Cuc tri hinh hoc 9luyen thi 10

Tài liệu ôn thi TS 10

Chuyên đề

Trang 1
:

Toán cực trị hình học

I.Cơ sở lý thuyết:
-Để chứng minh 1 đoạn thẳng lµ lín nhÊt hay nhá nhÊt ta thêng dùa vµo các sự kiện
sau:
1.Với 3 điểm A,B,C ta luôn có AC AB + BC . DÊu “=” x¶y ra  B nằm giữa A và C.
2.Điểm A nằm ngoài đơng thẳng d . H là hình chiếu của A trên d. B là điểm bất kì
trên d.Ta có: AB AH
.Dấu = xảy ra B trùng H.
3.AB là dây cung bất kì của đờng tròn(O,R).Ta luôn có : AB 2R.Dấu = xảy ra
AB là đờng kính.
II. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho đờng tròn (O;R) và dây AB cố định.C là điểm chính giữa của cung lớn
AB.Trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho C là trung điểm AI. BI cắt đờng tròn
(O) tại D.
a) Chứng minh A,O,D thẳng hàng.
b) M là 1 điểm bất kì nằm trên cung lớn AB .Trên tia đối của tia MA lÊy ®iĨm K sao
cho MK = MB.Chøng minh 4 ®iĨm A,B,K,I cùng nằm trên 1 đờng tròn.
c) Chứng minh IK // DM
d) Tìm điểm M trên cung lớn AB sao cho tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất.
Hd:
a)chứng minh góc ABD = 900 => AD là đờng kính => 3 điểm A,O,D thẳng hàng
b)cm : góc AIB = gócAKB => ABKI nội tiếp (vì có 2 đỉnh I,K cùng nhìn AB dới 1 góc
bằng nhau)

c) cm DM và IK cïng vu«ng gãc AK
d) Chó ý : MA + MB = AK và AI cố định , AK IK
Baỡi 2: Cho nỉía âỉåìng trn (O) âỉåìng kênh AB. D l mäüt âiãøm nàịm trãn nỉía
âỉåìng trn âọ(D khäng trng våïi A v B). K DC vng gọc våïi AB tải C.Cạc nỉía
âỉåìng trn âỉåìng kênh AC v CB càõt DA,DB theo thỉï tỉû tải M v N.
a/Chỉïng minh DC = MN.
b/ Chỉïng minh tỉï giạc AMNB näüi tiãúp âỉåüc trong mäüt âỉåìng trn .
c/ Chỉïng minh MN l tiãúp tuún chung ca hai nỉía âỉåìng trn âỉåìng kênh AC
v CB.
d/Xạc âënh vë trê ca D trãn nỉía âỉåìng trn âãø MN cọ âäü di låïn nháút.
Hd:
a) cm AMDN l hỗnh chổợ nhỏỷt => DC = MN ( tờnh chỏỳt õổồỡng cheùo hỗnh chổợ
nhỏỷt)
b) cm goùc DMN = goùc NBA => AMNB näüi tiãúp( tỉï giạc 1 gọc trong = gọc ngoi tải
âènh âäúi)
c) Gi O1 , O2 l trung âiãøm ca AC v BC. Räưi cm MN vng gọc våïi O1M v O2N
=> MN l tiãúp tuún chung ca hai âỉåìng trn
Bi 3: Cho tam giạc ABC cọ ba gọc nhn näüi tiãúp (O,R).M l âiãøm di âäüng trãn
cung nh BC.Tỉì M k cạc âỉåìng thàóng MH,MK, láưn lỉåüt vng gọc våïi AB,AC(H
thüc âỉåìng thàóng AB,K thüc âỉåìng thàóng AC).
a)Chỉïng minh tỉï giạc AKMH näüi tiãúp.
b/Chỉïng minh hai tam giạc MBC v MHK âäưng dảng våïi nhau.
c) Gi I l giao âiãøm ca HK v BC.Chỉïng minh MI vng goùc BC.
b/Tỗm vở trờ cuớa M trón cung nhoớ BC âãø âäü di âoản HK låïn nháút
Hd:
a) cm AKMH cọ täøng hai gọc âäúi bàịng 1800.
b)cm hai tam giạc MBC v MHK âäưng dảng (gọc - gọc)
c) cm 4 âiãøm M,I,K,C cng thüc 1 âỉåìng trn => gọc MIC = goùcMKC => MI
vuọng goùc BC.
Thân Văn Chơng -GV trờng THCS Vâ Nh Hng

