Tuyen chon hh 9 (1)

Tuyển chọn hình 9
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ë A, ®êng cao AH.
BH = 5, ABC = 300. Tính các cạnh .
C

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông ở A,
phân giác trong góc B là BD.
AD = 5, ADB = 600. Tính các cạnh
của tam giác ABC

C
H
B

A

D
600
B
C

A

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A,
Trung tuyến CM. MH vuông góc BC tại H.
CM = 10, AMC = 600. Tính các cạnh
của tam giác ABC và MH.

H

Bài 4. Cho ABC nhọn có các cạnh BC = a, CA = b,

AB = c. Chøng minh:
a = bcosC + ccosB
Bµi 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là
một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và
tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đờng thẳng
qua D, vuông góc DI cắt đờng thẳng
BC tại L. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là một tam giác cân.
b) Tổng

0

60

A

B
M
L

C

D

1
1
không đổi khi I thay đổi
+
2
DI

DK 2

trên cạnh AB.
A
A I

B

B

I

Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một
K
điểm nằm giữa A và B. Kẻ đờng thẳng qua D,
vuông góc DI cắt đờng thẳng BC tại L. Tìm quỹ tích
D trung điểmCcủa đoạn
thẳng LI.
L nhau tại E.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có ACB = ADB = 1v. AC, BD c¾t
a) Chøng minh: EA.EC =EB.ED
K B
H
A
b) Dựng DH, CK vuông góc AB
D
lần lợt tại H, K. Chøng minh:
2
2
AD + BC = AB(AB - HK)

B
AC2 + BD2 = AB(AB + HK)
E
C

C

1

I

F

M

E D



O

N

A


Bµi 8. Từ điểm A ở ngồi đường trịn
tâm O, kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường
tròn tại E.Vẽ đường tròn tâm I đi qua O
và A cắt đường thẳng AE tại B. Kẻ tiếp

tuyến qua B tiếp xúc với đường tròn (O)
tại C và cắt đường tròn (I) tại D.Qua D kẻ
đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O)
tại M và cắt đường tròn (I) tại N.
Chứng minh: AN tiếp xúc với (O).
HD. Nối OA, OD. Gäi F lµ giao cđa DN vµ AB. Thấy ngay các tam giác FAN và FDB
đồng dạng.
Mặt khác các góc EAO và CDO bằng nhau. Để ý rằng DO là phân giác. Suy ra AO l
phõn giỏc gúc EAN.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông ti A , AB = 2AC . Trên tia AB lấy D sao
cho AD = 3AC. CMR: ADC + ABC = 450.
Cách 1: Trên tia i AC
C

ly E sao cho AE = AC. Từ E
kẻ EF vng góc EC sao cho EF = EA,
từ F kẻ đường vuông góc AD tại I
Ta cã  FEC =  FID =  CAB(cgc)
Suy ra  ABC =  FDI
 ABC +  ADC =  FDI +  ADC
=  FDC
(1)

A

I
B

E

C¸ch 2: Cũng từ tam giác bằng nhau suy ra FC = FD,tức tam Fgiác DFC cân tại F
Mặt khác:  EFC =  DFI, suy ra  DFC = 900
suy ra  DFC vuông cân tại F   FDC = 450 (2)
T (1)&(2) suy ra đpcm.
Cách 3: Ly E trên tia AB sao  EAC là tam giác vuông cân
  AEC =  ACE = 450 . Xét tam giác DEC có AEC = EDC + DCE
lại có EBC = ECD do  EBC   ECD (c.g.c)
 ABC + ADC = 450

Bµi 10.
1) Tổng 2 góc kề với 1 đáy của hình thang là 900 . CMR đoạn nối trung
điểm của 2 cạnh đáy bằng nửa hiệu 2 cạnh đáy
2) Cho hình thang ABCD , AB song song CD và BC = AB . CMR tia CA
là phân giác góc C
3) Cho hình thang ABCD , trong đó đáy AB = tổng 2 cạnh bên BC và DA
CMR
a) Các tia phân giác góc C và D cắt nhau tại E nằm trên đáy AB
b) Các góc C và D phải thỏa mãn điều kiện gì để CE vng góc với DE
4) Cho đoạn thẳng AB = 3 cm . Trên cùng 1 nửa mặt phẳng là bờ AB kẻ 2
tia ax và by vng góc với AB tại A và B, tia phân giác góc Aby cắt ax tại
2

D


góc C . Đường vng góc với BC tại C cắt by tại D . Tính độ dài các cạnh
hình thang ABCD
HD.
1) từ M kẻ MS và MF lần lượt song song với AD và BC (S và F thuộc CD), gọi K là

trung điểm DC.
Ta có AMSD và MBCF là hbh suy ra AM = DS = MB = FC
suy ra (DC - AB)/2 = SF/2
(1)
Còng dựa trên hbh cm: AMS + MBF = D + C = 900.
Suy ra SMF = 900
SK = DK - DS
KF = KC - FC
Mà DS = FC, DK = KC, suy ra SK = KF
Tam giác SMF vng tại M có MK là trung tuyến ứng c¹nh huyền suy ra MK = SF/2 (2)
Từ (1)&(2) suy ra dpcm
2) Tam giác ABC cân ®Ønh A suy ra BAC = BCA
BAC = ACD (sole trong). Suy ra CA là phân giác.

