XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 3 các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, vecto ngẫu nhiên

Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên và véctơ ngẫu nhiên.
§1 Kỳ vọng
1. Định nghĩa
   xi   pi      xi pi
Định nghĩa 1.1: Giả sử
i
Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là


f X  x       x. f X  x  dx


Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X
2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số
(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

1


§2: PHƯƠNG SAI
1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X
2
là:

D         



Định lý 2.1 :
2

  



D()   2    

 

vớ
i   2   xi2.pi , nế
u X rờ
i rạc ;

 

i



  2  x2. f  x dx , nế
u X liê
n tục.


2

C
.D (  )
2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) =
(3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y)
(4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số
3. Độ lệch:     D  

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

2


§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1.Mod X (giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)
Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và    xi   pi

 M od   xi neá
u pi  M ax pi
0

0

Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm f X

 x , ta có

 Mod   x0 nế

u fX  x0   Max f X  x

2. Med X(medium – trung vị X)
Định nghĩa 3.3: Med  m     m 1/ 2,  X  m 1/ 2




Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì
m
1
MedX m  FX (m)  f X  x  dx 

2
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

3


3.Moment
Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X
đối với số a là :    X  a k 


a = 0: moment gốc
a = E(X):moment trung tâm.
4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK)

Ví dụ 3.1:

cos x, x   0,  / 2
 ~ f X  x  
0, x   0,  / 2


 /2

     x. f X  x  dx 


Khoa Khoa Học và Máy Tính

0


x.cos xdx   1
2

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

4


2




D  X   x cos xdx    1   3
0     
2 
 /2

2

 

 X2

Mod X =0
Med X = m



m





m

f X  x  dx  cos xdx 1/ 2
0

 sin m 1 / 2  m  / 6

Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau





1 2 ...

p pq ...

Khoa Khoa Học và Máy Tính

m 1 m

pq

m 2

pq

m 1...

m 1

pq

m

k

...

k1

... pq ...

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

5




E ( X )  kp.q k  1  p.
k 1



D ( X )  k pq
k 1   
2

k1

1

1  q 

 1
 


p



2



1
p

2

2

  

2

 1 
1 q
1 q
1
q
 p.







(1  q )3  p 
p2
p2
p2

Mod X = 1
 p 1  q  ...  q m  2  1 / 2

Med X =m  
m 2
m 1
p
1

q

...

q

q

 1 / 2


Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3

@Copyright 2010

6


.

 1  q m 1
 p. 1  q 1/ 2
m 1

1

q
1 / 2





m
m

1  q 1 / 2
 p. 1  q 1/ 2

 1 q
 m ln q  ln 2 , m  1ln q  ln 2

 m 1 1

q 


2

q m  1


2

 ln 2
 ln 2

m 
1
ln q
ln q

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

7


.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau:
X
P

2
0,4

5
0,3

7
0,3

   2.0, 4  5.0,3  7.0,3 4, 4
D    2 .0.4
  5 .0,3
  7 .0,3
  4, 4 
2

2

2

2

 

 2

    D( X ) 2,107

Mod X = 2 ; Med X = 5
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

8


Cách dùng máy tính bỏ túi ES

• Mở tần số(1 lần): Shift Mode
• Nhập: Mode Stat 1-var

xi

Stat On(Off)

ni

2 0,4
5 0,3
7 0,3
AC: báo kết thúc nhập dữ liệu
Cách đọc kết quả: Shift Stat Var

Khoa Khoa Học và Máy Tính

x     4, 4

x n     2,107

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

9


Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD
Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =
Cách nhập số liệu :
2; 0,4 M+
5; 0,3 M+
7; 0,3 M+
Cách đọc kết quả:

 x     4, 4
SHIFT S – VAR 
 x n     2,107
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

10


Ví dụ 3.4:
Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân đối,đồng chất .Gọi X là
tổng số điểm nhận được. Hãy tính E(X), D(X)
Giải: Gọi Xi là sớ điểm của con xúc xắc thứ i
 1   2  ....   5