Tài liệu ôn thi TS 10

Trang 2

d) Sổớ duỷng cỏu b) cm âæåüc: 1 => HK BC : khäng âäøi => HK låïn nháút = BC
 Htruìng B  M l giao âiãøm ca AO våïi cung nh BC
Bµi 4: Từ 1 điểm A ở ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AB,AC tới (O) ( B,C là các tiếp
điểm).Mlà 1 điểm di động trên cung lớn BC.Gọi K,H,I lần lợt là hình chiếu của M trên các
đờng thẳng AB,BC,AC.
a) Chứng minh các tứ giác MKBH,MICH nội tiếp đợc.
b) Chứng minh MH là tia phân giác của góc KMI
c)Gọi P là giao điểm của MB và HK,Q là giao điểm của MC và HI.cm PQ//BC.
d) Xác định vị trí của M trên cung lớn BC để tích MK.MH.MI lớn nhất.
Hd:
a) Tự cm
b)cm gãc HMK = gãc ABC vµ gãc HMI = gãcACB råi cm ABC = ACB => ®pcm
c)cm gãc PHM = gãc HCM vµ gãc QHM = gãc HBM råi áp dụng định lý tổng 3 góc tam
giác suy ra PMQ +PHQ = 1800 => tø gi¸c HPMQ néi tiÕp =>gãc QPM = gãcHBM =>
PQ//BC
d) Cm MK.MH = MI2 => MK.MH .MI = MI3
tÝch MK.MH.MI lín nhÊt  MI max M là điểm chính giữa của cung lớn BC
Bài 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a,đờng cao AH .M là 1 điểm bất kì trên cạnh BC.Gọi
P,Q lần lợt là hình chiếu của M trên các cạnh AB,AC
a)Chứng minh tam giác MPB đồng dạng với tam giác HAC
b) Chứng minh 5 điểm A,P,H,M,Q cùng nằm trên 1 đờng tròn . Xác định tâm O của đờng tròn đó.
c) Chứng minh PQ vuông góc OH.
d) Xác định vị trí của M trên cạnh BC Sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất.
Hd:

a) dùng trờng hợp góc - góc
b) cm tứ giác APMQ và APHQ nội tiếp => 5 điểm ....cùng thuộc đờng tròn đờng kính
AM, tâm O là trung điểm AM
c)cm H là điểm chính giữa cung PQ => PQ vuông góc OH
d) Tính PQ theo AM ta đợc: PQ = AM.=> PQmin  AMmin.
v× : AM AH => AMmin = AH  M trïng H
Bi 6: Cho nỉía âỉåìng trn tám O cọ âỉåìng kênh AB.V cạc tiãúp tuún
Ax,By(Ax,By v nỉía âỉåìng trn thüc cng mäüt nỉía màût phàóng båì AB).M l
mäüt âiãøm báút k thüc nỉía âỉåìng trn.tiãúp tuún tải M càõt Ax ,By theo thỉï
tỉû åí C v D.
a/Chỉïng minh tỉï giạc ACMO näüi tiãúp v OC vng gọc våïi OD.
b/Chỉïng minh AB l tiãúp tuún cuớa õổồỡng troỡn õổồỡng kờnh CD.
c/Tỗm vở trờ cuớa M trón nổớa õổồỡng troỡn õóứ hỗnh thang ABDC coù chu vi nhoớ nhỏỳt.
d/Tỗm vở trờ cuớa M trón nổớa õổồỡng troỡn õóứ hỗnh thang ABDC coù dióỷn tờch nhoớ
nhỏỳt.
Hd:
a) Sổớ dủng tênh cháút hai tiãúp tuún càõt nhau v tênh chỏỳt hai tia phỏn giaùc cuớa
hai goùc kóử buỡ thỗ vuäng goïc våïi nhau âãø cm OC vuäng goïc OD
b)Goüi I laì trung âiãøm CD. Cm IO = vaì IO vng gọc AB => AB l tiãúp tuún ca
âỉåìng trn õổồỡng kờnh CD
c) Chuù yù ACDB laỡ hỗnh thang vuọng(vỗ sao?) .goỹi P laỡ chu vi thỗ ta coù: P = 2(R + CD)
=> Pmin  CDmin
Ta coï CD AB = 2R : không đổi => CDmin = 2R CD// AB  OM vng gọc AB  M l
âiãøm chênh giỉỵa ca nỉía âỉåìng trn
d) Gi S l dt hỗnh thang ACDB ta tờnh õổồỹc : S = R .CD räưi lê lûn tỉång tỉû cáu
c => M l âiãøm chênh giỉỵa ca nỉía âỉåìng trn
Bi 7:Cho âỉåìng trn (O) bạn kênh R,âỉåìng thàóng d khäng âi qua O v càõt
âỉåìng trn tải hai âiãøm Av B.Tỉì mäüt âiãøm C trón d (C nũm ngoaỡi õổồỡng
Thân Văn Chơng -GV trêng THCS Vâ Nh Hng

