Bài tập đại số tuyến tính tổng hợp

1

Ma trận và phép toán
1 2 3 
1/ Cho ma trận A = 
 và B =
 2 0 4

1 1 0 
2 0 0 . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?


3 4 0

14 13 0
A. AB = 

14 18 0

14 13
B. AB = 

14 18
14 13 0
C. AB = 

14 18 1
D. BA xác định nhưng AB không xác định.

 1 2 
1 2 3 

2/ Cho ma trận A = 
và B =  3 0  . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

 2 0 4
 1 1 

2 5 2
A. A+B = 
.
0 0 5
2 5 2
B. A+BT = 
.
0 0 5
2 5 2
C. A+BT = 
.
0 0 2 
2 5 2
D. AT+BT = 
.
0 0 5
3/ Cho A là ma trận cấp 23 và B là ma trận cấp 32. Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Tồn tại ma trận A.B.
B. Tồn tại ma trận A+B.
C. BA là ma trận vuông.
D. Tồn tại ma trận A+ BT.

0 1 
0 1

4/ Cho ma trận A = 
và B = 

 . Khẳng định nào sau đây SAI?
0 0 
0 0 

01


2

0 0 
A. A2  
.
0 0 
0 0 
B. A+B = 
.
0 0 
0 0 
C. AB= 
.
0 0 
D. AB  BA.

4
5/ Cho ma trận A = 1 2 3 và B =  5  . Tính AB.
 6 
 4 8 12 

A.  5 10 15  .
 6 12 18 
B.  4 10 18 .
C. [32].

4
D. 10  .
18 
2 3
4
T

6/ Cho A=  2 10 15  . Ma trận   A là:
 3 15 18 
 4 2 3 
A.  2 10 15
 3 15 18 
3 
 4 2

B.  2 10 15 
 3 15 18
 4 2 3 
C.  2 10 15 
 3 15 18

02


3

3 
 4 2

D.  2 10 15 
 3 15 18
 4 0
4 3 1 


7/ Cho A = 
 và B =  2 7  . Khi đó tổng tất cả các phần tử trên dịng thứ 2 của ma
4
1

2


 1 1 
trận (AT – 2B) là:

A. –6
B. 17
C. – 14
D. –1

2 2
8/ Cho ma trận A = 
 . Khẳng định nào sau SAI?
2 2

4 4
A. 2A = 

4 4
4 4
B. A2  

4 4
C. A =0
D. A2  4 A
T
1 2 
9/ Cho ma trận A= 
. Tính  A2  .

3 4 

 5 10 
A. 

15 10 
 5 15
B. 

 10 10 

 5 10 
C. 

15 10 

 5 10 
D. 
.
 15 10 

03


4

 1
 3
10/ Cho A = 
 1

 0
là:

1 2
 1 0 2 5
4 7 
và B =  7 2 0 1 . Đặt C = 5A – 3BT = (cij). Khi đó c 23 có giá trị


1  4
 1 3 1 1 

2 6

A. 26

B. 24
C. 35
D. 5
 1 1
1 0 
11/ Cho A =  3 4  và B = 
. Đặt D = AB = (dij). Khi đó d 32 có giá trị là:
7 2 

 1 1 

A. 22.
B. 20.
C. 2.
D. 13.

 2 3
 . Hãy tìm f(A).
1 1 

12/ Cho đa thức f(x) = x2 – 3x và ma trận A = 

3
A. 
2

2
3 

1

B. 
0

0
1 

 1 0 
C. 

0 1 
D. 7

 1 2 4
 2 1 1 
và B  
. Khi đó ABT là ma trận:


 3 0 1 
 4 3 2 

13/ Cho A  

2 
4

 7 10 

A. 

04


5

 4 2 

 7 10 

B. 

 4 2

 7 10 

C. 

2 12 
4
D.  7 10
8 

 9 10 19 
1 1
3
14/ Cho ma trận A = 
 . Ma trận A là:
0
1



1 1
A. 

0 1

 1 3

0 1

B. 

1 2 

0 1 

C. 

1 3 

0 2

D. 

 2 1 0 
 4 1 1





3
15/ Tính tích: AT.B, biết A  0 2 2 , B  1 0



.
 3 3 1 
 2 1 5 




 14 1 13 


T
A. A .B  8 2 8 .


