Mot so bai toan hay (1)

MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN HAY.
Bài 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau :
1/ (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=8
(x2+9x+20)(x2+9x+18)-8=0 (1)
Đặt x2+9x+19= t ; (1) trở thành (t-1)(t+1)-8=0 t2-9=0 t= 3
Từ đó ta có hai phương trình x 2+9x+22=0 phương trình vô
nghiệm.
Và phương trình x2+9x+16=0 có hai nghiệm .
2/ x4+10x3+26x2+10x+1=0
Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình.
Chia hai vế của PT cho x2. Lúc này phương trình trở thành :
(x2+
Đặt

Phương trình trở thành t2+10t+24=0.

Giải phương trình cuối cùng ta được 4 nghiệm.
3/ x5-4x4-3x3-3x2-4x+1=0.
Dễ thấy x=-1 là nghiệm của phương trình.
Chia hai vế cho x+1 ta được (x+1)(x 4-5x3+2x2-5x+1)=0.
Cuối cùng ta chỉ cần giải phương trình (x 4-5x3+2x2-5x+1)=0. là
được .Để giải PT này ta tiến hành giải như câu 2.
4/ Giải hệ phương trình
Cộng từng vế của hệ ta được 2(x+y+z)=24 từ đó x+y+z=12
(1) lấy (1) trừ lần lượt các phương trình của hệ ta tìm được
x;y;z.
5/Giải hệ PT:
Tập xác định của phương trình x -y ; y -z ; z -x và x;y;z không
đồng thời bằng 0
Giải hệ :
(I)

Cộng từng vế của hệ (I) ta được :
(4) lấy (4) trừ lần lượt các
phương trình của hệ (I) ta tìm được x;y;z
6/Giải heä PT :


Nhân các vế của hệ ta được (xyz) 2=3600 suy ra xyz= 60
(1) .Lấy (1) chia cho các phương trình của hệ ta tìm được x;y;z.
7/Giải hệ PT:
Cộng các vế của phương trốngau đó đặt x+y+z là nhân tử
chung ta được
2(x+y+z)2=288 x+y+z= 12.Từ đó tìm được hệ :
Áp dụng cách giải câu 4 ta tìm được
nghiệm.
8/Giải phương trình : 3(x2-x+1)2-2(x+1)2= 5(x3+1)
Đặt U=x2-x+1

và V=x+1

Ta được 3U 2-2V 2= 5UV. Dễ thấy U=0 không phải là nghiệm
của phương trình. Chia hai vế cho U 2.Ta có:
3-5

.Giải phương trình ta được

Bài 2: Chứng minh tính chất chia hết của các biểu thức
sau :
1/ n4-n2 12 với n N
Xét A=n4-n2=(n-1)n . n(n+1)
Ta có (n-1)n và n(n+1) là những biểu thức biểu thị tích của

hai số tự nhiên liên tiếp nên mỗi biểu thức chia hết cho 2.
Vậy A
4. Vì (n-1)n(n+1) là tích của ba số TN liên tiếp nên
chia hết cho 3.Vậy A 12.
2/ B=n(n+2)(25n2-1) 24 với n N.
B=n(n+2)(n2-1+24n2)=n(n+2)(n2-1) + n(n+2).24n2
Chia hết cho 24.
Vậy chỉ cần chứng minh n(n+2)(n2-1) 24.
Ta có B1= n(n+2)(n2-1)=(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của bốn số tự
nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 4 và
một số chia hết cho 2 B1 8
(n-1)n(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết
cho 3
Vậy B1 24 .Do đó b 24.
3/Chứng minh rằng n và n5 có cùng chữ số tận cùng.
Nếu n và n5 có cùng chữ số tận cùng thì n 5-n phải chia hết
cho 10.
C= n5-n=(n-1)n(n+1)(n2+1)
(n-1)n(n+1) 2.


Giả sử n chia cho 5 có dư là 0;1;2;3;4.
Nếu n chia hết cho 5 thì C 5.
Nếu n chia cho 5 dư bằng 2 thì n2 +1 chia hết cho 5. Nên C 5
Nếu n chia cho 5 dư bằng 3 thì n2 +1 chia hết cho 5. Nên C 5
Nếu n chia cho 5 dư bằng 4 thì n+1 chia hết cho 5. Nên C 5
Vậy C 10.
4/ Chứng minh n4-4n3-4n2+16n 384. Với n chẵn lớn hơn 4.
Vì n chẵn lớn hơn 4 n=2k (k N; k>2)