Hình giải tích và đại số tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (661.29 KB, 66 trang )
1
KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG
MÔN: HÌNH GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Cơ sở của kế hoạch: Đề cương môn học, Giáo án (3tiết lên lớp/1 G.án)
Giáo viên: PGS, TS Nguyễn Xuân Viên
Bài 1.
I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số
I.1.1. Logic mệnh đề và vị từ:
Định nghĩa mệnh đề, các phép toán trên mệnh đề: ∨;∧;⇒;
⇔;
̅
.
Mệnh đề hằng đúng và định lý, 7 định lý quan trọng nhất của logic mệnh đề:
tự đọc mục d) Giáo trình 1 (GTr1).
Mệnh đề lượng tử (vị từ), phủ định của vị từ: tự đọc GTr1, tr.13-14.
Ví dụ: (Hàm () xác định trong lân cận điểm = là hàm liên tục tại x =
a) ⇔∀
(
> 0
)
∃(> 0) ∀
(
|
−
|
<
)
⇒
|
(
)
−()
|
< . Từ đó
(Hàm () xác định trong lân cận điểm = là hàm không liên tục tại x =
⇔∃
(
> 0
)
∀(> 0) ∃
(
|
−
|
<
)
∧
|
(
)
−()
|
≥
I.1.2. Tập hợp và ánh xạ:
Khái niệm tập hợp: tập hợp và phần tử. Các phép toán trên tập hợp, 6 tính
chất cơ bản c1- c6 của các phép toán trên tập hợp: tự đọc GTr1, tr.17-18.
Quan hệ thứ tự từng phần.
Qui nạp toán học: có chứng minh (tr.18-21):
Khẳng định () phụ thuộc số tự nhiên n đúng cho mọi ≥
khi và chỉ
khi thỏa mãn 2 điều kiện:
i) (
) đúng.
ii) Từ () đúng với ≥
suy ra Từ (+1) đúng.
Ánh xạ: định nghĩa ánh xạ, các ví dụ.
Toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Tập tương đương; tập đếm được, tập
continum.
Định lý tồn tại ánh xạ ngược: có chứng minh.
I.1.3. Sơ lược về cấu trúc đại số:
Định nghĩa phép toán trong∘ của tập A. Định nghĩa phép toán ∘ của tập A có
tính kết hợp. Phần tử trung hòa ; phần tử nghịch đảo
của một phần tử a trong
A. Tính duy nhất của , của
.
Nhóm G, nhóm cộng
〈
;+;0
〉
, nhóm Abel, nhóm nhân
〈
;.;
〉
; nhóm nhân
giao hoán
〈
;.;1
〉
.
Khái niệm vành
〈
;+,0;.
〉
. Các vành số quan trọng: vành số nguyên ℤ, các
vành ℝ
[
]
- tất cả các đa thức hệ số thực, ℝ
[
]
– vành tất cả các đa thức P(x)
hệ số thực có bậc
(
)
≤.
2
Khái niệm trường
〈
;+,0;.,1
〉
. Các trường số quan trọng: trường số thực ℝ,
trường số hữu tỷ ℚ.
Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, các phép toán trên số phức. Mặt
phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Công thức Mauvra. Căn bậc n của số
phức: phát biểu và chứng minh định lý về căn bậc n của số phức: Căn bậc n của
số phức =
(
+
)
có đúng n giá trị
,= 0,1,2,…,−1 cho bởi
công thức
=
√
+ 2
+
+ 2
Các ví dụ về căn bậc n của số phức.
Ý nghĩa hình học của căn bậc n của số phức z: n số phức
,=
0,1,2,…,−1 là căn bậc n của số phức z tạo thành n đỉnh của một n- giác đều
trên đường tròn bán kính =
|
|
với một đỉnh ứng với số phức
=
√
+
.
Trong HGT & ĐSTT trường là một trong hai trường cố định: trường số
thực ℝ hoặc trường số phức ℂ.
I.2. Ma trận
I.2.1. Khái niệm ma trận: Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường
=
×
=
…
…
…
…
,
∈
ma trận vuông cấp n trên trường
=
=
…
…
…
…
,
∈
,
(
)
– tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường
(
)
– tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường
Ma trận đường chéo
=
0 … 0
0
… 0
…
0 0 …
,
còn ký hiệu là: = (
,
,…,
)
Ma trận tam giác trên là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía dưới đường
chéo đều bằng 0:
3
=
…
0
…
…
0 0 …
Ma trận tam giác dưới là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía trên đường
chéo đều bằng 0:
=
0 … 0
… 0
…
…
Ma trận đơn vị =
=
(
1,1,…,1
)
; trong đó
=
1ế=
0ế≠
là ký
hiệu Kroneker.
Ma trận block, block-tam giác.
I.2.2. Vành ma trận
(
)
Các phép toán trên ma trận: cộng hai ma trận; Nhóm Abel
〈
,
(
)
;+;
〉
;
nhân ma trận với một số ∈; nhân hai ma trận, tính kết hợp của phép nhân ma
trận, tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Vành ma trận
〈
(
)
;+,; .
〉
là vành có đơn vị E.
Ma trận khả nghịch (GTr1, tr.44-47):
- Khái niệm ma trận khả nghịch, ma trận nghịch đảo
- Nhóm tuyến tính
(
,
)
- Nghịch đảo của tích các ma trận khả nghịch:
(
…
)
=
…
4
Bài 2.
Bài tập: Giáo trình2 (GTr2):
Phương pháp qui nạp toán học: 1.1.11d,e
Gợi ý: sử dụng nguyên lý qui nạp: 1. Kiểm tra cơ sở qui nạp (công thức đúng với
n =1). 2. chứng minh qui nạp : giả sử công thức đúng cho n = m, chứng minh nó
đúng cho n = m+1.
