cực trị hình học

Nguyễn Vũ Minh
(Cực Trò Trong Không Gian Toạ Độ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng






=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:d
. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng
)(
∆
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất
Bài giải đề nghò.
Cách 1 : Phương pháp hình học.
Gọi
)(
∆
là đường thẳng qua A và cắt d;
)(
∆
và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d).
Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên
)(

∆
thì BK
⊥
)(
∆
. Vậy BK
chính là khoảng cách từ B đến
)(
∆
.
* Trong tam giác vuông BKH thì BK
≥
BH nên BK ngắn nhất khi K
H
≡
. Khi ấy
)(
∆
đi qua
hai
điểm A và H.
*Trong tam giác vuông BKA thì BK
≤
BA nên BK lớn nhất khi K
A
≡
. Khi ấy
)(
∆
đi qua A

nằm trong (P) và vuông góc với BA.
a) Trường hợp d(B,
)(
∆
nhỏ nhất.
Phương trình mp(P)= mp(A,d).
VTCP của d là
)2;1;1(a
d
−=
→
. Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và
)2;6;0(AM
−−=
→
.
Do đó VTPT của mp (P) là
)6;2;10(AM,an
d
−=






=
→→→
. Ta chọn
)3;1;5(n

−=
→
.
Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0
⇔
5x-y+3z-7 = 0.
Gọi H là hình chiếu của B trên (P). Ta dễ dàng tìm được
)
35
146
;
35
68
;
7
5
(H
−
. Như thế véctơ chỉ
phương của
)(
∆
là
)
7
76
;
7
72
;

7
12
(AH
−−=
→
. Chonï VTCP của
)(
∆
là
)19;18;15(a
−=
→
.
Ta đựoc phương trình của
)(
∆
:
19
2z
18
4y
15
1x
−
−
=
−
=
−
b) Trường hợp d(B,

)(
∆
lớn nhất
Trường hợp nầy thì
)(
∆
nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA.
Ta có
)2;2;2(AB
−−=
→
; VTPT của (P) là
)3;1;5(n
−=
→
. Do đó VTCP của
)(
∆
là:






=
→→→
n,ABa
=(-4;16;12) . Chọn
)3;4;1(a

−=
→
Ta được phương trình đường thẳng
3
2z
4
4y
1
1x
:)(
−
=
−
=
−
−
∆
Cách 2: Phương pháp giải tích.
Gọi M = d
∩
)(
∆
thì M( 1-t;-2+t;2t) và
)(
∆
có VTCP là
)2t2;6t;t(AM
−−−=
→
.

Ta có:
)2;2;2(AB
−−=
→
. Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng
)(
∆
là:
20t10t3
208t152t28
40t20t6
416t304t56
AM
AB,AM
d
2
2
2
2
+−
+−
=
+−
+−
=







=
→
→→
1
Nguyễn Vũ Minh
Xét hàm số
20t10t3
208152t28
d)t(f
2
2
2
+−
+−
==
.
Ta có
22
2
)20t10t3(
)60t8t11(16
)t('f
+−
−−
=
. f(t)= 0
⇔
t = -2 hoặc t= 30/11.
Do

3
28
)t(flim;
15
4
)
11
30
(f12)2(f
x
===−
±∞→
nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5
khi= 30/11.
Với max f(t) = max d
2
= 12 , ta có max d=
12
khi t=-2 cho
)6;8;2(AM
−−=
→
. Chọn VTCP
của
)(
∆
là
)3;4;1(a
−−=
→

ta được phương trình
3
2z
4
4y
1
1x
:)(
−
−
=
−
−
=
−
∆
Với min f(t)= mind
2
=4/15 , ta có min d=
15
2
khi
11
30
t =
cho







−−=
→
11
38
;
11
36
;
11
30
AM
Chọn VTCP của
)(
∆
là
)19;18;15(a
−=
→
. Ta được phương trình của
)(
∆
là:
19
2z
18
4y
15
1x

−
−
=
−
=
−
Hết
2