Tài liệu ôn thi TS 10

Trang 3

troỡn ,ỡ A nũm giỉỵa C v B), kè hai tiãúp tuún CM,CN våïi âỉåìng trn (M,N tiãúp
âiãøm) .Gi H l trung âiãøm AB,âỉåìng thàóng OH càõt CN tải K.
a/Chỉïng minh 4 âiãøm C,O,H,N cng nàịm trãn mäüt âỉåìng trn.
b/Chỉïng minh KN.KC=KH.KO.
c/Âoản thàóng CO càõt âỉåìng trn (O) tải I,chỉïng minh I l tám âỉåìng trn näüi
tiãúp tam giạc CMN.
d/ Mäüt âỉåìng thàóng âi qua O v song song våïi MN càõt cạc tia CM,CN láưn lỉåüt tải
Ev F.Xạc âënh vë trê ca C trãn d sao cho diãûn têch tam giạc CEF l nh nháút .
Hd:
a) Chụ HA = HB => OH vng gọc AB
b) cm tam giạcKNO âäưng dảng tam giạc KHC
c) cm CI l phán giạc gọc MCD v MI l phán giạc gọc CMN => âpcm
d) Gi S l dt tam giạc CEF , ta cm âỉåüc S = ON.CF = R .CF
=> Smin  CFmin
Ta coï CF = CN + NF 2 = 2R => CFmin = 2R  CN = CF = R  CO = R
V©y C nằm trên d sao cho CO = Rthì S nhá nhÊt
Bi 8: Cho âỉåìng trn (O) , dỉåìng kênh AB = 2Rv mäüt âiãøm M chuøn âäüng
trãn nỉía âỉåìng trn âọ.v âỉåìng trn tám E tiãúp xục våïi âỉåìng trn (O) åí M v
tiãúp xục våïi âỉåìng kênh AB åí N.âỉåìng trn (E) càõt MA,MB láưn lỉåüt tải C v D
a/Chỉïng minh C,E ,D thàóng hng v CD// AB.
b/Chỉïng minh MN l tia phán giạc ca gọc AMB
c/Gi K laì giao âiãøm tia MN våïi (O).Tênh KM.KN theo R
d/ Gi giao âiãøm ca cạc tia CN,DN våïi KA,KB láưn lổồỹt laỡ C ,D .Tỗm vở trờ cuớa M
õóứ chu vi tam giạcNC’D’ âảt giạ trë nh nháút.
Hd:

a)cm CMD = 900 v C,M,D thüc (E) => CE l âỉåìng kênh => C,E,D thàóng hng
cm EDM = OBM => CD //AB
b) Cm cung NC = cungND => MN laì tia phán giaïc AMB
c) Cm KM .KN = KA2 = .....= 2R2
d) gi P l chu vi tam giạc NC’D’. cm âỉåüc: P = C’D’ + KA
=> Pmin  C’D’min
Ta cọ C’D’ = KN KO = R => C’D’min = R N trùng O M là điểm chính giữa của nửa
đờng tròn.
III. Bài tập tự làm:
Baỡi 1: cho õổồỡng trn (O;R) v mäüt âiãøm A våïi OA=R ,mäüt âỉåìng thàóng d
quay quanh A càõt (O) tai M, N ;goüi I l trung âiãøm ca âoản MN.
a/Chỉïng t OI vng goïc MN, suy ra I di âäüng trãn mäüt cung trn cäú âënh våïi hai
âiãøm giåïi hản B,C thüc (O)
b/ Tênh theo R âäü daìi AB,AC .suy ra A,O,B,C laì bọỳn õốnh cuớa hỗnh vuọng.
c/ Tờnh theo R dióỷn tờch ca pháưn màût phàóng giåïi hản båíi âoản AB,AC v cung
nh BC ca (O).
d/ Hy chè ra vë trê ca âỉåìng thàóng d tỉång ỉïng khi täøng AM +AN låïn nhỏỳt vaỡ
chổùng minh õióửu õoù .
Bài 2:Từ 1 điểm M ở ngoài đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA,MB tới đờng tròn.Trên
cung nhỏ AB lấy 1 điểm C .VÏ CD vu«ng gãc AB,CE vu«ng gãc MA,CF vu«ng gãc MB.Gọi I
là giao điểm của AC và DE,K là giao điểm của BC và DF.Chứng minh rằng
a)Các tứ giác AECD,BFCD nội tiếp đợc.
b) CD2 = CE.CF
c)Tứ giác ICKD nội tiếp đợc.
d) IK vuông góc CD
e) Xác định vị trí của C để tích CD.CE.CF lớn nhất

Thân Văn Chơng -GV trờng THCS Vâ Nh Hng