      1   ....    5  5 1 

Xi độc lập  D     D  1   D   2   ...  D   5  5 D 1 

X1
PX

1 2 ... 6
7
1 1
1   1   ,
2
...
6 6
6

Khoa Khoa Học và Máy Tính

35
D 1  
12

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

11


§4: Kỳ vọng của hàm

1.Trường hợp rời rạc:

Y   

  xi   pi  E (Y )    xi .pi
i

2.Trường hợp liên tục:



  f X  x    Y     x . f X  x  dx





cos x, x   0, 2 



 x  
0 , x   0,  



2

Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX.
Ví dụ 4.1:

Cho
  fX

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

12


.
 /2

 Y  
0

 Y

2

sin x
sin x cos xdx 
2

 

 /2

0

D Y   Y

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

 /2
0

3
sin
x
2
sin x cos xdx 
3
2

  E Y 

2

1

2

 /2
0

1


3

1 1 1
  
3 4 12

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

13


§5: Kỳ vọng của hàm

  ,Y 

1.Trường hợp rời rạc:    xi , Y  y j   pij
Ví dụ 5.1:

       xi , y j . pij
i, j

 Y   xi y j pij
i, j

2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục và có hàm mật độ
f(x,y)
Ví dụ 5.2:

      x, y . f  x, y  dxdy
  
2
R

Z

     


u 0  x  y 1, (hình 5.1)
f  x, y  8xy, nế
0 , nế
u trá
i lại .

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

14


HÌNH 5.1

y
1





0
Khoa Khoa Học và Máy Tính

1

X

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

15


.

    
x. f
R2

 Y  
y. f
R2

y

 x, y  dxdy
 x, y  dxdy

  X .Y  
xy. f

Khoa Khoa Học và Máy Tính

1

dy  y.8 xydx
 x, y  dxdy 
0
0

2
  X 2  
x
 .f

R2

y

dy  x.8 xydx
 x, y  dxdy 
0
0

2
 Y 2  
y
 .f

R2

1

 x, y  dxdy
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

16


§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên
1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y))
2. Hiệp phương sai (covarian):
Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]
Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)
Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0
(2) cov(X,X) = D(X)
n
m
n
 m

(3) cov    i ,  Y j    cov i , Y j 
j 1
 i 1
 i 1 j 1
m
m
 m


(4) cov    i ,   k   D  i    cov  i , X k 
k 1
i k
 i 1
 i 1
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

17


3. Hệ số tương quan
Định nghĩa 6.2:

RXY

cov , Y 

  . Y 

Tính chất: (1) X,Y độc lập  RY 0
(2) RXY 1, , Y
(3) RXY 1  a, b, c : a  bY c
Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính
giữa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan
hệ tuyến tính.
 cov ,  ,cov , Y 

4. Ma trận tương quan: D , Y  


 cov Y ,  ,cov Y , Y  



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

18


• Ví dụ 6.1:Cho các biến ngẫu nhiên
có phương sai đều bằng 1 và

1 ,  2 ,...,  m ; Y1 , Y2 ,..., Yn

cov i ,  j   p1 ;cov Yi , Y j   p2 ;cov i , Y j   p3

Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên:
Giải:

U 1   2  .....   m  và V Y1  Y2  .....  Yn 
n
 m
 m n
cov U ,V  cov   i ,  Yi   . cov i , Y j  m.n. p3

j 1 
i 1 j 1
 i 1
m
 m
 m
D U  cov   i ,  X k   D  i    cov  i ,  k  m  m(m  1). p1
i k
 i 1 k 1  i 1
D V  n  n(n  1). p2

cov U ,V 

m.n. p3

RUV 

 U . V  m  m m  1 p1 . n  n n  1 p2
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

19


5. Cách dùng máy tính bỏ túi
a)Loại ES:

MODE STAT a+bx

xi
yi
pij
AC

Cách đọc kết quả:
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT REG
SHIFT STAT SUM
Khoa Khoa Học và Máy Tính

x    X 
x n    X 
y   Y 

y n   Y 

r  RXY

 xy    XY 
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010

20