TỰ CHỌN HH 9

GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1)MỤC TIÊU:
Học sinh được củng cố các kiến thức cơ bản về hệ thức lượng trong tam giác vuông, về đường tròn, tiếp
tuyến với đường tròn, góc nôi tiếp , góc có đỉnh bên trong bên ngoài đường tròn,tứ giác nội tiếp.
Rèn kó năng vẽ hình chính xác , suy luận , vận dụng các kiến thức đã học vào việc chứng minh hình
học. RÌn lun kÜ n¨ng lËp ln vµ tr×nh bµy chøng minh.
2) THỜI LƯNG : 6 tiết.
3)THỰC HIỆN:
TIẾT 1
1)Bµi tËp 1 :
Gäi M lµ 1 ®iĨm trªn nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB (AB= 2R).TiÕp tun t¹i M c¾t c¸c tiÕp tun t¹i
A vµ B cđa (O) lÇn lỵt t¹i C vµ D
1. chøng minh : góc
·
COD
= 1v
2. chøng minh: CD =CA + DB
3. chøng minh :CA.DB = R
2
4. chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD
Bài giải

C


D
A B
O
1) chứng minh
·
COD

= 1v:
ta co ùCO là phân giác của góc
·
ACM
( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) đồng thời là phân giác của
·
AOM
ta co ùDO là phân giác của góc
·
BDM
( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) đồng thời là phân giác của
·
BOM

Mà
·
AOM
và
·
BOM
là 2 góc kề bù
·
1CO OD COD V⇒ ⊥ ⇒ =

2) chứng minh : CD = CA + DB
ta có CA = CM , DB = DM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
mà CM +DM = CD ( M
∈
CD) => CD = CA + DB
3)chøng minh CA.DB = R

2
Ta có
∆
COD vuông tại O (cmt),OM
⊥
CD tại M (CD là tiếp tuyến)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:
CM.DM = OM
2
, mà CM =CA,DM = DB , OM = R=> CA.DB = R
2
4).chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD:
Nếu gọi I là tâm đường tròn đường kính CD thì I là trung điểm của CD,lại có
·
COD
= 1v => O
∈
( I )
⇒
IO là bán kính của ( I ) (*)
Xét tứ giác ACDB có AC // DB (cùng vuông góc với AB)
⇒
tứ giác ACDB là hình thang
vuông,và OI là đường trung bình của nó
⇒
OI//AC
⇒
OI
⊥
AB (**). Từ (*), (**)

⇒
AB là
tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
M

Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức về đừơng tròn, điểm thuộc đường tròn,tiếp tuyến của
đường tròn,các tính chất của tiếp tuyến , hệ thức lượng trong tam giác vuông
TIẾT 2
2) Bài tập 2 :
Cho đường tròn(O) đường kính AB,vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại trung điểm I của OA .Vẽ OE
⊥
BC .
1)Tứ giác ACOD là hình gì?chứng minh.
2)Chứng minh EC= EB
3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng
4)Vẽ (K) đường kính OB.Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau
5)chứng minh IE là tiếp tuyến của (K)
Bài giải

1)xét tứ giác ACOD có IA = IO (gt), IC= ID (đường kính OA vuông góc dây cung CD tại I)
⇒
ACOD
là hình bình hành,lại có 2 đường chéo vuông góc nên ACOD là hình thoi.
2) Chứng minh EC= EB:ta có OE là đường kính, BC là dây cung mà OE
⊥
BC (gt)
⇒
EC= EB
3)Chứng minh 3 điểm D,O,E thẳng hàng:
Ta có C thuộc đường tròn đường kính AB

⇒
·
ACB
= 1v
⇒
AC
⊥
CB
Mà ACOD là hình thoi nên AC // OD
⇒
OD
⊥
CB,lại có OE
⊥
BC(gt)
⇒
3 điểm D,O,E thẳng hàng.
4) Chứng minh (O) và (K) tiếp xúc nhau:
ta có K là trung điểm của OB (gt)
⇒
OK + KB = OB
⇒
OK = OB - KB
Hệ thức này chứng tỏ (O) và (K) tiếp xúc trong.
5)chứng minh IE là tiếp tuyến của (K)
Do OE
⊥
BC(gt)
⇒
·

