MÔ HÌNH tối ưu TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG III
MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH (QHTT)
I. Thí dụ mở đầu
II. Mô hình bài toán QHTT
III. Các tính chất chung của bài toán QHTT
IV. Phương pháp đơn hình
V. Bài toán đối ngẫu
I. Thí dụ mở đầu
• Thí dụ 1: Bài toán lựa chọn danh mục đầu tư
- Nội dung: Một công ty đầu tư dự định dùng khoản quỹ đầu tư 500 tỷ đồng
để mua một số cổ phiếu trên thị trường chứng khoán. Để phòng ngừa rủi
ro công ty đưa ra các yêu cầu về đa dạng hoá danh mục đầu như sau:
+ Loại cổ phiếu và giới hạn mua:
+ Tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu A và C phải chiếm ít nhất 55% và cổ phiếu B
phải chiếm ít nhất 15% tổng số vốn đầu tư thực hiện
- Bài toán: Với số tiền dự kiến đầu tư, hãy xác định một danh mục đầu tư
sao cho đảm bảo về đa dạng hoá danh mục đầu tư và đem lại mức lợi tức
lớn nhất.
Loại CK Lợi tức Giới hạn mua
A 7%/năm 100 tỷ
B 8,5%/năm 300 tỷ
C 7,8%/năm 250 tỷ
D 8,2%/năm 320 tỷ
- Mô hình hoá:
+ Gọi x
A
, x
B
, x
C
, x

D
là các khoản tiền đầu tư vào các loại chứng
khoán A, B, C, D
+ Các điều kiện về đa dạng hoá danh mục đầu tư:
0  x
A
 100; 0  x
B
 300 (1)
0  x
C
 250, 0  x
D
 320 (2)
x
A
+ x
C
 0,55(x
A
+ x
B
+ x
C
+ x
D
) (3)
x
B
 0,15(x

A
+ x
B
+ x
C
+ x
D
) (4)
x
A
+ x
B
+ x
C
+ x
D
 500 (5)
+ Mức lợi tức ứng với danh mục đầu tư:
Z = 0,07x
A
+ 0,085x
B
+ 0,078x
C
+ 0,082x
D
(tỷ đồng)
- Xác định x = (x
A
, x

B
, x
C
, x
D
) sao cho:
Z  Max; với các điều kiện (1), (2), (3), (4), (5).
- Bài toán này gọi là bài toán QHTT
• Thí dụ 2: Bài toán vận tải
- Nội dung: Một công ty kinh doanh xăng dầu tại khu vực Z hàng
tuần cần cung ứng xăng cho 3 trạm bán lẻ A, B và C. Công ty có
thể đưa xăng đến các trạm từ tổng kho I và II. Lượng xăng dự trù
cung ứng cho các trạm của kho I là 20 tấn, kho II là 40 tấn. Nhu cầu
tiêu thu xăng hàng tuần của các trạm A, B, C lần lượt là 20, 15, 15
(tấn). Chi phí cho việc cung ứng xăng được cho dưới bảng sau:
Đơn vị: nghìn đồng/tấn
- Bài toán: Cần lập một kế hoạch cung ứng xăng từ các kho đến các
trạm để đảm bảo đáp ứng đủ nhu cầu của các trạm với tổng chi phí
vận chuyển là nhỏ nhất.
Kho\ Trạm A B C
I 500 400 700
II 600 500 500
- Mô hình hoá:
+ Gọi x
1A
, x
1B
, x
1C
, x

2A
, x
2B
, x
2C
(tấn) lần lượt là các lượng xăng
vận chuyển từ kho I, kho II đến các trạm A, B, C.
+ Điều kiện để đáp ứng đầy đủ nhu cầu của các trạm:
x
1A
+ x
2A
= 20 (1)
x
1B
+ x
2B
= 15 (2)
x
1C
+ x
2C
= 15 (3)
+ Điều kiện về lượng xăng dự trù cung ứng của các kho:
x
1A
+ x
1B
+ x
1C

 20 (4)
x
2A
+ x
2B
+ x
2C
 40 (5)
+ Tổng chi phí vận chuyển:
Y = 500x
1A
+400x
1B
+700x
1C
+600x
2A
+500x
2B
+500x
2C
(nghìn
đồng)
- Xác định x
1A
, x
1B
, x
1C
, x