Tập hợp: 1.1.18; 1.1.21
Gợi ý: 1.1.18: dùng đại số tập hợp biến đổi từ vế phức tạp hơn ra vế đơn
giản; Ý a) biến đổi vế phải ra vế trái; ý b) biến đổi vế trái ra vế phải.
Ánh xạ: 1.1.24; 1.1.25; 1.1.28 (ý d không bắt buộc (kbb)); Không bắt buộc:
1.1.34; 1.1.30; 1.1.31
Gợi ý: 1.1.28d): Ký hiệu
tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y. Gọi
,
,…,
là tất cả các tập con của Y có đúng m-1 phần tử, hý hiệu
=
,= 1,2,…, . Rõ ràng số toàn ánh là =
|
|
−
∪
∪
…∪
|
=
−
|
∪
∪…∪
|
, sử dụng bài 1.1.26 ta nhận được số
T như trong đáp số.
Số phức: 1.2.10 (kbb) ; 1.2.14; 1.2.17; 1.2.19; 1.2.21;
1.2.14
a) 1 +18
b) 10−11
c) i
2
1
d) 1 +
1.2.19
=
1
+
−
1
(
=
0
,
1
,
2
,
…
,
−
1
)
;
=
√
−
1
=
1
+
−
1
(
=
0
,
1
,
2
,
…
,
−
1
)
;
=
√
1
;
=
+
−
1
(
=
0
,
1
,
2
,
…
,
−
1
)
;
=
√
−
1
1.2.21
a)
2
cos
+
sin
b)
cos
−
sin
c)
2
1
+
√
3
d)
2
√
5
Thêm 2 bài về hình học số phức:
1. Tìm miền biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức (VT351)
a)
|
+ 1
|
+
|
−1
|
= 3
b)
|
+ 2
|
−
|
−2
|
= 3
c)
|
−2
|
= 2 +
d)
|
+ 3 +4
|
≤5
2. Tìm vị trí của các điểm trên mặt phẳng phức ứng với các số phức
,
,
thỏa mãn
+
+
= 0
|
|
=
|
|
=
|
|
(VT347)
Gợi ý: Bài 1.a) Theo định nghĩa là Elip
+
= 1 có tiêu điểm
(
−1,0
)
,
(
1,0
)
;2= 3,2= 2
1.b)
−
= 1
1.c)
= 8; tiêu điểm
(
2,0
)
, đường chuẩn = −2
1.d) Hình tròn
(
+ 3
)
+
(
+ 4
)
≤25
Bài 2. Các đỉnh của tam giác đều ABC trên đường tròn tâm O(0,0) bán kinh
=
|
|
.
Đa thức và phân thức: 1.3.3a,b; 1.3.4a; 1.3.5a,c; 1.3.6a,b;
Gợi ý: Sử dụng lược đồ Hoocner GTr1, tr12-13 cho các bài 1.3.3a,b; 1.3.4a
1.3.5 Tìm tất cả các nghiệm phức
1.3.6 Tìm tất cả các nghiệm thực, cặp các nghiệm phức liên hợp =+
và̅= − cho ta thừa số
(
−
)(
−̅
)
=
−2+
+
1.3.3
a) 3. Gợi ý:
(
1
)
=
(
1
)
= 0;′′′
(
1
)
≠0
b) 3.
1.3.4a
a)
(
)
=
(
−2
)
−18
(
−2
)
+ 38
1.3.5
a)
(
−
1
)
(
−
2
)
(
−
3
)
c)
−
√
3
+
√
3
−
−
√
−
+
√
+
3
2
−
√
3
2
+
3
2
+
√
3
2
1.3.6
a)
(
+ 3
)(
+ 3+ 3
)(
−3+3
)
;
6
b)
−2
+ 1
+ 2
+ 1
+ 2
+ 1
Ma trận: 2.1.22b,c,d; 2.1.23a,b; 2.1.25; 2.1.26; 2.1.34; 2.1.42
Gợi ý:
2.1.22
)
=
1
0 1
0 0 1
,
Gợi ý:Viết A = E+B với =
0 1 1
0 0 1
0 0 0
và sử dụng bài 2.1.21.
2.1.23
a)
=
nếulàsốchẵn
nếulàsốlẻ
b)
⎣
⎢
⎢
⎡
(
−1
)
(
−1
)
(
−1
)
(
−1
)
(
−1
)
+
(
−1
)
(
)
(
−1
)
(
)
(
−1
)
(
−1
)
(
)
(
−1
)
+
(
−1
)
(
)
⎦
⎥
⎥
⎤
,
Gợi ý: Viết =−;trongđó=
0
1 0 0
−1 0 −1
,
= vớimọi≥3
và áp dụng bài 2.1.21.
2.1.25, 2.1.26 khi tìm
có thể tính trực tiếp, biểu diễn = + thì thấy
=
= ⋯=
= nên
=
(
+
)
= +
(
2
−1
)
.
2.1.34 Gọi =
. Điều kiện
= trở thành hệ phương trình, giải ra
được hai loại ma trận
=
0 0
0
,
=
−
−
(≠0)
2.1.42 có thể chứng minh trực tiếp rằng ma trận A thỏa mãn phương trình
−+ = 0 ; trong đó =
,=
+
, từ đó
ta có
=
và tất nhiên là
=
⇔=.
7
Bài 3.
I.3. Định thức cấp n
I.3.1. Khái niệm định thức cấp n:
Khái niệm nghịch thế, hoán vị, bổ đề cơ bản về hoán vị: Thay đổi hai vị trí
bất kỳ trong hoán vị làm thay đổi tính chẵn, lẻ của hoán vị ấy (hs tự đọc chứng
minh GTr1 tr.48)
Định nghĩa định thức cấp n của ma trận =
∈
(
)
:
=
…
(
,
,…,
)
;
Trong đó tổng được lấy theo tất cả n! các hoán vị khác nhau
(
,
,…,
)
của
{
1,2,…,
}
.
