Bài giảng Hình học lớp 11: Vectơ trong không gian - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

Tổ tốn
Khối 11


Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG
KHƠNG GIAN

II

ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VECTƠ


I

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG
KHƠNG GIAN .

1 Định nghĩa
B

A

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như: giá của vectơ, độ dài vectơ,
sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ,
và các quy tắc thực hiện các phép toán về vectơ được định nghĩa tương
tự trong mặt phẳng.

Ví dụ 1

Cho tứ diện ABCD, kể tên các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là
các đỉnh cịn lại của tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt
phẳng khơng?
Bài giải

A

Các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối
là các đỉnh còn lại của tứ diện là:
𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐷

B

D

Chúng không cùng thuộc một mặt phẳng
C


Ví dụ 2

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Kể tên các vectơ bằng với vectơ 𝐴𝐵
b) Có tất cả bao nhiêu vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh
của hình hộp?
Bài giải

a) Các vectơ bằng với vectơ 𝐴𝐵 là:
𝑨𝑩 = 𝑫𝑪 = 𝑨′𝑩′ = 𝑫′𝑪′

B
A

b) Vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối là các
2
đỉnh của hình hộp có tất cả 𝐴8 = 56 vectơ

Hai vectơ bằng nhau khi nào?

C
D

B'
A'

C'
D'


I

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG

KHƠNG GIAN .

2 Phép cộng và phép trừ các vectơ, phép nhân với một số
Ví dụ 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Thực hiện phép toán 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 𝐴′𝐵′ + 𝐶′𝐷′.
b) Chứng minh 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶′.

Nhắc lại quy tắc 3 điểm,
quy tắc hình bình hành?

• Qui tắc 3 điểm.
Với ba điểm A,B,C bất kì ln có: 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ; 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵
• Qui tắc hình bình hành.
Nếu ABCD là hình bình hành thì:

𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶


Ví dụ 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Thực hiện phép tốn 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 𝐴′𝐵′ + 𝐶′𝐷′.
b) Chứng minh 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶′.

Bài giải

B

𝑎) 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 𝐴′𝐵′ + 𝐶′𝐷′ = 0
A

D

𝑏) 𝑉𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐴′
= 𝐴𝐶′ = 𝑉𝑃

C

B'
A'

C'
D'


Câu 1

Cho hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. Khi đó, vectơ cùng phương
với vectơ 𝐴𝐵 là vectơ nào dưới đây?
B

A
C

𝐶𝐷

B

𝐴𝐷

D

Câu 2

′
𝐵 𝐶′

A

D
B'

𝐴𝐶′

𝑀𝐷

C'

A'

D'

Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.

Khi đó, vectơ cùng hướng với vectơ 𝑀𝑁 là vectơ nào dưới đây?

A

C

B

A

N

M

𝐶𝐷
B

C

𝐷𝐵

D

D

𝐵𝐷
C


Câu 3

Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷, gọi M, N lần lượt là điểm thuộc cạnh AB, AD

sao cho 𝐴𝑀 = 3𝑀𝐵, 𝐷𝑁 =

1
3

A
Câu 4

B

1
𝑁𝐴.
3

1
−
3

Tìm số thực k thỏa mãn 𝑀𝑁 = 𝑘𝐷𝐵?
3
−
4

C

D

3
4

Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′. Chọn đẳng thức vectơ đúng:

A

𝐷𝐵′ = 𝐷𝐴 + 𝐷𝐷′ + 𝐷𝐶

B

𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷

C

𝐷𝐵 = 𝐷𝐴 + 𝐷𝐷′ + 𝐷𝐶

D

𝐴𝐶′ = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵′ + 𝐴𝐷


II

1

ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
Vậy trong không gian khi
Khái niệm về sự đồng phẳng của 3 vectơ trong khơng gian.
nào thì ba vectơ đồng
phẳng?

Cho 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ ≠ 0 . Từ một điểm O bất
kì vẽ 𝑂𝐴 = 𝑎,

Ԧ 𝑂𝐵 = 𝑏, 𝑂𝐶 = 𝑐.
Ԧ

Nếu OA, OB, OC khơng cùng nằm trong
một mặt phẳng thì ta nói 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ không
đồng phẳng.
Nếu OA, OB, OC cùng nằm trong
một mặt phẳng thì ta nói 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng
phẳng.

A

A
O

B

B

C
Ba vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ
không đồng phẳng

Ba vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ
đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hay không đồng phẳng của ba vectơ không phụ
Thế nào là hai vectơ
thuộc vào
vị
trí
điểm
O.
cùng phương?


2 Định nghĩa .
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng
phẳng nếu các giá của chúng cùng song song
với một mặt phẳng.


3

Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.
Định lí 1:
Trong khơng gian cho hai vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏 không cùng phương và vectơ 𝑐.
Ԧ
Khi đó, ba vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho 𝑐Ԧ =
𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.


