làm mất số hạng ax2 đa phơng trình về dạng y3 + py +
q =0.
Đặt

ta đợc

Đặt:

và

và

ta đa phơng trình (1) về

dạng:
y3 + py + q = 0 (2). Nh vậy ta chỉ cần tìm cách giải phơng
trình (2).
Bớc 2: Đặt y = u + v phơng trình (2) trở thành:
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n

3


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0 (3) hay u3 + v3 +( u + v )( 3uv + p )
+ q = 0 (4).
Nếu tìm đợc u,v thoả mÃn hệ phơng trình:

thì u,v

thoả mÃn phơng trình(4) Do đó thoả mÃn phơng trình
(3):nghĩa là y=u + v là nghiệm của phơng trình (2).
Bớc3: Giải hệ gồm hai phơng trình (5) và (6).
Chia hai vế của phơng trình (6) cho 3 rồi lập phơng hai vế ta
đợc hệ:
Theo định lý Viét (5) vµ (7) chøng tá u 3 , v3 lµ hai
nghiệm của

phơng

trình

bậc

hai:

Vậy

:

Do đó:
Suy ra:
Công thức nghiệm trên đây đợc gọi là công thức Cacđanô.
Chú ý:
-Trên trờng số phức mỗi căn bậc ba có ba giá trị. Tuy
nhiên không thể chọn các cặp giá trị u, v tuỳ ý mà chỉ
lấy những cặp giá trị thoả mÃn đẳng thức (6). Gọi là
một giá trị phức của căn bậc ba của (1), Chẳng hạn
ta có 3 = 1. Nếu đà chọ đợc cặp u, v thoả mÃn
đẳng thức (6) thì:
Đào Minh Trëng: Trêng THCS Hïng S¬n

4


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
nh vậy, nếu đặt u1 = u, v1 = v
thì dễ thấy các cặp (u2,v2); (u3,v3) sau đây; u2 =u, v2

=v2;

u3 = v2 , v3 =u là những nghiệm của hệ gồm các

phơng trình (5) và (6). Khi giải phơng trình bậc ba có
thể áp dụng công thức Cacđanô cùng với chú ý trên. Song
ta nên nhớ các bớc giải nêu trên vì có khi ta quên công
thức.
Một số bài tập về phơng trình bậc ba
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a.4x3 + 5x2 - 2x - 7 = 0 (1)

b.-2x3 + 11x2 - 2x - 7 = 0 (2)

c. x3 + 5x2 + 2x - 8 = 0 (3)

d.-x3 + 5x2 +22x - 26 = 0 (4)

e.4x3 + 5x2 + 2x +3 = 0 (5)

f.-2x3 + 5x2 - 7 = 0 (6)

g. x3 - 5x2 - x - 7 = 0 (7)

h.4x3 + 3x +7 = 0 (8)

Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a.8x3 -1 = 0 (1)

b.9x3 + 8 = 0 (2)

c. x3 + 3x2 + 3x +1 = 0 (3)

d.x3 - 3x2 +3x - 1 = 0 (4)

e. x3 + 3x2 + x+3 = 0 (5)

f.x3 + 5x2 +10x +50 = 0 (6)

Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a.4x3 - 10x2 + 6x - 1= 0 (1)

b.8x3 - 36x2 + 27 = 0 (2)

c. x3 - 5x2 + 7x - 2 = 0 (3)
c. x3 + 6x2 + 30x + 25 = 0 (5)

d. x3 - 6x - 9 = 0 (4)
h. x3 - 3x2 - 3x + 11 = 0 (6)

Phần II: Phơng pháp giải phơng trình bậc bốn.
I.Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Cho phơng trình: ax4 + bx3 + cx2 +dx + e = 0 ( a 0 ) (1)
Giải phơng trình trên khi biết một nghiệm x0.