OEB
=1v
⇒
E thuộc (K)
⇒
EK là bán kính của (K)
Ta có KE=KO (bán kính của (K))
⇒
·
·
OEK EOK=
,mà
·
·
DOI EOK=
(đđ)
⇒
·
·
OEK DOI=
(1).Mặt khác
∆
CED vuông tại E có EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền
⇒
IE = ID
⇒
·
·
IDO IEO=
(2), lại có

∆
DIO vuông tại I (gt)
⇒

·
·
IDO DOI+
= 1V (3).Từ (1),(2), (3)
⇒
·
·
OEK IEO+
= 1V
⇒
IE
⊥
EK
⇒
IElà tiếp tuyến của (K).
Nhận xét: bài tập này đã củng cố các kiến thức vềđường tròn, tam gíac vuông nội tiếp đường tròn
,đường kính vuông góc dây cung, tiếp tuyến với đường tròn,vò trí tương đối 2 đường tròn,
TIẾT 3
3)Bài tập 3:
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O)vẽ các tiếp tuyến AB,AC với (O) (B,C là các tiếp
điểm) và một cát tuyến AED với (O)( E nằm giữa A và D).
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2) Chứng minh
·
·
ACB AOC=

3) Chứng minh AB
2
= AE.AD
4)Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC cắt AD tại K . Chứng minh KE = KD
Bài giải
B
O A
E
K
D
C
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
Xét tứ giác ABOC có
·
ABO
= 1V( AB là tiếp tuyến)

·
ACO
= 1V( AC là tiếp tuyến)
⇒
·
·
ABO ACO+
= 2V
⇒
tứ giác ABOC nội tiếp.
2) Chứng minh
·
·

ACB AOC=
Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ta có AB = AC (t/c 2 Tiếp tuyến cắt nhau)
⇒
»
»
AB AC=
,mà
·
·
&ACB AOC
là các góc nội tiếp chắn
»
»
&AB AC

⇒
·
·
ACB AOC=
3) Chứng minh AB
2
= AE.AD
xét
∆
ABE và
∆
ADB có Â chung ,
·
»
1

2
ABE sd BE=
(góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và 1dây
cung chắn
»
BE
của (O)),
·
»
1
2
ADB sd BE=
(góc nội tiếp chắn
»
BE
của (O))
⇒
·
·
ABE ADB=
⇒

∆
ABE đồng dạng
∆
ADB
⇒

AB AE
AD AB

=
⇒
AB
2
= AE.AD
4) Chứng minh KE = KD:
ta có
·
OKA
= 1V ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC)
⇒
OK
⊥
ED
⇒
KE = KD (đường kính vuông góc dây cung)
Nhận xét : Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp, các hệ quả
của góc nội tiếp, góc tạo bởi 1 tia tiếp tuyến và 1 dây cung, liên hệ giữa cung và dây cung,
TIẾT 4
4)Bài tập 4:
Cho hình vuông ABCD . Điểm E
∈
BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE,đường vuông
góc đó cắt đường thẳng DE ở H và cắt đường thẳng DC ở K.
1) Chứng minh các tứ giác BHCD,KCEH nội tiếp.
2) tính số đo
·
CHK
.
3) Chứng minh

·
·
BDE HKE=
.
4)Tìm quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC.

Bài giải
A B
H
E
D C K
1) Chứng minh các tứ giác BHCD,KCEH nội tiếp.
Xét tứ giác BHCD có
·
BHD
= 1v ( gt),
·
BCD
= 1v ( góc của hình vuông) . Tứ giác này có 2 đỉnh
liên tiếp H&C cùng nhìn đoạn BD dưới 1góc bằng nhau
⇒
tứ giác BHCD nội tiếp
Xét tứ giác KCEH có
·
EHK
= 1v ( gt),
·
ECK
= 1v ( góc kề bù với góc của hình vuông)
⇒

·
·
EHK ECK+
= 2V
⇒
tứ giác KCEH nội tiếp
2)Tính số đo
·
CHK
.
Ta có tứ giác BHCD nội tiếp (cmt)
⇒
· ·
BDC BHC+
= 2v, mặt khác ta cũng có
·
·
CHK BHC+