Các hệ quả từ định nghĩa
- Định thức (của ma trận) có một hàng (cột) gồm toàn số 0 thì bằng 0
- Định thức có hai hàng tỷ lệ thì bằng 0
- Định thức (của ma trận) dạng tam giác bằng tích các phần tử trên đường
chéo
Ví dụ định thức cấp 2, 3.
Ba tính chất đặc trưng a), b), c) của định thức và các hệ quả (GTr1,tr53-57)
Định thức dạng tam giác (ma trận dạng tam giác), ba biến đổi sơ cấp của
định thức (tính định thức bằng phương pháp Gauss) đưa định thức về dạng tam
giác; ví dụ minh họa cho định thức cấp 5
1 −1 1 1 1
0 1 1 −1 1
1 1 −1 −1 1
1 1 1 −1 1
1 1 1 1 1
=
1 −1 1 1 1
0 1 1 −1 1
0 2 −2 −2 0
0 2 0 −2 0
0 2 0 0 0
= −8
1 −1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 −1 −1 0
0 1 0 −1 0
0 1 1 −1 1
= −8
1 −1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 −1 −1 0
0 0 0 −1 0
0 0 1 −1 1
= −8
1 −1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 −1 −1 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 −2 1
=
= −8
1 −1 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 −1 −1 0
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 1
= −8.1.1.
(
−1
)
.
(
−1
)
.1 = −8. Trong đó ở bước thứ
ba ta đã rút các thừa số chung 2 ra ngoài dấu định thức và đổi chỗ ℎ
↔ℎ
.
8
I.3.2. Khai triển định thức theo một hàng (một cột): chứng minh công thức
khai triển theo một hàng. Môi trường ứng dụng các khai triển định thức theo
hàng, cột. Cho ví dụ. Khai triển định thức theo k hàng (k cột): Định lý Laplace
(tự đọc chứng minh: GTr1, tr61). Định thức của tích hai ma trận (tự đọc chứng
minh: GTr1, tr62). Định thức ma trận block-tam giác
I.3.3. Cách tính định thức: tự đọc GTr1, tr.65-69. Cho ví dụ minh họa phương
pháp tổng hợp: vừa sử dụng pp Gauss vừa pp phân tích theo hàng, cột. Ở ví dụ
trên sau bước thứ ba ta được:
= −8
1 −1
0 1
.
−1 −1
0 −1
.1 =
(
−8
)
.1.1.1 = −8, đó chính là hệ quả của
định lý Laplace: định thức ma trận block tam giác bằng tích các định thức block
trên đường chéo.
I.4. Ma trận nghịch đảo
I.4.1. Hạng của ma trận:
i) Định nghĩa hạng của ma trận: , tính chất.
ii) Phương pháp Gauss đưa ma trận vuông về dạng đường chéo (bằng biến
đổi sơ cấp hàng và cột):
- Các ma trận biến đổi sơ cấp
,
(
)
,
(
)
. Ý nghĩa của phép nhân ma
trận A với các ma trận biến đổi sơ cấp:
;
;
(
)
;
(
)
;
(
)
;
(
)
.
- Phân tích ma trận vuông = ; trong đó D là ma trận đường chéo; B,
C là các ma trận khả nghịch và là tích các ma trận biển đổi sơ cấp (tự đọc, GTr1,
tr.74-76).
Thuật toán tìm hạng của ma trận
Vì hạng của ma trận không thay đổi qua các biến đổi sơ cấp, dễ dàng chứng
minh được tính đúng đắn của thuật toán tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ
cấp (hay còn gọi là phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận) sau đây:
Bằng các biến đổi sơ cấp hàng và cột của ma trận có thể đưa ma trận về dạng
có một số phần tử khác 0 nằm ở khác hàng, khác cột. Số các phần tử khác không
này bằng hạng của ma trận. Trong khi thực hiện phương pháp Gauss nếu trên một
hàng nào đó chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác
trên cột của phần tử khác không này. Tương tự cho cột: nếu trên một cột nào đó
chỉ có một phần tử khác 0 thì tự động khoanh 0 các phần tử khác trên hàng của
phần tử khác không này. Trường hợp ma trận A phụ thuộc tham số ta thực hiện
phương pháp Gauss đến khi gặp trường hợp mà trên một hàng hoặc một cột nào
đó có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp:
9
- Trường hợp thứ nhất: thừa số chung này bằng 0, khi đó tham số có giá trị
cụ thể, bài toán được giải quyết.
- Trường hợp thứ hai: thừa số chung này khác 0, ta tiến hành giản ước nó đi
và tiếp tục phương pháp Gauss.
Như vậy là nhu cầu biện luận tham số chỉ cần thiết khi xuất hiện thừa số
chung trên một hàng hay một cột nào đó của ma trận. Biến đổi: lấy hàng thứ i của
ma trận nhân với a rồi cộng vào hàng thứ j ta sẽ viết ℎ
+ ℎ
, tương tự
+
:
sẽ là lấy cột thứ i của ma trận nhân với a rồi cộng vào cột thứ j. ⊙ - là ký hiệu
phần tử đã được tự động khoanh 0.
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A sau tùy thuộc vào các giá trị khác nhau của
tham số m
=
−1 0 1 1
2 1 −1 1
−1 2 1 −1
1 2 −1 0 0
.
