HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Nguyễn Quốc Tuấn - 2014
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.25 MB, 51 trang )
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
LỜI NÓI ðẦU
Trong những kỳ thi tuyển sinh ñại học hàng năm. Hệ phương trình luôn là một ñề tài
và cũng là một bài toán hấp dẫn ñối với tuyệt ñại ña số các em luyện thi tuyển sinh ñại học.
Bởi nó chứa nhiều kỹ năng, tư duy và kiến thức toán học. ði kèm với nó là hàng loạt những
phương pháp giải, những cách nhìn nhận vấn ñề xung quanh việc giải hệ phương trình.
Theo quan sát của chúng tôi, hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh ñại học
gần ñây theo chiều hướng khó dần lên. Nó có những bài toán không ñơn giản ñối với học
sinh dự thi tuyển sinh ñại học. Mà trong khung cấu trúc ñề thi của Bộ giáo dục và ðào tạo,
cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn. Mang trong nó nhiều kỹ năng
tính toán và phương pháp giải không ñơn thuần như hầu hết chúng ta ñã học ở hệ phương
trình lớp 10.
Do ñó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn ñề then chốt. Những vấn ñề
có thể nói là chuyên ñề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh ñại học. Cũng chính vì ñiều
này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở ñơn giản trước ñây chúng tôi không trình bày ở ñây.
Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai
ñối với ẩn, Hệ phương trình ñối xứng loại I ñối với ẩn, Hệ phương trình ñối xứng loại II ñối
với ẩn, Hệ phương trình ñẳng cấp bậc hai ñối với ẩn. Mà nó ñược xem kẻ vào những bài
toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày. Bởi sau khi dùng những phép biến ñổi mà các em
sắp ñược học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình ñơn giản hơn rất nhiều
mà tất cả chúng ta ñều có thể giải ñược.
Trường hợp bạn ñọc quên và không giải ñược, chúng tôi khuyên bạn nên ñọc lại
những phần ñơn giản như vậy ñể chúng ta còn có thể ôn tập ñể luyện thi ñại học ñược tốt
nhất có thể. Hơn nữa trên Xuctu.com chúng tôi ñã cho ñăng hàng chục bài ñăng ñơn giản
như vậy. Ngoài ra bạn ñọc còn có thể học ñược những cách làm thông qua những Video
tutorial của tác giả-thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn trên kênh học toán
Những phương pháp trọng tâm về hệ phương trình ñược chúng tôi chia thành.
Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ñặt ẩn phụ
Phương pháp 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số
Phương pháp 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ñánh giá
Mỗi phương pháp ñều ñược chúng tôi trích dẫn lời giới thiệu. Lúc nào thì dùng
phương pháp ñó ñể giải. Và hơn thế nữa mỗi loại chúng tôi ñã sưu tầm từ hàng trăm tài liệu
chất lượng trên toàn quốc ñể giới thiệu ñến bạn ñọc. Do ñó, tính bao quát của tài liệu có mức
ñộ ứng dụng và luyện tập rất cao cho chúng ta luyện thi tuyển sinh ñại học.
Chắc hẳn, trong chúng ta khi biết ñến quyển sách này ñều có biết những Video
Tutorial của tác giả(Thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn) giảng dạy trên Xuctu.com. Do ñó quyển
sách là một sự kết hợp tuyệt vời dành cho quý ñộc giả sở hữu theo ñúng chủ nhân của nó.
Chủ nhân của nó khi mua sản phẩm ñúng gốc sẽ ñược hổ trợ những Video Tutorial hướng
dẫn giải chi tiết chỉ phát hành ñúng cho chủ nhân. Do ñó, tác giả khuyên bạn nên ủng hộ
chính sách sở hữu trí tuệ mà website ñưa ra. Bởi trong những bài tập mà có hướng dẫn giải
khó hiều. Tác giả ñều cung cấp link ñến video hướng dẫn cụ thể. Cũng xin lưu ý rằng, những
Video Tutorial này không ñược tác giả chia sẽ trên mạng mà chỉ cung cấp ñường dẫn cho
chính chủ nhân. ðiều này thật quan trọng bởi nếu bạn không sở hữu theo ñúng trình tự mà
tác giả mong muốn.
Huế, 4-2014
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Cách nhận biết: Là loại hệ phương trình mà trong ñó có thể dùng phương pháp phân tích ña
thức thành nhân tử hoặc dùng phương pháp ñổi ẩn thì sẽ chuyển một trong hai phương trình
của hệ phương trình về hai hoặc 3 phương trình bậc nhất.
Cách thực hiện:
+ Từ phương trình (1) hoặc (2) của hệ ta chuyển thành nhưng ña thức nhỏ hơn và vận dụng
công thức
0
. 0
0
A
A B
B
=
= ⇔
=
+ Từ phương trình (1) hoặc (2) của hệ phương trình. Ta xem x là ẩn và y là tham số(hoặc
ngược lại). Giải phương trình bậc hai này theo tham số còn lại ta sẽ ñược phương trình bậc
nhất mới. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ñể giải bằng phương pháp thế.