Phơng pháp chung
Đoán nghiệm x0 của phơng trình (1)
Phân tích (1) thành: (x x0)( ax3 + b1x2 +c1x + d1) = 0
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n

5


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao

Để giải (2) ta áp dụng các phơng pháp đà biết để giải:
Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào các kết quả sau:
-Nếu a + b + c + d + e = 0 th× (1) cã nghiÖm x = 1.
-NÕu a - b + c - d + e = 0 th× (1) cã nghiƯm x = -1.
-Nếu a, b, c, d, e, nguyên và (1) có nghiệm hữu tỷ

thì p,

q theo thứ tự là các ớc số của e và a.
Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau:
a. x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = 0
Gi¶i:
a. x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = 0
NhËn xÐt: a + b + c + d + e = 0 do ®ã phơng trình (1) có
nghiệm x = 1.
Biến đổi phơng trình về dạng

Vậy phơng trình có 4 nghiệm phân biệt: x = 1; x = 2; x = -2;
x = 3;
Chó ý:
-Khi đà thành thạo cách nhẩm nghiệm không cần nêu
nhận xét trong lời giải cho mỗi phơng trình.
-Nếu các

Phơng pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng

thì có thể vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành
nhân tử. ý tởng thờng đợc thực hiện là chuyển đa thức
Đào Minh Trởng: Trêng THCS Hïng S¬n

6


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
bậc bốn về dạng: A2 – B2 = 0(A – B)(A +B) = 0. Khi đó đợc tích của hai tam thức bậc hai. Do đó việc giải phơng
trình bậc 4 đợc quy về giải phơng trình bậc 2.
Đây chính là ý tởng chủ đạo để giải mọi phơng trình
bậc bốn.
Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:
a. x4 - 3x2 - 4x - 3 = 0
b. x4 + 2x3 + 10x - 25= 0
Gi¶i:
a.x4 - 3x2 - 4x - 3 = 0 (1)
(1)  ( x4 - 2x2 + 1 )- ( x2 - 4x + 4 )= 0
 ( x2 – 1 ) 2 - ( x + 2 ) 2 = 0
 ( x2 - x - 3 ) ( x2 + x + 1 )= 0

Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
b. x4 + 2x3 + 10x - 25= 0
(1)  ( x4 + 2x3 + x2 )- ( x2 - 10x + 25 )= 0
 ( x2 + x ) 2 - ( x - 5 ) 2 = 0
 ( x2 + 2x - 5 ) ( x2 +5 )= 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm:

.

II.Phơng pháp đặt ẩn phụ.
Dạng 1: Giải phơng trình trùng phơng: ax4 + bx2 + c = 0 ( a 
0) (1)

Ph¬ng pháp chung
Bớc 1: Đặt t = x2 ( t 0 )
Khi đó phơng trình (1) at2 + bt + c = 0 (2)
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n

7


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
đây là phơng trình bËc 2 Èn t.
Bíc 2: KÕt ln vỊ nghiƯm cđa phơng trình (1)
Nếu (2) có nghiệm t0 0 thì phơng trình (1) có nghiệm x =

Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 3x2 - 4 = 0 (1)
Giải
Đặt t = x2 ( t  0 ) Khi ®ã phơng trình (1) t2 - 3t - 4 = 0 

Víi t = 4  x2 = 4  x = 2
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x = 2
Dạng 2:

Giải phơng trình hồi quy:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a 0) (1) với

; e 0.

Phơng pháp chung
Bớc 1: Nhận xét x = 0. không phải là nghiệm của phơng trình.
Chia cả 2 vế của phơng trình đà cho x2 0. ta đợc:

Bớc 2: Đặt:
Khi đó (2)

(Đây là phơng trình bậc 2 quen

thuộc )
Bớc 3: Kết luận nghiệm của phơng trình (1)
Lu ý: Trong trờng hợp đặc biệt:

, tức là đối với phơng

trình có dạng:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ta cã cách giải tơng tự.
Ví dụ 2: Giải phơng trình hồi quy:
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

8


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
2x4 - 2x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 (1)
Gi¶i.
NhËn xÐt x = 0. không phải là nghiệm của phơng trình.