 0 1 1 


8

T
B. A .B  1

0

 14


T
C. A .B  8

0


0 3 
0 9  .
2 5 
1 13 
3 1
1 1

05


6

 7 2 5 


D. A .B  2 2 4 .


 11 2 7 


T

 2 1
 2 1 5 


16/ Tìm tích AB của hai hai ma trận A  
 và B   1 0  .
 1 2 3 
2 3 


 13 13 
A. AB  
.
 6 10 
13 13 
B. AB  
.
 6 10 
 13 13 
C. AB  
.
 6 10 

 14 17 
D. AB  
.
 6 10 
4
 1 2 0 1 
2

17/ Phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của tích  0 2 5 1  
5
 4 1 2 3 
0
A. 7.
B. 12.
C. 19.
D. 0.

 1 2
18/ Cho f(x) = x2-3x+1 và ma trận A  
 . Tính f(A).
 1 0 
 3 4 
A. f ( A)  
.
 2 1
 3 4
B. f ( A)  
.
2 1
 3 4
C. f ( A)  
.
 2 1
 3 4
D. f ( A)  
.
 2 1 

 1 1 
19/ Cho f(x) = x2-2x+3 và ma trận A  
 . Tính f(A).
 1 1
 7 4 
A. f ( A)  
.
 4 7 
7 4 
B. f ( A)  
.
4 7

06

2
3
1
4

1
2 
là:
0

3


7

 7 4
C. f ( A)  
.
 4 7 
7 4 
D. f ( A)  
.
 4 7 
1 0 1 2 1 
20/ Tìm ma trận tổng A  

.
1 1  3 0 2
2 2 1
A. A  
.
4 1 2
1
B. A  
4
1
C. A  
3

2 1
.
1 2 
3 0
.
1 3

D. Không tồn tại A.

07


1

Hạng của ma trận
 1 2 3 4
1/ Cho ma trận A =  2 4  6 8  . Hạng của A là:
  1 2  3 12
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

 1 2 3 
2/ Cho ma trận A =  2 4 6  . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
 2 4 6 
A. Hạng của A bằng 1.
B. A có ma trận nghịch đảo
C. Định thức của A bằng 2.
D. Hạng của A bằng 2.

0
0 
1
0 r  2
2 


3/ Cho ma trận A =
. Với giá trị nào của r và s thì hạng của A bằng 2?
0 s  1 r  2 


0
3 
0
A. r=2 và s=1
B. r  2 và s= 1
C. r  2 và s  1
D. r  2 và s  1

1 2 3
4/ Cho ma trận A =  4 5 6  . Đặt r = rank(A), d = det(A) thì giá trị của r – d là:
7 8 9 
A. 2
B. -1
C. 0

08


2

D. 1

1 0
2 3

5/ Cho ma trận A  
 4 6

 1 3

0
3 
0
4 
. Với giá trị nào của k thì rank(A) > 3 ?
2
6 

4 k  5

A. k = -5.
B. k  -30.
C. Không tồn tại k thỏa yêu cầu.
D. Với mọi k.

 2 1 m
6/ Cho ma trận A =  3 5 0  . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
 m 0 0 
A. det(A) > 0 khi m  0.
B. Hạng của A ln bằng 3.
C. A có ma trận nghịch đảo với mọi m.
D. A có ma trận nghịch đảo khi m=2.

1 2  1 1 
7/ Xác định m để ma trận A = 1  1 0 3  có hạng bằng 2.



3 3  2 m
A. m = 3.
B. m  6.
C. m  5.
D. m = 5

2
0
8/ Xác định m để ma trận A  
0

0

1
2
0
0

3
1 
1
2 
có hạng bằng 3.
m2  4 m  2

0
m 

A. m = 0.
B. m = 0 hoặc m = – 2.
C. m = 0 hoặc m = 2 hoặc m = –2.
D. m   2 .

09


3

 1 1 2
 2 2 3
9/ Cho A = 
 1  1 0

 3 3 4

2
3 
, khi đó rank(A) có giá trị là:
0

4

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

m

10/ Tìm m để ma trận A  1

1

1 1
m 1  có hạng bằng 1.
1 m 

A. m = – 1.
B. m = 1.
C. m = 1 hoặc m = –2.
D. Khơng có m nào thỏa u cầu.

 c d
 có hạng là 2.
11/ Tìm c và d sao cho ma trận B  
d c
A. c2  d2.
B. c = d.
C. c  d.
D. 2c + d = 0.

1 2 3


12/ Cho ma trận A   2 0 5  .Tìm rank(A).
 1 2 2 


A. rank(A) = 2.

B. rank(A) = 3.
C. rank(A) = 1.
D. rank(A) = 0.

2
2
13/ Tìm hạng của ma trận A  
2

4

1 2 1 
7 1 2 
.
3 1 0 

8 1 1

A. rank(A) =2.

10


4

B. rank(A) =1.
C. rank(A) =3.
D. rank(A) =4.

11

1

Định thức
1/ Cho A là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 3. Định thức của ma trận 2A là:
A. 6

|kA|=kn |A|

B. 24
C. 54
D. -6
2 2 4
2/ Cho ma trận A =  2 1 4  . Định thức của A là:
 2 3 4 

A. 0
B. 2
C. -2
D. 4
|-A|=(-1)4.|A|

3/ Cho A là ma trận vuông cấp 4 có A = 3. Định thức của ma trận -A là:
A. -3
B. 3
C. 12
D. -12.

 1 1 1 1 

 1 1 1 1 
 . Định thức của A là:
4/ Cho ma trận A = 
 1 1 1 1 


 1 1 1 1
A. 0
B. -27
C. -16
D. 9
 2 1 0 
5/ Cho ma trận A =  3 1 4  . Với giá trị nào của m thì A = 5?
1 3 m 

12


2

A. m= -5
B. m=-3
C. m= 5
D. m= 4
 1 w2

6/ Tính định thức của ma trận A = 1 1
0 w


w 

3
 w2  với w  1 .
1 

A. -1
B. 2
C. -2
D. 3
1 1 m 
7/ Cho ma trận A = 1 2 0  . Với giá trị nào của m thì A <0?
1 1 2 

A. m < 2
B. m >2
C. m < 3
D. m > 4
8/ Ma trận nào sau đây có định thức bằng 1?
 1 2 1
A.  m 1 0 
 1 0 0 

 1 2 1
B.  1 1 0 
 1 0 0 
1 2 1 
C. 0 1 0 
0 0 2 

13


3

1
0
D. 
0

0

9
1
0
0

0
2
1
0

3
4 
.
6

1

1 2 1

1 2 1  1 2 1 

2 1




9/ Giải bất phương trình 0 1 0  . 0 1 0    x 
 0 1 0 .
3
4
0 0 2
0 0 2  0 0 2 
A. x > 3.
B. x > 5.
C. x < 4.
D. Bất phương trình vơ nghiệm.
a 1 1
ax 1 1
x 1 1
10/ Nếu b 2 7  3 và y 2 7  4 thì b  y 2 7 bằng:
c 4 9
cz 4 9
z 4 9

A. 7
B. -3
C. 1
D. 2

1 2 3
5 6 7
11/ Cho ma trận A  
 9 10 1

 2 3 7

4
2
3 4
1


8
5 4 7 8 
và B  
. Tính det(A+B).
 9 10 1 1 
1



4
 2 3 7 3

A. -8
B. 5
C. 4
D. -4

2 3 5 


12/ Cho A = 0 1 4  , hãy tính det(2A).
1  1  2 
A. 11
B. 22
C. 10

14


4

D. 88

2 3 5
0 2 0
13/ Cho A = 
1  1  2

0
1 1

1
0 
. Tính det(AT) .
2

4

A. 40
B. –160
C. –48
D. 160

2 1 
1 2 3 
 . Khi đó định thức của A bằng:
14/ Cho A = 
0

2



0 1  1  1  4 


A. 25.
B. – 13.
C. –5.
D. Không tồn tại |A|.

1 0
15/ Cho A  3 1

 2 1

0

0  ; B 
3 

2  1
0 1

0 0

3
4  . Hãy tính det(3AB).
1 

A. 6
B. 18
C. 162
D. 20

1 2
. Khi đó det[(2A–1)T] có giá trị là:

7 1 

16/ Cho A  

A.

4
13

B. 10

C.

1
40

15


5

D.

2
.
5

x
y
z
1 1 1
17/ Nếu x y z  2 thì 1
1
1 bằng:
1  5x 4  5 y 9  5z
1 4 9

A. 5
B. -2
C. 10
D. 2

1 0 3
3 1 0
18/ Tính định thức  
0 5 7
2 1 0

1
1
.
2
2

A.   104 .
B.   14 .
C.   34 .
D.   48 .
19/ Cho A là ma trận vng cấp 4 có det(A)= -3. Tính det(2A).
A. - 48.
B. -24.
C. -12.
D. -6.

 1 0  2


20/ Tính định thức của ma trận A =  2 2  3  .
 1 9  3



A. -11.
B. -12.
C. 11.
D. 12.

16


1

Ma trận nghịch đảo
 4 3
1/ Cho ma trận A = 
 . Ma trận nghịch đảo của A là:
3 2
 2  3
A. 

 3 4 

 2  3
B. 
4 
3

  2 3
C. 

 3 4
 2 3 

D. 

 3  4

7 3
2/ Cho ma trận A  
 . Ma trận nghịch đảo của A là:
2 1 
 2
 13
A. 
 4
 13

3
13 

7
13 

1
 13
B. 
 2
 13

6
13 

14 

13 

 1
 13
C. 
 2
 13

3
13 

7
13 

1
 13
D. 
 2
 13

3 
13 

7 
13 

2 2 3
3/ Cho ma trận A   0 1 5  . Phần tử nằm trên dòng 2 cột 1 của ma trận A1 là:
 0 0 4 
A. 8

B. -8

17


2

C. -1
D. 0.

5 1 

3

1 1 1 
2 2


4/ Cho ma trận B =  3 4 m  là ma trận nghịch đảo của ma trận A = 1 2 3 . Khi đó, giá trị

1 4 9 
3 1 
1

2 2

của m phải là:
A. -1
B. 1
C. -2

D. 2

1 2 
5/ Cho A  
, hãy tìm ma trận (AT)– 1 .

3 4 


 2
A. 
1


3
2

1 
2 

 2
B.  3

2

1
1 
2

 4 3

C. 

 2 1 


4
D. 
1


3
2

1 
2 

1 2
 2 1 

6/ Hãy tìm ma trận X sao cho: X 
 =  2 3 .

1
1


 1 4 

18

3

1 2
A.  2 3


 1 4 
 5  2 6 
B.  2  1 2 


 4  2 5 
3 5
C.  5 8


 5 9 
3 5 5
D. 

5 8 9 

1 m 2 
7/ Xác định m để ma trận A = 3 1  1 có ma trận nghịch đảo.


 m 3 2m 

A. m = 3 .

B. m = 2 .
C. m   2 .
D. m   3 .

 1 1 m  5
8/ Xác định m để ma trận A   m 1
2  có ma trận nghịch đảo.

 4 2
0 
m  2
A. 
m  0, 25
B. m 

1
3

m  1
C. 
m  4
m  1
D. 
m   4
10/ Ma trận nào dưới đây KHƠNG có ma trận nghịch đảo?

19


4

1 2 
A. 

4 5
1 1 0 
B.  2 1 1 
0 0 1
 3 1 0 
C.  2  1 1
 4 1 1
 3
D.  2
 4

1 0
0 0 
0 1 

11/ Cho f  x   x 

3
2

A. 

2
1
và A  
x

1

5
. Hãy xác định f(A).
3 

2
3 

3  2 

 2 3 

B. 

5
0

C. 

0
5 

D. 0

5m 
 2 2m  11

12/ Cho A = A  0
2

1  m  . Hãy xác định m để A có ma trận nghịch đảo.

 0 4(m  3) m(m  3) 
m  2
A. 
m  3
m   2
B. 
m  3
m   2
C. 
m  4
D. m  3

20


5

1 2
1 0 
X

.
3 5 
 2 1

13/ Hãy tìm ma trận X sao cho 

5

7

A. X  

 2
 3

 1 2 

 1  1

B. X  

A.X=B <=> X = A-1 .B
X.A = B <=> X = B.A-1
A.X.B = C <=> X= A-1 .C.B-1
A.B.X=C <=> X= B-1 .A-1.C

 6 13 

C. X  
 5  19 
2 


 5  2
.
 3 1 

D. X  

 3 2  1  4 1 
1
14/ Cho A  
, B  
 . Tính  AB  .
 1 0 
 3 4
1
A.  2

2

5 
2 .

3 

 1 5 
B. 
.
2 3 
1
C.  2

 2

5
2.


3 

 1 5
D. 
.
 2 3 

 5 3
1 2 3
15/ Cho các ma trận A  
và B  
 . Tìm ma trận X, biết AX  B .

0 1 1 
 2 1
 1 5 6 
A. 
.
 2 9 11
 3
B. 
5
1
C. 
2

2 4
.
9 5
2 4 

.
3 5 

 1 5 6 
D. 
.
 2 9 11
1 3 
1 2 
 2 1
,
B

,
C

16/ Cho các ma trận A  

0 3
 2 4 . Tìm ma trận Y sao cho AY+B=C.
 2 4





21


6


 5
A. Y  
2


5
B. Y  
2

10
C. Y  
 4
3
D. Y  
5


7
2 .

3 
2 
7
2 .