BÀI TẬP MẪU CÓ LỜI GIẢI
Bài tập mẫu 1: Giải các hệ phương trình sau
2
2 2
2 4 0
5 3 2 22 0
xy y x
x y x y
− − + =
− − − + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( )( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 0
5 3 2 22 02 2 0
2 0
5 3 2 22 0
5 3 2 22 0
y
I
x y x yy x y
x y
x y x y
II
x y x y
− =
− − − + =− − − =
⇔
− − =
− − − + =
− − − + =
Giải hệ pt (I) và (II) ta ñược nghiệm là
3 17 3 17 15 321 1 321 15 321 1 321
;2 , ;2 , ; , ;
2 2 8 8 8 8
− + − − − + − +
Bài tập mẫu 2: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 0
3 2 3 1 0
x xy y
x xy y x y
− − =
+ − − + + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñã chơ tương ñương với
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0
2 0 0
3 2 3 1 0 3 2 3 1 0
3 2 3 1 0
0
3 2 3 1 0
2 0
2 0
3 2 3 1 0
3 2 3 1 0
x x y x y x y
x xy y x xy x y
x xy y x x xy y x y
x xy y x y
x y
I
x xy y x y
x y x y
x y
x xy y x y
x xy y x y
− + − + =
− − = − + − =
⇔ ⇔
+ − − + = + − − + + =
+ − − + + =
− =
+ − − + + =
− + =
⇔ ⇔
+ =
+ − − + + =
+ − − + + =
( )
II
Ta có:
2 2 2 2 2 2
0
1
2
3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 4 4 1 0
x y x y x y
x y
x xy y x y x x x x x x x
− = = =
⇔ ⇔ ⇔ = =
+ − − + + = + − − − + = − + =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
2 2 2 2 2 2
2 0 2 2
3 2 3 1 0 3 4 4 3 2 1 0 5 5 1 0
5 45
10
2
5 45
5 45
5
10
5 45
5 45
10
10
5 45
5
x y y x y x
x xy y x y x x x x x x x
x
y x
y
x
x
x
y
+ = = − = −
⇔ ⇔
+ − − + + = − − − − + = + − =
− +
=
= −
− +
=
− +
−
=
⇔ ⇔
− −
=
− −
=
+
=
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là:
1 1 5 45 5 45 5 45 5 45
; , ; , ;
2 2 10 5 10 5
− + − + − − +
−
Bài tập mẫu 3: Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 2 0
5 3 1 0
x xy x y
x xy y x
− − + =
− + − + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
0
2 1 0
2 0
2 1 0
5 3 1 0
5 3 1 0
5 3 1 0
1 5
2
1 5
2
*
5 3 1 0 1 0
1 5
2
1 5
2
*
x y
x y x
x x y x y
x
x xy y x
x xy y x
x xy y x
x
y
x y x y
x xy y x x x
x
y
x
− =
− − =
− − − =
⇔ ⇔
− =
− + − + =
− + − + =
− + − + =
− +
=
− +
=
= =
⇔ ⇔
− + − + = + − =
− −
=
− −
=
=
2 2
2 2
1
2
2
2
5 3 1 0
5 3 1 0
x
x xy y x
x xy y x
= ±
⇔
− + − + =
− + − + =
+ Với
2 2
2
2
2
2
2
5 2 2 24 2
2
2
12
5 3 1 0
6 5 2 3 2 0
5 2 2 24 2
12
x
x
x
y
x xy y x
y y
y
=
=
=
+ +
⇔ ⇔
=
− + − + =
− + − =
− +
=
+Với
( )
2
2 2
2
2
2
2
6 5 2 3 2 0
5 3 1 0
x
x
y y VN
x xy y x
= −
= −
⇔
+ + + =
− + − + =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
1 5 1 5 1 5 1 5
; , ;
2 2 2 2
− + − + − − − −
2 5 2 2 24 2 2 5 2 2 24 2
; , ;
2 12 2 12
+ + − +
Bài tập mẫu 4: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 7 3 11 18 15 0
5 2 3 2 0
x xy y x y
x xy y x
+ + − − + =
− + + − =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2 7 11 3 18 15 0 1
2 7 3 11 18 15 0
5 2 3 2 0 5 2 3 2 0 2
x y x y y
x xy y x y
x xy y x x xy y x
+ − + − + =
+ + − − + =
⇔
− + + − = − + + − =
Ta có biến ñổi phương trình (1):
(
)
(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 7 11 3 18 15 0 1
7 11 8 3 18 15 25 10 1 5 1
10 2 5
4 2
12 12
3 3
4
x y x y y
y y y y y y
y y
x
y
x y
+ − + − + =
∆ = − − − + = − + = −
− −
= =
⇒
−
= = −
Do ñó ta có:
( )
( )
2 2
2 2
5
*
2
5 2 3 2 0
3 3
**
5 2 3 2 0
y
x
x xy y x
x y
x xy y x
−
=
− + + − =
= −
− + + − =
Giải hệ phương trình (*) và (*) ta ñược nghiệm của hệ phương trình là
( )
8
0;1 , 5;
3
−
Bài tập mẫu 5:
Giải hệ phương trình:
( )
( )
2
2
2 2
2 13 0
2 2 46 0
x y x y
x xy y x y x y
+ − + − =
+ + − − − + + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðặt
u x y
v x y
= +
= −
hệ phương trình trở thành
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
13
13
2 13 0
2
2
13
2 46 0
2 46 0
13 4 2 92 0
2
9
13
5
13
2
31
5
2
8
4 105 0
21
21
4
4
v
v
u
u
u v
v
u v v
v v
v v v
u
v
u
v
v
u
v
u
v v
v
v
+
+
=
=
− − =
⇔ ⇔
+
− − + =
− − + =
+ − − + =
=
+
=
=
+
=
⇔ ⇔ ⇔
=
=
+ − =
= −
= −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
Với
2
3 3 4
5 5 1
9
5
3 3 1
5 5 4
u x y x
v x y y
u
v
u x y x
v x y y
= + = =
= − = = −
=
⇔ ⇔ ⇔
=
= − + = − =
= + = = −
Với
2
31
8
21
4
u
v
=
= −
. Thực hiện tương tự ta ñược nghiệm là:
21 62 21 62 21 62 21 62
; , ;
8 8 8 8
− − − − + +
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
( ) ( )
21 62 21 62 21 62 21 62
4; 1 , 1; 4 , ; , ;
8 8 8 8
− − − − + +
− −
Bài tập mẫu 6: Giải hệ phương trình:
(
)
( )
4 3 2 2
2
2 2 9 1
2 6 6 2
x x y x y x
x xy x
+ + = +
+ = +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Phương trình (2) tương ñương với
2
6 6
2
x x
xy
+ −
=
thay vào phương trình (1) ta ñược
( )
2
2 2
4 2 4 3
6 6 6 6
2 2 9 12 64 0
2 2
0
4 0
4
x x x x
x x x x x x
x
x x
x
+ − + −
+ + = + ⇔ + + =
=
⇔ + = ⇔
= −
Thay
0
x
=
vào phương trình 2 của hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn
Thay
4
x
= −
vào phương trình (2) ta thu ñược
17
4
y =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
17
4;
4
−
Bài tập mẫu 7:Giải hệ phương trình
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
+ + = −
− − = −
trong ñó
,
x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
1
0
x
y
≥
≥
. Phương trình (1) tương ñương
( ) ( )( )
2 2
0
2 0 2 1 0
2 1 0
x y
x xy y x y x y x y
x y
+ =
− − − + = ⇔ + − − = ⇔
− − =
Với
x y
= −
vô lí
Với
2 1
x y
= +
thay vào phương trình (2) của hệ phương trình thu gọn ta ñược
( )
(
)
1 2 2 0 2 5
y y y x
+ − = ⇔ =
⇒
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 5;2
x y =
Bài tập mẫu 8: Giải hệ phương trình:
( )
3
2 4 3
1 1 2