2A
, x
2B
, x
2C
 0 sao cho:
Y  Min; với các điều kiện (1), (2), (3), (4), (5)
Bài toán này gọi là bài toán QHTT
II. Mô hình bài toán QHTT
1. Bài toán dạng tổng quát
2. Một số khái niệm và định nghĩa
3. Các dạng đặc biệt
1. Bài toán dạng tổng quát
- Là bài toán tìm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) của một hàm tuyến
tính xác định trên tập hợp nghiệm của một hệ thống hỗn hợp các
phương và (hoặc) các bất phương trình tuyến tính.
- Xác định véc tơ x = (x
1
, x
2
, …, x
n
) sao cho:
1
1
1
2 1 2 3 1 2 3
1
3
1

( ) ( )
( )
( )(*) ,
( )
n
j j
j
n
ij j i
j
n
ij j i
j
n
ij j i
j
f x c x Min Max
a x b i I
a x b i I I I I I I I I
a x b i I




 

 





        



 







2. Một số khái niệm và định nghĩa
- Hàm f(x) cần tìm cực trị gọi là hàm mục tiêu của bài toán
- Hệ (*) gọi là hệ điều kiện của bài toán
- Mỗi phương trình hoặc bất phương trình trong hệ điều kiện gọi là
một ràng buộc của bài toán và hệ điều kiện còn gọi là hệ ràng buộc
- Véc tơ x thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là một phương án
(PA) của bài toán
- Tập hợp các PA có thể có của bài toán gọi là tập PA của bài toán,
ký hiệu: D = {x: t/m (*)}
- Xét bài toán QHTT có f(x)  Min và hai PA x
A
, x
B
. Khi đó:
+ Nếu f(x
A
)  f(x

B
) thì PA x
A
gọi là không xấu hơn PA x
B
+ Nếu f(x
A
) < f(x
B
) thì PA x
A
gọi là tốt hơn PA x
B
- Một PA mà tại đó hàm mục tiêu đạt cực trị gọi là PA tối ưu
(PATƯ), ký hiệu: x
*
và f
*
= f(x
*
) gọi là trị tối ưu, f(x
*
)  f(x) với
mọi PA x của bài toán.
- Một bài toán có ít nhất một PATƯ gọi là bài toán giải được
- Một bài toán không có PA TƯ gọi là bài toán không giải được
+ Bài toán không có PA  không có PATƯ
+ Bài toán có PA nhưng hàm mục tiêu không bị chặn trên tập PA
- Xét với PA x:
+ Nếu ràng buộc i (iI) thoả mãn với dấu “=“ thì PA x gọi là thoả

mãn “chặt” ràng buộc i hay ràng buộc i là chặt đối với PA x
+ Nếu ràng buộc i (iI) thoả mãn với dấu “>” hoặc “<“ thì PA x
gọi là thoả mãn “lỏng” ràng buộc i hay ràng buộc i là lỏng đối
với PA x
- Nếu một ràng buộc có dạng dấu “=“ thì nó là chặt với mọi PA
của bài toán
- Nếu một ràng buộc có dạng dấu ““ hoặc ““ thì nó có thể là
lỏng đối với PA này nhưng lại là chặt đối với PA khác
- Với ràng buộc i ta ký kiệu véc tơ A
*
i
= (a
i1
, a
i2
,…, a
in
) và tập
hợp các véc tơ A
*
i
(iI) tạo thành một ma trận, ký hiệu: A
*
và
gọi là ma trận hệ ràng buộc của bài toán
- Gọi một nhóm các ràng buộc có hệ véc tơ A
*
i
tương ứng độc
lập tuyến tính gọi là các ràng buộc độc lập tuyến tính

- Một PA thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là
PA cực biên (PACB)
+ PACB thoả mãn đúng n ràng buộc gọi là PACB không suy
biến
+ PACB thoả mãn hơn n ràng buộc gọi là PACB suy biến
- Một bài toán có tất cả các PACB đều không suy biến gọi là bài
toán không suy biến
- Một bài toán có ít nhất một PACB suy biến gọi là bài toán suy
biến
Ví dụ 1
1 2
1 2
1 2
1
2
( ) 2
2 6 (1)
3 (2)
0 (3)
0 (4)
f x x x M in
x x
x x
x
x
   
 


 








3. Các dạng đặc biệt
3.1. Bài toán dạng chính tắc
- Xác định véc tơ x = (x
1
, x
2
, …, x
n
) sao cho:
- Bài toán dạng chính tắc có một hệ phương trình ràng buộc và các
biến số đều không âm
+ (1) là nhóm các ràng buộc dạng phương trình gọi là các phương
trình ràng buộc
+ (2) là nhóm các ràng buộc dạng bất phương trình gọi là các ràng
buộc về dấu đối với các biến
1
1
( ) ( )
( 1 ) (1)
0( 1 ) (2)
n
j j
j

n
ij j i
j
j
f x c x Min Max
a x b i m
x j n


 