Ví dụ

Bài giải

Theo quy tắt của phép trừ hai vectơ ta tìm được:
𝑐Ԧ = 2𝑎Ԧ − 𝑏 = 2𝑎Ԧ + −𝑏
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng
Vì 𝑐Ԧ = 2𝑎Ԧ − 𝑏 nên theo định lí 1 thì ba vectơ 𝑎,


Ví dụ

Bài giải

Ta có: 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 + 𝑝𝑐Ԧ = 0 và giả sử p≠ 0.
Khi đó ta có thể viết:

𝑚
𝑛
𝑐Ԧ = − 𝑎Ԧ − 𝑏
𝑝
𝑝

Nên theo định lí 1 thì ba vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng


3

Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.
Định lí 2:
Trong khơng gian cho 3 vectơ không đồng phẳng 𝑎,

Ԧ 𝑏,𝑐.
Ԧ Khi đó với mọi

vectơ 𝑥Ԧ ta đều tìm được một bộ 3 số m, n, p sao cho𝑥Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 + 𝑝𝑐Ԧ . Bộ ba
số là duy nhất.
Ví dụ
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các
đường thẳng A’C và C’D sao cho 𝑀𝐴′ = −3𝑀𝐶, 𝑁𝐶′ = −𝑁𝐷. Đặt 𝐵𝐴 = 𝑎,
Ԧ 𝐵𝐵′ = 𝑏,
𝐵𝐶 = 𝑐.
Ԧ Hãy biểu thị các vectơ 𝐵𝑀 và 𝐵𝑁 qua các vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐.
Ԧ


Ví dụ

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc

các đường thẳng A’C và C’D sao cho 𝑀𝐴′ = −3𝑀𝐶, 𝑁𝐶′ = −𝑁𝐷. Đặt 𝐵𝐴 = 𝑎,
Ԧ
𝐵𝐵′ = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑐.
Ԧ Hãy biểu thị các vectơ 𝐵𝑀 và 𝐵𝑁 qua các vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐.
Ԧ
Bài giải

𝑀𝐴′ = −3𝑀𝐶⇔ 𝑀𝐵 + 𝐵𝐴′ = −3 𝑀𝐵 + 𝐵𝐶

⇔ 4𝑀𝐵 = − 𝐵𝐴 +

′
𝐴𝐴

′
𝐵𝐵

− 3𝐵𝐶

⇔ 4𝐵𝑀 = 𝐵𝐴 +
+ 3𝐵𝐶
1
1
3
⇔ 𝐵𝑀 = 𝑎Ԧ + 𝑏 + 𝑐Ԧ
4
4
4
Tương tự, 𝐵𝑁 =

1
𝑎Ԧ
2

+

1
𝑏
2

+ 𝑐.
Ԧ

D

A
a
B

c
M

C
N

b

B'

A'

D'

C'


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


Câu 1

Cho 3 vecto 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ không đồng phẳng. xét các vecto 𝑥Ԧ = 2𝑎Ԧ + 𝑏,
𝑦Ԧ = 𝑎Ԧ − 𝑏 − 𝑐;
Ԧ 𝑧Ԧ = −3𝑏 − 2𝑐.
Ԧ Chọn khẳng định đúng

A

Ba vecto 𝑥,
Ԧ 𝑦,
Ԧ 𝑧Ԧ đồng phẳng

B

Hai vecto 𝑎,
Ԧ 𝑥Ԧ cùng phương

C

Hai vecto 𝑏, 𝑥Ԧ cùng phương

D

Ba vecto 𝑥,
Ԧ 𝑦,
Ԧ 𝑧Ԧ đơi một cùng phương.

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K là tâm của hình bình hành
ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai

A
C

Bốn điểm I, K , C , A đồng phẳng.
1
1
𝐼𝐾 = 𝐴𝐶 = 𝐴′ 𝐶 ′
2
2

B
D

Ba vecto 𝐵𝐷, 𝐼𝐾, 𝐵′𝐶′không đồng phẳng
𝐵𝐷 + 2𝐼𝐾 = 2𝐵𝐶


Câu 3

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào sai

A

3 vecto 𝐴𝐵, 𝐷𝐶, 𝑀𝑁 đồng phẳng

B

3 vecto 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝑀𝑁 không đồng phẳng

C

3 vecto 𝐴𝑁, 𝐷𝑁, 𝑀𝑁đồng phẳng

D

3 vecto 𝐵𝐷, 𝐴𝐶, 𝑀𝑁 không đồng phẳng

Câu 4

A
C

Cho 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ là 3 vectơ đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai ?

𝑎Ԧ = 2𝑏 + 𝑐Ԧ

𝑎Ԧ = 2𝑏 + 𝑐Ԧ với 𝑏, 𝑐Ԧ cùng phương.

B

Giá của 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ cùng song song với 1
mặt phẳng.

D

𝑎Ԧ = 2𝑏 + 𝑐Ԧ với 𝑏, 𝑐Ԧ không cùng
phương


1
1

Khái niệm về sự đồng phẳng của 3 vectơ trong không gian.

Định nghĩa.
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng
song song với một mặt phẳng.

2

3
3

Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.

Định lí 1:Trong không gian cho hai vectơ
𝑎,
Ԧ 𝑏 không cùng phương và vectơ 𝑐.
Ԧ Khi
đó, ba vectơ 𝑎,
Ԧ 𝑏, 𝑐Ԧ đồng phẳng khi và chỉ
khi có cặp số m, n sao cho 𝑐Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏.
Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2: Trong khơng gian cho 3

vectơ khơng đồng phẳng 𝑎,
Ԧ 𝑏,𝑐.
Ԧ Khi đó
với mọi vectơ 𝑥Ԧ ta đều tìm được một bộ
3 số m, n, p sao cho 𝑥Ԧ = 𝑚𝑎Ԧ + 𝑛𝑏 + 𝑝𝑐Ԧ
. Bộ ba số là duy nhất.