9 9
x y
x y y x y y
+ + − =
− + = + +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
7
-
Hướng dẫn giải
( )
( )
( )
3
2 4 3
1 1 2 1
9 9 2
x y
x y y x y y
+ + − =
− + = + +
ðiều kiện:
1
y
≤
Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có
( )
( )
3
3
9 0
9 0
x y
x y x y
x y
=
− + − = ⇔
+ − =
Với
x y
=
thay vào phương trình (1) ta có
3
0
1 1 2
11 6 3
x y
x x
x y
= =
+ + − = ⇔
= = − ±
+ Do
1
y
≤
ta có phương trình (1)
3
3
1 2 1 2 7 9 1 0
x y x x y
+ = − − ≤ ⇒ ≤ ⇒ + − ≤ − <
Suy ra phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
( ) ( )
(
)
(
)
; 0;0 , 11 6 3; 11 6 3 , 11 6 3; 11 6 3
x y = − + − + − − − −
Bài tập mẫu 9: Giải hệ phương trình:
4
5 5 4
x y
x y
+ =
+ + + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
0
0
x
y
≥
≥
.Hệ hương trình dã cho tương ñương với:
( ) ( )
( )( )
5 5 10
5 5 10
5 5
2
5 5 2
5 5
5 5 10
5 5
4
4
5 5
5 5 25
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x
x
y
y y
x x y y
+ + + + + =
+ + + + + =
⇔
+ =
+ − + + − =
+ + + +
+ + + + + =
+ + =
=
⇔ ⇔ ⇔
=
+ + =
+ + + + =
Bài tập mẫu 10: Giải hệ phương trình:
(
)
( )
( )
=+−++
=++−
021
01
2
2
yyxx
yxyx
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
( Vì: y = 0 không là nghiệm của hệ)
⇔
(
)
( ) ( )
=++−+
+=+
012
1
2
2
yxyx
yxyx
⇔
(
)
( )
=−+
+=+
01
1
2
2
yx
yxyx
⇔
(
)
=+
+=+
1
1
2
yx
yxyx
⇔
=+
=+
1
1
2
yx
yx
⇔
−=
−=+
xy
xx
1
11
2
⇔
−=
=+
xy
xx
1
0
2
⇔
−=
−=∨=
xy
xx
1
10
Nghiệm của hệ: (0 ; 1) , ( –1 ; 2)
(
)
( )
( )
=+−++
=++−
021
01
2
2
yyxx
yxyx
⇔
(
)
( )( )
=+−++
+=+
02
1
2
yyxyxy
yxyx
⇔
(
)
( )( )
=+−++
+=+
012
1
2
yxyx
yxyx
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
8
-
Bài tập mẫu 11: Giải hệ phương trình:
2 2
1 1
2 0
x x y
y x y x y x
− − − =
+ + − =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
0
1
x
x y
≥
≥ +
. Biến ñổi phương trình ñầu của hệ phương trình ta có
1 1 2 1 0
x x y y x y y
= − − + ⇒ = − − ⇒ ≥
và ñược
( )
2
2 4
y x
+ =
Do ñó,
2 2
y x
= =
Biến ñổi phương trình dưới ta ñược
x y y x
+ =
Thay vào ta ñược
( )
2
2
2 0
1
y
y y
y loai
=
− − = ⇔
= −
Tính ra ta ñược
4
x
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
4;2
Bài tập mẫu 12:
Giải hệ phương trình:
( )( )
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
2 2
x y x x y
x y y y x y x
− −
− + =
− = + − +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
, 0
x y
x y
≥
≥
Xét phương trình (2):
(
)
(
)
( )
(
)
2
2 2 2 2
x y y y x y x x y y y x y x
− = + − + ⇔ − − = − +
Nếu
0
0
0
x
x y y
y
−
− − = ⇔
=
thỏa mãn
Nếu
0
x y y
− − ≠
khi ñó:
( )
(
)
(
)
( )
( )( )
( )( )
2 2 2
2 0
2 2 1 0
2 1 0
x y x y y x x y y
x y
x y y x x y y
y x x y y
− = − + − +
− =
− + − + + = ⇔
+ − + + =
Hệ phương trình trở thành
( )
3 2 3 2 2 2
3 3
2 2
3
1
0 0
2
3 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0
log 4 log 2
2 2
3
4
2
x
x y x x y x x x
x
x y loai
x y
x y x y
− −
=
= ⇒ =
− + = − + =
⇔ ⇔ ⇔
= ⇒ =
= =
=
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là
( ) ( )
3 3
2 2
; 0;0 , log 4;log 2
x y
=
Bài tập mẫu 13: Giải hệ phương trình:
(
)
4
19 20
2 2
y x y
x x y
+ = +
+ + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
9
-
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
0
2 0
x
x y
≥
+ ≥
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 1
1 1
2 1 2 2 2 1
x x y x y x x y x x y x y
x y x y
x xy x y x xy y x y y
+ + = ⇔ + + + = ⇔ + = − +
+ ≤ + ≤
⇔ ⇔
+ = − + + + + + = +
Thay
(
)
2
2 1
x y y
+ = +
vào phương trình
(
)
4
19 20
y x y
+ = +
ta ñược
( )
2
4 2 4 2
2
1
19 10 1 10 9 0
9
y
y y y y
y
=
+ = + ⇔ − + = ⇔
=
Với
2
9
y
=
(
)
2
10 1 2 2
y x y
= + = + ≤
vô lí
Với
( )
2
1 0
1
1 2
y x
y TM
y x
= =
= ⇔ ⇔
= − =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
(
)
(
)
; 0;1 , 2; 1
x y
= −
Bài tập mẫu 14: Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2
2 7 7 8
3 13 15 2 1
y xy y x x
y x x
− + = − + +
+ − − = +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
15
1
2
x
≤ ≤
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 2 2 2 2 2 2
2 7 7 8 7 8 0 1 8 0 1
y xy y x x y x y x y x y x− + = − + + ⇔ − + − − = ⇔ − − − + =
Vì
2 2
15 15
; 8.
2 2
x y x y
≤ >
⇒
< +
Khi ñó
(
)
2 2
1 1 0 1
y x y x
⇔ − − = ⇔ = +
Thay
2
1
y x
= +
vào phương trình dưới ta ñược
( )( )
2
3 16 15 2 1 3 16 1 15 2 2 1 15 2
0
0
3
3
6 13 15 0
5
6
x x x x x x x x x
x
x
x
x
x x
x
+ − − = + ⇔ + = + + − ⇔ = + −
≥
≥
=
⇔ ⇔ ⇔ =
− − =
= −
Với
2
3 4 2
x y y
=
⇒
= ⇔ = ±
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
(
)
3;2 , 3; 2
−
Bài tập mẫu 15: Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
1 2
2
4
log 2 log 3 1 1
3 3 4
x y
x y x
−
+ + − =
+ =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
10
-
ðiều kiện:
1
3
2 0
x
x y
>
+ >
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 2
2
log 2 log 3 1 1 log 2 log 3 1 1
x y x x y x
+ + − = ⇔ − + + − =
2
3 1
log 1 4 1
2
x
x y
x y
−
⇔ = ⇔ = +
+
Thay
4 1
x y
= +
vào phương trình
4
4 4
4
4
0
3 1
1
3 3 4 3.3 4
1
1
3
3
4
3
y
x y y
y
y
y
y
−
=
=
+ = ⇔ + = ⇔ ⇔
= −
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
1;0
Bài tập mẫu 16: Giải hệ phương trình:
(
)
( )
2
2
2 2 2
log log 4
2log log .log 6
x y
xy x
y x x
+ =
= −
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
0 6, 1
0, 1
x x
y y
< < ≠
> ≠
Phương trình (1) của hệ ta có
2
log 1
log 2log 3
log 3
x
x y
x
x y
y
y x
y
x y
=
=
+ = ⇔ ⇔
=
=
Với
x y
=
từ phương trình (2)của hệ ta có
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2
log 0
1
log log log 6
2
log log 6
1
4.
6 0
x
x x x
x x
x
x
x x
=
= − ⇔
= −
=
⇔ ⇔ =
+ − =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
4
4
x
y
=
=
Với
2
y x
=
từ phương trình (2) của hệ ta có
( )
( )
2
2 2 2
2
2log log .log 6
1
x
x x x
x loai
=
= − ⇔
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
2
4
x
y
=
=
Bài tập mẫu 17: Giải hệ phương trình:
4 2 2
2
2 4 2 4 2 4
x y x y x
x y x x
− = −
− + = −
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2
2
2
x
y
≥
≥
(
)
(
)
( )( )
4 2 2 4 2 2
2 2 2
0
1 0
x y x y x x x x y y
x y x x y
− = − ⇔ + − + =
⇔ − + = ⇔ =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
11
-
Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 2 2
4 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 2 2
2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4
0
2 2 4 8 2 4 0
2 4 2 4 2 4
4 2 4 2 2 4 0
2 2 4 4 2 4 0
8 16 0 4 2 2 0 4
x y x x x x x x
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x Do x y TM
− + = − ⇔ − + = −
≥
⇔ ⇔ + − − − =
− + = −
⇔ + − − − =
⇔ = − + − >
⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = > ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
2;4
Bài tập mẫu 18:
Giải hệ phương trình:
( )
(
)
2 2
3 3
2 2
2 2
log log
4
y x y x x xy y
x y
− = − − +
+ =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
0
0
x
y
>
>
Ta có
2
2 2 2
3
0, ; 0
2 4
y
x xy y x y x y
− + = − + > ∀ >
Xét
x y
> ⇒
(
)
( )
( )
3 3
2 2
1 0
log log 1
2 0
VT
y x
VP
>
> ⇒ ⇒
<
vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm
Xét
x y
< ⇒
(
)
( )
( )
3 3
2 2
1 0
log log 1
2 0
VT
y x
VP
<
< ⇒ ⇒
>
vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiêm khi
x y
=
thay vào hệ ta có
2
2 2
0 0
2
2 4
4
2
x
x
x x
y
=
=
⇔ =
⇒
+ =
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
2; 2
Bài tập mẫu 19: Giải hệ phương trình:
(
)
( )
( )
2 2 2 3
2
2
2
4 1 1 3 2
1
1 2 1
x x x y y
x
x y
y
= + + − + −
−
+ + = +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Phương trình thứ hai của hệ phương trình tương ñương với
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 3 2
2 1 2 1 2 2 2 0
y x y y y x x y y y y
+ + + = + − ⇔ + + + − − =
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2 2 1 0
1
y
x y y y
x y
= −
⇔ + + + − = ⇔
+ =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
12
-
Với
2
y
=
: Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta ñược
(
)
2
2 2 2
2
0 0
4 1 1
2 2
1 1 4
x x
x x x
x
x
= =
= + + ⇔ ⇔
= ±
+ + =
Với
2 2
1 1
1
1 1
x
x y
y
− ≤ ≤
+ = ⇒
− ≤ ≤
Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2 2 2 3
2 2 2 2 3
2 2 3
4 1 1 1 1 3 2
4 1 1 1 1 1 1 3 2
4 1 3 2 0
x x x y y
x x x x y y
x x y y
+ − = + + − + −
⇔ + + + − = + + − + −
⇔ + − + − − =
Xét hàm số
(
)
3
3 2
g y y y
= − −
trên ñoạn
[
]
1;1
−
ta có
(
)
(
)
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
{ }
( )
2
1;1 1;1
' 3 3; ' 0 1
min min 1 ; 1 1 4
g y y g y y
g y g g g
− −
= − = ⇔ = ±
⇒ = − = =
Xét hàm số
( )
2 2
4 1
f x x x
= + −
trên ñoạn
[
]
1;1
−
ta có
( )
2
0
4
' 2 0
3
1
x
x
f x x
x
x
=
= − = ⇔
= ±
+
[ ]
( )
[ ]
( )
(
)
(
)
{
}
( )
1;1 1;1
min min 0 ; 3 ; 3 0 4
f x f f f g
− −
⇒ = − = =
Do
(
)
(
)
0
f x g x
+ ≥
, dấu “=” xãy ra khi
0
1
x
y
=
=
.
0 0
2 2 2 2
; ; ;
2 1
2 2
x x
x x
y y
y y
= =
= = −
= − =
= = −
Bài tập mẫu 20: Giải hệ phương trình:
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
+ = +
+ = +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
( )
(
)
(
)
( )
3 3
3 3
2 2
2 2
4 16
4 4 0 *
1 5 1
5 4 **
x y y x
x y x y
y x
y x
+ = +
+ − − =
⇔
+ = +
− =
Thay (**) vào (*) ta ñược:
(
)
(
)
3 2 2 3 3 2 2
5 4 0 21 5 4 0
x y x y x y x x y xy
+ − − − = ⇔ − − =
( )
2 2
0
1
21 5 4 0
3
4
7
x
x x xy y x y
y y
=
⇔ − − = ⇔ = −
=
Với
0 3
x y
=
⇒
= ±
Với
1
3
x y
= −
⇒
3 1
3 1
y x
y x
=
⇒
= −
= −
⇒
=
Với
2
4 31
4
7 49
x y y
= − ⇒ − =
vô nghiệm
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
13
-
Bài tập mẫu 21:
Giải hệ phương trình:
3
3
3
2 6 4
2 3 6 1 2
x y
x y y x x
+ + + =
+ − − − = + − +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
1,2 3
x x y
≥ − + ≥
Khi ñó từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược
( )
3
3
3
3
2 3 6 1 2
2 3 2 6 1 *
x y y x x
x y x y x
+ − − − = + − +
⇔ + − + + = − + +
+ Nếu
(
)
(
)
4 4 * *
x y x y VT VP+ > ⇔ > − ⇒ >
vô lí
+ Nếu
(
)
(
)
4 4 * *
x y x y VT VP+ < ⇔ < − ⇒ <
vô lí
Do ñó:
4 4
x y y x
+ = ⇒ = −
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta ñược
3
2 10 4.
x x
+ + − =
ðặt
3
3
10 10
t x x t
= − ⇒ = −
thay vào phương trình (1) ta ñược
( )
( )
3
3 2 3 2
2
4 4
12 4
12 16 8 8 4 0
2
4
3 17
2 3 2 0
2
t t
t t
t t t t t t
t
t
t t t
t
≤ ≤
− = − ⇔ ⇔
− = − + + − + =
=
≤
⇔ ⇔
− ±
− + − =
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
3 3 3 3
3 17 3 17 3 17 3 17
2;2 , 10 ; 6 , 10 ; 6
2 2 2 2
− + − + − − − −
− − − −
Bài tập mẫu 22: Giải hệ phương trình:
(
)
3 2
2
3 9 3 1
9 2 3
x y x xy
x x y
+ − − =
+ − =
trong ñó
,
x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với:
(
)
(
)
( )
2
2
2
3 3 1
3 1
3 1
3 2 3 3
x x x y
x x
x y
x x x y
+ − =
+ =
⇔
− =
+ + − =
hoặc
2
3 2
1
3
2
x x
x y
+ =
− =
Nếu
2
3 13
3 1
2
3 1
11 3 13
2
x
x x
x y
y
− +
=
+ =
⇔
− =
− +
=
hoặc
3 13
2
11 3 13
2
x
y
− −
=
− −
=
Nếu
2
3 17
3 2
2
1
3
10 3 17
2
2
x
x x
x y
y
− +
=
+ =
⇔
− =
− +
=
hoặc
3 17
2
10 3 17
2
x
y
− −
=
− −
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
14
-
3 13 11 3 13 3 13 11 3 13 3 17 10 3 17 3 17 10 3 17
; , ; , ; , ;
2 2 2 2 2 2 2 2
− + − + − − − − − + − + − − − −
Bài tập mẫu 23: Giải hệ phương trình:
7 6 2
3
5 2 2
3
6 0
y y x
x
y x y
y
+ − =
+ = +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
0
y
≠
, khi ñó ta có:
( )( )
3
3
5 2 2 8 3 2 3 5 3 5 2
3
2 5
0
x y
x
y x y y x x y xy y x y x
y
x y
=
+ = + ⇔ + = + ⇔ − − = ⇔
=
Nếu
3
x y
=
thay vào phương trình (1) ta có
(
)
7 6 6
5 0 5 0 5 125
y y y y y x− = ⇔ − = ⇔ = ⇒ =
Nếu
2 5
x y
=
0
y
⇒ >
thay vào phương trình (1) ta có
(
)
(
)
7 6 5 5 2
6 0 6 0 2 0
y y y y y y y Do y
+ − = ⇔ + − = ⇔ = >
Khi ñó
2
32 4 2
x x= ⇒ = ±
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
(
)
125;5 , 4 2;2
±
Bài tập mẫu 24: Giải hệ phương trình:
7 2 4
2 2 5 8 2
x y x y
x y x
+ − + =
+ − + =
trong ñó
,
x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
7 0
5 8 0
2 0
x y
x
x y
+ ≥
+ ≥
+ ≥
7 2 4 7 2 4
5 16
7 2 16 8 2 5 16 8 2 2
8
x y x y x y x y
x
x y x y x y x x y x y
+ − + = ⇔ + = + +
−
⇒ + = + + + + ⇔ − = + ⇔ + =
Thay vào phương trình thứ hai của hệ phương trình ta ñược
( )
5 16 56
5 8 2 5 8 4 5 8 32 5 8 8
8 5
x
x x x x x
−
− + = ⇔ + − + − ⇔ + = ⇔ =
Khi ñó
112 56 16 13
5 8 5
y y
−
+ = ⇔ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
56 13
;
5 5
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
15
-
Bài tập tự luyện
Giải các hệ phương trình sau
ðề bài ðáp số
a.
2
2 2
3
5 2 3
xy y
xy xy y y y
+ =
+ + + + =
(
)
(
)
(
)
(
)
; 0;3 , 2;1 , 4; 1
x y
= − − −
b.
(
)
4 3 2
2 2
1
x x y x x y
x y
+ − + − =
− =
(
)
(
)
; 1;0
x y =
c.
(
)
(
)
2 2
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
+ + + = − +
+ + =
( ) ( )
5
; 1; 1 , 2;
2
x y
= − − −
d.
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x
+ = +
+ = +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
; 0;2 , 0; 2 , 1; 3 , 1;3
x y = − − −
e.
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
− + =
− + =
(
)
(
)
(
)
; 1;1 , 1; 1
x y
= − −
f.
2
2
6 3 1
3 3 2
x xy x y
x y x y
− + + =
+ + + =
( ) ( )
1
; 0;1 , ;0
3
x y
=
g.
( )( )
2 2
2
5 4 16 8 16 0
5 4 4
y x xy x y
y x x
− − + − + =
= + −
( ) ( ) ( )
4
; 0;4 , 4;0 , ;0
5
x y
= −
h.
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 3 3 2
x y xy x y
y x y x x y
− = − +
= + − + − =
( )
(
)
3 3
; 2 4; 4
x y =
i.
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+ − =
− + + − − =
( ) ( )
1 5 1 5
; 1;1 , ; 5 ; ; 5
2 2
x y
− + − −
= −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
16
-
Phương pháp 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ñặt ẩn phụ
Cách nhận biết: Là hệ phương trình sau khi biến ñổi có sự lập lại của những cụm ñơn giản.
Và việc phát hiện ra nó có chứa ñược
(
)
;
u f x y
=
và
(
)
;
v g x y
=
. Từ ñó ta có thể giải những
hệ phương trình theo u và v một cách ñơn giải rồi thế vào ẩn chính.
BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài tập mẫu 1:Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðặt
z y
= −
, hệ phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 3 2 2
2
2 2
3 9 22 0 3 3 2 9 22 0
1
1
2
2
2
x z x z x z x z xz x z x z xz x z
x z x z
x z xz x z
+ − + − + + = + − + − + − − + + =
⇔
+ − + =
+ − − + =
ðặt
S x z
P xz
= +
=
. Hệ phương trình trở thành
( )
3 2
2
3
2
1
3 3 2 9 22 0
2 2 2
2
3 3 3
1
1
2
4 4 4
2
2
3
2
x
y
S SP S P S
S x z x y
P xz xy
S P S
x
y
=
= −
− − − − + =
= + = − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= = = −
− − =
=
= −
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
3 1
2 2
;
1 3
2 2
x x
y y
= =
= − = −
Bài tập mẫu 2:Giải hệ phương trình
(
)
2 2
2 2
3 4 3
2 4 2 4
x y xy
x y x y
+ + =
− − − = −
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ hương trình ñã cho tương ñương với
( )
(
)
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2 3
2 2 2 4
x y x y
x y x y
+ − − =
− − + = −
ðặt
( )
2 2
2
2
u x y
v x y
= −
= +
Vậy hệ hương trình có nghiệm là
( ) ( )
8 9
; 0;1 , ;
7 8
x y
= −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
17
-
Bài tập mẫu 3:Giải hệ phương trình
(
)
( ) ( )
4 2 2
2 2
2 2
2 2 2 1 5
x y xy x x y
x y xy x y
+ + − − = −
− − − + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với:
(
)
(
)
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
2 1 5
x y xy x y
x y xy x y
− + − = −
− − − − =
. ðặt
2
u x y
v xy
= −
=
Hệ phương trình trở thành
( )
2
2
2 1 5
u uv
u v u
+ = −
− − =
Giải hệ phương trình này ñể tìm u, v thay vào lại ñể giải hệ chính.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
(
)
(
)
; 1;3
x y =
Bài tập mẫu 4:Giải hệ phương trình
(
)
(
)
( )
3 2 2 3
2 2
1 2 30 0
1 11 0
x y y x y y xy
x y x y y y
+ + + + − =
+ + + + − =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ hương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
( )
2 2
30
11
xy x y x y x y
xy x y xy x y
+ + + =
+ + + + =
. ðặt
u x y
v xy
= +
=
Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm là
( ) ( ) ( )
5 21 5 21 5 21 5 21
; 1;2 , 2;1 , ; ; ;
2 2 2 2
x y
− + + −
=
Bài tập mẫu 5:Giải hệ phương trình
( )
2 3 3
4 2
5
4
5
1 2
4
x y x y y x xy
x y xy x
+ + + + = −
+ + + = −
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ hương trình ñã cho tương ñương với
( ) ( )
( )
2 2
2
5
4
5
4
x y xy x y xy
x y xy
2
+ + + + = −
+ = = −
. ðặt
(
)
2
u x y
v xy
= +
=
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm là:
( )
3
3
5 25 3
; ; , 1;
4 16 2
x y
= −
Bài tập mẫu 6:Giải hệ phương trình
3
3
2 2 1 3 1
2 3 1 2
y x x x y
x y
+ − = − −
+ + = −
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
1
x
≤
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
18
-
3
3 3
2 2 1 3 1 2 2 1 1
y x x x y y y x x
+ − = − − ⇔ + = − + −
Xét hàm số :
(
)
(
)
3 2
2 , 0 6 1 0, 0
f t t t t f t t t
= + > ⇒ = + > ∀ >
Nên hàm số ñã cho là hàm số ñồng biến :
( ) ( )
(
)
1 1 1
f y f x y x
⇒ = − ⇔ = −
Hệ phương trình trở thành
( )
3
3
1
1
2 3 1 1 2 *
2 3 1 2
y x
y x
x x
x y
= −
= −
⇔
+ + − = −
+ + = −
Giair phương trình (*) bằng cách ñặt
( )
( )
( ) ( )
3 3
3
3 2
3 3
1 1
3 1 * 2 1 2
3 3
1
2 3 2
1
5 21
12 24 8 0
5 21 1 4 5 21
5 21
3 3
u u
u x x u
u
u x y
u
u Loai
u u
u x y
− −
= + ⇒ = ⇔ + − = −
≤ −
= − ⇒ = − ⇒ =
≤ −
⇔ ⇔
= − +
+ + + =
− − − − − −
= − − ⇒ = ⇒ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
( )
( ) ( )
3 3
5 21 1 4 5 21
3;2 , ;
3 3
− − − − − −
−
Bài tập mẫu 7:Giải hệ phương trình
2 2
1 3
2
xy x y
x y x y
+ − =
− =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Nhận thấy y = 0 không t/m hệ
Hệ phương trình ñã cho tương ñương với
1
3
1
2
x
x
y y
x
x
y y
+ − =
− =
ðặt
1
3 2, 1
2 1, 2
x a
a b a b
y
x ab a b
b
y
− =
+ = = =
⇔ ⇔
= = =
=
.
Thay vào giải hệ ta ñược nghiệm (
1 2;1 2
± ± ),
1
(2;1), 1;
2
− −
Bài tập mẫu 8:
Giải hệ phương trình
( )
( ) ( )
=++++++
=−+++
02161322
03232
2
33
2
xxxyxy
yyx
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñược viết lại:
( )
( )
( ) ( ) ( )
=++++++
=−+++
202161322
103232
2
33
2
xxxyxy
yyx
(2) ⇔
(
)
(
)
041312
23
=++++ yxyx
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
19
-
⇔
04
1
3
1
2
23
=+
+
+
+
y
x
y
x
do y = 0 không là nghiệm ⇔
2
1
−=
+
y
x
Hệ trở thành:
−−=
=−+++
12
03232
2
yx
yyx
⇔
−−=
−=++
12
23464
2
yx
yyy
⇔
−=
=
≤
9
14
18
5
2
3
x
y
y
nghiệm của hệ:
−
18
5
;
9
14
Bài tập mẫu 9:Giải hệ phương trình
( )
2
2
y 1
x 3y 2 y 4x 2 5y 3x
3
3 6.3 3 2.3
1 2. x y 1 3. 3y 2x
+
+ − + − −
+ = +
+ + − = −
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
2
2
y 1
x 3y 2 y 4x 2 5y 3x
3
3 6.3 3 2.3 (1)
1 2. x y 1 3. 3y 2x (2)
+
+ − + − −
+ = +
+ + − = −
ðk:
x y 1 0
+ − ≥
(*)
( )
(
)
(
)
( )
( )
2 2
2
4x 2 3y 3x y 4x 2 2y 3y 3x y 1 2y