Chia cả 2 vế của phơng trình đà cho x2 0. ta đợc:

Đặt

khi đó phơng trình trên có dạng:

+Với
+Với
Vậy phơng trình cã 4 nghiƯm ph©n biƯt: x1 = 1; x2 = 5; x3 = 2;
.
Chú ý: Nhiều phơng trình ban đầu không phải là phơng
trình ở dạng hồi quy hay phản hồi quy, tuy nhiên với cách
đặt ẩn phụ phù hợp ta có thể chuyển chúng về dạng hồi
quy hoặc phản hồi quy, từ đó áp dụng phơng pháp đÃ
biết để giải.
Ví dụ 3: Giải phơng trình : ( x -2 )4 + ( x – 2 )( 5x2 -14x + 13 )
+1= 0 (1)
Nhận xét: Đây không phải là phơng trình hồi quy, tuy nhiên
nếu đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phơng trình hồi quy.
Đăt y = x 2 khi đó:

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n

9


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Nhận xét y = 0. không phải là nghiệm của phơng trình.
Chia cả 2 vế của phơng trình đà cho y2 0. ta đợc:

Đặt

điều kiện: t 2

khi đó phơng trình trên có dạng:

Với
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: .

;

.

Dạng 3: Giải phơng trình: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) =
m (1)
Víi a + b = c + d

Phơng pháp chung
Bớc 1: Viết lại phơng trình dới dạng:

Bớc 2: Đặt:
Khi đó: (2) t(t-ab+cd) = m ( 3)
Đây là phơng trình bậc hai quen thuộc.
Bớc 3: Kết luận về nghiệm của phơng trình (1).
Ví dụ 1: Giải phơng trình: ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) =3
(1)
Gi¶i:
Ta thÊy: 1 + 4 = 2 +3 nên ta viết lại phơng trình nh sau:

Đặt

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

10


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Khi đó (2)

Với t = 1

Với t = -3

( phơng trình vô nghiệm ).

Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:

:

.

Chú ý: Phơng trình trên đợc mở rộng cho lớp phơng trình
( a1x + a2 ) ( b1x + b2 ) ( c1x + c2 ) ( d1x + d2 ) = m (1)
Víi ®iỊu kiƯn:
Khi ®ã ta ®Ỉt: t = ( a1x +a2 ) ( b1x +b2 )
Ví dụ 5: Giải phơng trình: ( 2x - 1 )( x - 1 )( x - 3 )( 2x + 3 ) = 9 (1)
Gi¶i:
ViÕt lại phơng trình dới dạng:
( 2x2 - 3x + 1 ) ( 2x2 - 3x - 9 ) = -9 (2)
Đặt t = 2x2 - 3x + 1 2x2 - 3x – 9 = t – 10 Khi ®ã
(2)

Víi

Víi

VËy phơng trình có 4 nghiệm phân biệt:

;

;

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hïng S¬n

;

11


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Dạng 4: Giải phơng tr×nh: ( x+ a )4 + ( x+ b )4 = c (1)

Phơng pháp chung
Thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Đặt:

Khi đó phơng trình đà cho

có dạng:
Đây là phơng trình trùng phơng mà ta đà biêt cách giải.
Bớc 2: Kết luận nghiệm của phơng trình (1).
Ví dụ 6: Giải phơng trình: ( x+ 3 )4 + ( x+ 5 )4 = 2 (1)

Giải:
Đặt:

Khi đó (1)
( t 1 )4 + ( t +1 )4 =2
 2t4 + 12t2 + 2 =2
 2t4 + 12t2 = 0
 t4 + 6t2 = 0
 t2 (t2 + 6) = 0
 t = 0.