Sau khi thực hiện các biến đổi −ℎ
+ ℎ
,ℎ
+ ℎ
ta được
⊙ ⊙ 0 ⊙ 1
2− 2 −1 −1 0
−1 1 2 0
1 2 −1 0 0
0 0 0 0 1
−3+ 4 0 −2−1 −5 0
⊙ 1 ⊙ ⊙ 0
3 −2 0 −2−1 −4 0
.
Cột thứ ba có thừa số chung −2−1, ta dừng lại biện luận
- TH1: = −
: ta nhận được ma trận
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
⇒= 3.
- TH2: ≠−
: Giản ước cột thứ ba cho −2−1 ta nhận được
0 0 0 0 1
1− 0 0 −1 0
0 1 0 0 0
⊙ 0 1 ⊙ 0
Trên hàng thứ hai có thừa số chung −1, dừng lại biện luận hai trường hợp
con trong trường hợp 1
(i) m = 1, tương tự như TH1 ta có = 3.
(ii) ≠1, Giản ước hàng thứ hai cho −1 ta nhận được
10
0 0 0 0 1
−1 0 0 ⊙ 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
⇒= 4.
Như vậy ta nhận được kết quả cuối cùng :
=
3nếu∈−
,1
4nếu≠−
,≠1
.□
I.4.2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo: có chứng minh (GTr1, tr.64)
I.4.3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng PP Gauss, thuật toán và ví dụ (GTr1,
tr.76-78):
- Đưa ma trận khả nghịch A về ma trận đơn vị E chỉ bằng các biến đổi sơ
cấp hàng: = ; trong đó T là tích các ma trận biển đổi sơ cấp.
- Cơ sở toán học của thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng PP Gauss:
= ⇔
= .
Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp và giải hệ phương trình tuyến
tính
Ma trận sơ cấp∈
() là ma trận nhận được từ ma trận đơn vị
∈
() bằng một biến đổi sơ cấp hàng (hoặc cột). Mỗi biến đổi sơ cấp hàng
của ma trận A tương đương với nhân về phía bên trái A với một trong ba loại ma
trận sơ cấp thích hợp tương ứng với các biến đổi sơ cấp của ma trận : đổi chỗ hai
hàng, lấy một hàng nhân với một số rồi cộng vào hàng khác, nhân một hàng với
một số khác 0. Thuật toán tìm
bằng biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A được
mô tả như sau:
(
|
)
→
(
|
)
.
Diễn đạt bằng lời có nghĩa là bằng biến đổi sơ cấp hàng của ma trận block
(
|
)
( ma trận có n hàng, 2n cột) nếu mà bên trái nhận được ma trận đơn vị E
thì bên phải từ E sẽ nhận được
.
Ví dụ: Với =
−1 0 −1
−1 1 0
2 0 1
quá trình tìm
được viết như sau:
−1 0 −1
−1 1 0
2 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
→
1 0 1
0 1 1
0 0 1
−1 0 0
−1 1 0
−2 0 −1
11
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
1 1 1
−2 0 −1
vậylà
=
1 0 1
1 1 1
−2 0 −1
.□
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ n phương trình tuyến tính không thuần nhất n ẩn có vế phải bằng chữ
[
]
=
[
]
Nếu hệ này có nghiệm duy nhất thì tồn tại
và nghiệm được viết dưới dạng
ma trận
[
]
=
[
]
Cho nên hàng thứ k của ma trận
cần tìm chính là hàng hệ số của
,
k = 1, 2, …, n viết theo thứ tự các chữ
(
,
,…,
)
.
Ví dụ : Tìm
nếu =
1 0 0
2 1 0
−1 0 1
.
Ứng với A ta có hệ phương trình
=
2
+
=
=
+
và như thế ta có
=
1 0 0
−2 1 0
1 0 1
.□
12
Bài 4.
Bài tập: GTr2:
Định thức:2.2.4; 2.2.6; 2.2.14f,h; 2.2.15a,b,c,d; 2.2.23; 2.2.25a
Gợi ý:
2.2.4: Đổi chỗ ℎ
↔ℎ
được định thức block-tam giác:
= −
1 2
3 4
.
1
1
1
= 2
(
−1
)
= 2
;
(
)
= 2
2.2.6:
(0) chính là hệ số của x trong
(
1 +
)(
1 +
)
…
(
1 +
)
,
các số hạng khác của
(
)
=
(
+
)
đều từ bậc hai trở lên nên ở
trong
(0) bằng 0.
(
0
)
= =
+
+ ⋯+
2.2.14 f): 1 - Biến đổi sơ cấp: theo thứ tự
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
,
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
,
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
,
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
,
(
−0,1
)
ℎ
+ ℎ
h)
=
1
+
(
−
1
)
2
Gợi ý: −ℎ
+ ℎ
,−ℎ
+ ℎ
,…,−ℎ
+ ℎ
sau đó phân tích theo cột
thứ nhất được
=
(
−1
)
+
.
2.2.15 a) lấy hàng thứ n nhân với (-1) rồi cộng lên tất cả các hàng trên.
2.2.23
Gợi ý: Sử dụng tính cộng tính của định thức viết mỗi hàng của A+x thành tổng
hay dưới dạng vectơ hàng là
(
+ ,
+ ,…,
+
)
=
(
,
,…,
)
+
(
,,…,
)
Rồi phân tích định thức thành tổng của 2
định thức; trong đó có một định
thức là detA , còn lại các định thức khác nhận được từ detA bằng cách thay một
hàng nào đó bởi hàng toàn x. Dễ dàng thấy định thức có một hàng toàn x bằng x
nhân với tổng các phần bù đại số của hàng đó.
2.2.25
a) =
(
−
)
[
+
(
−1
)
]
nếu= ;
=
(
−
)
−
(
−
)
−
nếu≠.
Cách1: −ℎ
+ ℎ
,−ℎ
+ ℎ
,…,−ℎ
+ ℎ
sauđóphântíchtheocột thứ
nhất được công thức truy hồi đơn.