3)
a) pg gúc D cắt AB tại E và pg góc C cắt AB tại E'. Cm đc AD = AE và BE' = CB
AD + BC = AB  AE + BE' = AB tức E trùng E'  dpcm
b) DE vng góc CE  DEC = 900, hay EDC + ECD = 900
ADC + BCD = 1800.
4) D dng tớnh đợc AC = AB = 3cm, dựng Pytago tớnh đợc BC= 3 2
Mặt khác D + ACD = 1800
ABC + ACB + 900 = 1800 hay CBD + ACD = 900.
Suy ra tam giác CDB vuông cân tại C tức CD = CB = 3 2 ,dùng Pytago suy ra BD.

Bµi 11. Cho hình thoi ABCD, 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Đường trung trực của AB cắt BD, AC lần lượt tại M, N biết MB =a, NA = b.
Tính diện tích hình thoi theo a,b
HD.
C¸ch 1. Đặt MO = x. Việc cần làm là tính x.
BM giao AN tai F. AM.AO =AF.AN. Suy ra: a(a + x) =

Khi đó ta sẽ tính được x theo a, b.
Bài tốn được cm!

a 2  x 2b

C¸ch 2.
Ta có  ANE   ABO

AN/AB = AE/OA = NE/OB (1)

a.OB = BE.AB (2)
 MBE   ABO

MB/AB = BE/OB = ME/OA (3)

b.OA = AB.AE (4)
Tõ (2) &(4)

a.OB = b.OA

OA/OB = a/b = AE/NE

3


Trong  ANE vu«ng :

b2 = AE2 +

a2

.AE2
2
b

Tương tự trong OAB

AE =

ab
2

a  b2

AB

OA và OB

Vậy có thể tính được S

Bµi 12. Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M thuộc cạch BC sao cho:
MB = 2MC. Lấy F là trung điểm chủa AC. Gọi H là hình chiếu của M trên
BF. CMR FHC = ACB.
HD. Kẻ FP, CQ lần lượt vng góc với BC và BF.
Dễ thấy HQ
BQ = PC/PB = 1/3. Kết hợp với việc hai tam giác BPF, BQC đồng dạng suy ra hai tam
giác CPF, HQC đồng dạng (đpcm)

Bµi 13. cho tam giác nhọn ABC(AB < AC). Đng trũn ng kớnh BC
cắt AB, AC th tự tại E, F. H lµ giao của BF và AC; D là giao của AH và
BC.

a) Chøng minh BCFE nội tiếp
b) Chøng minh AE.AB = AF.AB
c) Gọi O lµ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; K là trung điểm của
BC, tính OK/BC khi HBOC nội tiếp.
HD. a) b) dễ .
c) BOC = BHC khi tứ giác trên nội tiếp
 EFH = BHC , EHF + EAF = 1800 (do AEHF nội tiếp)
 BOC + BAC = 1800, mà BOC = 2BAC  BOC = 1200 .

K là trung im BC, tõm O đờng tròn ngoi tip ABC
OK  BC  KOC = 600 . OK/KC =

3

3  OK/BC =

3

  EHB   FHC  HE.HC = HB.HF = 12 = HC(CE - HC).

Gii ra đợc HC = 2 hoặc HC = 6. HC > HE  HC = 6 .

4

6


Bµi 14.
Cho hình thang vng ABCD có AB//CD ,
AB, tia DM cắt đường thẳng CB tại I.

CmR : IB.AC=IA.BC.

=

, AB < CD.Gọi M là trung điểm cạnh

HD. Gäi K lµ giao điểm của IA và CD
(Do M l trung im AB)
cân tại A.
mà
nên
Suy ra AB là phân giác

Bµi 15.
.Gọi

Cho

trên cạnh

và

của tam giác

sao cho

theo thứ tự là trung điểm của AN, BM.Cmr PQ vng góc với phân giác

HD. Goi E là trung điểm của MN khi đó EPQ là tam giác cân nên phân giác d của

góc PEQ vng góc với PQ mà d lại // với phân giác góc BCA nên có dpcm.
Bµi 15. Cho đường trịn tâm O đường kinh BC=2R . Điểm A lưu động trên đường
tròn . kẻ đường cao AH của tam giác ABC , kẻ HD vng góc AB, kẻ HE vng góc AC
( D thuộc AB, E thuộc AC ) . Xác định vị trí của điểm A trên đường trịn để tứ giác
ADHE có diện tích lớn nhất và tính diện tích đó theo R.

HD. Ta có

là hình chữ nhật .

là trung điểm cung

5