Víi t = 0  x + 4 = 0 x =- 4

Vậy phơng trình có một nghiêm x = - 4.
Dạng 5:

Giải phơng trình: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (1)

Phơng pháp chung
Thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Biến đổi phơng trình về dạng:
A( x2 + b1x +c1 )2 + B( x2 + b1x +c1 )2 + C = 0 (2).
Bíc 2: Đặt t = x2 + b1x +c1 Khi đó:
(2)A.t2 + Bt + C = 0 ( Đây là phơng tr×nh bËc 2 theo t )
Bíc 3: KÕt ln vỊ nghiệm của phơng trình (1).
Ví dụ 7: Giải phơng trình: x4 - 8x3 + 7x2 + 36x - 36 = 0 (1)
Giải:
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

12

Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Viết lại phơng trình díi d¹ng:
( x2 – 4x )2 - 9( x2 – 4x ) + 36 = 0 (2)
Đặt t = x2 – 4x Khi ®ã (2)  t2 – 9t + 36 = 0

Vậy phơng trình đà ch có 4 nghiệm ph©n biƯt: x = 1; x = -2;
x= 3; x = 6;
Chú ý:

-Bài toán trên có thể đợc giải bằng phơng pháp

đoán nghiệm rồi phân tích thành nhân tử , nhng phơng
pháp pháp đặt ẩn phụ luôn đợc u tiên, bởi trong nhiều trờng hợp ta đoán đợc nghiệm x0 rồi, nhng phơng trình
g(x) = 0 không dự đoán đợc nghiệm, ta phải giải một phơng trình ở dạng bậc ba tổng quát. Nh vậy sẽ khó khăn
hơn.
-Cách đặt ẩn phụ cho phơng trình bậc bốn rất
phong phú và đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù của mỗi bài
toán. Trên đây chỉ là minh hoạ một kiểu đặt ẩn phụ.
Ví dụ 8: Giải phơng trình: 2(x2 - x + 1)2 + x3 + 1 = ( x+ 1 )2
(1)
Gi¶i:
NhËn xÐt: x = -1 không phải là nghiệm của phơng trình ta chia
c¶ hai vÕ cho
( x+ 1 )2  0 ta đợc phơng trình sau:

Đặt
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n

13


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao

Với

( Vô nghiệm )

Với
Vậy phơng trình có 2 nghiệm:

;

.

Ví dụ 9: Giải phơng trình: 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x +2 = 0 (1)
Giải:
Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của phơng trình.Chia cả
hai vế của phơng trình cho x2 0 ta đợc phơng trình tơng
đơng:

Đặt:

khi đó (2)

Với

Với
Vậy phơng trình có 4 nghiệm phân biệt:

;

;

;
Ví dụ 10: Giải phơng trình: ( x + 4 ) ( x + 5 )( x + 7 ) ( x + 8)
= 4 (1)
Gi¶i:
ViÕt lại phơng trình dới dạng: ( x2 +12x +32 ) ( x2 +12x
+35 ) = 4 (2)

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hïng S¬n

14


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Đặt t = x2 +12x +32  x2 +12x +35 = t +3 Khi ®ã (2) cã
d¹ng:
t( t + 3 ) = 4

 t2 + 3t - 4 = 0 

Víi t = 1 x2 +12x +32 = 1  x2 +12x +31 = 0 

Víi t =-4 x2 +12x +32 =-4  x2 +12x +36 = 0  (x + 6 )2 =0
x = -6
Vậy phơng trình có ba nghiệm:

;

;

;

Phơng trình đa thức bậc lớn hơn bốn.
Nhà toán học Aben (1802-1829), ngời Na Uy đà chứng minh
đợc:
Định lý: Phơng trình đa thức tổng quát bậc

n 5

không giải đợc bằng căn thức .
Phải dùng lý thuyết Galoa để chứng minh định lý
này. Đó là cả một lý thuyết sâu sắc, nó nằm ngoài khuôn
khổ của chuyên đề này.
Theo định lý Aben nói trên, không có công thức chung
để giải phơng trình đa thức bậc n 5. Song đối với
những phơng trình có dạng đặc biệt, hoặc khi muốn
tìm những nghiệm đặc biệt lại có những phơng pháp
riêng: nh Đặt ẩn phụ, đa về phơng trình tích...
Ví dụ1: Giải phơng trình: .x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 6x2 +3x + 1
= 0 ( 1)
Giải:
Nhận xét: Phơng trình này có dạng đặc biệt, đó là vế
trái là một đa thức bậc chẵn mà các hệ số cách đều hai đầu
bằng nhau. Ngời ta gọi đó là phơng trình thuận nghịch bậc 2k
(chẵn). Phơng pháp chung để giải nh sau:
Đào Minh Trởng: Trêng THCS Hïng S¬n

15


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên có
thể chia hai vế cho xk. Cụ thể ở đây là k = 3, chia hai vế cho
x3, ta đợc phơng trình:

Đặt:
Do ®ã (2)  y3 + 3y2 +3y + 1 = 0  ( y + 1 )3 = 0  y = -1


phơng trình này vô nghiệm.

Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm trên trờng số thực.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: .3x5 + 10x4 + 7x3 + 7x2 + 10x + 3
= 0 ( 1)
Giải:
Nhận xét: Vế trái của phơng trình này là một đa thức
bậc lẻ mà các hệ số cách đều hai đầu cũng bằng nhau nó đợc
gọi là phơng trình thuận nghịch bậc lẻ. Phơng trình này có
một nghiệm x =-1.Vì thế nó có dạng:(x +1)Q(x)= 0. Ta nhận
thấy phơng trình Q(x) = 0 lại là một phơng trình thuận nghịch
bậc chẵn. Cụ thể phơng trình đà cho có thể viết:
( x + 1 )( 3x4 + 7x3 + 7x + 3) = 0
Phơng trình: 3x4 + 7x3 + 7x + 3 = 0 lµ một phơng trình thuận
nghịch bậc chẵn. Chia hai vế của phơng trình này cho x2 ta
đợc:

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hïng S¬n

16


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao
Đặt:

ta có:

Với
Phơng trình này vô nghiệm trên trờng
số thực.
Vậy phơng trình đà cho có 3 nghiệm phân biệt: x=1;
Bài tập:
Bài 1: Giải các phơng tr×nh:
a.2x4 – 13x3 + 24x2 – 13x + 2 = 0

b. x4 – 10x3 + 11x2 –

10x + 1 = 0
c.x5 - 11x4 - 11x + 6 = 0

d.x4 – 2x3 - 8x2 + 13x -

24 = 0
e.x4 + 5x3 + 7x2 - 4 = 0

f.x4 – 4x3 + 3x2 + 2x - 1

=0
g.x4 – x3 - x2 + 2x - 2 = 0

h.3x5+10x4+7x3 +7x2

+10x +3 = 0
i.3x5 - 10x4 + 3x3 +2x2–10x +3 = 0

j.x5 - 2x4 - 4x3 +

4x2 – 5x + 6 = 0
l.x5 - 4x4 - 3x3 - 3x2 – 4x + 1 = 0
m.x6+3x5+6x4+7x3+6x23x+1 = 0
Bài 2: Giải các phơng trình:
a.x4 + 5x3 + 10x2 + 15x + 9 = 0

b. x4 +5x3 - 14x2 –

20x + 16 = 0
c. x4 + 10x3 + 26x2 + 10x + 1 = 0

d. x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1

=0
Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n

17


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao

e. x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0

g. x4 + x3 - x2 - 2x + 1 =

0
h. 2x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0

i. 2x4 + x3 - 11x2 + x +

2=0
k. x4 - 7x3 + 14x2 -7x + 1 = 0

l. x4 + x3 - 10x2 + x + 1

=0
m. 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0

n.x4 – 4x3 + 2x2 +

4x - 8 = 0
Bài 3: Giải các phơng tr×nh:
a.( x + 2 ) ( x + 5 )( x - 6 ) ( x – 9 ) = 280

b.(x +1 )( x + 2)

( x + 5 )( x + 7)= 9
c.( x + 3 ) ( x + 4 )( x + 5 ) ( x +6 ) = 8 d.(x2 + 7x +12)(x2 -15x
+56) = 180
e.(x + 5 )4 – ( x +1 )4 = 80

f.(x + 3 )4 + ( x +5

)4 = 4
g.(2x2 + x )2+ 2x( 2x + 1 ) - 3 = 0

h.(x-90)(x-35)(x +18)

(x+7)=-1080x2

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn

18


Chuyên đề : Phơng trình bậc cao

Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hïng S¬n

19