= 2v (kề bù)
⇒
·
·
CHK BDC=
mà
·
BDC
= 45
0
(BD là đường chéo của hình vuông)

⇒
·
CHK
=
45
0
3) Chứng minh
·
·
BDE HKE=
.
Ta có
·
·
BDH BCH=
(góc nội tiếp cùng chắn
¼
BH
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHCD)
Ta có
·
·
HKE BCH=
(góc nội tiếp cùng chắn
¼
EH
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác KCEH)
⇒
·
·

BDE HKE=
4)Tìm quỹ tích của H khi E chuyển động trên cạnh BC.
Tacó
·
BHD
= 1v (gt)
⇒
H thuộc đường tròn đường kính BD, nhưng E chỉ chuyển động trên
cạnh BC nên H chuyển động trên cung nhỏ
»
BC
của đường tròn này.Vậy quỹ tích của H khi E
chuyển động trên cạnh BC là cung nhỏ
»
BC
.
Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp, các hệ quả
của góc nội tiếp, quỹ tích cung chứa góc, đó cũng là những kiến thức trọng tâm
TIẾT 5
5)Bài tập 5:
Cho đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ dây cung CD vuông góc với OA tại I. M là 1 điểm trên
cung nhỏ BC .AM cắt CD tại H.
1) Chứng minh tứ giác BIHM nội tiếp.
2) Chứng minh MA là phân giác của
·
CMD
3) Chứng minh AC.HM = CM.DH
4)Tia DC cắt Tia BM tại K .DM cắt BC tại S . Chứng minh

·

·
·
2CKM CSM DMB+ =
5)Lấy E
∈
CD sao cho MC=ME .Chứng minh 4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn

Bài giải
1) Chứng minh tứ giác BIHM nội tiếp.
Xét tứ giác BIHM có
·
HIB
=1v(gt) ,
·
AMB
= 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒
·
HIB
+
·
AMB
= 2v
⇒
tứ giác BIHM nội tiếp
2) Chứng minh MA là phân giác của
·
CMD
ta có đường kính AB
⊥

CD
⇒
ABđi qua trung điểm của CD đồng thời đi qua điểm chính giữa
cung CD
⇒
»
»
AC AD=
,lại có
·
·
&CMA AMD
là các góc nội tiếp chắn 2cung trên
⇒
·
·
CMA AMD=
⇒ MA là phân giác của
·
CMD
3) Chứng minh AC.HM = CM.DH
xét
∆
ACM và
∆
DHM có
·
·
CAM HDM=
(góc nội tiếp cùng chắn cung CM) ,

·
·
CMA AMD=
(cmt)
⇒

∆
ACM đồng dạng
∆
DHM (gg)
⇒
AC CM
DH HM
=
⇒
AC.HM = CM.DH
4) Chứng minh
·
·
·
2CKM CSM DMB+ =
:
Ta có
·
»
¼
1
( )
2
CKM sd DB sd CM= −

( góc có đỉnh bên ngoài đường tròn),
·
»
¼
1
( )
2
CSM sd DB sd CM= +
( góc có đỉnh bên trong đường tròn)
⇒
·
·
»
CKM CSM sd BD+ =
,
mà
·
»
1
2
DMB sd DB=
⇒
·
·
·
2CKM CSM DMB+ =
5)Chứng minh 4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn:
xét
∆
ACM và

∆
AEM có MC = ME (gt),MA là cạnh chung,
·
·
CMA AMD=
(cmt)
⇒
∆
ACM=
∆
AEM (c-g-c)
⇒

· ·
CAM EAM=
, mà
·
·
CAM HDM=
(cmt)
⇒
·
·
EAH EDH=
,tứ giác
AHED có 2 đỉnh liên tiếp A& D cùng nhìn đoạn HE dưới 1 góc bằng nhau
⇒
tứ giác AHED
nội tiếp
⇒

4 điểm A,H,E,D cùng nằm trên 1 đường tròn
Nhận xét: Bài toán này đã củng cố các kiến thức về tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp, các hệ quả
của góc nội tiếp, quỹ tích cung chứa góc, liên hệ giữa cung và dây cung, góc có đỉnh bên
trong ,bên ngoài đường tròn .
TIẾT 6
Bài 6
Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao AH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: