Bài giảng Đại số lớp 10: Bất đẳng thức (Tiết 1+2) - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG THPT BÌNH
CHÁNH

TỔ TỐN
KHỐI
10


CHỦ ĐỀ:
BẤT ĐẲNG THỨC (tt)
( Tiết 1-2)


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1. Nhắc lại bất đẳng thức Cơ-si

Trung bình nhân của hai số khơng âm nhỏ hơn hoặc
bằng trung bình cộng của chúng

a+b
ab 
,
2
Đẳng thức

a, b  0

a+b
xảy ra khi và chỉ khi a = b
ab =

2


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1
Cho một số dương a và số nghịch đảo của nó là
a
Ta có
1 cơ- si cho
1 2 số dương này
Hãy áp dụng bất đẳngathức
+ 2 a =2
a
a
Vậy

Tổng của một số dương với nghịch
đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
2. Các hệ quả
a) Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó
lớn hơn hoặc bằng 2
1
a +  2, a  0

a


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
b) Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng khơng đổi thì
tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y
Chứng minh:

Đặt S = x + y. Áp dụng BĐT Cơ-si ta có:

x+y S
xy 
=
2
2

Do đó

S2
xy 
4

S
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =
2 S
S2
Vậy tích xy đạt GTLN bằng

khi và chỉ khi x = y =
4
2


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cơ-si)
Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình
vng có diện tích lớn nhất.
1cm 2

16 cm2

15 cm2

Chu vi =16cm


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
c) Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tích khơng đổi thì
tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (bất đẳng thức cơ-si)

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích,
hình vng có chu vi nhỏ nhất.
1cm 2

20cm

16cm

Diện tích =16cm2


III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt
đối của các số sau:
a/ 0;

Trả lời:

b/ 1,25

A
A =
− A

a/0 =0
b / 1,25 = 1,25

c/ -3/4

Nếu

A0

Nếu A<0

3 3
c/− =
4 4
d / − = 

d/ − 


III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Điều kiện

Nội dung

x  0, x  x, x  − x
a>0

x  a  −a  x  a

a>0

x  a  x  −a hoặc x  a

a − b  a+b  a + b

III.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ: Cho

x  − 2;0 . CMR x + 1  1

Giải

x  − 2;0  −2  x  0


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

VÍ DỤ 1

3
Tìm GTNN của hàm số f ( x) = x +
x

với x>0

Giải : ( Cách 1 giải theo BĐT Cơsi)
3
* Vì x>0 nên
> 0. Áp dụng côsi cho hai số x và 3 :
x

x

3
3
f ( x) = x +  2 x. = 2 3
x
x

*

Dấu ‘‘ = ’’xảy ra  x =

3
 x2 = 3  x =  3
x
 x = 3 (do x>0)


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* VÍ DỤ 1

3
Tìm GTNN của hàm số f ( x) = x +
x

với x>0

Giải : ( Cách 2 giải theo hệ quả 3)
3
x

3
 x =  x2 = 3  x =  3
x
 x = 3 (do x>0)


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* VÍ DỤ 2

Tìm GTNN của hàm số

4
f ( x) = x +
x +1

với x > -1

Giải : ( Cách 1 giải theo BĐT Côsi)
4
x +1

4
:
x +1

* Áp dụng Côsi cho hai số (x+1) và
f(x) = (x + 1) +

4

-1
x +1

* Dấu ‘‘=’’ xảy ra  (x + 1) =

2.

( x + 1) .

4
−1
x +1

4
 (x + 1)2 = 4
x +1

=3

 x =1 hoặc x=-3
 x=1 (do x> -1)


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* VÍ DỤ 2
4
f ( x) = x +
x +1

Tìm GTNN của hàm số

với x > -1

Giải : ( Cách 2 giải theo hệ quả 3)
4
x +1

* Hàm số đạt GTNN  (x + 1): =

4
 (x + 1)2 = 4
x +1

 x =1 hoặc x=-3

 x=1 (do x>-1)


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* VÍ DỤ 3
Tìm GTLN của hàm số f(x)=(x+3)(5-x) với −3  x  5
Giải : ( Cách 1 giải theo BĐT Côsi)
− 3  x  5 nên x + 3  0 , 5 − x  0
Vì
Áp dụng Cơsi cho hai số (x+3) và (5-x) :
( x + 3)(5 − x) 

x +3+5− x

=4
2



f ( x) = ( x + 3)(5 − x)  16

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi x+3 = 5-x  x =1


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* VÍ DỤ 3
Tìm GTLN của hàm số f(x)=(x+3)(5-x) với −3  x  5
Giải : ( Cách 2 giải theo hệ quả 2 )
* Vì − 3  x  5 nên x + 3  0 , 5 − x  0
* Ta có: (x+3)+(5-x)=8 ( hằng số)
* Hàm số đạt GTLN  x+3 = 5-x  x = 1


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* VÍ DỤ 4

Giải : ( Giải theo hệ quả 2 )


IV. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

* VÍ DỤ 5