Cách2: Giải: Sử dụng bài 2.2.22.
13
=
(
−
)
= −
,
(1)
=
(
−
)
= −
,
(2)
Nếu ≠ thì nhân hai vế (1) với b, hai vế (2) với (- c) rồi cộng lại ta nhận
được kết quả như trên. Khi b = c sử dụng bài 2.2.23. ta có
=
(
−
)
= −
,
= −
,
=
−
(
−
)
và có kết quả như trên.□
Ma trận (tiếp theo): Hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo: GT2: 2.1.45a,b;
2.1.46b,c,e;
2.1.47a,b,d,j,k; 2.1.53a,f,g
Gợi ý: Áp dụng thuật toán tìm hạng ma trận (GTr1, tr27)
2.1.46
b) 1nếu= 1,3nếu= −3,4nếu≠1,≠−3
c) 2nếu= 1,3nếu=2ℎặ= 3,4nếu≠1,≠2,≠3
e) 3nếu= 0,= −2hoặc= −4,4nếu≠0,≠−2, ≠−4
2.1.47.
a)
−1 2
1 −1
b)
0 −1 1
−1 1 0
1 0 0
d)
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
j)
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1 −2 1 0 0 … 0 0 0
0 1 −2 1 0 … 0 0 0
0 0 1 −2 1 … 0 0 0
…
0 0 0 0 0 … 1 −2 1
0 0 0 0 0 … 0 1 −2
0 0 0 0 0 … 0 0 1
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
14
Gợi ý: −ℎ
+ ℎ
,−ℎ
+ ℎ
,…,−ℎ
+ ℎ
và lặp lại lần hai.
k)
1
6
3 0 1 2
3 −3 0 0
3 0 −3 0
−3 3 2 −2
2.1.53 f) có thể sử dụng bài 2.1.54 biến đổi sơ cấp hàng từ
(
|
)
đến
(
|
)
:
0 0 1
0 1 1
1 1 1
1 −1
1 2
0 1
→
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1 −1
0 3
1 −1
Vậy là =
−1 −1
0 3
1 −1
Ý g) đưa về ý f) bằng cách chuyển vị
=
⇔
=
(
)
; thực hiện vế phải theo ý f) sau đó chuyển vị
được ma trận X cần tìm.
)
1 1
0 0
)
−1 −1
0 3
1 −1
)
1 2 −1 0
5 6 −9 8
15
Bài 5.
I.5. Hệ phương trình tuyến tính
I.5.1. Hệ Gauss và công thức Cramer:
Hệ n pttt n ẩn
[
]
=
[
]
(1) . Hệ Gauss là hệ có ≠0;
Công thức nghiệm của hệ (1) dưới dạng ma trận:
[
]
=
[
]
(2)
và công thức Cramer (có chứng minh):
=
|
|
|
|
,= 1,2,…,;
trong đó
là ma trận nhận được từ A bằng cách gạch bỏ cột thứ k thay bằng cột
hệ số tự do.
I.5.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát: Hệ m pttt tổng quát n ẩn
[
]
=
[
]
, định lý Croneker – Capelli (tự đọc chứng minh), nghiệm tổng quát và
nghiệm riêng. Tìm tất cả các nghiệm của hệ pttt tổng quát.
I.5.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Định lý: Để hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn
[
]
= có nghiệm
khác không điều kiện cần và đủ là: <
CM: Cần: Hệ
[
]
= có nghiệm khác không thì < . Thật vậy nếu
ngược lại , rankA = n thì hệ đã là hệ Gauss có nghiệm duy nhất bằng không, trái
với giả thiết.
Đủ: Hệ
[
]
= có = < thì theo định lý Croneker- Capelly sẽ có
số ẩn tự do bằng −≥1. Cho một ẩn tự do giá trị khác 0 được nghiệm khác
không.
Hệ nghiệm cơ bản, cách tìm hệ nghiệm cơ bản.
I.5.4. PP Gauss giải hệ PTTT: mô tả phương pháp, ý nghĩa thực hành của
phương pháp Gauss giải hệ pttt tổng quát.
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát
16
Phương pháp Gauss là phương pháp thực hành giải hệ m phương trình tuyến
tính tổng quát n ẩn; trong đó m, n là hai số nguyên dương tùy ý.
Thực chất của phương pháp Gauss là phương pháp loại trừ ẩn số bằng biến đổi
tương đương hệ phương trình. Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình đó
là:
(i) Đổi chỗ hai phương trình
(ii) Lấy hai vế của một phương trình nhân với một số ∈ rồi cộng tương
ứng vào phương trình khác
(iii) Nhân hai vế của một phương trình với một số ∈,≠0.
Rõ ràng là các phép biến đổi tương đương trên chỉ tác động đến các hệ số của các
phương trình mà không tác động đến các ẩn số, vì thế khi thực hiện phương pháp
Gauss giải hệ phương trình tuyến tính người ta không viết các ẩn số mà chỉ viết
ma trận hệ số của các phương trình. Ma trận đầu tiên của phương pháp Gauss giải
hệ m phương trình tuyến tính tổng quát n ẩn
[
]
=
[
]
có dạng
(
|
)
=
…
…
…
…
.
Nếu hệ không thuần nhất thì các ma trận của phương pháp Gauss có gạch sọc
ngăn cách với cột hệ số tự do. Hàng thứ i của ma trận là hàng hệ số của phương
trình thứ i được viết theo thứ tự các ẩn số
,
,…,
. Nếu không có gạch sọc
ngăn cách người ta hiểu hệ là hệ thuần nhất. Ba biến đổi tương đương hệ phương
trình nói trên tương ứng với ba biến đổi sơ cấp của ma trận
(
|
)
.