3
2 
7 

.
3 
2 
7  .
2

 1 1 2 

17/ Cho A   0 1 1  . Tìm m để A khả nghịch.
 0 m 1 


A. m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  1 .

1

18/ Với giá trị nào của m thì ma trận M   0

m
A. m  1 và m  3 .

m 2 

1 1  khả nghịch?

2 1 

B. m  1 hoặc m  3 .
C. m  1 và m  0 .
D. m  1 hoặc m  0 .

1

19/ Với giá trị nào của m thì ma trận M   2

m
A. m  3 .
B. m  3 và m  1.

m 2

1 m  khả nghịch?

2 1

C. m  1.
D. m  2 và m  1.

 1 1
20/ Ma trận nào là nghịch đảo của ma trận A  
?
3 5 
1  5 1
A. A1  
.
8  3 1

22


7

5
B. A1  
 3
1
C. A1  
 3

1
.
1
1
.
5

1  5 3 
D. A1  
.
8 1 1 

23


1

Độc lập tuyến tính

1/ Trong khơng gian vector 3 cho các vector: v= (2, m, 1); v1 = (0, 2, 3); v2= (1, 5,2). Với giá trị
nào của m thì v là tổ hợp tuyến tính của v1 và v2?
A. m = 1.
B. m = 2.
C. m =8.
D. m= 4.
2/ Trong 4 cho các vector: v1=(2, 1, 1, 1); v2=(2, 1, –1, 1); v3=(10, 5, –1, m). Với giá trị nào của
m thì v1, v2, v3 độc lập tuyến tính?
A. m  0.
B. m  5.
C. m tùy ý.
D. Không tồn tại m.
3/ Trong không gian vector 3 cho các vector v1 =(–2, 1, 3); v2=( 1, –4, 6); v3=(2m, 2, m+10). Với
giá trị nào của m thì v1, v2, v3 phụ thuộc tuyến tính?
A. m = 1.
B. m = –100/43.
C. m=1 hoặc m= –2.
D. m=4/3.
3

4/ Trong không gian vector

tập hợp nào sau đây phụ thuộc tuyến tính?

A. S = (0,1,4), (2,1,2), (0,0,3).
B. S = (1,1,1), (0,1,2), (0,0,3) .
C. S = (0,0,1), (0,1,2), (1,2,3).
D. S = (0,0,0), (1,1,2), (1,1,3)
5/ Trong không gian vector

4

, xét các hệ vector:

A = {(1, 1, 2, 2); (1, 2, 1, 0); (3, 1, 0, 0)};
B = {(1, 1, 2, 1); (2, 3, 1, 0); (0, – 1, 3, 2)}.
Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hệ A và hệ B đều độc lập tuyến tính.

24


2

B. Hệ A độc lập tuyến tính, hệ B phụ thuộc tuyến tính.
C. Hệ A phụ thuộc tuyến tính, hệ B độc lập tuyến tính.
D. Hệ A và hệ B đều phụ thuộc tuyến tính.
6/ Xác định m để hệ vector {u = (1, 1, 1); v = (m, 1, 1); w = (2, m, –1 )} độc lập tuyến tính.
A. m = 1.
B. m  –1.
C. m  –1 hoặc m  1.
D. m  –1 và m  1.
7/ Xác định m để hệ vector {u=(m,–1,–1), v=(–1, m,–1), w=(–1,–1,m)} phụ thuộc tuyến tính.
A. m = –2.
B. m = –1.
C. m = –1 hoặc m = 2.
D. m  2 và m  –1.
8/ Trong 3 , cho vector x=(1,3,5); u = (3, 2, 5); v = (2, 4, 7) và w = (5, 6, k). Xác định k để x là tổ
hợp tuyến tính của hệ u, v, w.
A. k  12.

B. k  5.
C. k = 12.
D. k tùy ý.
9/ Trong 3 , cho vector x = (3, 5, 0); y = (7, 12, 1); u = (1, 2, 3) và v = (2, 3, –4). Phát biểu nào sau
đây là đúng?
A. x và y đều là tổ hợp tuyến tính của {u, v}.
B. x là tổ hợp tuyến tính của {u, v}; y khơng là tổ hợp tuyến tính của {u, v}.
C. x và y đều khơng là tổ hợp tuyến tính của {u, v}.
D. x khơng là tổ hợp tuyến tính của {u, v}; y là tổ hợp tuyến tính của {u, v}.
10/ Trong khơng gian vector

3

, hạng của hệ vector {(1, –2,3), (–2,3,4), (–1,1,7)} là:

A. 0.
B. 2.
C. 1.

25