4x 2 2y y x y 4x 2 2y
1 3 6.3 3 2.3 0
3 3 27 6.3 0 3 3 0 y 2x 1
− + − + − + − + +
− − −
⇔ + − + =
⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = −
Thay vào (2) ta có:
3
2
1 2 3x 2 3. 4x 3,x
3
+ − = − ≥
ðặt
3
a 3x 2 0;b 4x 3
= − ≥ = −
ta có hệ
2 3
1 2a 3b
4a 3b 1
+ =
− =
(
)
( )
3
4
Từ
( )
3b 1
3 a
2
−
⇒
=
thay vào phương trình (4) ta ñược
3 2
1
b 0 a
2
3b 9b 6b 0 b 1 a 1
5
b 2 a
2
−
=
⇒
=
− + = ⇔ =
⇒
=
=
⇒
=
+)
1
b 0;a
2
−
= =
không thõa mãn +)
a 1 x 1
b 1 y 1
= =
⇔
= =
+)
11
5
x
a
4
2
9
b 2
y
2
=
=
⇔
=
=
Kết hợp ñk (*) suy ra hệ có nghiệm (x; y) là
( )
11 9
1;1 , ;
4 2
Bài tập mẫu 10:
Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
2
2
2
3 0
1 3 1 2 2 0
x xy x
x y xy x y y
+ + + =
+ + + + − + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
20
-
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2
2 0 0
x y y y
+ ≥ ⇔ ≥
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
2
3
xy x x
= − − −
Thế vào phương trình thứ hai của hệ phương trình ta có
( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2
1 3 1 2 2 6 2 2 0
2 3 2 2 0 3 2 1
2 2
x y x x x y y
y y
x y x y
x x
+ + + − − − − + =
⇔ − − + − + = ⇔ − −
+ +
ðặt
2
0
2
y
t
x
= ≥
+
, phương trình trở thành
( )
2
1
3 2 1 0
1
3
t
t t
t loai
=
− − = ⇔
= −
Với
2
2
1 1 2
2
y
t y x
x
= ⇔ = ⇔ = +
+
thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta
ñược
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 3 0 1 3 0 1 3
x x x x x x x y
+ + + + = ⇔ + + = ⇔ = − ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 1;3
x y = −
Bài tập mẫu 11:Giải hệ phương trình
4 2 2
2 2 3 2 2
2 2 1 0
1 0
x x y y
x y y x y y
− + − =
− + − − + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðặt
2
2
0
u x y
v y
= −
= ≥
Hệ phương trình trở thành
2
1
1
u v
uv u v
+ =
+ + = −
Thay
(
)
(
)
2 2
1 1 1 1 0 1;0;1
v u u u u u= −
⇒
− − + + =
⇒
= −
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
(
)
; 1;1
x y = ±
Bài tập mẫu 12:Giải hệ phương trình
( )
2
2 2
2
log log 1
log 1
xy x
x
y
y
x y
− =
− =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
( )
2 2
0 1
*
0,
xy
y x y
< ≠
> >
Với
1
y
=
thay vào hệ phương trình ñã cho ta ñược
2
3 3 3
x x x
= ⇒ = ± ⇒ =
do (*)
Với
0 1
y
< ≠
và x,y thỏa mãn (*) ta có phương trình
( ) ( )
2 2 2
y
1 1 1 1
log log 1 log 1 log 1
log log 1 log 1 log
xy x x x
x y x
x
y y y
y xy xy y x
− = ⇔ − − = ⇔ − − =
+ +
ðặt
log
x
t y
=
khi ño ta có phương trình:
2 3 2
1
1 2 0 0 1
1 1
t
t t t t t y
t t
− − = ⇔ + + = ⇔ = ⇔ =
+ +
(loại)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
(
)
; 3;1
x y =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
21
-
Bài tập mẫu 13: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
+ + − =
− =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
x y
≥
. ðặt:
2 2
0
u x y
v x y
= − ≥
= +
+
x y
= −
không phải là nghiệm của hệ phương trình nân ta xét
x y
≠
ta có:
2
1
2
u
y v
v
= −
Hệ phương trình ñã cho có dạng:
2
4
12
8
12
3
2
9
u
u v
v
u u
v
u
v
v
=
+ =
=
⇔
− =
=
=
Với
4
8
u
v
=
=
ta có:
( )
2 2
4
8
x y
I
x y
− =
+ =
Với
3
9
u
v
=
=
ta có:
( )
2 2
3
9
x y
II
x y
− =
+ =
Giải hệ phương trình (I) và (II). Sau ñó kết hợp nghiệm lại ta có nghiệm của hệ phương trình
ban ñầu là
(
)
(
)
(
)
; 5;4 , 5;3
x y =
Bài tập mẫu 14: Giải hệ phương trình
( )
2 2
2
1
5
57
4 3 3 1
25
x y
x x y x
+ =
+ − = − +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( ) ( )
2 2
2
1
1
5
57
4 3 3 1 2
25
x y
x x y x
+ =
+ − = − +
Lấy phương trình của hệ phương trình nhân với 25 cọng với phương trình nhân với 50 rồi
nhóm lại ta ñược
( ) ( )
2
7
3
5
25 3 50 3 119 0
17
3
5
x y
x y x y
x y
+ =
+ + + − = ⇔
+ = −
Với
7
3
5
x y
+ =
ta có:
2 2
2
5
1
1
5
5
7
11
3
5
25
2
25
x
y
x y
x y
x
y
=
=
+ =
⇔
+ =
=
=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
22
-
Với
17
3
5
x y
+ = −
ta có:
( )
2 2
1
5
17
3
5
x y
VN
x y
+ =
+ = −
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
2 1 11 2
; , ;
5 5 25 25
Bài tập mẫu 15: Giải hệ phương trình
(
)
( )
( )( )
2
2 2
7 2 0
3 1 0
x y x y
x x y
+ − + + =
− + + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có biến ñổi tương ñương
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
1 4
7 14
7 2 0
1 2
3 1 0
3 6
2
18
2
6
x y x y x y
x y x y
x y x y
x x y
x x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+ + = + + + − =
+ − + + =
+ +
⇔ ⇔
− + + =
+ = + + + − =
+ +
+ + + − =
+
⇔
+ + + − =
+
ðặt
2 2
1
2
5 1
,
18
2
2 2
6
2, 1
3
x y
u x y
x y
u v
x y
x y
u v
x y
v x y
x y
+ =
= + +
= = −
+ =
+
⇔ ⇔ ⇔
+ =
+ =
= = −
= −
− =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
5 1
; , 2; 1
2 2
− −
Bài tập mẫu 16: Giải hệ phương trình
3
3
2 0
3 3 0
x xy
y xy
+ − =
+ + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Từ phương trình
3
2 0
x xy