Giả sử
≠0, khi đó ta thực hiện
Bước1: Lấy hàng thứ nhất nhân với −
rồi cộng vào hàng thứ hai, theo thỏa
thuận từ trước ta sẽ viết −
ℎ
+ ℎ
và tiếp tục −
ℎ
+ ℎ
,…,−
ℎ
+
ℎ
. Kết quả sau bước1 ta nhận được ma trận của phương pháp Gauss là
…
0 ′
… ′
…
0 ′
… ′
′
…
′
Phương trình có chứa
≠0 mà ta đã dùng để loại trừ ẩn
ra khỏi các
phương trình còn lại được gọi là phương trình gốc. Như vậy trong ví dụ này sau
17
bước1 ta đã lọai được một ẩn
ra khỏi các phương trình thứ 2, 3,…, m. Các
phương trình gốc được đưa lên phía trên theo thứ tự các bước 1, 2,…. Sau không
quá n-1 bước ta sẽ nhận được hàng cuối cùng khác không có một trong hai dạng
sau đây:
Loại1: Bên trái gạch sọc toàn số 0, còn bên phải khác 0- hệ vô nghiệm.
Loại2: Bên trái gạch sọc có ít nhất một hệ số khác 0. Trong trường hợp này hệ
có nghiệm. Số ẩn tự do n-r bằng số n trừ đi số phương trình r khi kết thúc phương
pháp Gauss. Cho các ẩn tự do các giá trị tùy ý trong ta sẽ nhận được tất cả các
nghiệm của hệ phương trình. Nghiệm của hệ phương trình phụ thuộc các ẩn tự do
được gọi là nghiệm tổng quát. Để tìm nghiệm của hệ phương trình người ta
ngược từ dưới lên theo các phương trình gốc. Khi hệ thuần nhất có nghiệm khác
0 thì hệ có hệ nghiệm cơ bản. Hệ nghiệm cơ bản có n-r nghiệm có thể tìm được
bằng cách cho n-r bộ giá trị các ẩn tự do sao cho ma trận thành lập từ các hàng
giá trị này là ma trận khả nghịch. Đơn giản nhất là cho ma trận n-r bộ giá trị các
ẩn tự do là ma trận đơn vị ∈
(
)
.
Khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số, ta áp dụng
phương pháp Gauss đã xét ở trên đến khi gặp trường hợp trên một hàng nào đó
của ma trận hệ có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai
trường hợp như trong thuật toán tìm hạng của ma trận đã mô tả cặn kẽ ở mục c).
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m. Tìm hệ nghiệm
cơ bản.
+
−6
+ 3
= 0
+
+ 2
−
= 0
−
+ 2
+
+
= 0
Giải và biện luận bằng phương pháp Gauss
1 1 −6 3
1 2 −1
−1 2 1
~
1 1 −6 3
0 −1 8 −4
0 3 −6 4
~
1 1 −6 3
0 3 −6 4
0 + 2 + 2 0
TH1: m = -2 hệ trở thành
18
1 1 −6 3
0 3 −8 4
,cónghiệmtổngquát
(
NTQ
)
=
−
=
−
,
,
tùyý
hay
= 3
= 3
= 10−5
= 8−4
;,∈tùyý.(1)
Hệ nghiệm cơ bản
{
,
}
với
=
(
10,8,3,0
)
,
=
(
−5,−4,0,3
)
.
TH2: ≠−2 giản ước hàng thứ ba cho m+2 ta được hệ tương đương
1 1 −6 3
0 3 −6 4
0 1 1 0
,1ẩntựdo
,
cóNTQ
= 4
= (3+1)
= −4
= (9 −)
;∈tùyý,(2)
hệ nghiệm cơ bản
{
}
ớ=
(
3+1,−4,4,9−
)
.
Kết luận:
(i) Khi m = -2 hệ có NTQ (1), hệ nghiệm cơ bản
{
,
}
(ii) Khi ≠−2 hệ có NTQ (2), hệ nghiệm cơ bản
{
}
.□
19
Bài 6.
Bài tập: GTr2: I.5
2.3.6a,b; 2.3.7a,b,c,e; 2.3.9a,b,c; 2.3.10b,c; 2.3.16a,b.
2.3.6
a) NTQ:
=
−9
−2
11
,
=
−5
+
+ 10
11
(
,
tùyý
)
;
(
0,1,−1,1
)
;
b) NTQ:
=
1 −13
7
,
=
8
−6
7
,
=
15−6
7
(
tùyý
)
;
(
2,−2,3,−1
)
2.3.7
a) (i)
=
= 1/8,
= 1/2khi= 3,
(ii)
= 0,
= 1/3,
= 2/3khi= 1,
(iii)Vônghiệmkhi≠1/3,≠2/3;
b)
(i) NTQ:
= 1−
−
−
(
,
,
tùyý
)
khi= 1,
(ii) Vônghiệmkhi= −3,
(iii) Nghiệm duy nhất
=
=
=
= 1/(3+ )
khi≠1,≠−3.
