Cực trị hình học bài (dường thẳng)

Một số bài toán tính giá trị lớn nhất hoặc bé nhất của
biểu thức hình học
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
(d) :
x 1 2t
y 3 t
z 2 3t
= −


= +


= − −

; A(1;−1;4) và B(2;0;−3)
a) Tìm N thuộc (d) sao cho NA ngắn nhất
b) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA
2
+3MB
2
nhỏ nhất
c) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho 2MA
2
−5MB
2
lớn nhất
Giải : a) Vì N ∈ (d) suy ra N(1−2t;3+t; −2−3t)
Cách 1: ta có NA
2
=(2t)

2
+(−4−t)
2
+(6+3t)
2
=14t
2
+44t +52 =14
2
11
t
7
 
+
 ÷
 
+
122
7
≥
122
7
NA ngắn nhất <=> NA
2
nhỏ nhất bằng, khi t=−
11
7
Vậy tọa độ N(
29
7

;
10
7
;
19
7
)
Cách 2: NA ngắn nhất <=> NA là đoạn vuông góc kẻ từ A đến
đường thẳng (d)
Hay N là hình chiếu của A lên đường thẳng (d)
+ véc tơ =(−2t;4+t;−6−3t) ;
d
u
uur
=(−−2;1;−3)
AN
uuur
⊥
d
u
uur
<=>
AN
uuur
.
d
u
uur
=0 <=> 4t +4+t+18+9t =0 <=> t=−
11

7
Suy ra N(
29
7
;
10
7
;
19
7
) và khi đó NA=
2 2 2
29 10 19
1 1 4
7 7 7
     
− + − − + −
 ÷  ÷  ÷
     
=
122
7
b) Từ M ∈ (d) => M(1−2t;3+t; −2−3t)
MA
2
=(2t)
2
+(−4−t)
2
+(6+3t)

2
=14t
2
+44t +52
MB
2
= (2t+1)
2
+ (−t−3)
2
+(3t−1)
2
= 14t
2
+4t +11
Biểu thức MA
2
+ 3MB
2
= 56t
2
+56t +85 = 56( t+
1
2
)
2
+71 ≥
71
Do đó MA
2

+ 3MB
2
nhỏ nhất bằng 71 khi t=−
1
2
và M(2;
5
2
;−
1
2
)
Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(1;2;−1),
N(7;−2;3) và đường thẳng (d) :
x 1 y 2 z 2
3 2 2
+ − −
= =
−
. Tìm điểm I
thuộc (d) sao cho IM +IN nhỏ nhất.
Giải : Viết lại đường thẳng (d) dưới dạng tham số :
x 1 3t
y 2 2t
z 2 2t
= − +


= −



= +

Vì I ∈ (d) => I(−1+3t;2−2t; 2+2t)
Ta có IM=
2 2 2
(3t 2) ( 2t) (2t 3)− + − + +
=
2
17t 13+
=
( ) ( )
2 2
17.t 13+
IN=
2 2 2
( 3t 8) (2t 4) (1 2t)− + + − + −
=
2
17t 68t 81+ +
=
( ) ( )
2 2
17.t 17 13− +
Chuyển về bài toán trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 13 ),
B(
2 17
;−
13
) và K( t 17 ;0) . Khi đó IM= KA, IN =KB ; A và

B nằm về hai phía của trục hoành , điểm K nằm trên trục hoành .
Ta luôn có : IM+IN=KA+KB ≥ AB
Dấu “=” xảy ra khi A,N,K thẳng hàng và K nằm ở giữa A
và B
=> hai véc tơ
AB
uuur
=(
2 17
;− 2 13 ) và
AK
uuur
=( t 17 ;−
13
)
cùng phương
Suy ra t= 1 và I(2;0;4)
Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(3;1;1),
N(4;3;4) và đường thẳng (d) :
x 7 y 3 z 9
1 2 1
− − −
= =
−
. Tìm điểm I thuộc
(d) sao cho IM +IN nhỏ nhất.
Giải : Viết lại đường thẳng (d) dưới dạng tham số :
x 7 t
y 3 2t
z 9 t

= +


= −


= +

Vì I thuộc (d) => I(7+t;3−2t;9+t)
IM=
2 2 2
( t 4) (2t 2) ( t 8)− − + − + − −
=
2 2
4 6 220
6.t
3
3
   
+ +
 ÷  ÷
   
IN=
2 2 2
( t 3) (2t) ( t 5)− − + + − −
=
2 2
4 6 70
6.t
3

3
   
+ +
 ÷  ÷
   
Chuyển về bài toán trong mặt phẳng Oxy, chọn A(−
4 6
3
;
220
3
),
B(−
4 6
3
;−
70
3
) và K( t 6 ;0) . Khi đó IM= KA, IN =KB ; A và
B nằm về hai phía của trục hoành , điểm K nằm trên trục hoành .
Ta luôn có : IM+IN=KA+KB ≥ AB
Dấu “=” xảy ra khi A,N,K thẳng hàng và K nằm ở giữa A
và B
=> hai véc tơ
AB
uuur
=(0 ;−
70
3
−

220
3
) và
AK
uuur
=(
4 6
t 6
3
+
;−
220
3
) cùng phương
Suy ra t= −
4
3
vaø I(
17
3
;
17
3
;
23
3
)