  



  



- Ký hiệu:
A = ((a
ij
))
mn
gọi là ma trận điều kiện của bài toán
A
j
là véc tơ cột j của ma trận A- gọi là véc tơ điều kiện j
c là véc tơ hệ số của các biến trong hàm mục tiêu
b là véc tơ vế phải của hệ phương trình ràng buộc

- Khi đó bài toán dạng chính tắc có thể viết dưới dạng
hoặc
1
1
( ) ( )
0( 1 )
n
j j
j
n
j j
j
j
f x c x Min Max
x A b
x j n


 





  



( ) ( , ) ( )
0

f x c x Min Max
Ax b
x
 





Mệnh đề
- Mọi bài toán QHTT đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc
tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hai bài toán là như nhau và
từ PATƯ của bài toán này có thể suy ra PATƯ của bài toán kia.
- Các phép biến đổi tương đương như sau:
+ Nếu x
j
 0 thì đặt: x
j
’
= - x
j
 0
+ Nếu x
j
không có ràng buộc về dấu thì đặt:
+ Nếu ràng buộc i có dạng thì biến đổi:
+ Nếu ràng buộc i có dạng thì biến đổi:
' ''
' ''
, 0

j j j
j j
x x x
x x

 





1
n
ij j i
j
a x b



1
0
n
p
ij j i i
j
p
i
a x x b
x



 






1
n
ij j i
j
a x b



1
0
n
p
ij j i i
j
p
i
a x x b
x


 







Ví dụ 2
- Cho bài toán QHTT:
- Đưa bài toán về dạng chính tắc tương đương
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
1
2
( ) 2 3
2 6 (1)
4 10 (2)
4 (3)
0 (4)
0 (5)
f x x x x M in
x x x
x x x
x x
x
x
   
  



  


 






Định lý 1
- PA x của bài toán dạng chính tắc là PACB khi và chỉ khi
hệ thống các véc tơ {A
j
: x
j
> 0} là độc lập tuyến tính
- Ví dụ 3: Cho bài toán QHTT
Chứng tỏ véc tơ x
0
= (2, 1, 0) là PACB bằng hai cách
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) 2 4 6
3 4 4 10 (1)
4 1 (2)
0( 1 3)
j
f x x x x M in

x x x
x x x
x j
   

  

    


  

Nhận xét
- Với bài toán dạng chính tắc, không làm mất tính chất tổng quát
ta giả thiết hệ phương trình ràng buộc gồm m phương trình độc
lập và m < n, tức là r(A) = m < n
- Bởi vì:
+ Nếu m = n thì hệ phương trình ràng trở thành hệ Cramer, hệ
này có tối đa một nghiệm nên việc tìm PATƯ trở thành không
cần thiết
+ Nếu m > n thì bằng phép biến đổi tương đương ta có thể đưa
về hệ chỉ có n phương trình và hệ này cũng là hệ Cramer
- Từ định lý 1 ta thấy:
+ Một PACB có tối đa m thành phần dương (?)
+ Một PACB không suy biến có đúng m thành phần dương (?)
+ Một PACB suy biến có ít hơn m thành phần dương (?)
Định nghĩa cơ sở của PACB
- Xét bài toán dạng chính tắc và PACB x
- Gọi m véc tơ {A
j

} độc lập tuyến tính bao hàm hệ thống các véc tơ
{A
j
: x
j
> 0} là cơ sở của PACB x, ký hiệu một cách quy ước là J
- Cơ sở J của PACB x bao hàm 3 nội dung:
+ Số phần tử của J là m
+ Hệ véc tơ {A
j
: j  J} độc lập tuyến tính
+ {A
j
: j  J}  {A
j
: x
j
> 0}
- Nếu PACB x không suy biến thì có một cơ sở duy nhất:
{A
j
: j  J}  {A
j
: x
j
> 0}
- Nếu PACB x suy biến thì có thể có nhiều cơ sở khác nhau mà
phần chung của chúng là các véc tơ {A
j
: x

j
> 0}
- Với PACB x ta gọi:
x
j
(j  J) gọi là thành phần cơ sở của PACB x: x
j
> 0  j  J
x
k
(k  J) gọi là thành phần phi cơ sở của PACB x: k  J  x
k
= 0
3.2. Bài toán dạng chuẩn
- Là bài toán dạng chính tắc có b
i
 0 (i) và mỗi phương trình ràng
buộc đều có một biến với hệ số bằng 1 và không có mặt ở các
phương trình khác.
- Xác định véc tơ x = (x
1
, x
2
, …, x
n
) sao cho:
- Bài toán dạng chuẩn cho ta PACB x
0
= (b
1