c)
(i) Vônghiệmkhi= −3,= 0,
(ii) Khi ≠0,≠−3 có nghiệm duy nhất
=
2−
(
+3
)
,
=
2−1
(
+3
)
,
=
+ 2
−−1
(
+3
)
e)
(i) Khi = 6 có NTQ:
= 3
−2
,
= 11
+ 3
−4
,
,
tùy ý,
(ii) Khi ≠6 có
NTQ:
= 3
,
=
= 0,
= 11
(
tùyý
)
;
20
Gợi ý: Ma trận cuối cùng của phương pháp Gauss là
4 −1 3 −1 4
−1 3 0 0 −2
0 0 −6 0 0
0 0 0 0 −6
2.3.9
a)
2 −1 1
+4 0 5
2−2 0 0
−3 0 −−2
(i) Khi = 1, hệ có NTQ:
=
,
= −
(
tùyý
)
, hệ nghiệm
cơ bản có 1 nghiệm (1,1,-1),
(ii) Khi ≠1, hệ có nghiệm duy nhất
=
=
=
= 0
b)
2 −1 1 1
−−2 3 0 0
2
(
−1
)
−1 0 0
(i) Khi = 1, hệ có NTQ:
=
,
= −
−
(
,
tùyý
)
,
hệ nghiệm cơ bản
{(
1,1,−1,0
)
,
(
0,0,−1,1
)}
(ii)
2 −1 1 1
2 1 0 0
−−8 0 0 0
Khi = −8, hệ có
NTQ:
= −2
,
= −4
−
(
,
tùyý
)
, hệ nghiệm cơ bản
{(
1,−2,−4,0
)
,
(
0,0,−1,1
)}
Khi ≠−8,≠1, NTQ:
=
= 0,
= −
(
tùyý
)
, hệ nghiệm cơ
bản
{(
0,0,−1,1
)}
c)
1 −2 1
−−1 1 + 2 0
+ 1 + 1 0 0
1 −3 −2 0 0
(i) Khi = −1,
hệ có NTQ:
= 2
,
= −2
,
= −5
(
tùyý
)
. Hệ nghiệm cơ
bản
{(
1,2,−2,−5
)}
.
(ii) Khi = 1
hệ có NTQ:
= −
,
=
,
= 2
(
tùyý
)
. Hệ nghiệm cơ bản
{(
1,−1,1,2
)}
.
21
(iii) Khi = −2
hệ có NTQ:
=
= 0,
= 2
(
tùyý
)
. Hệ nghiệm cơ bản
{(
0,0,1,2
)}
.
(iv) Khi ≠−2,≠−1,≠1 hệ có nghiệm duy nhất
=
=
=
= 0.
2.3.10
b) Ma trận =
×
có vectơ cột thứ j là
(
,
,
)
thỏa mãn hệ
phương trình tuyến tính
[
]
=
; trong đó
(= 1,2) − là ma trận
cột thứ j của ma trận B. Giải bằng phương pháp Gauss hai hệ phương trình
này ta được tất cả các ma trận
=
−+2 −2 −
3−1 4 +3
2 1+2
(,∈ℝ);
c) Ma trận =
×
có vectơ cột thứ j là
(
,
,
,
)
thỏa mãn hệ
phương trình tuyến tính
[
]
=
; trong đó
(= 1,2) − là ma trận cột
thứ j của ma trận B. Giải bằng phương pháp Gauss hai hệ phương trình này
ta được tất cả các ma trận
=
2+ 2−2 2 + 2−2
−1 −+ 1−+
(,,,∈ℝ)
2.3.16
a)
{(
1+ 3−2,1 −2,
)
}
(
,∈ℤ
)
;
Gợi ý:
=
= 2−
−2
+
−là số nguyên khi và chỉ khi
= và
= − là các số nguyên.
b)
{(
,0,22−11,8 −16
)}
(
∈ℤ
)
Gợi ý: Giải bằng phương pháp Gauss
2 −3 5 7
0 3 −8 −11
0 0 −8 −11
1
0
0
NTQ:
= ,
= −
,
= 0,
=
(
∈ℝ
)
.
Đặt
= ∈ℤ ta có nghiệm nguyên như đáp số.
{(
−16−8,6+3,1,
)
(
∈ℤ
)}
22
Bài 7.
Bài tập: Kiểm tra chương 1 (2tiết)
Lý thuyết (1 tiết)
II.1. Không gian vectơ và không gian vectơ con
II.1.1. Khái niệm không gian véctơ và không gian véctơ con
Định nghĩa không gian vectơ
〈
,
〉
trên trường , các ví dụ về các không gian
vectơ thường gặp:
,
– Không gian các vectơ bán kính ⃗=
⃗
trên mặt phẳng, trong không
gian tương ứng với phép công hai vectơ theo qui tắc hình bình hành, nhân vectơ
với một số thông thường;
– Không gian tọa độ n chiều
=
{
=
(
,
,…,
)}
với các tọa độ
∈;
,
(
)
- Không gian các ma trận cấp (m,n) trên trường ;
ℝ
[
]
- Không gian các đa thức hệ số thực;
(
0,1
)
- Không gian các hàm số số thực xác định trên khoảng
(
0,1
)
.
Định nghĩa không gian vectơ con . Các ví dụ về các không gian vectơ con quan
trọng.
ℝ
[
]
- Không gian các đa thức hệ số thực có bậc ≤;
Không gian con sinh bởi hệ vectơ
(
,
,…,
)
trong không gian vectơ
〈
,
〉
;
N
0
- Không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất
[
]
= ;∈
,
(
)
.
23
Bài 8.
II.1.2. Cơ sở và chiều của không gian vectơ
Hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính, các ví dụ.
Khái niệm cơ sở của KGVT; tọa độ vectơ.
Bổ đề: Trong không gian vectơ
〈
,
〉
có hai hệ vectơ
{
,
,…,
}
(1)
,
,…,
(2)
Hệ (1) độc lập tuyến tính, còn hệ (2) biểu diễn tuyến tính qua hệ (1) và có số
vectơ > . Khi đó hệ (2) là hệ pttt. (có cm)
Định lý cơ bản về cơ sở (không chứng minh)
Các cơ sở trong một không gian vectơ (khác
{
}
)có cùng số các vectơ
Chiều của không gian: số vectơ trong một cơ sở của không gian vectơ V được gọi
là chiều của không gian đó và ký hiệu là .
Cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất
[
]
= ;∈
,
(
)
(không chứng minh): gian nghiệm N
0
của hệ PTTT thuần nhất
[
]
= ;∈
,
(
)
có dim N
0
= n- rankA, hệ cơ sở của N
0
tìm từ công
thức NTQ mỗi lần cho một ẩn tự do bằng 1, các ẩn tự do khác bằng 0 (hệ có r ẩn
tự do).
Cơ sở và chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ: Không gian
=
(
,
,…,
)
sinh bởi hệ vectơ
{
,
,…,
}
có cơ sở là một hệ con đltt
lớn nhất trong đó.
II.1.3. Toạ độ véctơ khi đổi cơ sở
Ma trận chuyển cơ sở C là ma trận khả nghịch, công thức tọa độ của véctơ khi
đổi cơ sở:
Giả sử
(
,
)
là một không gian vectơ (hữu hạn chiều) trên trường
(= ℝ hoặc = ℂ cố định).
{
,
, ,
}
là một cơ sở cố định của V. Ta
cũng dùng ký hiệu
[
]
để chỉ ma trận cột hình thức của
,
, ,
tức là
24
[
]
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
.
.
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
Đương nhiên khi này
[
]
=
[
…
]
là ma trận hàng hình thức
của
,
, ,
.
(
,
, ,
)
là tọa độ của vectơ a trong cơ sở
{
e
}
, tức là
=
+
+ +
hay có thể viết dưới dạng ma trận
=
[
]
[
]
Giả sử
{
}
là một cơ sở khác của V. Khi đó tồn tại các
∈ để
=
+
+ +
= 1,2, ,
(1)
hay dưới dạng ma trận
[
]
=
[
]
(
2
)
.
Ma trận =
xác định theo hệ thức (1) hoặc (2) được gọi là ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở
{
}
sang cơ sở
{
}
;trong đó tọa độ của
là cột thứ k
của ma trận C. Dễ dàng thấy, nếu
{
}
là một cơ sở còn
{
}
là một hệ vectơ của
V xác định theo (2) thì
{
}
là cơ sở của V khi và chỉ khi C là ma trận khả
nghịch.
Gọi
(
,
, ,
)
,
(
,
, ,
)
là các tọa độ của cùng một vectơ a trong
các cơ sở
{
}
,
{
}
tương ứng. Ta có
[
]
=
[
]
(3).
II.1.4. Hạng của hệ vectơ. Định lý về hạng của ma trận
Khái niệm hạng của hệ vectơ, Định lý về hạng của ma trận (có chứng minh):
Định lý về hạng của ma trận
Hạng của hệ vectơ
{
,
, ,
}
trong V được ký hiệu là
{
,
, ,
}
. Ta có
{
,
, ,
}
=
(
,
, ,
)
.
Giả sử =
×
là ma trận có m hàng, n cột với
∈. Khi đó ta gọi
ℎ
=
(
,
,…,
)
,
=
,
,…,
tương ứng là các vectơ hàng thứ
i, cột thứ j của ma trận A.
Định lý về hạng của ma trận: Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ các
vectơ hàng cũng bằng hạng của hệ các vectơ cột . Như vậy là
=
{
ℎ
,ℎ
, ,ℎ
}
=
{
,
,…,
}
.
Hạng của hệ vectơ
Hạng của hệ vectơ
{
,
, ,
}
bằng số vectơ trong hệ con độc lập tuyến
tính lớn nhất trong
{
,
, ,
}
. Có thể lấy một hệ con độc lập tuyến tính lớn
25
nhất tùy ý trong
{
,
, ,
}
làm cơ sở của không gian
(
,
, ,
)
sinh
bởi hệ vectơ
{
,
, ,
}
Bài toán tìm cơ sở và chiều của không gian =
(
,
, ,
)
được đưa
về bài toán tìm hạng của ma trận A thành lập từ các hàng (hoặc các cột) tọa độ
của các vectơ
. Khi thực hiện phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận A có
liên quan đến tìm cơ sở và chiều của không gian vectơ ta không được đổi chỗ
các hàng (cột). Số phần tử khác không trong ma trận cuối cùng của phương
pháp Gauss nằm ở khác hàng, khác cột mà trên các hàng có số thứ tự
,
,…,
thì các vectơ
,
, ,
có thể lấy làm cơ sở của
(
,
, ,
)
. Chú ý ở
đây ta tìm cơ sở trong số các vectơ đã cho
{
,
, ,
}
.
Ví dụ: Cho
=
(
2,−1,1,1
)
,
=
(
−,2,1,1
)
,
=
(
,,2,2
)
,
=
(
2,+ 1,4,4
)
là các vectơ trong ℝ
. Ta hãy tìm cơ sở của
=
(
,
,
,
)
tùy theo các giá trị khác nhau của tham số .
Trước hết ta thành lập ma trận từ các hàng tọa độ của các vectơ theo thứ
tự
,
,
,
là
=
2 −1 1 1
− 2 1 1
2 2
2 +1 4 4
.
Áp dụng thuật toán tìm hạng ma trận, sau bước thứ nhất ta nhận được ma trận
0 0 0 1
−−2 3 0 0
−4 +2 0 0
−6 +5 0 0
và sau khi lấy hàng hai nhân với -1 rồi cộng vào hàng ba ta có
0 0 0 1
−−2 3 0 0
2−2 −1 0 0
−6 +5 0 0
Trường hợp 1: = 1, ta nhận được
0 0 0 1
−1 1 0 0
0 0 0 0
−1 1 0 0
~
0 0 0 1
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
cho ta cơ sở của L là
{
=
(
2,−1,1,1
)
,
=
(
−1,2,1,1
)}
.
Trường hợp 2: ≠1, sau khi giản ước hàng 3 cho −1 và dùng nó làm gốc
ta nhận được
