XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 2 đại lượng ngẫu nhiên, vecto ngẫu nhiên

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên
§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu
nhiên nhận một số giá trị với các xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu
hạn hoặc vơ hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị
có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

1


§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1:


Chú ý:

p
i

i

1

   xi   pi , i 1, 2,3,...k

 x1

x2

... xk

x

p2

...

p1

pk

...
...

(…) vơ hạn

• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng.
Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến
k ...
 1 2 3 ...
khi dừng lại

x p
Khoa Khoa Học và Máy Tính

qp q 2 p

... q k  1 p...

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

2


Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên với điều kiện ngừng là bắn trúng
thì ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng

x

1

p

2

pq

3. . . 19

pq 2 .. . pq18

20

q19

2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu
FX ( x ) F  x    X  x 
nhiên X là:
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm
các t/c đặc trưng
2. F   0, F   1
3. a  X  b  FX b  FX a 
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì FX
liên tục trên tồn trục số
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

x 
3


• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì
X  x0  0, x0
Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm
khơng có ý nghĩa
Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên.Khi ấy

FX  x   pi
xi  x

• Ví dụ 2.3:
0
0,1

 FX x  
0,6
1
Khoa Khoa Học và Máy Tính




nếu
nếu
nếu
nếu

2 x 5 7
0,1 0,5 0, 4

x 2
2  x 5
5  x 7
7x
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

4


Chú ý: Hàm phân phối FX x  0 bên trái miền giá trị của X
và FX x  1 bên phải miền giá trị của X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu
nhiên liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
/
nhiên X liên tục là:
f X  x   f  x   FX  x  x
x
• Định lý 2.1:
FX  x    f X t  dt


• Tính chất:

1 f ( x) 0




 t/c đặc trưng
2
f
(
x
)
dx


1
 



b
(3) P ( a  X  b) f X ( x ).dx
a

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

5


Chú ý: Hàm mật độ f X  x  0 bên ngồi miền giá trị
của X.
• Ví dụ 2.4:
a cos 2 x, x   0,  / 2

X  f ( x) 
0,

• 1.Xác định a
•


 /2

x   0,  / 2

a
1  f (x)dx  a cos xdx 
2
0

a
sin2x 
  x

2
2 

Khoa Khoa Học và Máy Tính

 /2
0

2

 /2

1  cos2x dx
0

a 
4

 .  a
2 2

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

6


2. Hãy tìm hàm phân phối FX  x 
0 , neáu x  0
x
x
2
sin 2x 

 4 2
F X x  f t dt    cos tdt   x 
 , neáu 0  x 

2 
2

0 
1 , neáu x   / 2






3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

  / 4,  / 4 

   / 4  X   / 4  F  / 4   F   / 4 
 /4

 /4

  /4

0

   / 4  X   / 4  
Khoa Khoa Học và Máy Tính

2
f
x
dx

(4
/

)
cos
xdx
  
Xác Suất Thống Kê. Chương 2

@Copyright 2010

7


• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thơi. Lập dãy
phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số
bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ
nhất, thứ hai là p1, p2 .
• Giải: Gọi q1 , q2 là xác suất ném trượt bóng của người 1,2
• X là sớ bóng của người thứ 1
• Y là sớ bóng của người thứ 2
• Z là tởng sớ bóng của cả 2 người

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

8


1

X

2

. . .

k

. .

.

p1  q1 p2

q1q2 ( p1  q1 p2 ) ..... q1k  1q2k  1  p1  q1 p2  . . .

Y

0

1

Y

p1 q1  p2  q2 p1  q1q2  q1  p2  q2 p1 

Z

2k  1





X

Z

q1k  1q2k  1 p1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

. . .

k

. . .

. . . q1k  1q2k  1 .... . . .

2k
q1k q2k  1 p2

,

k 1, 2,...

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

9

§3: Véc tơ ngẫu nhiên
I. Vectơ ngẫu nhiên
Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:

   xi , Y  y j   pij , i 1, k ; j 1, h
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

10


y
Y

x

y1

y2

…

yh

Px

X
x1

P11

P12

P1h

P1

x2

P21

P22

P2h

P2

xk

Pk1

Pk2

Pkh

Pk

PY

q1

q2

qh

1

…

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

11


2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
h

pi     xi   pij , i 1, k
j 1
k

q j  Y  y j   pij , j 1, h
i 1

3. Điều kiện độc lập của X và Y
 i, j : pij  pi .q j
Định lý 3.1: X,Y độc lập
4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
 ( X  xi / Y  y j ) 
 (Y  y j / X  xi ) 
Khoa Khoa Học và Máy Tính

pij

qj
pij
pi

, i 1, k
, j 1, h

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

12


5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

F  x, y    X  x, Y  y 
Định nghĩa 3.1:

Tính chất:
(1) F  x, y  là một hàm không giảm theo từng biến
(2) F ( ,  ) 0, F (, ) 1
(3) (a  X  b, c Y  d ) F (a, c)  F (b, d )  F (a, d )  F (b, c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên tồn bộ
mặt phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phới xác suất như
trên, khi ấy ta có:

F ( x, y )   pij
xi  x
yj y

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

13


Ví dụ 3.1: Giả sử (X,Y) có bảng phân phối xác suất sau:

y
Y

x

3

5

0

0,1

0,2

0,3

2

0,3

0,4

0,7

Y

0,4

0.6

1

X

X



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

14


.
X

0 2

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
P X 0,3 0,7
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1 0,3.0, 4  X , Y
là phụ thuộc
X
0
2
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
0.2 0.4
(4)Tìm hàm phân phối:
P X /Y 5
0,
0.1,


F  x, y  0.1  0.2,
0.1  0.3,

1,
Khoa Khoa Học và Máy Tính

x 0  y 3

0.6

0.6

0  x 2,3  y 5
0  x 2,5  y
2  x,3  y 5
2  x,5  y
Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

15


III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)
2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:

 F  x, y 
f  x, y  
xy

2

Định lý 3.2:

x

y

F  x, y    f u , v  dudv
   
Dxy

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

16


HÌNH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

17


Tính chất:

(1) f  x, y  0



 TCDT
(2) 
f
(
x
,
y
)
dxdy

1


R2

(3)   x, y   D  
f  x, y dxdy
D

3. Các hàm mật độ xác suất lề.

fX
fY



 x  




 y  


Khoa Khoa Học và Máy Tính

f

 x, y  dy

f

 x, y  dx

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

18


.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

FX
FY

 x  F  x,  

 y  F , y 

4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập  f  x, y   f X  x . fY  y 

 F  x, y  FX  x .FY  y 

5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:

f X / Y y0 ( x ) 
fY / X x0
Khoa Khoa Học và Máy Tính

f

 x , y0 
fY  y0 

f  x0 , y 
( y) 
f X  x0 

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

19


Ví dụ 3.2: Cho

     

 a.e x y , neá
u 0  x  y <+
f  x, y  

, nế
u trá
i lại .
0
1.Xác định tham số a.

1 
f
R

2



 x, y  dxdy a 
0

a  e
0



 2x



dx  e
x

 x y

dy

a
dx   a 2
2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2
@Copyright 2010

20