, b
2
, …, b
m
, 0, …, 0)
với cơ sở {A
j
: j  J}  {e
j
: j = 1m} gọi là cơ sở đơn vị
+ Nếu b
i
> 0 (i) thì PACB x
0
là PACB không suy biến
+ Nếu có ít nhất một b
i
= 0 thì PACB x
0
PACB suy biến
1
1 1 1 1 1
2 1 1 2 2
1 1
2
1
( ) ( )

0( 1 )
n
j j
j
m m n n
m m n n
m m m m n nm
m
j
f x c x M in M a x
a x a x b
a x a x b
a x a x b
x j
x
n
x
x

 
 
 
 

   

   





   

  



Ví dụ 4
- Cho bài toán QHTT:
- Đưa bài toán về dạng chính tắc và dạng chuẩn
- Xác định một PACB của bài toán và cho biết
tính chất của PACB
1 2 3
1 3 4
1 2 3 4
1 3 4
( ) 2 5
3 2 3 12 (1)
2 2 4 (2)
3 4 8 (3)
0( 1 4)
j
f x x x x M ax
x x x
x x x x
x x x
x j
    

  


    


   


  

III. Các tính chất chung của bài toán QHTT
1. Sự tồn tại của PACB
- Nếu bài toán có PA và hạng của ma trận hệ ràng buộc (A
*
) bằng n
thì bài toán có PACB.
- Nếu bài toán dạng chính tắc có PA thì chắc chắn có PACB (vì
hạng của ma trận hệ ràng buộc luôn bằng n).
2. Tính hữu hạn của số PACB: Số PACB của mọi bài toán QHTT
đều hữu hạn.
3. Sự tồn tại PATƯ
- Nếu bài toán có PA và f(x)  M (bị chặn dưới) với bài toán có f(x)
 Min và f(x)  M (bị chặn trên) với bài toán có f(x)  Max trên
tập PA thì bài toán có PATƯ, tức là giải được.
- Nếu bài toán có PACB và giải được thì phải có PACB tối ưu. Do
đó nếu bài toán dạng chính tắc giải được thì có PACB tối ưu.
- Nếu bài toán có hơn một PATƯ thì sẽ có vô số PATƯ (?)
IV. Phương pháp đơn hình
1. Nội dung

2. Cơ sở lý thuyết
3. Thuật toán đơn hình
4. Áp dụng thuật toán đơn hình tìm PACB
1. Nội dung
- Xét bài toán không suy biến dạng chính tắc và
biết một PACB.
- Xuất phát từ PACB, tìm cách đánh giá nó, nếu
chưa tối ưu thì tìm cách di chuyển sang một
PACB khác tốt hơn. Vì số PACB của bài toán
QHTT là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước
hoặc sẽ kết luận bài toán không giải được vì trị
số hàm mục tiêu không bị chặn trên tập PA hoặc
sẽ tìm được PACB tối ưu.
2. Cơ sở lý thuyết
- Xét bài toán dạng chính tắc có PACB x
0
và cơ sở J
0
:
x
0
j
(j  J
0
) là thành phần cơ sở: x
0
j
> 0  (j  J
0
)

x
0
k
(k  J
0
) là thành phần phi cơ sở: k  J
0
 x
0
k
= 0
- Với PACB x
0
, ta có:
1
1
( )
(1)
0( 1 ) (2)
n
j j
j
n
j j
j
j
f x c x Min
x A b
x j n



 





  



0 0 0
0 0 0 0
1
(*)
n
j j j j k k j j
j j J k J j J
b x A x A x A x A
   
   
   
- Ta có:
- Ký hiệu:
- Với x là PA bất kỳ của bài toán, ta có:
0
0
( )
k jk j
j J

A x A k J

 

0
0
( )
k j jk k
j J
c x
c k J


   
1
0
0
( )
0 0
0
0 0
0
( ) (**)
0
0
n
b x A x A x A
j j j j
k k
j J

j
k J
b x A x x A
j j j
k jk
j J j J
k J
b x A A x x
j j j
k jk
j J j J
k J
b x x x A
j j
k jk
j J
k J
  
  



  
  
 

  
  
 


   