+ − =
suy ra
0
x
≠
và
3
2
x
y
x
−
=
, thay vào phương trình thứ hai ta
ñược
3
3 3
2 2
3 3 0
x x
x
x x
− −
+ + =
ðặt
3
t x
=
phương trình trên trở thành
( )
3
3 2
3
3 3 18 0 1 7 1 7
t t t t t− + − = ⇔ − = ⇔ = +
Từ ñó ta suy ra
3
3
3
3
3
1 7
1 7
1 7
x
y
= +
−
=
+
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
3
3
3
3
3
1 7
1 7;
1 7
−
+
+
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
23
-
Bài tập mẫu 17:
Giải hệ phương trình
2 2 2 2 2
3 2 8 4 8 4 5 2 4 4
2 2 33.2
2 2 0
x y x y x y x y x
x y
+ + − + + + + + +
+ =
+ + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) tương ñương
(
)
2 2
2 2
2 4 4 4
4 4 4
2 33.2 32 0
x y x y
x y x y
+ + − +
+ + − +
− + =
ðặt
2 2
4 4 4
2 0
x y x y
t
+ + − +
= >
Phương trình trở thành
2
1
33 32 0
32
t
t t
t
=
− + = ⇔
=
Với
1
t
=
2 2
4 4 4 0
x y x y
⇒
+ + − + =
kết hợp phương trình (2) ta có hệ phương trình
2 2
10 2 5
4 4 4 0
5
2 2 0
10 4 5
5
x
x y x y
x y
y
− ±
=
+ + − + =
⇒
+ + =
− ±
=
Vowis
32
t
=
2 2
4 4 1 0
x y x y
⇒ + + − − =
kết hợp phương trình (2) ta có hệ phương trình
2 2
10 3 5
4 4 1 0
5
2 2 0
10 6 5
5
x
x y x y
x y
y
− ±
=
+ + − − =
⇒
+ + =
− ±
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
10 2 5 10 4 5 10 3 5 10 6 5
; , ;
5 5 5 5
− ± − ± − ± − ±
Bài tập mẫu 18: Giải hệ phương trình
(
)
( )
2
2
2
4 1
2 7 2
x x y y x
x x y y x
+ + = −
+ − = +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình ñã cho tương ñương:
( )
(
)
( )
( )
2
2
2
1 4
2 1 7
x x y y x
x x y y x
+ + + =
+ − + =
Ta có:
0
x
=
không phải là nghiệm của hệ phương trình
+ Khi
0
x
≠
: Hệ phương trình trở thành :
( )
( )
2
2
2
1
4
1
2 7
y
x y
x
y
x y
x
+
+ + =
+
+ − =
ðặt
2
1
u x y
y
v
x
= +
+
=
. Hệ phương trình trở thành
2
4
2 7
u v
u v
+ =
− =
Giải hệ phương trình này ta có
3
1
5
9
u
v
u
v
=
=
= −
=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
24
-
Với :
2
2
2
2
3
3
3 1 3
1
1
1
1
1
x y
x y
u y y
y
v
y x
y x
x
+ =
+ =
= + + =
⇔ ⇔ ⇔
+
=
+ =
=
+ =
2
2
2
2
1
1
2 0
2
5
1
1
2
x
y
y
y y
y
x
x y
x y
y
=
=
=
+ − =
= −
⇔ ⇔ ⇔
=
= +
= +
= −
Với
( ) ( )
2
2 2
5
5 5
5
1
9
1 9 5 9 46 0
9
x y
x y x y
u
y
v
y y y y VN
x
+ = −
= − − = − −
= −
⇔ ⇔ ⇔
+
=
+ = − − − + =
=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
(
)
(
)
; 2;1 , 5; 2
x y
= −
Bài tập mẫu 19: Giải hệ phương trình
3 5 2
15 5 22 4 15
x y x y
x y x y
− − − =
− + + =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
3 0
5 0
x y
x y
− ≥
− ≥
. ðặt
3 0
5 0
a x y
b x y
= − ≥
= − ≥
Nhận xét rằng
(
)
(
)
22 4 3 3 5 5
x y x y x y
+ = − − + −
ta ñược hệ phương trình :
2 2
2
5
3
3 5 15 5
a b
a
b
a b b
− =
=
⇔
=
− + + =
Do ñó ta có hệ phương trình
1
3 25
7
5 9 58
7
x
x y
x y
y
=
− =
⇔
− =
= −
ðối chiếu ñiều kiện ta thấy nghiệm của hệ phương trình là
( )
1 58
; ;
7 7
x y
= −
Bài tập mẫu 20: Giải hệ phương trình
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
+ + − + =
+ =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
2 1 0
0
x y
x y
+ + ≥
+ ≥
. ðặt
2 1 0
0
a x y
b x y
= + + ≥
= + ≥
Ta có nhận xét
(
)
(
)
3 2 2 1 1
x y x y x y
+ = + + + + −
Từ ñó ta có hệ phương trình
2 2
1
2
1
5
a b
a
b
a b
− =
=
⇔
=
+ =
Từ ñây ta có hệ phương trình
2 3 2
1 1
x y x
x y y
+ = =
⇔
+ = = −
ðối chiếu ñiều kiện thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
(
)
; 2; 1
x y
= −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
25
-
Bài tập mẫu 21: Giải hệ phương trình
1
1 1
3
xy xy x
y y y
x x x
+ + =
+ = +
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
ðiều kiện:
0, 0
x y
> ≥
chia hai vế phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho x ta ñược
1
1
1 1
3
y
y
x x
y y y
x x x
+ + =
+ = +
. ðặt
1
a
x
b y
=
=
( )
2 2
3 3
1
*
3
a b ab
a b a b
+ + =
+ = +
Giải hệ phương trình (*) ta ñược
1 1
0 0
a x
b y
= =
⇒
= =
So sanhs ñiều kiện ta thấy thỏa mãn . Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
(
)
(
)
; 1;0
x y =
Bài tập mẫu 22: Giải hệ phương trình
2 2
2
2
2
1 1
1 1
4 3 2 2
9
x y
x y
x x
x
y y
+ = +
+ +
+ −
+ =
trong ñó
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Xét hàm số
( )
2
1
1
f t t
t
= +
+
Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
4 2
2 2
2 2
1
2
' 1 0
1 1
t t t
t
f t
t t
+ + −
== − = = >
+ +
với mọi t
Suy ra hàm số ñồng biến trên R
Áp dụng kết quả trên vào phương trình thứ nhất ta thấy
(
)
(
)
f x f y x y
= ⇔ =
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta ñược:
2
2 2
2 2
4 3 2 2 4 2
9 9 3 2
x x
x x x
x x x x
+ −
+ = ⇔ + = − +
ðặt
2 2
2
2 4
3 12 9u x u x
x y
= −
⇒
+ = +
. Phương trình trở thành
2
2 2
2
12 2 2
12 4 4
u
u u u
u u u
≥ −
+ = + ⇒ ⇔ =
+ = + +
Ta có phương trình
2
2 1 7
2 3 3 2 2 0
3
x x x x y
x
±
= − ⇔ − − = ⇔ = =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( )
1 7 1 7 1 7 1 7
; ; , ,
3 3 3 3
x y
+ + − −
=
