Đại số tuyến tính CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
BIÊN SOẠN: LÊ TUẤN ANH
( CTV ĐẠI SỐ CHƯƠNG TRÌNH ‘CHÚNG TA CÙNG TIẾN’)
PHẦN MỘT: CÁC NỘI DUNG CẦN ƠN TẬP
I.ma trận:
1. các phép tốn
2. hạng ma trận
3. ma trận nghịch đảo
4. định thức
II.hệ phương trình tuyến tính: cách giải hệ pt AX=b
III.khơng gian vecto:
1.tìm cơ sở (cs), số chiều của khơng gian (kg) con F
2.tìm cs và số chiều của F G
3.tìm cs và số chiều của F+G
IV.khơng gian Euclid:
1.tính tốn modun, góc, khoảng cách…
2.tìm cs, số chiều của khơng gian con bù vng góc
3.tìm hình chiếu của vecto v xuống khơng gian con F, tính khoảng cách
4.dùng quá trình gram-schmidt tìm cơ sở trực chuẩn
V.ánh xạ tuyến tính (axtt) (ít nhất 1 câu):
Cho ánh xạ tuyến tính. Sau đó yếu cầu giải quyết các vấn đề:
1.tìm ảnh của một phần tử cho trước
2.tìn f


3.tìm cs, số chiều của imf, kerf
4.tìm ma trận của axtt trong cặp cơ sở cho trước
VI.trị riêng (tr), vecto riêng (vtr) (ít nhất 1 câu):
1.tìm tr,vtr của ma trận A
2.chéo hóa ma trận, tính
3. chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao

VII.dạng tồn phương (ít nhất 1 câu)
1.đưa dạng tồn phương về chính tắc bằng biến đổi trực giao hoặc biến đổi laarange
(biến đổi sơ cấp).
2.phân loại dạng tồn phương
PHẦN HAI: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
I.ma trận:
1.các phép toán ( dễ dàng thực hiện được): lưu ý phép nhân khơng có tính giao hốn,
điều kiện để thực hiện được phép nhân 2 ma trận, phép công hai ma trận
2.hạng ma trận: để tìm hạng ma trận thì ta dùng biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc
thang thì hạng ma trận chính là số hàng khác 0 của ma trận bậc thang
3.ma trận ngịch đảo: phần này bấm máy được nên k cần làm theo thuật tốn đã được học
4.định thức:để tính định thức có 2 cách:
Cách 1:đưa ma trận về bậc thang thì định thức là tích các phần tử trên đường chéo của
ma trận bậc thang
Cách 2: dùng khai triển laplace:
Cho A là ma trận vuông cấp n


.
Khi đó
 Nếu khai triển định thức A theo dịng thứ i thì detA được biểu diễn dưới
dạng

 Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng

Với Aij là phần bù đại số
II.hệ phương trình tuyến tính:
Trong trường hợp tổng qt, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung
thêm cột các số hạng ở vế phải A/b.

A=

A/b=

Chuyển 2 ma trận về dạng bậc thang:
Nếu r(A)Nếu r(A)=r(A/b)=n hệ có nghiệm duy nhất


r(A)=r(A/b)III. khơng gian vector:
1.bài tốn tìm cơ sở và số chiều của không gian F=<f1,f2,f3,…,fn>
Với f1,f2,f3,.. là các vecto có tọa độ cho sẵn
Ta viết ra ma trận

Với giá trị tọa độ của các vecto f được xếp theo hàng ngang
Khi đó chuyển A về dạng bậc thang ta có:
Dim(F)=r(A)
Cơ sở là các vecto khác 0 (tức là các hàng khác 0 trong ma trận bậc thang)
2.bài tốn tìm cs, số chiều của F G, F+G
Cho 2 kg con F và G.tìm cs và số chiều của F G, F+G
Bài giải
*tìm cơ sở, số chiều của F G

x F G




Giải hệ trên để tìm nghiệm tổng qt, từ đó suy ra tập sinh, cơ sở, số chiều của F G

*tìm cơ sở số chiều của F+G:
tìm 1 tập sinh của F
Tìm một tập sinh của G
Suy ra F+G = <f1,f2,…,fn,g1,g2,…..gm> (không gian con được sinh ra bởi các vector
f1,f2,…fn,g1,…,gn)
Sau đó tìm cs, số chiều như tìm cs, số chiều của một kg con
IV.khơng gian Euclid:
(a,b) là tích vơ hướng của 2 vecor a và b
1.các công thức
Độ dài vector : //x//=
Khoảng cách giữa 2 vector: //x-y//=
Góc giữa 2 vector:

2.tìm cs, số chiều của

( phần bù vng góc):

Cho F là kg con. Tìm cs, số chiều của
Giải
Bước 1: tìm 1 tập sinh của F giả sử là
Bước 2: lấy 1 vector x tùy ý thuộc

x F khi và chỉ khi:


Giải hệ thuần nhất tìm được nghiệm tổng quát => tập sinh, cơ sở, số chiều
3. tìm hình chiếu của vector v xuống k gian con F:
Tìm 1 cơ sở của F:
V= f+g (g F)
 v=

(lấy tích vơ hướng 2 vế lần lượt cho f1,f2,..,fn)
Ta thu được hệ pt Ax=b
Giải hệ tìm x1,x2,…,xn
Suy ra hình chiếu vng góc là f=
4. q trình trực giao hóa gram-schmidt:
Bước 1: tìm 1 cơ sở tùy ý
Bước 2: dùng quá trình gram-schmidt tìm cơ sở trực giao:

Bước 3: chia mỗi vector cho độ dài của nó ta thu được cơ sở trực chuẩn
*cơng thức gram-schmidt:


với
V.ánh xạ tuyến tính:
1.bài tốn: cho axtt f: V -> W
a. tìm cơ sở, số chiều của kerf
b. tìm cs, số chiều của imf
bài giải
a.tìm f(X) với mọi x thuộc V
với mọi x thuộc kerf  f(x)=0  AX=0
giải hệ tìm nghiệm tổng quát => tập sinh, cs, số chiều
b. chọn 1 tập sinh của V {e1,e2,…..,en}
tìm ành của tập sinh f(e1), f(e2),….,f(en)
imf = < f(e1), f(e2),….,f(en)>
từ đó tìm dc cs, số chiều bằng cách lập ma trận như phần kg con
2.tìm ma trận của axtt trong cặp cơ sở cho trước: dùng sơ đồ để tìm
VI. trị riêng, vector riêng:
1.tìm tr,vtr:
Các bước tìm tr,vtr của ma trận vng A

B1: lập phương trình đặc trưng det(A- I)=0. Tính định thức, giải phương trình tìm được
tr
B2: tìm vtr của A
ứng với mỗi tr giải hệ (A- I)X=0
(tất cả các nghiệm khác 0 là tất cả các vtr ứng với tr )
2.chéo hóa ma trận:


Ma trận A gọi là chéo hóa được nếu A được viết dưới dạng : a=Pd
*điều kiện để ma trận A chéo hóa được:
a.bội hình học=bội đại số  bhh của mọi tr bằng bđs của nó
b.ma trận vng cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại đủ n vtr đơc lập tuyến tính
*các bước chéo hóa ma trận vng A
B1: giải pt đặc trưng để tìm các tr và xác định bđs của từng tr
B2:tìm cơ sở của các kg con riêng
ứng với mỗi giá trị

giải hệ (A- I)X=0

suy ra cơ sở của mỗi tr
xác định bhh=dim(khơng gian con riêng)
bước 3: kết luận
+ nếu có 1 tr mà bhh< bđs thì A k chéo hóa dc
+ nếu với mọi tr có bhh=bđs thì A chéo hóa được, khi đó

Với D là ma trận chéo có các đường chéo là các tr
P có các cột là những cơ sở của kg con riêng tương ứng với các tr
3.bài tốn tính

:

Chéo hóa ma trận A sau đó dùng cơng thức
4. chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao:
Ma trận trực giao là ma trận thỏa mãn
Các bước chéo hóa ma trận đối xứng A
Bước 1: giải pt đặc trưng tìm tr
Bước 2: tìm cơ sở trực chuẩn của các kg con riêng tương ứng


Bước 3: kết luận
Trong đó D là ma trận chéo
P có các cột là những cơ sở trực chuẩn của các kg con riêng
VII.dạng toàn phương:
*các bước đưa dạng toàn phương về chính tắc bằng biến đổi trực giao:
Bước 1:viết ma trận A của dạng tồn phương
Bước 2: chéo hóa trực giao ma trận A (

)

Bước 3: kết luận
Phép đổi biến X=PY
Dạng chính tắc Q(Y)=
*phương pháp chuyển dạng tồn phương về chính tắc bằng biến đổi lagrange
Bước 1: chọn 1 số hạng chứa
chứa

và lập thành 2 nhóm, nhóm 1 gồm tất cả các số hạng

, nhóm 2 gồm tất cả các số hạng cịn lại

Bước 2: trong nhóm 1 viết thành bình phương của một tổng ta thu được 1 bình phương
và dạng tồn phương ít hơn 1 biến
Bước 3: lặp lại 2 bước trên cho dạng toàn phương mới
Lặp lại các bước cho tới khi thu được dạng chính tắc ( tổng các bình phương)
*lưu ý:
Trường hợp dạng tồn phương không chứa

Ta lại thu được

mà chỉ tồn tại

lại thực hiện các bước như trên

thì ta đổi biến


*lưu ý: kết quả cuối cùng phải kết luận phép đổi biến theo x (phép đổi biến theo y chỉ là
phép đổi biến trung gian)
2.phân loại dạng toàn phương:
Dạng toàn phương f(x) = x TAx được gọi là
• xác định dương, nếu ∀x khác 0 : f(x) > 0 tương đương với các TR A dương.
• xác định âm, nếu ∀x khác 0 : f(x) < 0. tương đương với các TR A âm.
• nửa xác định dương, nếu ∀x : f(x) >= 0, ∃x0 khác 0 : f(x0) = 0. tương đương với các
TR A khơng âm.
• nửa xác định âm, nếu ∀x : f(x)= < 0, ∃x0 khác 0 : f(x0) = 0. tương đương với các TR
A khơng dương.
• khơng xác định dấu, nếu ∃x1, x2 : f(x1) < 0, f(x2) > 0. tương đương với các TR A có
dương, có âm.
* Tiêu chuẩn Sylvester Cho dạng toàn phương f(x) = x TAx, ∆i là định thức con chính
cấp i của A.

i) f(x) xác định dương khi và chỉ khi ∆i > 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.
ii) f(x) xác định âm khi và chỉ khi (−1)i∆i > 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.
* Luật quán tính: Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng tồn phương là
những đại lượng bất biến khơng phụ thuộc vào phép biến đổi (khơng suy biến) đưa dạng
tồn phương về dạng chính tắc.

GOOD LUCK TO YOU